結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)-單自由度振動(dòng)1

DynamicsofStructuresProf.LanheWuShijiazhuangTiedaoUniv.共四十九頁(yè)第二章單自由度體系(tǐxì)的振動(dòng)本章重點(diǎn)：建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程的幾種方法無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性及規(guī)律有阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性及規(guī)律等效剛度和等效質(zhì)量(zhìliàng)的概念單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的特性本章難點(diǎn)：建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程的幾種方法求解固有頻率的能量法結(jié)構(gòu)動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力的計(jì)算共四十九頁(yè)§2.1運(yùn)動(dòng)(yùndòng)方程的建立一、利用(lìyòng)D’Alembert原理1.剛度法m運(yùn)動(dòng)方程慣性力m形式上的平衡方程剛度系數(shù)y(t)mF(t)1取質(zhì)體為研究對(duì)象，實(shí)質(zhì)是質(zhì)體的動(dòng)平衡方程共四十九頁(yè)剛度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向(zhènɡxiànɡ)加慣性力；2.求系統(tǒng)發(fā)生位移y時(shí)的恢復(fù)力；3.令慣性力、恢復(fù)力和體系外力之和為零。2.柔度法mF(t)y(t)取彈性結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，將系統(tǒng)的位移y看作是由慣性力和系統(tǒng)外力(wàilì)共同產(chǎn)生的。實(shí)質(zhì)是彈性元件的協(xié)調(diào)方程。F(t)y(t)柔度系數(shù)共四十九頁(yè)二、Lagrange方程(fāngchéng)mF(t)y(t)代入Lagrange方程(fāngchéng)同樣可得三、Hamilton原理共四十九頁(yè)由分部積分(jīfēn)并考慮到y(tǒng)的變分在積分的上下限為零,得到故由并考慮(kǎolǜ)到y(tǒng)變分的任意性,有共四十九頁(yè)例.列出運(yùn)動(dòng)(yùndòng)微分方程mEIlEIl1解.用剛度(ɡānɡdù)法例

建立圖示體系的運(yùn)動(dòng)方程m2mlllkAy(t)2y(t)3y(t)共四十九頁(yè)mEIl/2EIl/2例.列出運(yùn)動(dòng)(yùndòng)微分方程解.仍用剛度(ɡānɡdù)法所以有此時(shí)干擾力與慣性力不在同一直線上,不能直接列出動(dòng)平衡方程.可采用附加鏈桿并令其反力為零的辦法其中實(shí)際上是把荷載等效到了質(zhì)體上共四十九頁(yè)例、列運(yùn)動(dòng)(yùndòng)微分方程解.mEIlEIl=1l用柔度法整理(zhěnglǐ)得共四十九頁(yè)=1lmEIlEIl/2l/21l/4例、列運(yùn)動(dòng)(yùndòng)微分方程解.用柔度法代入得整理(zhěnglǐ)共四十九頁(yè)解:用柔度法整理(zhěnglǐ)得mEIl/2l/2例、設(shè)簡(jiǎn)支梁支座有豎向位移,列運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)處除有剛體位移之外,還會(huì)產(chǎn)生變形位移設(shè)變形位移為用剛度(ɡānɡdù)法共四十九頁(yè)llEIm例

建立圖示體系(tǐxì)的運(yùn)動(dòng)方程AB用剛度(ɡānɡdù)法思考：請(qǐng)你用柔度法建立該結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程。共四十九頁(yè)?10.3.5

共四十九頁(yè)?10.3.7

共四十九頁(yè)?10.3.8

共四十九頁(yè)以質(zhì)量塊的靜力平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,為振動(dòng)時(shí)的位移參量,為彈簧的靜變形。重力(zhònglì)的影響所有的無(wú)阻尼(zǔní)單自由度系統(tǒng)均可以簡(jiǎn)化為下圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)共四十九頁(yè)考慮質(zhì)量(zhìliàng)塊的平衡，利用動(dòng)靜法或Newton第二定律有于是，系統(tǒng)(xìtǒng)的動(dòng)力平衡方程為可以看到：如果以靜力平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),所建立的動(dòng)力平衡方程與重力沒(méi)有任何關(guān)系。系統(tǒng)的位移實(shí)際上只是有一個(gè)平移而已。共四十九頁(yè)§2.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由(zìyóu)振動(dòng)靜平衡位置m獲得初位移y

