2023年湖北鄂州中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

鄂州市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校：考生姓名：準(zhǔn)考證號(hào)：

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共8頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼

粘貼在答題卡上的指定位置.

3.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上無(wú)效.

4.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試卷上無(wú)

效.

5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

??？荚図樌?

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1.10的相反數(shù)是（

A-10

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義直接求解.

【詳解】解：10的相反數(shù)是一10.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.a2a3=a5C.a2-s-a3=a5D.（?2）3=a5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)昂的加法，同底數(shù)昂的乘除法，哥的乘方這些公式進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】A選項(xiàng)，/和/不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；

B選項(xiàng)，々2.03=05,正確，故符合題意;

C選項(xiàng)，a2?a3不正確，故不符合題意;

D選項(xiàng)，（/丫=。6,不正確，故不符合題意.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握同底數(shù)基的加法，同底數(shù)轅的乘除法，哥的乘方這

些運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.中華鮑是地球上最古老的脊椎動(dòng)物之一，距今約有140000000年的歷史，是國(guó)家一級(jí)保護(hù)動(dòng)物和長(zhǎng)江珍

稀特有魚(yú)類(lèi)保護(hù)的旗艦型物種，3月28日是中華鮑保護(hù)日，有關(guān)部門(mén)進(jìn)行放流活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)魚(yú)類(lèi)物種的延續(xù)

并對(duì)野生資源形成持續(xù)補(bǔ)充.將140000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.14xl07B.1.4xl08C.0.14xl09D.1.4xl09

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1＜同＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把

原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值N10時(shí)，〃是正

數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值vl時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】解：140000000=1.4x1（）8

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.

4.下列立體圖形中，主視圖是圓的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】分別得出棱柱，圓柱，圓錐，球體的主視圖，得出結(jié)論.

【詳解】解：棱柱的主視圖是矩形（中間只有一條線段），不符合題意;

圓柱的主視圖是矩形，不符合題意；

圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意；

球體的主視圖是圓，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)精】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

5.如圖，直線CD,GELEF于點(diǎn)、E.若N8GE=60。，則/EFD的度數(shù)是（）

A.60°B.30°C.40°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】延長(zhǎng)GE,與DC交于點(diǎn)M,根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出NKWE的度數(shù)，再直角三角形的兩銳角

互余即可求出NEED.

【詳解】解：延長(zhǎng)GE,與DC交于點(diǎn)M,

?:ABNCD,NBGE=6O0,

???NFME=NBGE=60°,

?；GE工EF,

???^E/D=90°-60°=30°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考杳平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線和正確利用平行線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

6.已知不等式組「一：’,的解集是一1cxvl,則+（）

x+l＜Z?'）

A.0B.-1C.1D.2023

【答案】B

【解析】

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，可得2+。＜工＜6—1,再結(jié)合已知可得2+。=-1,

b-\=\t然后進(jìn)行計(jì)算可求出。，b的值，最后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答.

設(shè)經(jīng)過(guò)棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為＞=依+人（女工0）,

???￥=丘+。過(guò)點(diǎn)(-2,—1)和(1,2),

2=k+b

''-l=-2k+bf

k=l

解得《

b=\

???經(jīng)過(guò)棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=x+i,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法式解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在［ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=4,點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，以。為圓心，OB

長(zhǎng)為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積是（）

A.5石浮

B.5癢4萬(wàn)C.-24D.10癢24

【答案】C

【解析】

【分析】連接O。,BD，作OHLCD交CD于點(diǎn)、H,首先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后利用解

直角三角形求出8。、。。的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到,。瓦）是等邊三角形，ZBOD=60°,然后根據(jù)30。角直

角三角形的性質(zhì)求出0萬(wàn)的長(zhǎng)度，最后根據(jù)S陰影=SACLS.COD-S喇形的進(jìn)行計(jì)算即可.

