初中數(shù)學(xué)考點(diǎn)大全

實(shí)數(shù)的概念及分類

「正有理數(shù)1

「有理數(shù)1零U有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)

JL負(fù)有理數(shù)」

實(shí)數(shù):

「正無(wú)理數(shù)、

I無(wú)理數(shù),r無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

一負(fù)無(wú)理數(shù),

無(wú)理數(shù)歸納起來(lái)有三類：（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如s,正等；

TT

（2）JI或含有Ji的數(shù)，如—+8等；

3

（3）無(wú)限不循環(huán)小數(shù),如0.1010010001…等。

實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值

1、相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零；從數(shù)軸上看，互

為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,反之亦

成立。

2、絕對(duì)值：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；零的絕對(duì)值是它本身；

若|a|=a,則a?0；若|a|=—a,則aWO。

3、倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立；倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1；

零沒(méi)有倒數(shù)。

平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）；

一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；正數(shù)a的平方

根記做“土石”。

2、算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“右”；零的算術(shù)平

方根是零。

3、立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方

根）；一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：廣=-必，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)

1、有效數(shù)字：從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這

個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

2、用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)絕對(duì)值極大數(shù)時(shí)寫(xiě)做“土ax10"”的形式，其中l(wèi)Wa<10,n

等于整數(shù)位數(shù)減1;用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)絕對(duì)值極小數(shù)時(shí)寫(xiě)做“土axlO"”的形式，其中

l<?<10,n表示第一個(gè)非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù)。

實(shí)數(shù)大小的比較

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸；實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一

對(duì)應(yīng)的。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法：

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，a-b>O<i^a>b,a-b=Ooa=b,

a-b<Ooa<b。

(3)負(fù)數(shù)V0(正數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，絕對(duì)值小的反而大。

實(shí)數(shù)的運(yùn)算

力口法交換律：a+b=b+a力口法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換

律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法對(duì)加法的分配律：a(b+c)=ab+ac

實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

整式的有關(guān)概念

單項(xiàng)式：只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式；單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單

項(xiàng)式；單項(xiàng)式中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如-4』/匕，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫(xiě)成—上小人

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一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如-5a3b2c是6次單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

多項(xiàng)式

多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中

不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)；幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)

也是同類項(xiàng)。

去括號(hào)法則：

(1)括號(hào)前是“+”，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變號(hào)；

(2)括號(hào)前是“-”，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都變號(hào)。

整式的乘法：am?a"=d+"(根,"都是正整數(shù))S)"=*(祇，〃都是正整數(shù))

(ab)"=(〃都是正整數(shù))(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=+2ab+Z?"

(a—b)2=a2-2ab+b2整式的除法：/"=產(chǎn)"(肛，都是正整數(shù),"0)

a°=1((7豐0)',a~p=——(tz/0,p為正整數(shù))

ap

因式分解

因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫

做分解因式。

因式分解的常用方法：(1)提公因式法：ab+ac=a(b+c}

(2)運(yùn)用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；

a2-2ab+b2=(a-b)2o

(3)分組分角星法：ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+(/)=((?+b)(c+d)

(4)十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步驟：(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；

(2)在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可

以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4

項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式。

(3)分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。

分式

分式的概念：分母中含有字母的式子叫做分式(分式和整式通稱為有理式)。

分式有意義的條件：分母不等于0；分式無(wú)意義的條件：分母等于0；分式值為零的

條件：分子等于0且分母不等于0。

分式的性質(zhì)：

(1)分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。

(2)分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

分式的運(yùn)算法則：^x-=—==—;(3)"=《s為整數(shù))；

bdbdbdbebebbn

a,ba±ba.cad±be

—±—=------;—±—=----------

cccbdbd

二次根式

二次根式：形如〃"(a20)的式子叫做二次根式，二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)a大

于等于0。

最簡(jiǎn)二次根式：被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二

次根式。

分母有理化：①分子分母乘以同一個(gè)根式；

②利用平方差公式。

同類二次根式：被開(kāi)方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。

二次根式的性質(zhì)：

(1)(Va)2=?((?>0)

(2)4ab=4a?4b(a>0,Z?>0)

