2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊同步練習(xí)-23 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一一元二次不等式的解法

1.（2021河北邢臺(tái)期中）不等式x2+5x>0的解集為（）

A.{x|x<0或x>5}B.{x|0<x<5}

C.{x[x<-5或x>0}D.{x|-5<x<0}

2.不等式-X2-X+220的解集為（）

A.{x|xW-2或x21}B.{x|xWT或x22}

C.{x|TWxW2}D.{x|-2WxWl}

3.（2021浙江五湖聯(lián)盟期中聯(lián)考）若a>2,則關(guān)于x的不等式ax2-（2+a）x+2>0的解

集為（）

A.（x|xV：或x>1}B.（x|<x<11

C.卜[x>:或xV1}D.{%|1VxV：}

4.（2022河南南陽一中月考）用列舉法表示集合B={x￡N12x2-5x-3<0}

5.（2021上海浦東新區(qū)期中）不等式（x-2VW4的解集為.

6.（2022江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）求下列不等式的解集:

（l）2x-7x+3<0;（2）-3x2+6x<2;（3）4x2+4x+l>0;（4）-x2+6x-10>0.

7.(2022北京一零一中學(xué)期中)求關(guān)于x的不等式x2+(a-l)x-a>0(aGR)的解集.

題組二三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

8.不等式ax2+bx+c>0的解集為｛x則函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象大致為

()

9.（2022安徽合肥六中段考）已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{幻-g<%<2）,則

不等式cx2+bx+a<0的解集為（）

A.{工|-3<x<|jB.{x|xV-3或x>g}

C.{%卜2<x<|jD.{%|x4-2或x>芬

10.（2022江蘇張家港期中）若一元二次不等式kx2-2x+k<0的解集為{x|xWm},

則m+k=()

A.-lB,0C.-2D.2

11.（2022北京房山期中）已知關(guān)于x的不等式x2+px-q<0的解集是{x[l<x<2},則

p=,q=.

12.（2020湖南長沙雅禮中學(xué)檢測）若二次函數(shù)y=x2-（2k+l）x+1^+1的圖象與x軸的

兩個(gè)交點(diǎn)分別為（X],O）,區(qū),0）,且x1,X2都大于1.

⑴求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

⑵若之三,求k的值.

X22

題組三一元二次不等式的恒（能）成立問題

13.（2021浙江臺(tái)州七校聯(lián)盟聯(lián)考）關(guān)于x的不等式x2-mx+l>0的解集為R,則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是（）

A.{m10<m<4}

B.{m[m<-2或m>2}

C.{m|-2WmW2}

D.{m|-2<m<2}

14.（2022北京豐臺(tái)期中）若關(guān)于x的不等式ax2-x+a<0的解集為R,則a的取值范

圍是（）

A.a〈一;或a>；B.a<-1

C.-1<a<iD.-i<a<0

15.若關(guān)于x的不等式-x2+mx-120有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.{m|mW-2或m22}

B.{m|-2^m^2}

C.或或2}

D.{m|-2<m<2}

16.（2022北京首師大附中月考）若不等式ax2+ax-l>0的解集為。,則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

題組四一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用

17.某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺(tái)）之間的關(guān)系為y=3

000+20x-0.1X2（X￡N*）,假設(shè)生產(chǎn)的產(chǎn)品均可售出，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，

則生產(chǎn)者不虧本（銷售收入不小于總成本）時(shí)的最低產(chǎn)量是（）

A.100臺(tái)B.120臺(tái)

C.150臺(tái)D.180臺(tái)

18.將進(jìn)貨價(jià)為每個(gè)80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè),每漲價(jià)1元,

銷售量就減少20個(gè),為了使商家的利潤有所增加,則售價(jià)式元/個(gè)）的取值范圍是

（）

A.90<a<100B.90<a<110

C.100<a<110D.80<a<100

19.現(xiàn)要規(guī)劃一塊長方形綠地,且長方形綠地的長與寬的差為30米.若使長方形綠

地的面積不小于4000平方米,則這塊綠地的長與寬至少應(yīng)為多少米？

能力提升練

題組一一元二次不等式的解法

1.（2021廣東中山實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校聯(lián)考）關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式

a（x-a）（x+l）〉0（a￡R）的解集不可能是（）

A.{x|x<_l或x>a}B.R

C.{x|-l<x<a}D.{x|a<x<-l}

2.（多選）（2022河北石家莊一中適應(yīng)性測試）關(guān)于x的不等式ax2+（2-4a）x-8>0,

下列說法正確的是（）

A.當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為{x|x>4）

B.當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為lxx>4或x〈二）

a

C.當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為回-：<%<4）

D.當(dāng)時(shí),不等式的解集為。

3.（2022江蘇南通如東高級中學(xué)階段測試）不等式也W2的解集為.