BD，作OH上CD交CD于點(diǎn)H

???在4ABe中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=4,

“A8AB4rr

BC=------------=---------==44x13

tanZ.ACBtan30°V3，

T

???點(diǎn)。為3C的中點(diǎn)，以。為圓心，03長(zhǎng)為半徑作半圓，

???8C是半圓的直徑，

???NCDB=900,

'：Z4CB=30°，

???BD=；BC=26,CD=BCCGS，BCD=46X去=6,

又?：OB=OC=OD=LBC=Z￡,

2

：.OB=OD=BD,

???二08。是等邊三角形，

：.ZBOD=60°f

?：OH工CD,NOCH=30。,

???0H=-0C=y/3,

2

?1廠1廠,60乃x（2g）~

?'S陰影=S^CB~SACOD~S病形008=—x4x4\J3--xy/3x6TTT=5近-2萬(wàn)

2236U

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了30。角直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形面積，勾

股定理等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知拋物線y=o?+加+c（awO）的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,且過(guò)點(diǎn)（一1,0）,頂點(diǎn)在第一象限，

其部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①abvO；②4a+?+c＞0；③3。+。＞0；④若A（%,y）,

貝孫必）（其中百＜七）是拋物線上的兩點(diǎn)，且玉+々＞2,則必〉內(nèi)，其中正確的選項(xiàng)是（）

A.①②③B.①?0C.②③④D.???

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得a<0,b=-2a,b>。,可判斷結(jié)論①；由x=2處的函數(shù)值可判斷結(jié)

論②；由廠—1處函數(shù)值可判斷結(jié)論③：根據(jù)七+.“、2得到點(diǎn)A（%，），J到對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)

8（天,必）到對(duì)稱(chēng)軸的距離可判斷結(jié)論④.

【詳解】解：二次函數(shù)開(kāi)口向下，則。<0,

二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=l,則一==1,b=-2a,b>0,

2a

???訪<0,故①正確；

???過(guò)點(diǎn)（一1,0）,

???由對(duì)稱(chēng)性可得二次函數(shù)與X軸的另一交點(diǎn)為（3,0）,

由函數(shù)圖象可得x=2時(shí)y>0t

4a+2Z?+c>0,故②正確；

時(shí)y=0,

.\a-b+c=0f

人=一%代入得：3a+c=0,故③錯(cuò)誤；

???對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,

?,?若萬(wàn)=i,即％+%2=2時(shí)，%=%，

，當(dāng)斗+x2>2時(shí)，

點(diǎn)A（%,y）到對(duì)稱(chēng)軸距離小于點(diǎn)％）到對(duì)稱(chēng)軸的距離

???二次函數(shù)開(kāi)口向下

???%>%，故④正確.

綜上所述，正確的選項(xiàng)是①②④.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，掌握二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，OA=OB=3后,點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=Q,連接

AC,點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CW:M4=1:2.當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)”的坐標(biāo)是

)

f612)

369小乜

(5'55、5

【答案】D

【解析】

33后

【分析】由題意可得點(diǎn)C在以點(diǎn)3為圓心，不為半徑的08I二，在x軸的負(fù)當(dāng)軸上取點(diǎn)。，0,連

2

接BD，分別過(guò)C、M作C戶_LQA,MEA.OA,垂足為尸、E，先證二QAMs乙m。，得

空=空=],從而當(dāng)CD取得最大值時(shí)，0M取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)O,B,C三點(diǎn)共線，

且點(diǎn)8在線段0c上時(shí)，CQ取得最大值，然后分別證^AEM^AFC,利用相似三

角形的性質(zhì)即可求解.

3

【詳解】解：???點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=-,

2

3

.??點(diǎn)C在以點(diǎn)3為圓心，不為半徑的08上，

2

在x軸負(fù)半軸上取點(diǎn)。（一乎，連接30,分別過(guò)C、M作C/_LQ4,MELOA,垂足為尸、

rr\=

DOFEAx

VOA=OB=3區(qū),

AD=0￡>+04=—

2

,OA_2

,布丁

：CM:MA=\:2,

.OA2cM

AD3AC

：ZOAM=ZDAC.

??cOAMs?C，

.OMOA2

?----=----=一?

CDAD3

，當(dāng)8取得最大值時(shí)，0M取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)。，B,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段OC上

時(shí)，CO取得最大值，

OA-OB-35OD=^-,

2

???BD=yj0B2+0D2=

:?CD=BC+BD=9,

..OM2

CD3

OM=6，

???y羯_Lx軸，

:.NDOB=NDFC=9Q0,

,:NBDO=NCDF,

:"BDO^aCDF，

同理可得，^AEM^LAFC,

ME2

MEAM

CFAC

解得ME=26,

5

OE=>JOM2-ME2=^62-二竽，

，當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（竽，為叵，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相彳以三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握

相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）

H.計(jì)算：>/16=?

