2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（二）：第51煉 等差等比數(shù)列綜合問題含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（二）：第51煉等差等比數(shù)列綜合問題含答案第51煉等差等比數(shù)列綜合問題一、基礎(chǔ)知識：1、等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列遞推公式通項公式等差（比）中項等間隔抽項仍構(gòu)成等差數(shù)列仍構(gòu)成等比數(shù)列相鄰項和成等差數(shù)列成等比數(shù)列2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的互化：（1）若為等差數(shù)列，，則成等比數(shù)列證明：設(shè)的公差為，則為一個常數(shù)所以成等比數(shù)列（2）若為正項等比數(shù)列，，則成等差數(shù)列證明：設(shè)的公比為，則為常數(shù)所以成等差數(shù)列二、典型例題：例1：已知等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則公比（）A.B.或C.D.思路：由“成等差數(shù)列”可得：，再由等比數(shù)列定義可得：，所以等式變?yōu)椋航獾没颍?jīng)檢驗均符合條件答案：B例2：已知是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和是，若成等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.思路：從“成等比數(shù)列”入手可得：，整理后可得：，所以，則，且，所以符合要求答案：B小煉有話說：在等差數(shù)列（或等比數(shù)列）中，如果只有關(guān)于項的一個條件，則可以考慮將涉及的項均用（或）進行表示，從而得到（或）的關(guān)系例3：已知等比數(shù)列中的各項均為正數(shù)，且，則_______________思路：由等比數(shù)列性質(zhì)可得：，從而，因為為等比數(shù)列，所以為等差數(shù)列，求和可用等差數(shù)列求和公式：答案：例4：三個數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為，如果第一個數(shù)與第三個數(shù)各減，則成等差數(shù)列，則這三個數(shù)為___________思路：可設(shè)這三個數(shù)為，則有，解得，而第一個數(shù)與第三個數(shù)各減2，新的等差數(shù)列為，所以有：，即，解得或者，時，這三個數(shù)為，當(dāng)時，這三個數(shù)為答案：小煉有話說：三個數(shù)成等比（或等差）數(shù)列時，可以中間的數(shù)為核心。設(shè)為（或），這種“對稱”的設(shè)法便于充分利用條件中的乘積與和的運算。例5：設(shè)是等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比，且，若，則有（）A.B.C.D.或思路：抓住和的序數(shù)和與的關(guān)系，從而以此為入手點。由等差數(shù)列性質(zhì)出發(fā)，，因為，而為等比數(shù)列，聯(lián)想到與有關(guān)，所以利用均值不等式可得：（故，均值不等式等號不成立）所以即答案：B小煉有話說：要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長的運算，等差數(shù)列擅長加法，等比數(shù)列擅長乘積。所以在選擇入手點時可根據(jù)表達式的運算進行選擇。例6：數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，則有（）A.B.C.D.與的大小不確定思路：比較大小的式子為和的形式，所以以為入手點，可得，從而作差比較，由為正項等比數(shù)列可得：，所以答案：B小煉有話說：要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長的運算，等差數(shù)列擅長加法，等比數(shù)列擅長乘積。所以在選擇入手點時可根據(jù)表達式的運算進行選擇。例7：設(shè)數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.思路：求和看通項，考慮，所以，，所以答案：A例8：(2011,江蘇）設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是___________思路：可知等比數(shù)列為，等差數(shù)列為，依題意可得①，若要最小，則要達到最小，所以在①中，每一項都要盡量取較小的數(shù)，即讓不等式中的等號成立。