4-5-多項(xiàng)式的因式分解

2024/9/21高等代數(shù)

在中學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式逐次分解成一些次數(shù)較低的多項(xiàng)式乘積。在分解過程中，有時(shí)感到不能再分解了也就認(rèn)為它不能再分了，但是當(dāng)時(shí)沒有理論根據(jù)，到底能不能再分下去？這里我們將系統(tǒng)地討論多項(xiàng)式的分解問題。對(duì)于中任一個(gè)多項(xiàng)式總是的因式。這樣的因式稱為平凡因式。我們感興趣的是，除了平凡因式外，還有沒有其他的因式？2024/9/21高等代數(shù)定義設(shè)是中次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，若除F上不可約。平凡因式外，在中還有等價(jià)定義：可分解成中兩個(gè)次數(shù)都小于n的多項(xiàng)式的積，即則稱在數(shù)域F上可約。中一個(gè)次多項(xiàng)式如果如果在中，只有平凡因式，則稱在數(shù)域則稱在數(shù)域F上可約。其他因式，一、不可約多項(xiàng)式1、定義2024/9/21高等代數(shù)由定義可得：

一次多項(xiàng)式是不可約多項(xiàng)式（二次及二次以上多項(xiàng)式是否可約是重點(diǎn)討論對(duì)象）；②多項(xiàng)式的可約性與數(shù)域有關(guān)（例在C上可約，在R中不可約）。③零多項(xiàng)式于零次多項(xiàng)式不討論它們的可約性。

性質(zhì)性質(zhì)1不可約，則也不可約，若性質(zhì)2若是不可約多項(xiàng)式，2024/9/21高等代數(shù)則證：設(shè)由或若則若則性質(zhì)3：若不可約且則或證：若則結(jié)論成立；若，又不可約。2024/9/21高等代數(shù)由性質(zhì)2，推論：若不可約且則必整除某個(gè)二、因式分解問題：是否可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積？定理：中任一個(gè)次多項(xiàng)式都可以分解成中不可約多項(xiàng)式的乘積。2024/9/21高等代數(shù)證（歸納法）：n=1時(shí)，命題顯然成立。假設(shè)命題對(duì)一切小于n的多項(xiàng)式成立，則當(dāng)時(shí)，1、若不可約成立；2、若可約，由假設(shè)知均可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積。問題：多項(xiàng)式分解成不可約多項(xiàng)式的乘積是否唯一？2024/9/21高等代數(shù)若取則可見分解式不唯一。定理：中任一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式分解成不可約多項(xiàng)式的乘積：成不可約因式的乘積分解式是唯一的，此即若有兩個(gè)分解式：若不計(jì)零次多項(xiàng)式的差異和因式的順序，分解2024/9/21高等代數(shù)則有①r=s；②適當(dāng)調(diào)整的位置后，有）證（對(duì)分解式中的因式個(gè)數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明）：當(dāng)r=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)當(dāng)分解成r-1個(gè)不可約因式時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)分解成r個(gè)因式時(shí)，有2024/9/21高等代數(shù)由于，故存在某個(gè)使為方便起見不防設(shè)就是。由歸納假設(shè)知，這時(shí)有r-1=s-1。故r=s，且三、標(biāo)準(zhǔn)（典型）分解式在的分解中，可以把每個(gè)不可約因式的故2024/9/21高等代數(shù)首項(xiàng)系數(shù)提出來，使之成為首一不可約多項(xiàng)式，并把相同的因式合并，于是，的分解式就變成：首項(xiàng)系數(shù)為的首一不可約多項(xiàng)式，

每個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式是唯一的。

利用多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否整除另一個(gè)多項(xiàng)式。式。為自然數(shù)，這種分解式稱為的標(biāo)準(zhǔn)分解2024/9/21高等代數(shù)

利用多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以直接寫出例如：則雖然根據(jù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式寫出是簡(jiǎn)單的，但由于任意多項(xiàng)式的典型分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法還是采用輾轉(zhuǎn)相除法。2024/9/21高等代數(shù)問：如何求的標(biāo)準(zhǔn)分解式？例1.5.1：求在中的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：利用帶余除法，知都是的因式，即有。如何知道是不是的一個(gè)因式？