(3)>Q,b>Q)

二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的

先算括號(hào)里面的。

一元一次方程的概念

方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。方程的解：能使方程兩邊相等的未知數(shù)的

值叫做方程的解。

等式的性質(zhì)：

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。

一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一

次方程；

一元二次方程

一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次

方程。

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=Q（a^O）,其中以？叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)

系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

一元二次方程的解法

1、直接開(kāi)平方法：適用于解形如（x+a）?=b的一元二次方程。

2、配方法：

①先把二次項(xiàng)系數(shù)化1;

②兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使得左邊構(gòu)成完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)；

③兩邊開(kāi)平方得方程的解。

3、公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式：

-b+J/-4ac,,.、八、

x=-------------（b-2-4ac>0）

2a

4、因式分解法：利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解

一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程根的判別式

根的判別式：一元二次方程以2+以+。=0（。片0）中，/—4℃叫做根的判別式，通常用

“A”來(lái)表示，即A=4ac；A>0方程有兩個(gè)不等的實(shí)根；A=0方程有兩個(gè)相等的

實(shí)根；AV0方程沒(méi)有實(shí)根。

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程ax?+bx+c=0（aw0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是Xpx2,那么看十9二——，=-o

a~a

分式方程

分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。解分式方程的思想是將“分式

方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”，它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母；

（2）解所得的整式方程；

（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，原方程無(wú)解；若不等于

零，就是原方程的根；

分式方程的特殊解：法換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，

當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。

二元一次方程組

二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次

方程。

二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一

次方程的一個(gè)解；二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解。

二元一次方程組：兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次

方程組；二元一次方程組有唯一解或無(wú)數(shù)個(gè)解（兩個(gè)方程能互相轉(zhuǎn)化時(shí)）。

二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)

的值，叫做二元一次方程組的解。

二元一次方程組的解法：（1）代入法（2）加減法。

不等式的概念

不等式:用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解

的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集。

不等式基本性質(zhì)

不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；

不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

一元一次不等式

一元一次不等式：不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是L且不等式的兩邊都

是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式；

解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）將x項(xiàng)的系數(shù)化為1。

一元一次不等式組

一元一次不等式組：幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。

幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集。

一元一次不等式組的解法：

（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。

-1

平均數(shù)：一般地，如果有〃個(gè)數(shù)看,％2,…,X"，那么，X=—（芭+%2+…+X"）叫做這n個(gè)

n

數(shù)的平均數(shù)，最讀作“X拔”。

加權(quán)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)中，西出現(xiàn)力次，聲出現(xiàn)當(dāng)次，…，/出現(xiàn)人次（這里

力+%+…/=〃），那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為

-=xj]+x2f2+-xkfk；這樣求得的平均數(shù)最叫做加權(quán)平均數(shù)，其中力,當(dāng),…，人叫做權(quán)。

統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾個(gè)基本概念

總體：所有考察對(duì)象的全體叫做總體。個(gè)體：總體中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)

體。

樣本：從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本容量：樣本中個(gè)體的

數(shù)目叫做樣本容量。

眾數(shù)、中位數(shù)

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)

據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

方差：通常用“I”表示方差，即/=」（/一x）2+（%2—才+...+（%—.

n

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用“S”表示，即

S=dS~=J—[（%j—X）'+（%2—X）2+---1-（X"—X）2]

\n

方差或標(biāo)準(zhǔn)差的值反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和波動(dòng)情況，方差或標(biāo)準(zhǔn)差的值越小說(shuō)明穩(wěn)定

性好，波動(dòng)小。

頻率分布

研究樣本的頻率分布的一般步驟是：

①計(jì)算極差（最大值與最小值的差）；

②決定組距與組數(shù)；③決定分點(diǎn)；

④列頻率分布表；⑤畫(huà)頻率分布直方圖。

頻率分布的有關(guān)概念：

①極差：最大值與最小值的差；

②②頻數(shù)：落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù);

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)(樣本容量n)的比值叫做這一小組的頻率。

確定事件和隨機(jī)事件

必然事件：在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件。

不可能事件：有的事件在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事件。

必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定事件。隨機(jī)事件：可能發(fā)生也可能不放聲的事件,

