中考數(shù)學一輪《四邊形》含解析考點分類匯編 (二)

四邊形

一、選擇題

1.已知回ABCD中，ZA+ZC=200°,則NB的度數(shù)是（）

A.100°B.160℃.80°D.60°

2.如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O,且AB=5,△OCD的周長為23,則平行

四邊形ABCD的兩條對角線的和是（）

D.46

3.四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,下列條件不能判定這個四邊形是平行

四邊形的是（）

AD=BCC.AO=CO,BO=DOD.AB〃DC,AD=BC

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,NBAD的平分線與BC的延長線交于點E,與

DC交于點F,且點F為邊DC的中點，DGLAE,垂足為G,若DG=1,則AE的邊長為（）

A.2/3B.4nC.4D.8

5.如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B，處，若AE如，DE=6,NEFB=60。,

則矩形ABCD的面積是（）

A'

6.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC=8cm,BD=6cm,DH，AB于點H,且DH與

AC交于G,則GH=()

2821_28,25

A.25cmB.20cmC.15cmD.21cm

7.如圖，菱形ABCD中，NB=6O。，AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為()

A.14B.15C.16D.17

8.如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD±,^AEF是等邊三角形，連接AC

交EF于G,下列結(jié)論：

①BE=DF,②NDAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S“EF=2SMBE.

其中正確結(jié)論有（）個.

9.如圖，正方形ABCD中，AB=3,點E在邊CD上，且CD=3DE.將^ADE沿AE對折至

△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.下列結(jié)論：①點G是BC中點；②FG=FC；

A.①②B.①③C.②③D.①②③

10.如圖，在矩形ABCD中，。是對角線AC的中點，動點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻

速運動到終點C,動點P從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動到終點B.已知P,Q兩點同

時出發(fā)，并同時到達終點，連接OP,OQ.設運動時間為t,四邊形OPCQ的面積為S,

那么下列圖象能大致刻畫S與t之間的關(guān)系的是（）

11.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC=3,AD=5,ZC=60°,則下底BC的長為（）

A.8B.9C.10D.11

5_

12.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AB2,BC=4,連結(jié)BD,NBAD的平分線交BD于

點E,且AE〃CD,則AD的長為（)

D

￡3_5_

A7B2C.3D.2

二、填空題

13.如圖，依次以三角形、四邊形、…、n邊形的各頂點為圓心畫半徑為I的圓，且圓與

圓之間兩兩不相交.把三角形與各圓重疊部分面積之和記為S3,四邊形與各圓重疊部分

面積之和記為S4,….n邊形與各圓重疊部分面積之和記為Sn.則S90的值為—.(結(jié)

果保留H)

14.矩形ABCD的對角線相交于點O,AB=4cm,ZAOB=60°,則矩形的面積為cm2.

15.如圖，回ABCD中，ZABC=60°,E、F分另在CD和BC的延長線上，AE〃BD,EF±BC,

EF盧，則AB的長是

16.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點P在DC邊上且DP=1,點Q是AC上一動點,

則DQ+PQ的最小值為.

17.如圖，0ABCD與回DCFE的周長相等，且ZBAD=60°,ZF=110°，則ZDAE的度數(shù)為

18.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,且AC=8,BD=6,過點。作OH_L

AB,垂足為H,則點。到邊AB的距離為.

19.如圖，依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連接菱形各邊的中點

得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個矩形的面積為1,則第n個矩形的

面積為

20.如圖，分別以直角^ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向^ABC外作等邊4ABD和等

邊^(qū)ACE,F為AB的中點，DE與AB交于點G,EF與AC交于點H,ZACB=90°,ZBAC=30°.給

出如下結(jié)論：

①EFLAC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH4BD

其中正確結(jié)論的為—（請將所有正確的序號都填上）.

三、解答題

1

21.如圖，在國ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，延長BC到點E,使CE?BC,連接DE,CF.

(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

(2)若AB=4,AD=6,ZB=60°,求DE的長.

22.如圖，D是^ABC的邊AB上一點，CN〃AB,DN交AC于點M,若MA=MC.