X

4.（2022北京首師大附中月考）關(guān)于x的不等式x2-（a+l）x4-a<0的解集中恰有兩個(gè)

整數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

5.（2022安徽合肥六中段考）解關(guān)于x的不等式:mx2+（m-2）x-2>0.

題組二三個(gè)“二次”的綜合應(yīng)用

6.（2022河南南陽一中月考）若不等式ax2-x-c>0的解集為上卜1<x<g,則函數(shù)

y二ex?-x-a的圖象大致為（）

7.（2021安徽合肥第一中學(xué)段考）已知函數(shù)y=x2+ax+b（a,b￡R）的最小值為0,若關(guān)

于x的不等式x2+ax+b<c的解集為{x|m<x<m+4},則實(shí)數(shù)c的值為（）

A.9B.8C.6D.4

8.（多選）（2022湖北武漢中學(xué)月考）已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{x[m<x<n},

其中n>m>0,則以下選項(xiàng)正確的有（）

A.a<0

B.c>0

C.cx2+bx+a>0的解集為卜|：V匯V'}

D.cx2+bx+a>0的解集為{x|x〈3或x>'}

9.（2021上海華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)月考）已知關(guān)于x的不等式-1<注<1的

X-1

解集是{x|-2<x<0},則所有滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合是.

10.（2020山西大同中學(xué)月考）已知關(guān)于x的不等式kx2-2x+6k<0（k7^0）.

(1)若不等式的解集為｛X|x<-3或x>-2｝，求k的值;

⑵若不等式的解集為1|x轉(zhuǎn)｝,求k的值；

⑶若不等式的解集是R,求k的取值范圍；

(4)若不等式的解集是。,求k的取值范圍.

題組三一元二次不等式的恒（能）成立問題

11.（2021江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）已知命題pFxCR,mx2+lW0;命題

q：VxER,x2+mx+l>0.若p,q都是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.m^-2B.m22

C.m，2或mW-2D.-2〈后2

12.（2022重慶縉云教育聯(lián)盟質(zhì)檢）在R上定義運(yùn)算:a十b=（a+l）b.已知l〈x<2

時(shí),存在x使不等式（m-x）十（m+x）<4成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.{m|-2<m<2}B.{m|-l<m<2}

C.{m|-3<m<2}D.{m|l<m<2}

13.（2022豫西名校聯(lián)考）當(dāng)x>0時(shí),不等式x2+mx+9>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是.

14.若不等式a2+8b2,入b（a+b）對于任意的a,b￡R恒成立，則實(shí)數(shù)X的取值范圍

為.

題組四一元二次不等式的應(yīng)用

15.某商家一月份至五月份的累計(jì)銷售額達(dá)3860萬元,預(yù)測六月份的銷售額為

500萬元,七月份的銷售額比六月份增長x%,八月份的銷售額比七月份增長x%,九、

十月份的銷售總額與七、八月份的銷售總額相等.若一月份至十月份的銷售總額

至少達(dá)7000萬元，則x的最小值是.

16.（2022湖北武漢部分學(xué)校期中）若使集合A={x|（kx-k2-2k-2）（2x-5）>0,x^Z}

中的元素個(gè)數(shù)最少,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

17.（2022安徽合肥六中段考）已知a,b￡R,且a2+b2+ab=l,則b的取值范圍

是.

18.一個(gè)小型服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣,月產(chǎn)量x（件）與售價(jià)P（元/件）之間的關(guān)系為

P=160-2x,生產(chǎn)x件的成本為（500+30x）元.

（1）該廠的月產(chǎn)量為多少時(shí),每月獲得的利潤不少于1300元？

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤?最大利潤是多少元？

（注:假設(shè)生產(chǎn)的風(fēng)衣均能售出）

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C易得方程x?+5x=0的兩根分別為-5,0,由函數(shù)y=x?+5x的圖象(圖略)知，不等

式X5+5X>0的解集為｛x|x<-5或x>0｝.故選C.