稱為隨機(jī)事件。

概率的意義與表示方法

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率巴會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么

m

這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率。

一般地，用英文大寫(xiě)字母A,B,C,…表示事件，事件A的概率可記為P(A)=P。

確定事件和隨機(jī)事件的概率之間的關(guān)系

(1)當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時(shí)，P(A)=1；

(2)當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時(shí)，P(A)=0；

(3)當(dāng)A是隨機(jī)發(fā)生的事件時(shí)，0VP(A)<10

古典概型

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件

A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=-

列表法求概率

1、列表法：用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的應(yīng)用場(chǎng)合當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，

為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。

樹(shù)狀圖法求概率

1、樹(shù)狀圖法：就是通過(guò)列樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做

樹(shù)狀圖法。

2、運(yùn)用樹(shù)狀圖法求概率的條件：當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不

方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率。

利用頻率估計(jì)概率

利用頻率估計(jì)概率：在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率

逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)，可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率。

平面直角坐標(biāo)系

1、平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角

坐標(biāo)系；其中水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，

取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)0(即公共的原點(diǎn))叫做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)

系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，分

別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：X軸和y軸上的點(diǎn)，不屬

于任何象限。

2、點(diǎn)的坐標(biāo)用(a,b)表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開(kāi)，

橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)awb時(shí)，(a,b)和(b,a)

是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。

不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：點(diǎn)P(x,y)在第一象限ox〉0,y〉0；點(diǎn)P(x,y)在第二

象限=x<0,y>0；

點(diǎn)P(x,y)在第三象限ox<0,y<0；點(diǎn)P(x,y)在第四象限ox>0,y<0；

2、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征：

點(diǎn)P(x,y)在x軸上oy=0,x為任意實(shí)數(shù);點(diǎn)P(x,y)在y軸上ox=0,y為任意實(shí)

數(shù)。

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上u>x,y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)。

3、點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上ox與y相等；

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上ox與y互為相反數(shù)。

4、平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

5、點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱o橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱o縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；

點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱o橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)。

6、P(x,y)到x軸的距離等于N；點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于忖；點(diǎn)P(x,y)到原

點(diǎn)的距離等于。

函數(shù)及其相關(guān)概念

在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定

的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。

函數(shù)解析式：用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

函數(shù)的三種表示法：(1)解析法(2)列表法(3)圖像法

由函數(shù)解析式畫(huà)其圖像的一般步驟：(1)列表(2)描點(diǎn)(3)連線

正比例函數(shù)和一次函數(shù)

一般地，如果y=+b(k,b是常數(shù)，kwO),那么y叫做x的一次函數(shù)；

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=fcr+b中的b為。時(shí)，y=kx(k為常數(shù)，kwO)。這時(shí)，y叫做

x的正比例函數(shù)；

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線。

一般地，正比例函數(shù)y=Ax有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k〉0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；

(2)當(dāng)k〈0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。

一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k〉0時(shí)，y隨x的增大而增大；

(2)當(dāng)k〈0時(shí)，y隨x的增大而減小。

正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定：確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定

義式y(tǒng)=fcr(kwO)中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(ky：0)

中的常數(shù)k和b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。

反比例函數(shù)

一般地，函數(shù)y=&(k是常數(shù)，kwO)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以

X

寫(xiě)成y=的形式。自變量X的取值范圍是XH0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非

零實(shí)數(shù)。

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第

二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量XHO,函數(shù)行0,所以，它的圖

像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)。

反比例函數(shù)的性質(zhì)：

①當(dāng)k〉0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大

而減?。?/p>

②當(dāng)k〈0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大

而增大。

注意：過(guò)反比例函數(shù)y=&(左/0)圖像上任一點(diǎn)作x軸和y軸的垂線，兩個(gè)垂足，原點(diǎn)，

X

該點(diǎn)圍成矩形的面積等于Ik|；過(guò)反比例函數(shù)y=&(kwO)圖像上任一點(diǎn)作x軸或y軸的垂

X

線，垂足，原點(diǎn)，該點(diǎn)圍成三角形的面積等于/2；

二次函數(shù)

一般地，形如,=以2+以+°(凡兒。是常數(shù)，a/0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)；其中x是自

變量，a,b,c分別是二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

二次函數(shù)必須滿足的條件：

①(化簡(jiǎn)后)自變量的最高次數(shù)是2；

③自變量的系數(shù)不等于0;

④③分母不含自變量。

二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，拋物線的三要素是開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。

二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn).

