高中數(shù)學試題：數(shù)學歸納法1

數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法

[1]第一數(shù)學歸納法

一般地，證明一個與正整數(shù)〃有關(guān)的命題p(〃)時,有如下步驟：

⑴證明當〃取第一個值々時命題p(〃)成立；

(2)假設當71=%(%?%)時命題P(/l)成立,并在此基礎(chǔ)上,當71=Z+1時命題也成立.

[2]第二數(shù)學歸納法

對于某個與自然數(shù)"有關(guān)的命題P(〃),有如下步驟：

(1)驗證〃=々時P(")成立；

(2)假設々時P(〃)成立,并在此基礎(chǔ)上,推出P(Z+1)成立.

綜合⑴(2)對一切自然數(shù)〃(〃》4),命題P(〃)都成立.

1.設數(shù)列｛”“｝滿足q=2,。用=an+—,(n=l,2,3...)

證明an>J2”+1對一切正整數(shù)n成立；

證法一：當〃=1時,%=2〉72x1+1,不等式成立.

假設〃=左時,a*>J2k+1成立

當”=左+1時，

,11

。女7+1=H——+2>2k+3H——>2(左+1)+1.

akak

n=k+1時,a.>,2(左+1)+1時成立

綜上由數(shù)學歸納法可知，4>J2-+1對一切正整數(shù)成立.

22.(本小題滿分12分)

己知數(shù)歹！J{aj中國=2,a?+i—(血-1)(a0+2),n—1,2,3…。

(I)求仿“}的通項公式；

一3b+4

(II)若數(shù)歹！J{4}中從=2,bn+i=------，n=l,2,3,--?,證明:

2a+3

V2<bn<a4n_3,n=l,2,3…。

22.解：

(I)由題設：

%=(0—1)(%+2)

=(V2-l)(a?-V2)+(V2-l)(2+V2)

=(V2-l)(a?-V2)+V2,

%-0=(夜-1)(4-揚。

所以，數(shù)列｛%,-后｝是首項為2-JI,公比為友-1的等比數(shù)列,

-72=72(72-1)\

即?！暗耐椆綖?=應[(后—1)"+斗n=l,2,3……。

(II)用數(shù)學歸納法證明。

(i)當n=l時，因y[2<2,bi=ai=2,所以

\[2<bl^al,結(jié)論成立。

(ii)假設當n=k時,結(jié)論成立，即血<久<。4"3，

也即0<bk-41W—亞。

當n=k+l時，

%「忘="-后

=(3-2回瓦+(4-3偽

―2b~^

(3-2后)(4-/)、八

—>U，

2%+3

又一--<——=3-272,

24+32V2+3

所以…=w

2bk+3

v(3-2夜了電-石

W(A/2—I)4(。4"3-血)

=〃4左+1-夜°

也就是說，當n=k+l時，結(jié)論成立。

根據(jù)(i)和(ii)知J2<bnW%—‘H=1,2,3,…。

2

22.(本題14分)已知數(shù)列{%},盤巳0,q=0,an+^+an+i-1=6in(nGN').

記：Sn=q+a?++c1n.

求證：當〃wN*時，

(I)an<an+1；

(IDS“〉〃-2；

22.本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時

考查邏輯推理能力.滿分14分.

(I)證明：用數(shù)學歸納法證明.

①當〃=1時，因為%是方程/+工一1=。的正根，所以4<%.

②假設當〃=左(左eN*)時，ak<ak+i,

因為%-a：=(。/+a/T)-(如+:+a*+iT)

=(W+2-4+1)(W+2+ak+i+1)，

所以久+1<以+2?

即當〃=左+1時，an<4+i也成立.

根據(jù)①和②，可知?<%+i對任何〃wN*都成立.

(II)證明：由以+：+%+]—1=〃/,左=1,2,，八一1(〃22),

得a；+(%+/++%)—("—1)=.

因為％=0,所以S〃=〃—1—

2

由%<an+l及an+l=1+a；-2an+1<1得<1,

所以S,,>n-2.

(jN

3W+2+52?+In)能被14整除.

(377+1)-7'-1(/7G.N)能被9整除.

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