考研數(shù)學二分類模擬255

考研數(shù)學二分類模擬255解答題1.

證明：若f(x)為定義在(-∞，+∞)上周期為T的連續(xù)函數(shù)，則

式中a為任意的數(shù)．正確答案：證明：

對上述等式右端的第三個積分，設(shè)x-T=t，則

于是

[考點]不定積分、定積分、反常積分

2.

實系數(shù)三元多項式f(x，y，z)=x3+y3+z3-3xyz有沒有一次因式?如果有，找出各因式．正確答案：解：

因此f(x，y，z)有一個一次因式(x+y+z)．[考點]行列式

3.

設(shè)向量組α1，α2，α3為兩兩正交的非零向量，證明：向量組α1，α2，α3線性無關(guān)．反之是否成立?說明理由．正確答案：證明：設(shè)有數(shù)k1，k2，k3，使

k1α1+k2α2+k3α3=0

上式兩邊與α1作內(nèi)積，由(α1，α2)=0，(α1，α3)=0，得

k1(α1，α1)+k2(α1，α2)+k3(α1，α3)=k1(α1，α1)=0

又因α1≠0，(α1，α1)＞0，故得k1=0．同理可得k2=0，k3=0，故α1，α2，α3線性無關(guān)．反之，α1，α2，α3線性無關(guān)不能推出α1，α2，α3兩兩正交，例如

線性無關(guān)，但并不兩兩正交．[考點]向量

4.

證明：當n為奇數(shù)時，函數(shù)為以2π為周期的周期函數(shù)；而當n為偶數(shù)時，則其中的任何一個皆為線性函數(shù)與周期函數(shù)之和．正確答案：證明：當n為奇數(shù)時，sinnx是奇函數(shù)，而且是以2π為周期的函數(shù)．于是

及

即F(x)和G(x)都是以2π為周期的周期函數(shù)．

當n為偶數(shù)時，顯然有

設(shè)，則，且a＞0，所以，F(xiàn)(x)和G(x)都不是以2π為周期的函數(shù)．

設(shè)，則

即F1(x)是以2π為周期的函數(shù)，而

所以，F(xiàn)(x)為周期函數(shù)與線性函數(shù)之和．

同理，可以證明G(x)也是周期函數(shù)與線性函數(shù)之和．[考點]一元函數(shù)微積分

5.

求曲線的漸近線．正確答案：解：函數(shù)的定義域是(-∞，-3)∪(0，+∞)．

(1)垂直漸近線：由于

所以x=-3是曲線的垂直漸近線．

(2)水平漸進線：由于

因此為曲線的水平漸近線．

(3)斜漸近線：由于

因此是曲線的斜漸近線．[考點]定積分的應(yīng)用

設(shè)函數(shù)y(x)滿足方程y"+2y'+ky=0，其中0＜k＜1．6.

證明：反常積分收斂；正確答案：解：特征方程為r2+2r+k=0，由0＜k＜1可知，特征方程有兩個不相等的實根

由二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解可知

由于r1，2＜0，則

于是收斂．[考點]常微分方程及其應(yīng)用

7.

若y(0)=1，y'(0)=1，求的值．正確答案：解：y(x)=C1er1x+C2er2x，y(0)=1，y'(0)=1，可得

解得

代入

可得

[考點]常微分方程及其應(yīng)用

8.

設(shè)，求f(x)的間斷點并判斷其類型．正確答案：解：因為f(x)為初等函數(shù)，所以f(x)的間斷點為使得f(x)無定義的點，即x=0和x=1．

因為x→0時，，所以，即x=0為f(x)的第一類間斷點中的可去間斷點．

注意到x→1-時，x→1+時，所以

故x=1為f(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點．[考點]函數(shù)、極限

9.

設(shè)，求A-1．正確答案：解：令

則，從而

[考點]矩陣、向量、方程組

10.

設(shè)函數(shù)，并求f(x)的最小值．正確答案：解：當0＜x＜1時

當x≥1時

則

易知；f'(x)＞0，x∈(1，+∞)，即f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增；

當0＜x＜1時，令4x2-2x=0，得，此時

可知f(x)的最小值為．[考點]一元函數(shù)微積分

11.