(1)求證：CD=AN；

(2)若ACLDN,ZCAN=30°,MN=1,求四邊形ADCN的面積.

23.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE±AB,DF±BC,垂足分別是E、F,并

且DE=DF.求證:

(1)AADE^ACDF；

(2)四邊形ABCD是菱形.

24.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于F,連接

DF.

(1)證明：NBAC=NDAC,ZAFD=ZCFE.

(2)若AB〃CD,試證明四邊形ABCD是菱形；

(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使得NEFD=NBCD,并說明理由.

c

E

25.某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60。角的直角三角

板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt^AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

角a(0。＜。＜90。)，如圖(2),AE與BC交于點M,AC與EF交于點N,BC與EF交于

點P.

(1)求證：AM=AN；

(2)當旋轉(zhuǎn)角a=30。時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由.

26.若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這

個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形.

(1)如圖1,在梯形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=120°,ZC=75°,BD平分NABC.求證：

BD是梯形ABCD的和諧線；

(2)如圖2,在12X16的網(wǎng)格圖上(每個小正方形的邊長為1)有一個扇形BAC,點A.B.C

均在格點上，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D,使得以A、B、C、D為頂

點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形；

(3)四邊形ABCD中，AB=AD=BC,NBAD=90°,AC是四邊形ABCD的和諧線，求NBCD

的度數(shù).

A

圖1圖2

27.如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF,連接EF、BF,EF

與對角線AC交于點0,且BE=BF,ZBEF=2ZBAC.

(1)求證：0E=0F；

5/3

(2)若BC=2,求AB的長.

28.如圖，在RtZXABC中，NB=90。，AC=60cm,NA=60。，點D從點C出發(fā)沿CA方向

以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向

點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動

的時間是t秒(0<tW15).過點D作DFLBC于點F,連接DE,EF.

(1)求證：AE=DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由；

(3)當t為何值時，4DEF為直角三角形？請說明理由.

29.正方形ABCD的頂點A在直線MN上，點0是對角線AC、BD的交點，過點0作

0ELMN于點E,過點B作BFLMN于點F.

(1)如圖1,當0、B兩點均在直線MN上方時，求證：AF+BF=20E；

(2)當正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2時.線段AF,BF與0E具有什么數(shù)量關(guān)

系？并說明理由.

(3)當運動到圖3的位置時，線段AF、BF、0E之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出

你的猜想.

四邊形

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.已知回ABCD中，ZA+ZC=200°,則NB的度數(shù)是（）

A.100°B.160℃.80°D.60°

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得NA=NC,AD〃BC,又由NA+NC=200。,

即可求得/A的度數(shù)，繼而求得答案.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AZA=ZC,AD〃BC,

VZA+ZC=200°,

AZA=100°,

AZB=180°-ZA=80".

故選C.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握平行四邊形的對角相

等、鄰角互補的知識.

2.如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O,且AB=5,AOCD的周長為23,則平行

四邊形ABCD的兩條對角線的和是（）

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件計算即可，解題注意求平行四邊形ABCD的兩

條對角線的和時要把兩條對角線可作一個整體.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=CD=5,

VAOCD的周長為23,

.\OD+OC=23-5=18,

VBD=2DO,AC=2OC,

平行四邊形ABCD的兩條對角線的和=BD+AC=2(DO+OC)=36,

故選C.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題.平行四邊形的基本

性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四

邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分.

3.四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,下列條件不能判定這個四邊形是平行

四邊形的是()

A.AB〃DC,AD〃BCB.AB=DC,AD=BCC.AO=CO,BO=DOD.AB〃DC,AD=BC

【考點】平行四邊形的判定.

【分析】根據(jù)平行四邊形判定定理進行判斷.

【解答】解：A、由"AB〃DC,AD〃BC"可知，四邊形ABCD的兩組對邊互相平行，則該

四邊形是平行四邊形.故本選項不符合題意；

B、由"AB=DC,AD=BC"可知，四邊形ABCD的兩組對邊相等，則該四邊形是平行四邊形.故

本選項不符合題意；

C、由"AO=CO,BO=DO"可知，四邊形ABCD的兩條對角線互相平分，則該四邊形是平行

四邊形.故本選項不符合題意；

D、由"AB〃DC,AD=BC"可知，四邊形ABCD的一組對邊平行，另一組對邊相等，據(jù)此不

能判定該四邊形是平行四邊形.故本選項符合題意；

故選D.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定.