2.D由-X2—X+220,可得X2+X-2^0,即(x-1)(x+2)<0,.,.-2WxWl,.,?不等式

-x2-x+2^0的解集為｛x|-2<xW1｝.故選D.

3.A由ax2-(2+a)x+2>0,得(x_l)(ax_2)>0.

7

Va>2,AO<-<1,

a

?,?原不等式的解集為｛x|xV：或x>1｝.

故選A.

4.答案｛0,1,2)

解析由2x2-5x-3<0,得3<x<3,又xeN,Ax=0,1,2,故B=｛0,1,2).

5.答案｛x0<xW4｝

解析由(X-2TW4,得-2Wx-2<2,解得0?4,

?,?原不等式的解集為｛x10Wx<4｝.

6.解析(1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-l)(x-3)<0,解得gx<3,

所以原不等式的解集為3|<x<3).

⑵原不等式可化為3X2-6X+2^0,易知方程3X2-6X+2=0的兩根為x=l土手,結(jié)合函

數(shù)yW-6x+2的圖象(圖略)，可得原不等式的解集為｛%|xK1-日或x>14-^].

⑶原不等式可化為(2x+l)2>0,所以原不等式的解集為｛%|x￡R,且％。-i｝*

(4)原不等式可化為X2-6X+10<0,即(x-3)2+l<0,所以原不等式的解集為。.

7.解析由x2+(aT)x-a>0,可得(x+a)(xT)>0①，

則當(dāng)-即a>-l時(shí),解不等式①,得x<-a或x>l;

當(dāng)a-l時(shí)，解不等式①，得xWl;

當(dāng)-a>l,即a<-l時(shí),解不等式①,得x〈l或x>-a.

綜上所述,當(dāng)a>-l時(shí),不等式的解集為｛x|x<-a或x>l｝;當(dāng)a=-l時(shí),不等式的解集

為｛x|xWl｝;當(dāng)a<-l時(shí),不等式的解集為｛x|x〈l或x>-a｝.

8.A..?不等式ax'+bx+c>0的解集為｛x-2<x<l｝,

???函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),(1,0),且開口向下,故選A.

9.A???不等式ax2+bx+c>0的解集為｛劃-；<x<2),

工方程ax'+bx+c=0的實(shí)數(shù)根為和2,且a<0,

(--+2=--,ffe=--a,

???:。解得I

匕X2=,(5=一六，

則不等式cx2+bx+a<0可化為‘a(chǎn)x'-^ax+aVO,

33

即2X2+5X-3<0,解得-3<X0,

，所求不等式的解集為｛制-3<x<1｝.故選A.

10.C由題意可得函數(shù)y=kx2-2x+k的圖象開口向下,且與x軸只有1個(gè)交

點(diǎn)，?',￡二表”2=0,解得k=T,

Ik<0,

?,?不等式為一X2—2X—1<0,艮［Ix\Zx+lX),其解集為｛x|x#一1｝,/.m+k=_2.

故選C.

11.答案-3;-2

解析因?yàn)椴坏仁絰2+px-q<0的解集為｛x|l<x<2｝,

所以1和2是方程x2+px-q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系，知[；：：=一十

(1x2=-q,

解得E=I'

(Q=-2.

22

12.解析(1)由題意可知,xbX2是關(guān)于x的方程x-(2k+l)x+k4-l=0的兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根，

2

；?Xi+x2=2k+l,XiX2=k+l.

又X|>1,X2>1,

A=[-(2k+l)]2-4(fc2+1)>0,

Xi+%2>2,

、(%-1)(%2-l)=X1X2-(%1+%2)+1>°，

(4k-3>0,

即12/c+l>2,

U2-2k+1>0,

可得k>*且kWL

???實(shí)數(shù)k的取值范圍是(kIk>：且kW1).

fXi+%2=2k+1,fxt=

⑵由｛&=工得｛4、

"2'62=丁，

?標(biāo)二1?+1,即k2-8k+7=0,

解得k尸7,k2=l(舍去).

???k的值為7.

13.D???不等式x2-mx+l>0的解集為R,

J函數(shù)y=x2-mx+l的圖象在x軸上方，

，方程x2-mx+l=0無實(shí)數(shù)解，，A<0,即m2-4<0,解得-2<m<2,

J實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-2<m<2}.

故選D.

