經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 第24講5.5定積分的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第24講顧靜相定積分的應(yīng)用教學(xué)要求

會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積．平面圖形的面積

由教材

5.1節(jié)例1知道，曲線(xiàn)

y

=f(x)(f(x)

0)，x軸和直線(xiàn)

x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積為：

．平面圖形的面積

設(shè)函數(shù)

f(x)，g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且在[a,b]上有0

g(x)

f(x)，x

[a,b]，

則曲線(xiàn)

f(x)，g(x)與直線(xiàn)

x=a，x=b圍成的圖形面積為(如圖)：

，即

．

平面圖形的面積當(dāng)曲線(xiàn)

f(x)，g(x)不全在

x軸上方的情形(如圖)．如果將

x軸向下平移，使兩條曲線(xiàn)都位于新

x軸上方，在新坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)方程為

y=f(x)+c和

y=g(x)+c．所以，該圖形的面積平面圖形的面積

特別地，當(dāng)

f(x)

0(x

[a,b])時(shí)，由曲線(xiàn)

y=f(x)，x軸與直線(xiàn)

x=a，x=b所圍成圖形的面積(如圖)為：

．平面圖形的面積

一般地，由曲線(xiàn)

y=f(x)，y=g(x)與直線(xiàn)

x=a，x=b圍成圖形的面積為：

．

(24.1)

平面圖形的面積

類(lèi)似地，由連續(xù)曲線(xiàn)

x=φ(y)，x

=ψ(y)(φ(y)

ψ(y))與直線(xiàn)

y=c，y=d(c<d)圍成圖形的面積(如圖)為：

．

(24.2)

平面圖形的面積例1求曲線(xiàn)

y=ex,y=e-x與直線(xiàn)

x=1所圍成的平面圖形面積．平面圖形的面積解

作曲線(xiàn)

y=ex,

y=e-x與直線(xiàn)

x=1的圖形，如右圖所示．由圖可知，兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)、曲線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為(0,1)，(1,e)，(1,e-1)，故所求面積為：例1求曲線(xiàn)

y=ex,y=e-x與直線(xiàn)

x=1所圍成的平面圖形面積．平面圖形的面積例2求在區(qū)間

[0,

]上曲線(xiàn)

y=cosx與

y=sinx之間所圍成的平面圖形的面積．平面圖形的面積解

作曲線(xiàn)

y=cosx,y=sinx

的圖形，如右圖所示.求兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)，得

．所求面積為：例2求在區(qū)間

[0,

]上曲線(xiàn)

y=cosx與

y=sinx之間所圍成的平面圖形的面積．平面圖形的面積例3

求拋物線(xiàn)

y2=2x與直線(xiàn)

y=x-4所圍成圖形的面積．平面圖形的面積解

作

y2=2x與

y=x-4的圖象，如右下圖所示.求兩線(xiàn)的交點(diǎn)，即解方程得交點(diǎn)(2,-2)和(8,4)．例3

求拋物線(xiàn)

y2=2x與直線(xiàn)

y=x-4所圍成圖形的面積．平面圖形的面積解法1

取x為積分變量，由右圖可看出，此時(shí)直線(xiàn)

x=2將曲線(xiàn)所圍圖形的面積分成兩個(gè)部分，即

A=A1

+A2．例3

求拋物線(xiàn)

y2=2x與直線(xiàn)

y=x-4所圍成圖形的面積．平面圖形的面積解法1在

A1部分，由于拋物線(xiàn)的上半支方程為,下半支方程為

，所以例3

求拋物線(xiàn)

y2=2x與直線(xiàn)

y=x-4所圍成圖形的面積．平面圖形的面積解法1A2部分是由曲線(xiàn)

與直線(xiàn)

y=x-4以及

x=2，x=8圍成的面積，即例3

求拋物線(xiàn)

y2=2x與直線(xiàn)

y=x-4所圍成圖形的面積．平面圖形的面積解法1

A=A1+A2,

于是得到：

．例3

求拋物線(xiàn)

y2=2x與直線(xiàn)

y=x-4所圍成圖形的面積．平面圖形的面積解法2

取

y為積分變量，圖形可看作是由曲線(xiàn)x=y+4，

以及直線(xiàn)

y=-2，y=4圍成的.此時(shí)只需計(jì)算例3

求拋物線(xiàn)

y2=2x與直線(xiàn)

y=x-4所圍成圖形的面積．平面圖形的面積求由若干條曲線(xiàn)圍成的平面圖形面積的步驟：

(1)畫(huà)草圖：

在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出有關(guān)曲線(xiàn)，確定各曲線(xiàn)所圍成的平面區(qū)域；

(2)