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,NBAD的平分線與BC的延長線交于點E,與

DC交于點F,且點F為邊DC的中點，DGLAE,垂足為G,若DG=1,則AE的邊長為（）

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾

股定理.

【專題】計算題；壓軸題.

【分析】由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得至UAD與

BE平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到

AD=DF,由F為DC中點，AB=CD,求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，

根據(jù)三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股

定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF,

即可求出AE的長.

【解答】解：：AE為NDAB的平分線，

I.NDAE=NBAE,

VDC/7AB,

.\ZBAE=ZDFA,

NDAE=NDFA,

，AD=FD,

又F為DC的中點，

，DF=CF,

AAD=DF2DC2AB=2,

炳

在Rt^ADG中，根據(jù)勾股定理得：AG=,

V3

貝I]AF=2AG=2,

:平行四邊形ABCD,

.,.AD/7BC,

...NDAF=NE,NADF=NECF,

14AADF和4ECF中，

2DAF=NE

<NADF=NECF

,DF=CF

/.△ADF^AECF（AAS）,

，AF=EF,

V3

則AE=2AF=4.

故選：B

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三

角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

5.如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B，處，若AE=2,DE=6,ZEFB=60°,

則矩形ABCD的面積是（）

【考點】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）.

【專題】壓軸題.

【分析】在矩形ABCD中根據(jù)AD//BC得出NDEF=NEFB=60。，由于把矩形ABCD沿EF

翻折點B恰好落在AD邊的B，處，

所以NEFB=NDEF=60°,NB=NA'B'F=90°,NA=NA'=90°,AE=A'E=2,AB=A'B',

在aEFB'中可知NDEF=NEFB=NEB'F=60°故aEFB'是等邊三角形，由此可得出NA'B'E=90°

-60。=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=AB=y,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計

算即可得解.

【解答】解：在矩形ABCD中，

VAD/7BC,

AZDEF=ZEFB=60°,

..?把矩形ABCD沿EF翻折點B恰好落在AD邊的B，處，

AZDEF=ZEFB=60°,NB=NA'B'F=90°,NA=NA'=90°,AE=A'E=2,

AB=A'B',

在△EFB，中，

VZDEF=ZEFB=ZEBT=60°

??.△EFB，是等邊三角形，

RtZ\A'EB'中,

VZA/B,E=90°-60°=30°,

.?.B'E=2A'E,而A'E=2,

，B'E=4,

,即AB=2^,

VAE=2,DE=6,

；.AD=AE+DE=2+6=8,

J3Vs

；?矩形ABCD的面積=AB?AD=2X8=16.

故選D.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直

線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形并熟記性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC=8cm,BD=6cm,DH，AB于點H,且DH與

AC交于G,則GH=()

2821^2825

A?，cmB￡UcmC.15cmD.?lcm

【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形.

【分析】先求出菱形的邊長，然后利用面積的兩種表示方法求出DH,在RtADHB中求

出BH,然后得出AH,利用tanZHAG的值，可得出GH的值.

【解答】解：：四邊形ABCD是菱形，對角線AC=8cm,BD=6cm,

/.AO=4cm,BO=3cm,

22

在RSAOB中，ABVAO+BO=55,

1

2BDXAC=ABXDH,

24

；.DH5cm,

VDB2-DH2生

在Rt^DHB中，BH=5cm,

7_

則AH=AB-BH5cm,

GHOB1

VtanZHAGAO4,

3_21

，GH4AH20cm.

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形及三角函數(shù)值的知識，注意菱形的面積

等于對角線乘積的一半，也等于底乘高.

7.如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為（）

FA

EC

A.14B.15C.16D.17

【考點】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)菱形得出AB=BC,得出等邊三角形ABC,求出AC,長，根據(jù)正方形的性質(zhì)

得出AF=EF=EC=AC=4,求出即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是菱形，

.\AB=BC,

VZB=60°,

.'.△ABC是等邊三角形，

，AC=AB=4,

正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4X4=16,

故選C.