14.B當(dāng)a=0時(shí),原不等式為-x<0,即x>0,不滿足題意；

當(dāng)a#0時(shí),若關(guān)于x的不等式ax2-x+a<0的解集為R,則片<、2(2八解得

(4=(-1)-4a2<0,

a<-|.故選B.

15.A二?關(guān)于x的不等式-x'mxT》。有解,且函數(shù)y=-x'mx-l的圖象開口向

下，，函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，，△=m2-4^0,解得m22或m^-2.故選A.

16.答案{a|-4〈aW0}

解析當(dāng)a=0時(shí),不等式化為-1>0,解集為0,滿足題意；

當(dāng)aWO時(shí),若不等式ax2+ax-l>0的解集為。,則巧<—…解得-4Wa<0.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|-4WaW0}.

17.C令3000+20x-0.1X2^25X,得x2+50x-3000020,解得x<-200(舍去)或

x2150.故選C.

18.A設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元,漲價(jià)后的利潤與原利潤之差為y元,則

a=x+90,y=(10+x)(400-20x)-10X400=-20x2+200x.要使商家的利潤有所增加，則

必須使y>0,即x2-10x<0,得0<x<10,A90<x+90<100,即90<a<100.

19.解析設(shè)長方形綠地的長與寬分別為a米與b米.由題意可得a-b=30①,ab24

000②，

由①②可得b?+30b-400020,即(b+15)224225,

所以b+以265或b+15W-65(舍去)，所以b250,

所以b至少為50,則a至少為80,

所以這塊綠地的長至少為80米,寬至少為50米.

能力提升練

1.B當(dāng)a>0時(shí)，不等式a(x-a)(x+1)>0可化為(x-a)(x+1)>0,解得x>a或x<-l;

當(dāng)a=0時(shí),不等式a(x-a)(x+l)〉0可化為0>0,此時(shí)不等式的解集為。；

當(dāng)-時(shí),不等式a(x-a)(x+1)>0可化為(x-a)(x+1)<0,解得-!Xx〈a;

當(dāng)時(shí),不等式a(x-a)(x+l)〉0可化為(x+1)2<0,此時(shí)不等式的解集為0；

當(dāng)a〈T時(shí)，不等式a(x-a)(x+1)>0可化為(x-a)?(x+1)<0,解得a〈x<T.

故A、C、D都有可能,B不可能.

故選B.

2.AD當(dāng)a=0時(shí),不等式為2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集為{x|x>4},故A

正確；由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0,當(dāng)a7^0時(shí)，對應(yīng)方程

(ax+2)(x-4)=0的兩根為二,4,若2/人即a<4,則原不等式的解集為

a~~<4,2

a

{%|-|<%<4),若4即*則原不等式的解集為{%|4<x<-1,若

Ia'

--=4,則a=-i,此時(shí)(ax+2)(x-4)>0的解集為。,故B、C不正確,D正確.故選AD.

a2

3.答案{x|x21或x<0}

解析不等式把1W2即兇-2W0,???葉工冬忘0,即三W0,即

XXXX

曰20,.?.汽以、n.?.x21或x<0,

X(%(x-l)>0,

故原不等式的解集為{X|X21或x<0}.

易錯(cuò)警示解分式不等式,一要注意在分母符號不確定時(shí)不能直接去分母,而要

移項(xiàng)、通分;二要注意分子可以為零，分母不能為零.

4.答案-2^a<-l或3<aW4

解析關(guān)于x的不等式x2-(a+l)x+a<0可化為(xT)?(x-a)<0,

當(dāng)a>l時(shí),不等式的解集為｛x|l<x<a),由不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù),可知兩整

數(shù)為2,3,所以36W4;

當(dāng)a=l時(shí),不等式的解集為Q不滿足題意；

當(dāng)a<l時(shí),不等式的解集為｛x|a<x<l｝,

由不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù),可知兩整數(shù)是-1和0,所以-2Wa<-1.

綜上,a的取值范圍是-2Wa〈-l或3<aW4.

易錯(cuò)警示解決參數(shù)的取值范圍問題要注意兩點(diǎn):一是對參數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí)要

全面,二是參數(shù)取值范圍的端點(diǎn)能否取到需單獨(dú)考慮.

