備考2025高考數學一輪知識清單（上好課）專題10 復數及其應用（4知識點+2重難點+6方法技巧+3易錯易混）（含解析）

備考2025高考數學一輪知識清單（上好課）專題10復數及其應用（4知識點+2重難點+6方法技巧+3易錯易混）（含解析）專題10復數及其應用（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1復數的基本概念1、復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中實部是a，虛部是b．2、復數的分類：eq\a\vs4\al(復數z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數b＝0，,虛數b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數a＝0，,非純虛數a≠0.))))3、復數的有關概念復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復數a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復數的模向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)知識點2復數的幾何意義1、復平面的概念：建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面；2、實軸、虛軸：在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數；3、復數的幾何表示：復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)平面向量．知識點3復數的四則運算1、復數的運算法則設，(a，b，c，d∈R)，則（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）．2、復數運算的幾個重要結論（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2．（3）若z為虛數，則|z|2≠z2．（4）(1±i)2＝±2i．（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i．（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．知識點4復數的三角形式1、復數的輔角（1）輔角的定義：設復數z=a+bi的對應向量為OZ，以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在的射線（射線OZ）為終邊的角θ，叫做復數z的輔角（2）輔角的主值：根據輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數輔角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍．規(guī)定：其中在0≤θ<2π范圍內的輔角θ的值為輔角的主值，通常記作argz【注意】因為復數0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輔角是任意的．2、復數的三角形式及運算（1）定義：任何一個復數都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是復數的模，θ【注意】復數的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連．（2）復數乘法運算的三角表示：已知z1=r則z1這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輔角等于各復數的輔角的和．（3）復數除法運算的三角表示：已知z1=則z1這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輔角等于被除數的輔角減去除數的輔角所得的差．重難點01與復數有關的最值問題求復數模的范圍與最值問題的解題策略（1）把復數問題實數化、直觀化、熟悉化，即將復數問題轉化為實數問題來處理，轉化為實數范圍內，求模的范圍與最值問題來解決；（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉化為熟悉的問題來解答；（3）利用三角函數解決．【典例1】（2024·山東煙臺·三模）若復數z滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【典例2】（2024·云南·二模）已知為虛數單位，復數z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．0重難點02共軛復數與復數運算的綜合問題共軛復數問題的求解技巧：1、若復數的代數式已知，則根據共軛復數的定義，可以寫出，再進行復數的四則運算．2、已知關于和的方程，而復數的代數形式位置，求解.解決此類問題的常規(guī)思路是：設，則，代入所給等式，利用復數相等的充要條件，轉化為方程（組）求解．【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多選）已知復數z滿足，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）（多選）已知復數的共軛復數分別為，下列結論正確的是（

）A．若為純虛數，則B．若，則C．若，則D．若，則在復平而內對應的點的軌跡為直線一、復數的分類對于復數a＋bi，（1）當且僅當b＝0時，它是實數；（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；（3）當b≠0時，叫做虛數；（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．【典例1】（2024·廣東東莞·模擬預測）若復數z滿足，則復數z的虛部是（

）A．2 B． C．3 D．【典例2】（23-24高三上·甘肅慶陽·階段練習）（多選）下列各式的運算結果是實數的是（

）A． B．C． D．二、求復數標準代數式形式的兩種方法1、直接法：將復數用已知復數式表示出來，利用復數的四則運算化簡為復數的標準代數式；2、待定系數法：將復數設為標準式，代入已知的等式中，利用復數相等的條件列出關于復數實部和虛部的方程（組），通過解方程（組）求出復數的實部與虛部．【典例1】（2024·新疆·三模）復數滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·福建泉州·模擬預測）已知復數滿足，，則（

）A． B．2 C．-2 D．三、復數的幾何意義（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量OZ=(a,b)【典例1】（2024·四川自貢·三模）在復平面內，復數，對應的向量分別是，，則復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知復數滿足，若在復平面內對應的點不在第一象限，則．四、虛數單位i的乘方計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i．【典例1】（2024·湖北·二模）已知復數，則（

）A．1 B． C． D．i【典例2】（2024·河北·三模）已知復數滿足，則的共軛復數的虛部是（

）A． B． C． D．五、復數方程的解在復數范圍內，實系數一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①當?≥0時，x=-b±b2-4ac2a=2\*GB3②（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為x=m+ni(將此代入方程ax【典例1】（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習）已知是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．3【典例2】（2024·江蘇鹽城·模擬預測）（多選）已知，為方程的兩根，則（

）A． B．C． D．六、復數的三角表示將復數z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當a=0，b>0時，argz=【注意】每一個不等于零的復數有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等．【典例1】（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）（多選）任何一個復數（，，為虛數單位）都可以表示成（，）的形式，通常稱之為復數的三角形式.法國數學家棣莫弗發(fā)現：（），我們稱這個結論為棣莫弗定理，則下列說法正確的有（

）A．復數的三角形式為B．當，時，C．當，時，D．當，時，“為偶數”是“為純虛數”的充分不必要條件【典例2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數是虛數單位在復平面內對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數的三角形式，利用復數的三角形式可以進行復數的指數運算，，例如：，，復數滿足：，則可能取值為（

）A． B．C． D．易錯點1忽視復數是純虛數的充要條件點撥：對復數為純虛數理解不透徹，對于復數為純虛數，往往容易忽略虛部不等于0．【典例1】（24-25高三上·湖南·開學考試）已知復數，若復數為純虛數，則實數的值為（

）A． B． C．-2 D．2【典例2】（23-24高三上·廣西·開學考試）已知i是虛數單位，若是純虛數，則實數（

）A． B． C．1 D．易錯點2錯誤的理解復數比大小點撥：兩個復數不能直接比大小，但如果成立，等價于．【典例1】（2024·遼寧·三模）已知復數在復平面上對應的點為，若，則實數的值為（