【點評】本題考查了菱形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應用，關(guān)鍵是

求出AC的長.

8.如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，4AEF是等邊三角形，連接AC

交EF于G,下列結(jié)論：

①BE=DF,②NDAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤SACEF=2SMBE.

其中正確結(jié)論有（）個.

【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角

形的性質(zhì).

【分析】通過條件可以得出4ABE之a(chǎn)ADF,從而得出NBAE=NDAF,BE=DF,由正方形

的性質(zhì)就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,設EC=x,BE=y,由勾股定理就

可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF,利用三角形的面積公式分別表示出S.CEF和2S

△ABE，再通過比較大小就可以得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形,

，AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90".

?.?△AEF等邊三角形，

.?.AE=EF=AF,ZEAF=60°.

AZBAE+ZDAF=30".

在RtAABE和RtAADF中，

[AE=AF

iAB二AD

RtAABE^RtAADF（HL）,

，BE=DF（故①正確）.

NBAE=NDAF,

，NDAF+NDAF=30°,

即NDAF=15。（故②正確），

VBC=CD,

ABC-BE=CD-DF,即CE=CF,

VAE=AF,

.?.AC垂直平分EF.（故③正確）.

設EC=x,由勾股定理，得

V2返

T

EF=x,CG=x,

返

2

AG=AEsin60°=EFsin60°=2XCGsin600=x,

述x+&x

~2~

AAC=,

行x+x

-2-

AAB=,

向x+x遮x-x

~2~~2~

BE=-x=,

...BE+DF*x-x*x,（故④錯誤）,

??C2

?JACEF—，

V3x-xV3x+xY2

-----------■------------——

224

SAABEN=，

2

x_

~2~

==

??2SAABESACEFJ（故⑤正確）.

綜上所述，正確的有4個,

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理

的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定

理的性質(zhì)解題時關(guān)鍵.

9.如圖，正方形ABCD中，AB=3,點E在邊CD上，且CD=3DE.將aADE沿AE對折至

△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.下列結(jié)論：①點G是BC中點；②FG=FC；

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考點】正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）.

【專題】壓軸題.

【分析】先求出DE、CE的長,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AD=AF,EF=DE,NAFE=ND=90。,

再利用"HL”證明RtAABG和RtAAFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BG=FG,再

3_

設BG=FG=x,然后表示出EG、CG,在RtaCEG中，利用勾股定理列出方程求出x2,

從而可以判斷①正確；根據(jù)NAGB的正切值判斷NAGBW60。，從而求出NCGFW60。，△

CGF不是等邊三角形，F(xiàn)GWFC,判斷②錯誤；先求出4CGE的面積，再求出EF：FG,然

后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長的比求解即可得到4FGC的面積，判斷③正

確.

【解答】解：：正方形ABCD中，AB=3,CD=3DE,

1

ADE3X3=l,CE=3-1=2,

AADE沿AE對折至^AFE,

.?.AD=AF,EF=DE=1,ZAFE=ZD=90°,

，AB=AF=AD,

(AG=AG

—A工A^1AB=AF

在Rt^ABG和Rt^AFG中，，

ARtAABG^RtAAFG(HL),

.\BG=FG,

設BG=FG=x,則EG=EF+FG=l+x,CG=3-x,

在RtACEG中，EG2=CG2+CE2,

即(1+x)2=(3-X)2+22,

金

解得，x5,

3_3_

.*.CG=322,

3_

：.BG=CG2,

即點G是BC中點，故①正確；

AB3

BGT

VtanZAGB=2=2,

NAGBW60。，

NCGFW180。-60°X2^60°,

又：BG=CG=FG,

??.△CGF不是等邊三角形，

.??FGWFC,故②錯誤；

113_3

△CGE的面積2CG?CE22.X22

3_

VEF：FG=1.2=2：3,

32_9_

SAFGCz+1-J10,故③正確;

綜上所述，正確的結(jié)論有①③.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理的應用，根據(jù)各邊的熟量關(guān)系利用勾股定理列式求出BG=FG的長度是解題的關(guān)鍵,

也是本題的難點.