5.解析當(dāng)m=0時(shí),不等式化為-2x-2>0,解得x<-l;

當(dāng)m>0時(shí),不等式可化為

解得x<-l或x>—;

m

當(dāng)m<0時(shí),不等式可化為(%-A)(x+D〈°，

若二〈-1,則-2<m<0,

m

此時(shí)不等式的解集為｛x

m

若m=-2,則不等式可化為(x+l)2<0,此時(shí)不等式的解集為。，

若mT,則m<-2,此時(shí)不等式的解集為卜卜1VxV《｝.

綜上,m=0時(shí),不等式的解集是｛x|x<-l);

m>0時(shí),不等式的解集是｛x|xVT或x>5｝；

-2<m<0時(shí),不等式的解集是｛制￡V%<-1｝；

m=-2時(shí)，不等式的解集是。；

m<-2時(shí);不等式的解集是卜卜1<xV《｝.

6.C由題可得-1和混方程ax2-x-c=O的兩個(gè)根,且a<0,

,1_1

???八!二！解得｛二=

、2a'

則y=cx2-x-a=-x2-x+2=-(x+2)(x-l),

則函數(shù)圖象開口向下,與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),(1,0).故選C.

7.D..?函數(shù)y=x2+ax+b(a,bER)的最小值為0,

/.A=a2-4b=0,/.b-,

4

???函數(shù)y=x2+ax4-b=(x+其圖象的對稱軸為直線x=-].

不等式x2+ax+b<c的解集為{x|m<x<m+4},

2

工方程x2+ax+--c=0的根為m,m+4,

4

.?.m+m+4=一a,解得

2

??.c=(?n+|)=4.

故選D.

8.AC因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c>0的解集為｛x|m〈x〈n｝,

所以a<0,m,n是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,所以A正確;

,b

m+n=

由根與系數(shù)的關(guān)系可得ca

mn=

解得的=-(6+九)內(nèi)

(c=mna,

因?yàn)閚>m>0,所以c=mna<0,所以B錯(cuò)誤；

cx2+bx+a>0可化為mnax2-(m+n)ax+a>0,

即mnx2-(m+n)x+l<0,即(mx-l)(nx-l)<0,

因?yàn)閚>m>0,所以od〈工

nm

所以不等式cx2+bx+a>0的解集為｛x[；<%<、｝，

所以C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.

解題模板運(yùn)用“三個(gè)二次”的關(guān)系解決一元二次不等式問題的關(guān)鍵是由一元

二次不等式的解集得到對應(yīng)二次函數(shù)的圖象和對應(yīng)方程的兩根，再利用根與系數(shù)

的關(guān)系建立參數(shù)間的關(guān)系,解題時(shí)要關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)的符號、二次函數(shù)的對稱軸

等特征.

9.答案⑵

解析不等式—1<箸<1等價(jià)于]箸卜1,即(ax+l)2〈(x-1)：即

(a2-l)X2+2(a+1)x<0,

???不等式的解集是｛x卜2<x<0｝,

Aa2-l>0且-竽工-2,解得a=2.

a2T

故答案為｛2｝.

10.解析(1)由不等式的解集為｛x|x<-3或x>-2｝可知k<0,且x=-3與x=-2是方

程kx--2x+6k=0的兩根，

一3+(-2)=々解得k=-1.

k5

⑵由不等式的解集為｛小。胃可知憶，鈍2=0,解得k=4

V6一

⑶依題意知｛鼠6

wk<-

/乃

?k

⑷依題意知憶:6一

11.R若命題P為假命題,則命題P的否定為真命題，即vxeR,mx2+l>0為真命題,

當(dāng)m=0時(shí)，1>0恒成立,滿足條件，當(dāng)mWO時(shí),可得m>0,故GO.

若命題q為假命題,則命題q的否定為真命題，BIJseR,x2+mx+lW0為真命題，

所以△=m-4^0,解得m^2或啟-2.

rm>0,

故若P,q都是假命題，則［一、「今即m22.故選B.

(m>2或m<-2,

12.C(m-x)?(m+x)<4即(m-x+1)(m+x)=m2-x2+m+x<4,

2222

則當(dāng)l〈x<2時(shí),存在x使不等式m+m<x-x+4成立,等價(jià)于m+m<(x-x+4)max,

由x'-x+4=(x-0+拳可得x=2時(shí),X2-X+4取得最大值,為6,

所以m2+m<6,解得-3<m<2.故選C.

13.答案｛m|m>-6｝

解析當(dāng)x>0時(shí),不等式x2+mx+9>0可化為-水x+=

X

又當(dāng)x>0