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念求解即可.算術(shù)平方根的定義：一個(gè)非負(fù)數(shù)的正的平方根，即為這個(gè)數(shù)的

算術(shù)平方根，由此即可求出結(jié)果.

【詳解】解：原式="=4.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，算術(shù)平方根的概念易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

12.為了加強(qiáng)中學(xué)生“五項(xiàng)管理”，葛洪學(xué)校就“作業(yè)管理”、“睡眠管理”、“手機(jī)管理”、“讀物管

理”、“體質(zhì)管理”五個(gè)方面對(duì)各班進(jìn)行考核打分（各項(xiàng)滿分均為100）,九（1）班的五項(xiàng)得分依次為

95,90,85,90,92,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

【答案】90

【解析】

【分析】眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

【詳解】眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)中90出現(xiàn)2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組

數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90.

故答案為：90.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)，眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意：在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能

不止一個(gè).

13.實(shí)數(shù)機(jī)，〃分別滿足機(jī)2—36+2=0,〃2一3〃+2=0,且機(jī)?！?，則的值是

mn

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題可知，用和〃是％2—3工+2=0的兩個(gè)根,

所以施+〃=3,mn=2,

”，，I1tn+n3

所以—+—=-----=-：

mnmn2

3

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】本題考杳了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握“若一元二次方程

bc

加+Zzr+c=0（aw0）的兩個(gè)根分別為罰和%，則%+上2=一一，%七=一”.

AB

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,J13C與△A4G位似，原點(diǎn)O是位似中心，且麗=3.若

A（9,3）,則A點(diǎn)的坐標(biāo)是

【答案】（3,1）

【解析】

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)4（M，〃）

???金C與位似，原點(diǎn)。是位似中心，且丁￡=3.若4（9,3）,

???位似比為3,

1

.9333

??-=-9-=-9

m\n\

解得m=3,〃=1,

???4（3/）

故答案為：（3,1）

【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線乂=/r+力與雙曲線為=§（其中小心/。）相交于4（-2,3）,

B（，七一2）兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)8作3P〃x軸，交y軸于點(diǎn)P,則aA5P的面積是.

【解析】

【分析】把力（一2,3）代入到％=§可求得⑥的值，再把3（相,一2）代入雙曲線函數(shù)的表達(dá)式中，可求得

用的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】???直線y與雙曲線為=§（其中勺4。0）相交于4（-2,3）,3（叫一2）兩點(diǎn)，

/.k、=—2x3=-2m

：,k2=-6,tn=3,

???雙曲線的表達(dá)式為：y2=-1,B（3,-2）,

???過(guò)點(diǎn)B作3尸〃％軸，交了軸于點(diǎn)尸，

???BP=3,

???S.謝=；x3x（3+2）=/

故答案為?.

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，反比例函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.

16.2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì).這次大會(huì)的會(huì)

徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，世人稱(chēng)之為“趙爽弦圖如圖，用四個(gè)全等的直

角三角形(Ri/\AHB*RiABEgRiACFgRi/XDGA)拼成“趙爽弦圖”，得到正方形A8C0與

正方形EFGH,連接AC和EG,AC與。尸、EG、出/分別相交于點(diǎn)尸、0、Q,若

0P

BE:EQ=3:2,則棄的值是.

【分析】設(shè)《C=x(x>。)，EQ=2a(a>0)t則跖1二%,證明KEQ,利用相似三角形的性

質(zhì)求出EC=8〃=6。，可得Q”=。，EH=3a,利用勾股定理求出BC和AQ,進(jìn)而可得OQ的長(zhǎng)，再

證明4QEON$PGO(SAS),可得0P=0Q=萼4,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出0E,即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)EC=x(x>°)，&2=%(。>0)，則座二%,

VZAHQ=ZCEQ=90°,ZAQH=ZCQE,

:.二AHQACEQ,

.QHAH

AH=BE=3a，BH=EC=x>

??.QH=BH-BE-EQ=x—5a,

.x-5a3a

??~~~,

2ax

整理得：x2—5ax—6a2=0，

解得：X[=6a,x2=-a（舍去）,

即EC=8H=6a,

:,QH=a,EH=3a,

：?BC=4BE2+EC2=3島，AQNAH-QH?=Ma，

，AC=6BC=3Ma，

加。c=①

22

???OQ=OA-AQ=^-a，

???四邊形”E尸G是正方形,

:?/QEO=/PGO,OE=OG,

又???NQOE=/POG,

???3。=dGO(SAS),

???OP=OQ=—a^

又,：EG=?EH=3五a，

.a1g3&

??OE=—EG=---a，

22

而

.OP二丁二途

?'OE3x/23'