m獲得初速度自由(zìyóu)振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻受到外界的激勵(lì)。研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性在于：1.它代表了許多實(shí)際工程問(wèn)題，如水塔、單層廠房等。2.它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性。要解決的問(wèn)題包括：求解運(yùn)動(dòng)方程、計(jì)算自振頻率、周期共四十九頁(yè)一.運(yùn)動(dòng)(yùndòng)方程及其解系統(tǒng)的動(dòng)力(dònglì)平衡方程為引入?yún)?shù)上述微分方程可以寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式其通解為其中，和為待定常數(shù)。設(shè)在初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的初始位移和速度分別為將初始條件代入系統(tǒng)位移和速度表達(dá)式,可以確定有關(guān)系數(shù)共四十九頁(yè)于是方程(fāngchéng)滿足上面初始條件的解為其中(qízhōng)在得到位移之后,便可以輕松得到系統(tǒng)的速度和加速度等其它物理量,此處略去.振幅初相位可以看到,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng).其位移時(shí)程曲線為共四十九頁(yè)二.周期(zhōuqī)和頻率由式及上面的曲線可見(jiàn):位移方程是一個(gè)(yīɡè)周期函數(shù)。共四十九頁(yè)工程中常使用工程頻率，它與固有周期和固有頻率的關(guān)系為周期(zhōuqī)為其中(qízhōng)圓頻率(角頻率)頻率和周期的討論:1.只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與外界干擾無(wú)關(guān)；2.Ｔ與m的平方根成正比，與k成反比；3.是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。共四十九頁(yè)三.自振頻率和周期(zhōuqī)的計(jì)算(1)利用(lìyòng)計(jì)算公式(2)利用機(jī)械能守恒便可求得利用能量法可以求出復(fù)雜系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度.即選定廣義坐標(biāo)之后寫出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能,整理之后必然可以寫為其中和即為系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度。共四十九頁(yè)等效(děnɡxiào)質(zhì)量等效(děnɡxiào)剛度有時(shí)也可以直接利用這個(gè)定義求出等效質(zhì)量和等效剛度再利用公式求固有頻率(3)利用振動(dòng)規(guī)律位移與慣性力同頻同步幅值方程共四十九頁(yè)例.求圖示體系的自振頻率(pínlǜ)和周期.mEIlEIl=1=1ll/2l解:共四十九頁(yè)例.求圖示體系(tǐxì)的自振頻率.=1解:mEIllm/2EIEIll例.質(zhì)點(diǎn)重W,求體系(tǐxì)的頻率.解:EIkl1k共四十九頁(yè)?10.4.5

共四十九頁(yè)?10.4.6

共四十九頁(yè)?10.4.7

共四十九頁(yè)IIEI1=

mhk例.計(jì)算(jìsuàn)圖示剛架的頻率。由截面(jiémiàn)平衡例.求圖示體系的自振頻率.解:mlmmlllkk1.能量法共四十九頁(yè)也可以求等效質(zhì)量(zhìliàng)和等效剛度求等效質(zhì)量和等效剛度(ɡānɡdù)時(shí),還可以利用定義A令角加速度等于1,各質(zhì)點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生如圖所示的慣性力,由平衡條件得共四十九頁(yè)令角位移等于(děngyú)1,各彈簧會(huì)產(chǎn)生如圖所示的彈性力,由平衡條件得A2.列幅值方程(fāngchéng)A共四十九頁(yè)例題：圖示一質(zhì)量均勻分布、長(zhǎng)度為、彈性系數(shù)為的彈簧帶有質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，彈簧材料的線密度為，試求該系統(tǒng)自由振動(dòng)的基頻，并計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量。整個(gè)系統(tǒng)(xìtǒng)的總動(dòng)能為為彈簧的總質(zhì)量解：假定彈簧(tánhuáng)的變形與離固定點(diǎn)的距離成正比設(shè)彈簧端點(diǎn)處的位移為則振動(dòng)時(shí)點(diǎn)處的位移為得到彈簧的總動(dòng)能為共四十九頁(yè)彈簧的勢(shì)能與彈簧的質(zhì)量(zhìliàng)無(wú)關(guān)，仍為導(dǎo)出考慮彈簧質(zhì)量(zhìliàng)的系統(tǒng)固有頻率為1θ例、求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。解法1：求剛度klhmI→∞EIBAC1h解法2：求柔度共四十九頁(yè)對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)(jiégòu)一般計(jì)算柔度系數(shù)方便。如果讓振動(dòng)體系沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn)都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)（如橫梁剛度為∞剛架)計(jì)算剛度系數(shù)方便.§2.3有阻尼(zǔní)系統(tǒng)的自由振動(dòng)一.阻尼與阻尼力阻尼:使振動(dòng)衰減的作用.產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi)摩擦；周圍介質(zhì)的阻力.c-----阻尼系數(shù)粘滯阻尼理論假定阻尼力的大小與速度成正比，方向與速度相反。共四十九頁(yè)各項(xiàng)除以，寫成標(biāo)準(zhǔn)形式其中(qízhōng)其中為無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率二.阻尼(zǔní)自由振動(dòng)