10.如圖，在矩形ABCD中，。是對角線AC的中點，動點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻

速運動到終點C,動點P從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動到終點B.已知P,Q兩點同

時出發(fā)，并同時到達終點，連接OP,OQ.設運動時間為t,四邊形OPCQ的面積為S,

那么下列圖象能大致刻畫S與t之間的關(guān)系的是（）

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

【專題】壓軸題.

【分析】作OELBC于E點，OFLCD于F點設BC=a,AB=b，點P的速度為x,點F的

速度為y，則CP=xt,DQ=yt,CQ=b-yt,根據(jù)矩形和中位線的性質(zhì)得到0E2b,0F2a,

ab

根據(jù)P,Q兩點同時出發(fā)，并同時到達終點，品y,即ay=bx,然后利用S=SA℃Q+SA

11111a_

x

ocp22a.（b-yt）22b?xt,再整理得到ab（0<t^）,根據(jù)此解析式可判斷

函數(shù)圖象線段（端點除外）.

【解答】解：作OELBC于E點，OFLCD于F點，如圖，設BC=a,AB=b，點P的速度

為x,點F的速度為y,

則CP=xt,DQ=yt,所以CQ=b-yt,

:。是對角線AC的中點，

...OE、OF分別是^ACB、aACD的中位線，

AOE2b,0F2a,

VP,Q兩點同時出發(fā)，并同時到達終點，

ab

X.y,即ay=bx,

S=SAOCQ+SAOCP

E?（b-yt）2Eb*xt

4abqayt^bxt

1a

4ab（0<tx：）,

a

???s與t的函數(shù)圖象為常函數(shù)，且自變量的范圍為OVtW）.

故選A.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動點有關(guān)的兩變量之

間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范

圍.

11.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC=3,AD=5,ZC=60°,貝U下底BC的長為（）

A.8B.9C.10D.11

【考點】等腰梯形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【分析】首先構(gòu)造直角三角形，進而根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出NB=6(r,BF=EC,AD=EF=5,

求出BF即可.

【解答】解：過點A作AFLBC于點F,過點D作DELBC于點E,

:梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC=3,AD=5,ZC=60°,

NB=60°,BF=EC,AD=EF=5,

BFBF1

.,.COS60°AB32,

解得：BF=1.5,

故EC=1.5,

.,.BC=1.5+1.5+5=8.

【點評】此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及解直角三角形等知識,根據(jù)已知得出BF=EC

的長是解題關(guān)鍵.

12.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AB2,BC=4,連結(jié)BD,NBAD的平分線交BD于

點E,且AE〃CD,貝UAD的長為()

A.3B2C3D.2

【考點】梯形；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【分析】延長AE交BC于F,根據(jù)角平分線的定義可得NBAF=NDAF,再根據(jù)兩直線平

行，內(nèi)錯角相等可得NDAF=NAFB,然后求出NBAF=NAFB,再根據(jù)等角對等邊求出AB=BF,

然后求出FC,根據(jù)兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形得到四邊形AFCD是平行四邊形，

然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等解答.

【解答】解：延長AE交BC于F,

VAE是NBAD的平分線，

，NBAF=NDAF,

VAD/7CB,

I.NDAF=NAFB,

NBAF=NAFB,

AAB=BF,

5_

VAB2,BC=4,

.?.CF=422,

VAD/7BC,AE〃CD,

...四邊形AFCD是平行四邊形，

3_

，AD=CF2.

故選B.

【點評】本題考查了梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，梯形

的問題，關(guān)鍵在于準確作出輔助線.

二、填空題

13.如圖，依次以三角形、四邊形、…、n邊形的各頂點為圓心畫半徑為I的圓，且圓與

圓之間兩兩不相交.把三角形與各圓重疊部分面積之和記為S3,四邊形與各圓重疊部分

面積之和記為S4,....n邊形與各圓重疊部分面積之和記為Sn.則S90的值為44n.(結(jié)

【考點】扇形面積的計算；多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】計算題；壓軸題.