已知三階矩陣A的第1行是(a，b，c)，其中a，b，c不全為零．矩陣，且AB=0．求線性方程組Ax=0的解．正確答案：解：因AB=0，則r(A)+r(B)≤3，且r(A)≥1，r(B)≥1．

，此時r(A)=1，通解為k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，其中k1，k2為任意常數(shù)；

情形1當r(A)=2時，通解為k3(1，2，3)T，k3為任意常數(shù)；

情形2當r(A)=1時，不妨設(shè)a≠0，則通解為l1(b，-a，0)T+l2(c，0，-a)T，其中l(wèi)1，l2為任意常數(shù)，a+2b+3c=0．

注我們分類討論的依據(jù)為r(A)+r(B)≤3，上述解答只是討論的一種方式，讀者也可以優(yōu)先按r(A)的情況討論，特別地，當r(A)=1，此時通解與矩陣B本身沒有任何關(guān)系，當然，我們也可以人為地建立一些“關(guān)系”，若設(shè)a≠0，通解也可以記為x=l1(1，2，3)T+l2(c，0，-a)T．[考點]矩陣、向量、方程組

求下列平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．12.

(0≤x≤a)繞Ox軸．正確答案：解：所求體積為

[考點]定積分的應(yīng)用

13.

y=2x-x2，y=0分別繞Ox軸、繞Oy軸．正確答案：解：y=2x-x2，y=0分別繞Ox軸、繞Oy軸旋轉(zhuǎn)．

令y=0得x=0或x=2．于是，所求體積為

[考點]定積分的應(yīng)用

14.

證明：如果n階矩陣A滿足

bmAm+bm-1Am-1+…+b1A+b0En=0

其中bi∈R，i=0，1，…，m，且b0≠0，那么A可逆，并且求A-1．正確答案：證明：由已知條件得

從而A可逆，并且

[考點]矩陣、向量、方程組

15.

證明：方程必有實根．正確答案：證明：考慮函數(shù)

則f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)．因為，所以存在M＞0，當x＜-M時，有

即當x＜-M時，有f(x)＜0．又

f(0)=1999-1=1998＞0

由零點定理可知，方程f(x)=0在(-M-1，0)上至少有一個根．因此方程必有實根．[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

16.

求的秩，并且求它的列向量組的一個極大線性無關(guān)組．正確答案：解：用初等行變換把A化為階梯形矩陣

因此r(A)=3，A的第1，2，3列構(gòu)成A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組．[考點]矩陣、向量、方程組

17.

計算，其中D是由擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱(0≤t≤2π)與x軸圍成的區(qū)域．正確答案：解：D是x-型區(qū)域，記上邊界曲線(擺線)為y=y(x)，則

由于y=y(x)是由參數(shù)方程給出，對定積分做變量代換，令x=a(t-sint)，則y=a(1-cost)，故

[考點]二重積分

18.

已知，設(shè)，求fn(x)的表達式．正確答案：解：令f1(x)=f(x)，可用數(shù)學歸納法證明

當n=1時，顯然式①成立；假設(shè)當n=k時，式①成立，則當n=k+1時

即對n=k+l式①也成立，即證得式①成立．[考點]函數(shù)、極限

19.

討論函數(shù)

在x=0處的可導(dǎo)性．正確答案：解：f'+(0)=-1，f'-(0)=1，故f(x)在x=0處不可導(dǎo)．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

20.

求曲線在點(0，1)處的法線方程．正確答案：解：當x=0，y=1時，對應(yīng)t=0．，則

故法線方程為y-1=-2(x-0)，即y+2x-1=0．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

證明下列不等式：

利用拉格朗日中值定理．21.

|sinx-siny|≤|x-y|；正確答案：證明：|sinx-siny|=|(x-y)cosξ|≤|x-y|(ξ介于x與y之間)．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

22.

pyp-1(x-y)＜xp-yp＜pxp-1(x-y)(0＜y＜x，p＞1)；正確答案：證明：xp-yp=p(x-y)ξp-1，其中0＜y＜ξ＜x，由于p＞1，所以yp-1＜ξp-1＜xp