-----a

2

故答案為：叵.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解

一元二次方程以及二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)，證明AAHQACEQ,求出EC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8小題，17~21題每題8分，22~23每題10分，24題12分，共計(jì)72

分)

17.先化簡(jiǎn)，再求值：V-----二，其中。=2.

a-1a-1

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先進(jìn)行同分母分式加減運(yùn)算，再將。=2代入即可得解.

1

【詳解】解：原式=

_a-\

(〃T)S+1)

1

="9

4+1

當(dāng)。=2時(shí)，原式=----=—

2+13

【點(diǎn)情】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的加減，約分等相關(guān)計(jì)算法則是解決本題的關(guān)

鍵.

18.如圖，點(diǎn)E是矩形A8CD的邊5c上的一點(diǎn)，且A石=40.

（1）尺規(guī)作圖（請(qǐng)用2B鉛筆）：作—QAE的平分線■，交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接OF.（保留作

圖痕跡，不寫(xiě)作法）;

（2）試判斷四邊形AEED的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）四邊形AEED是菱形，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可;

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出〃4尸=/“石，結(jié)合角平分線的定義可得N"Z=NE4/，則

AE=EF，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

【小問(wèn)2詳解】

四邊形AEFD是菱形;

理由：???矩形45co中，AD//BC,

???ZDAF=ZAFE,

?:4尸平分/DAE,

:.ZDAF=ZEAF,

???ZEE4=ZE4F，

，AE=EF，

AE=AD,

：-AD=EF,

VAD//EFf

，四邊形AEFD是平行四邊形，

又???AE=AD，

???平行四邊形AEFO是菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形

的判定以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

19.為慶祝建黨100周年，讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國(guó)科技的快速發(fā)展，東營(yíng)市某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織

了一次手抄報(bào)比賽.該班每位同學(xué)從A.“北斗衛(wèi)星”；艮“5G時(shí)代”；C.“東風(fēng)快遞”；O.“智軌

快運(yùn)”四個(gè)主題中任選一個(gè)自己喜歡的主題.統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制成以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題：

（1）九（1）班共有名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖；

（3）。所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的大小為:

（4）小明和小麗從4、8、C、。四個(gè)主題中任選一個(gè)主題，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出他們選擇相

同主題的概率.

【答窠】（1）50；（2）見(jiàn)解析；（3）108。；（4）-

4

【解析】

【分析】（1）用B組頻數(shù)除以所占百分比即可求解；

（2）用50減去A、8、C組頻數(shù)，求出。組頻數(shù)，即可補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖;

（3）用360。乘以。組所占百分比即可求解；

（4）列表得出所有等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式即可求解.

【詳解】（1）20^40%=50（人），

故答案為：50；

（2）50-10-20-5=15（人），

補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖如圖：

(3)360°X—=108°,

50

故答案為：108°；

（4）列表如下:

小明

ABcD

小麗

A(AA)(民4(C4)(AA)

B(B,B)(C,B)OS

C(AC)(8?(c?(nc)

D（A。）(BQ)(CD)(no)

由列表可知，一共有16種等可能的結(jié)果，他們選擇相同主題的結(jié)果有4種,

41

所以尸（相同主題）

164

【點(diǎn)睛】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，求概率等知識(shí)，理解兩幅統(tǒng)計(jì)圖提供的公共信息是解題第

（1）（2）（3）步關(guān)鍵，列表得出所有等可能的結(jié)果是解題第（4）步關(guān)鍵.

20.鄂州市蓮花山是國(guó)家4A級(jí)風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國(guó)各地旅

游愛(ài)好者的青睞.今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶?；顒?dòng).如圖2,景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備

從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)E處，掛好后，小明進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，從元明塔底部尸點(diǎn)沿水平

方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端A點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測(cè)得條幅下端E的仰角為30。；接著他沿自動(dòng)扶梯

4

到達(dá)扶梯頂端。點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)。的水平距離為15米，且tan/D48=一；然后他從。點(diǎn)又沿水

3

平方向行走了45米到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測(cè)得條幅上端G的仰角為45。.（圖上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且

G,C，B共線，F(xiàn),A,8共線，G、E、F共線，CD〃AB,GFLFB）.