【分析】根據(jù)題意可得出，重疊的每一部分是半徑為1的扇形，圓心角是多邊形的內(nèi)角

n兀一

和，根據(jù)扇形的面積公式：S=360進行計算即可.

2

nnr180冗xi1_

2

nnr360.

360360

S4===R；

2

nKr(90-2)X18QH

360360

Sgo===44n.

故答案為44n.

【點評】本題考查了扇形面積的計算，以及多邊形的內(nèi)角和定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌

握.

14.矩形ABCD的對角線相交于點O,AB=4cm,NAOB=60。,則矩形的面積為16,cm?.

【考點】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】計算題.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC=BD,0A=0C,0D=0B,NABC=90°,推出0A=0B,得

到等邊三角形ABO,求出AC,由勾股定理求出BC,計算即可.

【解答】解：：矩形ABCD,

，AC=BD,OA=OC,OD=OB,NABC=90°,

.*.OA=OB,

ZAOB=60°,

??.△ABO是等邊三角形，

.\AC=2OA=2AB=8,

由勾股定理得：BCVAC?一曲=產(chǎn)，

V3Vs

矩形的面積是BC?AB=4X4=16.

【點評】本題主要考查對矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的

理解和掌握，能求出AC、BC的長是解此題的關(guān)鍵.

15.如圖，回ABCD中，NABC=60°,E、F分另在CD和BC的延長線上，AE〃BD,EF±BC,

EF#,則AB的長是1.

E

D,

5

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AB=CD,AB〃CD,得出平行四邊形ABDE,推出

DE=DC=AB,根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出CE長，即可求出AB的長.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.AB〃DC,AB=CD,

：AE〃BD,

??.四邊形ABDE是平行四邊形，

，AB=DE=CD,

即D為CE中點，

VEFXBC,

AZEFC=90°,

：AB〃CD,

AZDCF=ZABC=60°,

NCEF=30°,

EF

.?.CECOS300=2,

.\AB=1,

故答案為：1.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜

邊上中線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的應用，此題綜合性比較強，是

一道比較好的題目.

16.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點P在DC邊上且DP=1,點Q是AC上一動點，

則DQ+PQ的最小值為5.

AD

【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì).

【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ,PQ不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DQ,

PQ的值，從而找出其最小值求解.

【解答】解：如圖，連接BP,

,點B和點D關(guān)于直線AC對稱，

.?.QB=QD,

則BP就是DQ+PQ的最小值，

,/正方形ABCD的邊長是4,DP=1,

.?.CP=3,

=5,

...DQ+PQ的最小值是5.

故答案為：5.

【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用，得出DQ+PQ

的最小值時Q點位置是解題關(guān)鍵.

17.如圖,回ABCD與回DCFE的周長相等,且NBAD=60。，ZF=110。,則ZDAE的度數(shù)為25。

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【分析】由，回ABCD與回DCFE的周長相等，可得到AD=DE即^ADE是等腰三角形，再由

且NBAD=60°,ZF=110",即可求出NDAE的度數(shù).

【解答】解：：回ABCD與回DCFE的周長相等，且CD=CD,

AAD=DE,

VZDAE=ZDEA,

VZBAD=60°,ZF=110",

AZADC=120°,ZCDE=ZF=110°,

ZADE=360°-120°-110°=130°,

180°-130°

AZDAE2=25",

故答案為：25。.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等、平行四邊形的對角相

等以及鄰角互補和等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理.

18.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且AC=8,BD=6,過點。作OH_L

AB,垂足為H,則點O到邊AB的距離為2.4.

D

【考點】菱形的性質(zhì).

【分析】首先利用菱形的性質(zhì)得出AO=4,BO=3,NAOB=90。，進而利用勾股定理得出

AB的長，再利用三角形面積公式求出HO的長.

【解答】解：：菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且AC=8,BD=6,

，AO=4,BO=3,ZAOB=90°,

22

...在RQAOB中，ABVA0+B0=5,

—AB,

.*.HOXAB=AOXBO,

AOXBO3X4

AHOAB5=2.4.

故答案為：2.4.

【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，得出AB的長是解題關(guān)鍵.