二次函數(shù)的一般形式：y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aw0)

①當(dāng)。＞0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)。＜0時(shí)，開(kāi)口向下；

②頂點(diǎn)是竺式），對(duì)稱軸是直線》=上

2a4a2a

2

③當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)有最小值即當(dāng)x=—2時(shí),_4ac-b

ymin

2a4〃

h2

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)有最大值即當(dāng)x=-2時(shí)，y4ac-b

max一o

2a4。

二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式：y=a（x—h）2+k（a,h,k是常數(shù)，aWO）

①當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)。<0時(shí)，開(kāi)口向下；

②頂點(diǎn)是（h,k），對(duì)稱軸是直線*=匕

③當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)有最小值即當(dāng)x=h時(shí)，ymin=k

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)有最大值即當(dāng)x=h時(shí)，ymax=k

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

一般式：y=ax2+bx+c,已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式。

頂點(diǎn)式：y=a（x-hf+k,已知圖像的頂點(diǎn)（或?qū)ΨQ軸，最值）通常選擇頂點(diǎn)式。

交點(diǎn)式y(tǒng)=。（％-再）（%-%）,已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（再，0）,（x2,0）通常

選用交點(diǎn)式。

二次函數(shù),=以2+/+。中，。也°的作用：

1、a決定開(kāi)口方向：a>0開(kāi)口向上，a<0開(kāi)口向下；

2、匕和。共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置：“左同右異”對(duì)稱軸在y軸左側(cè)時(shí)a、。同號(hào)；對(duì)

稱軸在y軸右側(cè)時(shí)。、匕異號(hào)；。=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；

3、c的大小決定拋物線y=a/+bx+c與y軸交點(diǎn)的位置：c>0,與y軸交于正半軸；

c<0,與y軸交于負(fù)半軸；c=0,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

注：lai越大，拋物線開(kāi)口越小；Ia|越小，拋物線開(kāi)口越大。

二次函數(shù)的平移：函數(shù)要平移，先化頂點(diǎn)式，“上加下減，左加右減”。

二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與x軸的交點(diǎn)：令y=0,算出x,寫(xiě)成點(diǎn)的坐標(biāo)形式；

與y軸的交點(diǎn)：令x=0,算出y,寫(xiě)成點(diǎn)的坐標(biāo)形式。

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c對(duì)應(yīng)的一■元二次方程是ax2+bx+c=Q（aWO）

①函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)ob2-4ac>0。方程有兩個(gè)不相等的解；

②函數(shù)與X軸有一個(gè)交點(diǎn)ob2—4ac=0o方程有兩個(gè)相等的解；

③函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)<=>b2—4ac<0o方程無(wú)實(shí)數(shù)解；

拓展：函數(shù)與x軸有交點(diǎn)今護(hù)一4ac20o方程有實(shí)數(shù)解。

注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax?+Z?x+c=0（aWO）的

解。

注：拋物線上任一組對(duì)稱點(diǎn)（關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)），到對(duì)稱軸的距離相等。

點(diǎn)、線、面、體

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地

方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡(jiǎn)稱體。點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)

成面，面動(dòng)成體。

直線的性質(zhì)：

（1）直線公理：經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：過(guò)兩

點(diǎn)有且只有一條直線。

（2）過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條。

（3）直線是是向兩方面無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。

（4）直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。

（5）兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)。

線段的性質(zhì)：

（1）線段公理：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。也可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間線段最短。

（2）連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

（3）線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。

（4）線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

角

角的相關(guān)概念：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn),

這兩條射線叫做角的邊。

當(dāng)角的兩邊在一條直線上時(shí)，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的

余角。

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的

補(bǔ)角。

角的表示：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl,Z2,N3等。

②用小寫(xiě)的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如Na,NB,ZY,NO等。

③用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如NB,NC等。

④用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示任一個(gè)角，如NBAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫(xiě)在中間，邊上的字母寫(xiě)在兩