三

二

二

二

二

三

二

二

三

E

（1）求自動(dòng)扶梯長(zhǎng)度；

（2）求大型條幅GE的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】（1）25米（2）（110—106）米

【解析】

4DM4

【分析】（1）過(guò)。作DM/A8于M，由tan/DABu；；可得丁丁二大，求出DM的長(zhǎng)，利用勾股定理即

3AM3

可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)。作。N_LG￡于M則四邊形DWW是矩形，得NF=DM,DN=FM,由已知計(jì)算得出

CN的長(zhǎng)度，解直角三角形得出GN的長(zhǎng)度，在RQAEV中求得所的長(zhǎng)度，利用線段的和差，即可解決問(wèn)

題.

【小問(wèn)1詳解】

解：過(guò)。作于如圖：

DM4

在RtAADA/中，tanZDAM=----=—，

AM3

VAM=15（米），

???DM=20（米），

由勾股定理得AD=ytAM?+DM?=V152+202=25（米）

【小問(wèn)2詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN工GE于N，

VDMJ.AB,NGFB=90。

???四邊形￡>加硒是矩形，

???7VF=OM=20（米），Z）N=/W=AF+AM=30+15=45（米）,

由題意，C7V=C￡>+0N=45+45=9O（米），

???ZDCG=45°,

AlanZGC^=l=—,

CN

???GN=90（米），GF=GN+NF=90+20=1TO（米），

由題意，ZE4F=30°,4/=30（米），

EF

tanZEAF=—~AF

3

???E尸=10月(米)，

??.Gf=G/一EF=(110—10g)米

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練學(xué)

握銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.1號(hào)探測(cè)氣球從海拔10m處出發(fā)，以hn/min的速度豎直上升.與此同時(shí)，2號(hào)探測(cè)氣球從海拔20m處

出發(fā)，以am/min的速度豎直上升.兩個(gè)氣球都上升了lh.1號(hào)、2號(hào)氣球所在位置的海拔片,為（單

位：m）與上升時(shí)間x（單位：inin）的函數(shù)關(guān)系如圖所示.請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：

（2）請(qǐng)分別求出）L％與”的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)上升多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為5m?

【答案】（1）30

(2)y=x+10,%=—%+20；

2

（3）lOmin或30min

【解析】

【分析】（1）根據(jù)1號(hào)探測(cè)氣球的出發(fā)海拔和速度即可計(jì)算b的值，根據(jù)b的值、2號(hào)探測(cè)氣球的出發(fā)海拔

和運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算2號(hào)探測(cè)氣球的速度可計(jì)算a的值；

（2）由（1）可得,與方函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（20,30）,分別代入計(jì)算即可；

（3）由題意川得%一％=5或%一乂=5，分別計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：6=10+20x1=30,。=（30—20）+20=1，

故答案為：30；

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可得y與為函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（20,30）,

設(shè)X=左/+10,y2=k2x+20,

將（20,30）分別代入可得：30=20^+10,30=20^+20

解得：占=1,乂=1,

■2

/.y1=x+10,%=gx+20：

【小問(wèn)3詳解】

由題意可得y-必=5或%一弘=5,

當(dāng)y-%=5時(shí)，x+10-（；x+20）=5,

解得x=30,

當(dāng)%-y=5時(shí)，~x+20—（x+10）=5,

解得彳=10,

???當(dāng)上升lOmin或30min時(shí)，兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為5m.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，從圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，為OO的直徑，E為OO上一點(diǎn)，點(diǎn)C為濁的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作COJ.AE,交AE的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)。，延長(zhǎng)OC交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)巴