19.如圖，依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連接菱形各邊的中點

得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個矩形的面積為1,則第n個矩形的

1

面積為￡)…

【考點】矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì).

【專題】壓軸題；規(guī)律型.

【分析】易得第二個矩形的面積為，第三個矩形的面積為4)2,依此類推，第n個

矩形的面積為4)nF.

【解答】解：已知第一個矩形的面積為1；

第二個矩形的面積為原來的4);

1]

第三個矩形的面積是4)3-1正；

1

故第n個矩形的面積為：4)n-1.

【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首

先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.

20.如圖，分別以直角^ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向^ABC外作等邊4ABD和等

邊^(qū)ACE,F為AB的中點，DE與AB交于點G,EF與AC交于點H,ZACB=90°,ZBAC=30°.給

出如下結(jié)論：

①EFLAC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH4BD

其中正確結(jié)論的為①③④(請將所有正確的序號都填上).

【考點】菱形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.

【專題】壓軸題.

【分析】根據(jù)已知先判斷△ABCg^EFA,則NAEF=NBAC,得出EF，AC,由等邊三角形

的性質(zhì)得出NBDF=30°,從而證得4DBF咨4EFA,則AE=DF,再由FE=AB,得出四邊形

ADFE為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG,從而得到答案.

【解答】解：?「△ACE是等邊三角形，

AZEAC=60°,AE=AC,

VZBAC=30",

AZFAE=ZACB=90°,AB=2BC,

??,F為AB的中點，

；.AB=2AF,

；.BC=AF,

/.△ABC^AEFA,

；.FE=AB,

AZAEF=ZBAC=30°,

AEFXAC,故①正確，

VEF±AC,NACB=90°,

.?.HF〃BC,

是AB的中點，

AHF2BC,

VBC2AB,AB=BD,

1

/.HF4BD,故④說法正確；

*/AD=BD,BF=AF,

AZDFB=90°,NBDF=30°,

VZFAE=ZBAC+ZCAE=90°,

I.NDFB=NEAF,

VEF±AC,

...NAEF=30°,

AZBDF=ZAEF,

.,.△DBF^AEFA(AAS),

，AE=DF,

VFE=AB,

...四邊形ADFE為平行四邊形,

；AEWEF,

...四邊形ADFE不是菱形；

故②說法不正確；

AAG2AF,

1

AAG4AB,

VAD=AB,

則AD=4AG,故③說法正確，

故答案為：①③④.

【點評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題需先

根據(jù)已知條件先判斷出一對全等三角形，然后按排除法來進行選擇.

三、解答題

21.如圖，在回ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，延長BC到點E,使CE?BC,連接DE,CF.

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）若AB=4,AD=6,NB=60°,求DE的長.

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【分析】（1）由“平行四邊形的對邊平行且相等"的性質(zhì)推知AD〃BC,且AD=BC；然后

根據(jù)中點的定義、結(jié)合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等（DF=CE,且DF〃

CE）,即四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）如圖，過點D作DHLBE于點H,構(gòu)造含30度角的直角△DCH和直角△DHE.通

過解直角△DCH和在直角ADHE中運用勾股定理來求線段ED的長度.

【解答】證明：（1）在回ABCD中，AD〃BC,且AD=BC.

是AD的中點，

7-AD

ADF2

又：CE2BC,

；.DF=CE,且DF〃CE,

???四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）解：如圖，過點D作DHLBE于點H.

在回ABCD中，VZB=60",

AZDCE=60°.

VAB=4,

，CD=AB=4,

1V3

ACH2CD=2,DH=2.

在回CEDF中，CE=DF2AD=3,則EH=1.__________

J(2f)2+iV13

??.在RtADHE中，根據(jù)勾股定理知DEl'"=

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理.平行四邊形的判定方法共有

五種，應用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方

法.

22.如圖，D是^ABC的邊AB上一點，CN〃AB,DN交AC于點M,若MA=MC.

(1)求證：CD=AN；

(2)若ACLDN,NCAN=30。，MN=1,求四邊形ADCN的面積.