所以，所以，驗證當(dāng)時，，①式為，滿足題意。答案：例9：已知等差數(shù)列的公差，前項和為，等比數(shù)列是公比為的正整數(shù)，前項和為，若，且是正整數(shù)，則等于（）A.B.C.D.解：本題的通項公式易于求解，由可得，而處理通項公式的關(guān)鍵是要解出，由可得，所以，由，可得，所以可取的值為，可得只有才有符合條件的，即，所以，所以，，則答案：D例10：個正數(shù)排成行列（如表），其中每行數(shù)都成等差數(shù)列，每列數(shù)都成等比數(shù)列，且所有的公比都相同，已知，則_______，___________思路：本題抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整個數(shù)陣，抓住已知中的，可得，從而只要得到某一行的數(shù)，即可求得數(shù)陣中的每一項。而第四列即可作為突破口，設(shè)每行的公差為由可得，從而，所以。則，求和的通項公式，利用錯位相減法可求得：答案：小煉有話說：對于數(shù)陣問題首先可設(shè)其中的項為（第行第列），因為數(shù)陣中每行每列具備特征，所以可將其中一行或一列作為突破口，求得通項公式或者關(guān)鍵量，然后再以該行（或該列）為起點拓展到其他的行與列，從而得到整個數(shù)陣的通項公式第52煉等差等比數(shù)列的證明在數(shù)列的解答題中，有時第一問會要求證明某個數(shù)列是等差等比數(shù)列，既考察了學(xué)生證明數(shù)列的能力，同時也為后面的問題做好鋪墊。一、基礎(chǔ)知識：1、如何判斷一個數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列（1）定義法（遞推公式）：（等差），（等比）（2）通項公式：（等差），（等比）（3）前項和：（等差），（等比）（4）等差（等比）中項：數(shù)列從第二項開始，每一項均為前后兩項的等差（等比）中項2、如何證明一個數(shù)列是等差等比數(shù)列：（1）通常利用定義法，尋找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中項來進行證明，即，均有：（等差）（等比）二、典型例題：例1：已知數(shù)列的首項．求證：數(shù)列為等比數(shù)列思路一：構(gòu)造法，按照所給的形式對已知遞推公式進行構(gòu)造，觀察發(fā)現(xiàn)所證的數(shù)列存在這樣的倒數(shù)，所以考慮遞推公式兩邊同取倒數(shù)：即，在考慮構(gòu)造“”：即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列思路二：代入法：將所證數(shù)列視為一個整體，用表示：，則只需證明是等比數(shù)列即可，那么需要關(guān)于的條件（首項，遞推公式），所以用將表示出來，并代換到的遞推公式中，進而可從的遞推公式出發(fā)，進行證明解：令，則遞推公式變?yōu)椋菏枪葹榈牡缺葦?shù)列。即數(shù)列為等比數(shù)列小煉有話說：（1）構(gòu)造法：在構(gòu)造的過程中，要尋找所證數(shù)列形式的亮點，并以此為突破對遞推公式進行變形，如例1中就是抓住所證數(shù)列有一個“倒數(shù)”的特點，進而對遞推公式作取倒數(shù)的變換。所以構(gòu)造法的關(guān)鍵之處在于能夠觀察到所證數(shù)列顯著的特點并加以利用（2）代換法：此方法顯得模式化，只需經(jīng)歷“換元→表示→代入→化簡”即可，說兩點：一是代換體現(xiàn)了兩個數(shù)列的一種對應(yīng)關(guān)系，且這種對應(yīng)是同序數(shù)項的對應(yīng)（第項對應(yīng)第項）；二是經(jīng)過代換，得到的遞推公式，而所證是等比數(shù)列，那么意味著其遞推公式經(jīng)過化簡應(yīng)當(dāng)形式非常簡單，所以盡管代入之后等式復(fù)雜，但堅定地化簡下去，通常能夠得到一個簡單的答案。個人認(rèn)為，代入法是一個比較“無腦”的方法，只需循規(guī)蹈矩按步驟去做即可。例2：數(shù)列{}的前n項和為，（*）．設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式思路：本題所給等式混合在一起，可考慮將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓蛑缓牡仁?