⑵若DE=1，DC=2,求OO的半徑長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵-

2

【解析】

【分析】（1）連接OC,根據(jù)弦、弧、圓周角的關(guān)系可證ND4C=NC4/，根據(jù)圓的性質(zhì)得NOAC=NOC4,

證明OC〃AD,得到NOC尸=ND=90。，根據(jù)切線的判定定理證明；

(2)連接8C,CE,根據(jù)勾股定理得到CE=J^的長(zhǎng)，根據(jù)等弧對(duì)等弦得到反?=8=石，根據(jù)圓

內(nèi)接囚邊形對(duì)角互補(bǔ)得NA3C+NA￡C=180。，推出NDEC=NA8C,證明:OECs4c84,利用相

似三角形的性質(zhì)即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

:?EC=CB，

:.ZDAC=ZCAF,

-：OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA

/.?DACICOA

:.OC//AD,

???ZOCF=ZD=90°,

???。。為半徑，

???0c為OO切線；

【小問(wèn)2詳解】

???？￡>90?,

?：DE=1，DC=2,

???CE=ylcif+DE2=V22+l2=石，

???。是8C的中點(diǎn)，

：?EC=CB，

???EC=CB=5

???A3為。0的直徑，

:.NAC8=90°,

VZDEC+ZAEC=180°,ZABC+Z4EC=180°,

???/DEC=ZABC,

:?乙DECs^CBA,

.DECE

..石一麗’

:.AB—5，

AO=-AB=-

22

:.0。的半徑長(zhǎng)為

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

23.某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《兒何畫(huà)板》軟件探究）=0￥2（。>0）型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所不，該類(lèi)

型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離始終等于它到定直線/：y=-1~的距離PN（該結(jié)

V4aJ4a

論不普要證明）.他們稱(chēng)：定點(diǎn)尸為圖象的焦點(diǎn)，定直線，為圖象的準(zhǔn)線，y=叫做拋物線的準(zhǔn)線方

4a

程.準(zhǔn)線，與y軸的交點(diǎn)為其中原點(diǎn)。為"/的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=^~.例如，拋物線y=2V,

2a

<11

其焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸0,-,準(zhǔn)線方程為/：y=—,其中PF=PN,FH=2OF=—.

I8；84

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線y=1/的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：,；

4

【技能訓(xùn)練】

（2）如圖2,己知拋物線y=上一點(diǎn)產(chǎn)（工,%）（%>0）到焦點(diǎn)尸的距離是它到％軸距離的3倍，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【能力提升】

（3）如圖3,已知拋物線y=1/的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線方程為/.直線%交y軸于點(diǎn)c拋物

42

線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為4,到宜線〃的距離為乙，請(qǐng)直接寫(xiě)出4+4的最小值；

【拓展延伸】

該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線丁="2（4>0）平移至y=q（x-爐+%（〃>（））.拋物線

y=。（工-/?『+&（a>0）內(nèi)有一定點(diǎn)/（/z#+a），直線/過(guò)點(diǎn)M九,k一卷且與x軸平行.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在

該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的距離始終等于點(diǎn)尸到點(diǎn)尸的距離（該結(jié)論不需要證明）.例如：拋

物線），=2（尢-1）2+3上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F|1,丁的距離等于點(diǎn)尸到直線/：y=一的距離.

Koj8

請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：

（4）如圖4,點(diǎn)。（-是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線》=工冗2一1上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)po+尸。取最

I2J4

小值時(shí)，請(qǐng)求出?尸8的面積.

【答案】（1）（0,1）,y=-l；

(2)(晚3

⑶2布-1

9

（4）一

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；

（2）利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得與2=8為2+2%-1,然后根據(jù)y=!%2,求出九,

進(jìn)而可得與,問(wèn)題得解：

（3）過(guò)點(diǎn)尸作尸E_L直線加交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作PG_L準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知

PG=PF=4+I,PE=d2t根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)尸，p,E三點(diǎn)共線時(shí)，4+4的值最

??；待定系數(shù)法求直線尸石的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為6-1，上普），根據(jù)點(diǎn)E是直線PE和直線

機(jī)的交點(diǎn)，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,-1）,即可求得4和4的值，即可求得；

（4）根據(jù)題意求得拋物線＞=；/一1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（op）,準(zhǔn)線/的方程為），=-2,過(guò)點(diǎn)P作PG_L

準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=PZ"則PO+PD=PG+P￡＞,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

（13、

最短可得當(dāng)。，P,G三點(diǎn)共線時(shí)，尸。+尸￡＞的值最??；求得尸一彳，一二，即可求得cP8的面

I24）

積.