側(cè)。

角的性質(zhì)：

（1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

（2）角的大小可以度量，可以比較；

（3）角可以參與運(yùn)算。

角的平分線及其性質(zhì)：

一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

角平分線的性質(zhì)：

（1）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

（2）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

相交線

兩條直線相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)

但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的

四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角。\

鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等。------B

直線AB,CD與EF相交（或者說(shuō)兩條直線AB,CD被第三條直線3一七

EF所截），構(gòu)成八個(gè)角。其中N1與N5這兩個(gè)角分別在AB,CD的上工廠曝°

方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角；N3―17

與N5這兩個(gè)角都在AB,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的0F

兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；N3與N6在直線AB,CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角

叫做同旁內(nèi)角。

垂線：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。

其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足；直線AB,CD互相垂直，記作

“ABLCD”（或“CD_LAB”），讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。

平行線：在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；平行用符號(hào)表示，如

“AB〃CD”，讀作“AB平行于CD”。同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交

或平行。

注意：（1）平行線是無(wú)限延伸的，無(wú)論怎樣延伸也不相交。

（2）當(dāng)遇到線段、射線平行時(shí)，指的是線段、射線所在的直線平行。

平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

平行線的兩條判定定理：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同位角相

等，兩直線平行。

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相

等，兩直線平行。

（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)

角互補(bǔ)，兩直線平行。

補(bǔ)充平行線的判定方法：（1）平行于同一條直線的兩直線平行。

（2）垂直于同一條直線的兩直線平行。

平行線的性質(zhì)：

（1）兩直線平行，同位角相等。

（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

命題、定理、證明

判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。

命題的定義包括兩層含義：

（1）命題必須是個(gè)完整的句子；

（2）這個(gè)句子必須對(duì)某件事情做出判斷。

「真命題（正確的命題）

命題Y

I假命題（錯(cuò)誤的命題）

所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。

所謂錯(cuò)誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。

公理：人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。

定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

投影與視圖

投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。

平行投影：由平行光線（如太陽(yáng)光線）形成的投影稱為平行投影。

中心投影：由同一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。

當(dāng)我們從某一角度觀察一個(gè)實(shí)物時(shí)，所看到的圖像叫做物體的一個(gè)視圖，物體的三視圖

特指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。

俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。

左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時(shí)也叫做側(cè)視圖。

三角形

三角形的概念：由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組

成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。

三角形中的主要線段：

（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做

三角形的角平分線。

（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)

稱三角形的高）。

三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在

生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

三角形用符號(hào)“A”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三角形ABC”。

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

「不等邊三角形

三角形《C底和腰不相等的等腰三角形

I等腰三角形《

I等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如下:

「直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）

三角形1「銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）

I斜三角形一

I鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍角的三角形）

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形；它是兩條直角邊

相等的直角三角形。

三角形的三邊關(guān)系定理及推論：

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之

差小于第三邊。

三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形。

②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。

推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。

③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。

三角形的面積=工X底X高

2

全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做

對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩

角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角。

全等三角形的表示和性質(zhì)：

全等用符號(hào)“等”表示，讀作“全等于"。如aABC烏ZXDEF,讀作“三角形ABC全等于

三角形DEF”。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。

三角形全等的判定：

（1）邊角邊定理:有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”

或“SAS”）

（2）角邊角定理:有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”

或“ASA”）

（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）o

直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成

“斜邊、直角邊”或“HL”）

全等變換：只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。

（2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180。，這種變換叫做對(duì)稱變換。

（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

等腰三角形

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、

底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等

邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一

半。

三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

四邊形的相關(guān)概念

四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。

凸四邊形：把四邊形的任一邊向兩方延長(zhǎng)，如果其他個(gè)邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，

這樣的四邊形叫做凸四邊形。

對(duì)角線：在四邊形中，連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做四邊形的對(duì)角線。