1.運(yùn)動(dòng)方程及其解振幅衰減系數(shù)令稱為阻尼比動(dòng)力學(xué)方程可寫為標(biāo)準(zhǔn)形式共四十九頁(yè)代入動(dòng)力學(xué)方程(fāngchéng)，導(dǎo)出本征方程(fāngchéng)為(1)欠阻尼狀態(tài)方程(fāngchéng)的通解為阻尼振動(dòng)的固有頻率其中，和為待定常數(shù)，由初始條件確定共四十九頁(yè)或其中(qízhōng)則有阻尼振動(dòng)(zǔnízhèndònɡ)的周期其中，為無(wú)阻尼振動(dòng)的周期，顯然有共四十九頁(yè)由于阻尼作用引起的能量消耗，系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)檎穹粩噙f減的衰減(shuāijiǎn)振動(dòng)。系統(tǒng)響應(yīng)的位移時(shí)程曲線見(jiàn)右圖相鄰兩個(gè)(liǎnɡɡè)振幅的比值為常數(shù)，稱作縮減系數(shù)，記為tx低阻尼x-t曲線實(shí)際計(jì)算時(shí)常利用對(duì)數(shù)減縮代替減縮系數(shù)或阻尼比共四十九頁(yè)過(guò)若干個(gè)周期后的振幅減縮(jiǎnsuō)系數(shù)為

測(cè)得若干周期后的振幅(zhènfú),然后用上式可求得系數(shù),并進(jìn)而求得阻尼比和阻尼系數(shù)EI=∞m例、圖示一單層建筑物的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計(jì)為m，加一水平力P=9.8kN，測(cè)得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。在測(cè)得周期T=1.5s及一個(gè)周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。9.8kN共四十九頁(yè)解：=wxk2=wxmc2=wwxm22例:

對(duì)圖示體系作自由振動(dòng)(zhèndòng)試驗(yàn).用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開(kāi)始作自由振動(dòng).經(jīng)4周期,用時(shí)2秒,振幅降為1cm.2cm求:阻尼比,剛度系數(shù),無(wú)阻尼周期,重量(zhòngliàng),阻尼系數(shù),若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比為多少共四十九頁(yè)3.無(wú)阻尼(zǔní)周期4.重量(zhòngliàng)5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg,體系的周期和阻尼比為多少2.剛度系數(shù)解:1.阻尼比共四十九頁(yè)(2)為過(guò)阻尼狀態(tài)由此可見(jiàn),此時(shí)系統(tǒng)(xìtǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為:共四十九頁(yè)(3)為過(guò)臨界狀態(tài)由此可見(jiàn),此時(shí)(cǐshí)系統(tǒng)的響應(yīng)仍然為:其響應(yīng)的曲線(qūxiàn)與過(guò)臨界時(shí)類似.共四十九頁(yè)此時(shí)的阻尼(zǔní)系數(shù)稱作臨界阻尼(zǔní)系數(shù).由于(yóuyú)及故除粘性阻尼外，系統(tǒng)還存在其它類型的阻尼，工程中常將這類非粘性阻尼簡(jiǎn)化為等效粘性阻尼，使前面對(duì)粘性阻尼的分析結(jié)果有更廣的適用范圍。等效的原則是令非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量與等效粘性阻尼在同一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量相等.

三.等效粘性阻尼

系統(tǒng)在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量可以近似地利用無(wú)阻尼振動(dòng)規(guī)律。共四十九頁(yè)討論(tǎolùn)以下幾種非粘性阻尼：（1）干摩擦(mócā)阻尼干摩擦阻尼遵循庫(kù)倫定律干摩擦系數(shù)共四十九頁(yè)（2）平方(píngfāng)阻尼在低粘度流體中以較大速度運(yùn)動(dòng)的物體，阻力(zǔlì)接近于與速度的平方成正比，與運(yùn)動(dòng)方向相