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【分析】(1)利用"平行四邊形ADCN的對邊相等"的性質(zhì)可以證得CD=AN；

(2)根據(jù)"直角^AMN中的30度角所對的直角邊是斜邊的一半"求得AN=2MN=2,然后

,、M,-Js

由勾股定理得到AM=,則S四邊形ADCN=4SMMN=2.

【解答】(1)證明：：CN〃AB,

：.Z1=Z2.

在AAMD和ACMN中，

'N1=N2

，MA=MC

/AMD=/CMN(對頂角相等)

.,.△AMD之△CMN(ASA),

.\AD=CN.

又AD〃CN,

四邊形ADCN是平行四邊形，

.*.CD=AN；

(2)解：VAC±DN,ZCAN=30°,MN=L

??.AN=2MN=2,

VAN2-MN2Vs

??MIVI——,

11VsVs

22工

?**SAAMN=AM?MN=XX1=

,/四邊形ADCN是平行四邊形,

?.?S四邊形ADCN_—4sAAMN_-2V3.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性

質(zhì).解題時，還利用了直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30。角所對的直角邊是斜

邊的一半.

23.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE±AB,DF±BC,垂足分別是E、F,并

且DE=DF.求證：

（1）AADE^ACDF；

（2）四邊形ABCD是菱形.

【考點】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出NA=NC,進而利用全等三角形的判定得

出即可；

（2）根據(jù)菱形的判定得出即可.

【解答】解：(1)VDE±AB,DFXBC

AZAED=ZCFD=90°,

四邊形ABCD是平行四邊形

AZA=ZC,

：在4AED和Z\CFD中

2AED=NCFD

<ZA=ZC

DE=DF

/.△AED^ACFD(AAS)；

(2)VAAED^ACFD,

，AD=CD,

*/四邊形ABCD是平行四邊形，

???平行四邊形ABCD是菱形.

【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出NA=

ZC是解題關(guān)鍵.

24.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于F,連接

DF.

(1)證明：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE.

(2)若AB〃CD,試證明四邊形ABCD是菱形；

(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使得NEFD=NBCD,并說明理由.

C

E

D

【考點】菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【分析】(1)首先利用SSS定理證明△ABC^^ADC可得NBAC=NDAC,再證明^ABF會

△ADF,可得NAFD=NAFB,進而得到NAFD=NCFE；

(2)首先證明NCAD=NACD,再根據(jù)等角對等邊可得AD=CD,再有條件AB=AD,CB=CD

可得AB=CB=CD=AD,可得四邊形ABCD是菱形；

(3)首先證明△BCF/4DCF可得NCBF=NCDF,再根據(jù)BEXCD可得NBEC=NDEF=90°,

進而得到NEFD=/BCD.

【解答】(1)證明：在aABC和^ADC中，

'AB=AD

?BC=DC

.AC=AC

/.△ABC^AADC(SSS),

...NBAC=NDAC,

在^ABF^DAADF中，

'AB=AD

<ZBAF=ZDAF

.AF=AF

9

AAABF^AADF(SAS),

NAFD=NAFB,

VZAFB=ZCFE,

AZAFD=ZCFE；

(2)證明：：AB〃CD,

NBAC=NACD,

又：NBAC=NDAC,

AZCAD=ZACD,

，AD=CD,

VAB=AD,CB=CD,

.*.AB=CB=CD=AD,

四邊形ABCD是菱形;

(3)當EB，CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，NEFD=NBCD,

理由：?.?四邊形ABCD為菱形，

，BC=CD,ZBCF=ZDCF,

在ABCF和ZXDCF中，

'BC=CD

＜ZBCF=ZDCF

,CF=CF

AABCF^ADCF(SAS),

AZCBF=ZCDF,

VBEXCD,

AZBEC=ZDEF=90°,

ZBCD+ZCBE=ZCDF+ZEFD,

AZEFD=ZBCD.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角

形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.

25.某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60。角的直角三角

板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt^AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

角a(0。＜。＜90。)，如圖(2),AE與BC交于點M,AC與EF交于點N,BC與EF交于

點P.

(1)求證：AM=AN；

(2)當旋轉(zhuǎn)角a=30。時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由.

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.

【專題】壓軸題.

【分析】（1）根據(jù)旋