【小問(wèn)1詳解】

解：?:拋物線y=中〃=_!.,

44

?1_1_1

4a4a

???拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0』），準(zhǔn)線/的方程為y=-l,

故答案為：（0,1）,y=-l：

【小問(wèn)2詳解】

解：由（1）知拋物線y=的焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（o,］）,

???點(diǎn)P（Ao,yo）（^>O）到焦點(diǎn)尸的距離是它到“軸距離的3倍,

2

：?JX）2+（%T）2=3%>整理得：Xo=8%2+2y0-l,

4

:'4%=8年+2y0-1

解得：%=3或%=一;（舍去），

??毛—?^2,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(63

【小問(wèn)3詳解】

解：過(guò)點(diǎn)尸作尸石_1_直線〃2交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)尸作PGJ?準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知

若使得4+4取最小值，即尸尸+PE—1的值最小，故當(dāng)尸，P,E三點(diǎn)共線時(shí),

PF+PE-1=EF-1,即此刻4+4的值最?。?/p>

???直線PE與直線機(jī)垂直，故設(shè)直線PE的解析式為y=~x+b,

將尸（0,1）代入解得：b=l,

???直線PE的解析式為），=一；工+1,

???點(diǎn)戶是直線正和拋物線y=的交點(diǎn)，

4

令Wx2=—]X+1,解得：Xy=y[5—\，X2=—\[5—\（舍去），

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為V5-1,

3-75

???點(diǎn)E是直線P石和直線機(jī)的交點(diǎn)，

令-L+l=—%-3,解得：x=4,

22

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,-1）,

d2=14gH耍（亨,

,3-逐575-5。,

47+&=^—+^—=26-1.

即4+4的最小值為26一1.

【小問(wèn)4詳解】

解：???拋物線中4=_L,

44

—=1，------=-1，

4a4a

2

???拋物線y=lx-l的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（0,0）,準(zhǔn)線/的方程為y=-2f

過(guò)點(diǎn)P作尸GJ_準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=PZ"則PO+PD=PG+PD,如

圖：

若使得PO+PD取最小值，即尸G+PD的值最小，故當(dāng)。，P,G三點(diǎn)共線時(shí),

PO+PD=PG+PD=DG,即此刻PO+PD的值最??；如圖：

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一1,'|),￡>G_L準(zhǔn)線/,

IQ

二點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，代入y--x2-l解得y---,

44

199

則^POD的面積為S?8=-x—xl=大.

248

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次

函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用新知識(shí)的結(jié)論.

24.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線/_Ly軸，交)，軸的正半軸于點(diǎn)A，旦OA=2,點(diǎn)3是)，軸右側(cè)

直線/上的一動(dòng)點(diǎn)，連接08.

EB

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若動(dòng)點(diǎn)8滿足NA8O=30°,點(diǎn)C為A8的中點(diǎn)，。點(diǎn)為線段。8上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CD.在平面內(nèi)，將/XBC。沿CO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,CP與08用交于點(diǎn)。，當(dāng)

時(shí)，求線段OQ的長(zhǎng)；

(3)如圖3,若動(dòng)點(diǎn)B滿足==2,E/為的中位線，將ABE歹繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),

當(dāng)點(diǎn)0、E、尸二點(diǎn)共線時(shí)，求直線瓦?與“軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)如圖4,0C平分N4QB交43于點(diǎn)C,于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)E,A尸為△4EC的一

條中線.設(shè)aODE,AOAC的周長(zhǎng)分別為G，G，.試探究：在8點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)

="7時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)8的坐標(biāo).

O

【答案】⑴(0,2)

(3)(4,0)或(；0)

(4)(2百,2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)。4=2,點(diǎn)A位于y軸的正半軸即可得出答案；

(2)根據(jù)折疊性質(zhì)和特殊角解三角形,先求出BCW，QB=2,再過(guò)點(diǎn)。作?！╛LA3，得出C”=OH,

8"=百。"解三角形即可求出08=3—6，從而求出DQ=BQ—8。=6-1,

(3)將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)0、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，有兩種情況，當(dāng)將ABEF繞點(diǎn)

8在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，可得點(diǎn)E、F恰好落在不軸，OE=AB=4,從而可得直線E8與x軸交點(diǎn)

的坐標(biāo)：當(dāng)將48環(huán)繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到0B上方時(shí)，可得RQOA8合RtABOE(HL),從而

AP3OE

得出NABO=NBOE,OE=AB=4,繼而可求co$N4RO=——=-,再由0K二----------即可求

OR5cos/ARO

出交點(diǎn)坐標(biāo).

2c.+G,2GG>2AF+OD11

(4)由已知可證明二。4c-.ODEzAFC,進(jìn)而可得一―-=」+