四邊形的不穩(wěn)定性

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360。。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：11邊形的內(nèi)角和等于（〃「2）?180°；

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

多邊形的對(duì)角線條數(shù)的計(jì)算公式：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則多邊形的對(duì)角線條數(shù)為

n（n-3）

平行四邊形

平行四邊形的概念：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

平行四邊形用符號(hào)“二BCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“二BCD”，讀作“平行四

邊形ABCD”。

平行四邊形的性質(zhì)：

（1）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；

（2）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；

（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

平行四邊形的判定：

（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（4）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（5）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條平行線的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做

這兩條平行線的距號(hào)；平行線間的距離處處相等。平行四邊形的面積:

s平行四邊形二底邊長(zhǎng)X高。

矩形

矩形的概念：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。

矩形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

（2）矩形的四個(gè)角都是直角；

（3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分；

（4）矩形是軸對(duì)稱圖形。

矩形的判定：

（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。矩形的面積：S矩祈長(zhǎng)X寬

菱形

菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

菱形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

（2）菱形的四條邊相等；

（3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

（4）菱形是軸對(duì)稱圖形。

菱形的判定：

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）四邊都相等的四邊形是菱形；

（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

菱形的面積：S菱形=底邊長(zhǎng)乂高=兩條對(duì)角線乘積的一半。

正方形

正方形的概念：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

正方形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；

（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；

（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

正方形的判定：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等；或先證它是菱形，再證有一個(gè)角

是直角。

正方形的面積：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,對(duì)角線長(zhǎng)為b則S正方萬(wàn)=/=幺。

2

梯形

梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形；梯形中平行的兩邊叫做梯

形的底，通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底；梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰;

梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

r一般梯形

r直角梯形

L特殊梯形

L等腰梯形

等腰梯形的性質(zhì)：

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行；

（2）等腰梯形的對(duì)角線相等；

（3）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，即兩底的垂直平分線。

等腰梯形的判定：

（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；

（2）在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；

（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。

梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

直角三角形的性質(zhì)

直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

勾股定理：直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即°2+方2=。2。

直角三角形的判定

1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系q2+》2=c2,那么這個(gè)三

角形是直角三角形。

銳角三角函數(shù)的概念

如圖，在aABC中，ZC=90°/B

①銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記為sinA,即斜邊/

/岫對(duì)邊

aNB的鄰邊

②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記為cosA,即A

NA的鄰邊

NB的對(duì)邊

③銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記為tanA,即tanA=—

④銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做NA的余切，記為cotA,即cotA=—野生=—

ZA的對(duì)邊a

銳角三角函數(shù)的概念:銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數(shù).

在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中

除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形。

各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

(1)互余關(guān)系：sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A),tanA=cot(90°—A),

cotA=tan(90°一A)

(2)平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1(3)倒數(shù)關(guān)系：tanA*cotA=1

(4)弦切關(guān)系：tanA=包工

cosA

銳角三角函數(shù)的增減性：當(dāng)角度在0°~90。之間變化時(shí)，

(1)正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；

(2)余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。

一些特殊角的三角函數(shù)值:

三角函

0°30°45°60°90°

數(shù)

V|V3

sinQ01

2~T~2

V3V2j_

cosa10

~T~T2

V3

tanQ01百不存在

T

A/3

cotQ不存在VI10

T

圓的相關(guān)概念

在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形

成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段0A叫做半徑。

圓的表示：以點(diǎn)0為圓心的圓記作“。0”，讀作“圓0”

弦、弧等與圓有關(guān)的定義

(1)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中的AB)

(2)直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑等于半徑的2倍。

(3)半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都

叫做半圓。

(4)弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。

弧用符號(hào)…表示，以A,B為端點(diǎn)的弧記作“危”，讀作“圓弧AB”

或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個(gè)字母表

圓的對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；圓是以圓心為對(duì)稱中心的中

心對(duì)稱圖形。

垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理及其推論可概括為：

<過(guò)圓心、

垂直于弦

直徑J平分弦卜知二推三

平分弦所對(duì)的優(yōu)弧

、平分弦所對(duì)的劣弧，

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有

一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

圓周角定理及其推論

1、圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線