，題目中傾向于項的關(guān)系，故考慮消掉，再進行求解解：①②①②可得：即是公比為的等比數(shù)列令代入（*）可得：小煉有話說：（1）遇到混合在一起的等式，通常轉(zhuǎn)化為純（項的遞推公式）或者純（前項和的遞推公式），變形的方法如下：①消去：向下再寫一個關(guān)于的式子（如例2），然后兩式相減（注意取值范圍變化）②消去：只需代換即可（）（2）混合在一起的等式可求出，令即可（因為）（3）這里體現(xiàn)出的價值：等差等比數(shù)列的通項公式是最好求的：只需一項和公差（公比），構(gòu)造出等差等比數(shù)列也就意味這其通項可求，而通過也可將的通項公式求出。這里要體會兩點：一是回顧依遞推求通項時，為什么要構(gòu)造等差等比數(shù)列，在這里給予了一個解釋；二是體會解答題中這一問的價值：一個復(fù)雜的遞推公式，直接求其通項公式是一件困難的事，而在第一問中，恰好是搭了一座橋梁，告訴你如何去進行構(gòu)造輔助數(shù)列，進而求解原數(shù)列的通項公式。所以遇到此類問題不要只停留在證明，而可以順藤摸瓜將通項一并求出來例3：已知數(shù)列滿足：且，求證：為等差數(shù)列解：設(shè)，則代入可得：為等差數(shù)列，即為等差數(shù)列例4：已知曲線，過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點（且，點列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中.（1）求與的關(guān)系式；（2）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；解：（1）曲線（2），代入到遞推公式中可得：是公比為的等比數(shù)列小煉有話說：本題（2）用構(gòu)造法比較復(fù)雜，不易構(gòu)造出的形式，所以考慮用代入法直接求解例5：已知數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？若不是，請說明理由；若是，試求出解：設(shè)代入到可得：而①時，，不是等比數(shù)列②時，是等比數(shù)列，即為等比數(shù)列例6：（2015山東日照3月考）已知數(shù)列中，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列思路：所證數(shù)列為，可發(fā)現(xiàn)要尋找的是偶數(shù)項的聯(lián)系，所以將已知分段遞推關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榕c之間的關(guān)系，再進行構(gòu)造證明即可證明：由可得：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列例7：（2015湖北襄陽四中階段性測試）已知數(shù)列滿足，且對任意非負(fù)整數(shù)均有：（1）求（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式解：（1）令可得：再令可得：（2）思路：考慮證明數(shù)列是等差數(shù)列，則要尋找，的關(guān)系，即所涉及項為，結(jié)合已知等式令，利用（1）中的，將代換為即可證明，進而求出通項公式證明：在中令得：由（1）得代入可得：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列例8：（2010安徽，20）設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0，求證：是等差數(shù)列的充分必要條件是：對都有思路：證明充要條件要將兩個條件分別作為條件與結(jié)論進行證明，首先證明必要性，即已知等差數(shù)列證明恒等式。觀察所證等式可聯(lián)想到求和中的裂項相消。所以考慮，然后恒等式左邊進行求和即可證明。再證明充分性，即已知恒等式證明等差數(shù)列：恒等式左側(cè)為求和形式，所以考慮向前寫一個式子兩式相減，進而左邊消去大量的項，可得：，通過化簡可得：，從而利用等差中項完成等差數(shù)列的證明證明：先證必要性：是等差數(shù)列當(dāng)時左邊右邊當(dāng)時，考慮左邊右邊所證恒等式成立再證必要性：①②①②可得：兩邊同時乘以得：③同理：④③-④可得：為等差數(shù)列小煉有話說：（1）本題證明等差數(shù)列所用的是等差中項的方法，此類方法多在數(shù)列中存在三項關(guān)系時使用（2）在充分性的證明中連續(xù)用到了構(gòu)造新式并相減的方法，這也是變形遞推公式的方法之一，當(dāng)原遞推公式難以變形時，可考慮使用這種方法構(gòu)造出新的遞推公式，尤其遞推公式的一側(cè)是求和形式時，這種方法可以消去大量的項，達到化簡遞推公式的目的。例9：若數(shù)列的各項均為正數(shù)，（為常數(shù)），且（1）求的值（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列解：（1）令，則有①令，則有②①②可得：（2）思路：所給的遞推公式中含有，而且原遞推公式也很