）A．0 B． C．1 D．1或【典例2】（2024·湖南永州·三模）已知復數，，若（為的共軛復數），則實數的取值范圍為.易錯點3錯誤的慣性思維理解復數的模點撥：對復數模長的理解錯誤，復數的模長計算與實數不同，尤其要注意模長性質的應用．【典例1】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知是虛數單位，則（

）A．1 B． C．2 D．【典例2】（24-25高三上·山西大同·期末）（多選）已知復數，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．專題10復數及其應用（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1復數的基本概念1、復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中實部是a，虛部是b．2、復數的分類：eq\a\vs4\al(復數z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數b＝0，,虛數b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數a＝0，,非純虛數a≠0.))))3、復數的有關概念復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復數a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復數的模向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)知識點2復數的幾何意義1、復平面的概念：建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面；2、實軸、虛軸：在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數；3、復數的幾何表示：復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)平面向量．知識點3復數的四則運算1、復數的運算法則設，(a，b，c，d∈R)，則（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）．2、復數運算的幾個重要結論（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2．（3）若z為虛數，則|z|2≠z2．（4）(1±i)2＝±2i．（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i．（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．知識點4復數的三角形式1、復數的輔角（1）輔角的定義：設復數z=a+bi的對應向量為OZ，以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在的射線（射線OZ）為終邊的角θ，叫做復數z的輔角（2）輔角的主值：根據輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數輔角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍．規(guī)定：其中在0≤θ<2π范圍內的輔角θ的值為輔角的主值，通常記作argz【注意】因為復數0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輔角是任意的．2、復數的三角形式及運算（1）定義：任何一個復數都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是復數的模，θ【注意】復數的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連．（2）復數乘法運算的三角表示：已知z1=r則z1這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輔角等于各復數的輔角的和．（3）復數除法運算的三角表示：已知z1=則z1這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輔角等于被除數的輔角減去除數的輔角所得的差．重難點01與復數有關的最值問題求復數模的范圍與最值問題的解題策略（1）把復數問題實數化、直觀化、熟悉化，即將復數問題轉化為實數問題來處理，轉化為實數范圍內，求模的范圍與最值問題來解決；（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉化為熟悉的問題來解答；（3）利用三角函數解決．【典例1】（2024·山東煙臺·三模）若復數z滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】若復數z滿足，則由復數的幾何意義可知復數對應的點集是線段的垂直平分線，其中，所以的最小值為.故選：B.【典例2】（2024·云南·二模）已知為虛數單位，復數z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】設，而，所以，即，所以，等號成立當且僅當，綜上所述，的最小值為.故選：A.重難點02共軛復數與復數運算的綜合問題共軛復數問題的求解技巧：1、若復數的代數式已知，則根據共軛復數的定義，可以寫出，再進行復數的四則運算．2、已知關于和的方程，而復數的代數形式位置，求解.解決此類問題的常規(guī)思路是：設，則，代入所給等式，利用復數相等的充要條件，轉化為方程（組）求解．【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多選）已知復數z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設復數，可得因為復數z滿足，可得，則，可得且，由時，可得或，當時，可得，此時；當時，方程，無解；對于A中，當，可得，可得；當，可得，可得，所以A正確；對于B中，當，可得，且，則，所以B不正確；對于C中，當，可得，可得，所以C不正確；對于D中，當，可得，可得，則；當，可得，可得，則，所以D正確.故選：AD.【典例2】（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）（多選）已知復數的共軛復數分別為，下列結論正確的是（

）A．若為純虛數，則B．若，則C．若，則D．若，則在復平而內對應的點的軌跡為直線【答案】ACD【解析】對于A，設，，故成立，故A正確，對于B，設，，則滿足，但，故B錯誤，對于C，設，，則，，故，，解得，，則，故C正確，對于D，設，因為，，，所以，化簡得，故在復平而內對應的點的軌跡為直線，故D正確.故選：ACD.一、復數的分類對于復數a＋bi，（1）當且僅當b＝0時，它是實數；（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；（3）當b≠0時，叫做虛數；（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．【典例1】（2024·廣東東莞·模擬預測）若復數z滿足，則復數z的虛部是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】設，根據題意，可得，化簡為，根據復數相等，得，解得，所以，即復數z的虛部是3.故選：C【典例2】（23-24高三上·甘肅慶陽·階段練習）（多選）下列各式的運算結果是實數的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A項中，，故A正確；B項中，，故B錯誤；C項中，，故C正確；D項中，，故D錯誤.故選：AC.二、求復數標準代數式形式的兩種方法1、直接法：將復數用已知復數式表示出來，利用復數的四則運算化簡為復數的標準代數式；2、待定系數法：將復數設為標準式，代入已知的等式中，利用復數相等的條件列出關于復數實部和虛部的方程（組），通過解方程（組）求出復數的實部與虛部．【典例1】（2024·新疆·三模）復數滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設且，則，因為，所以,解得：，則的虛部為.故選：C【典例2】（2024·福建泉州·模擬預測）已知復數滿足，，則（

）A． B．2 C．-2 D．【答案】B【解析】設復數，，由，得，解得，，∴，∴.故選：B．三、復數的幾何意義（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量OZ=(a,b)【典例1】（2024·四川自貢·三模）在復平面內，復數，對應的向量分別是，，則復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因為復數，對應的向量分別是，，所以，，所以，所以復數對應的點為，位于第四象限.故選：D【典例2】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知復數滿足，若在復平面內對應的點不在第一象限，則．【答案】【解析】設，則，因為，則，解得或，又因為在復平面內對應的點不在第一象限，可知，可知，所以.故答案為：.四、虛數單位i的乘方計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i．【典例1】（2024·湖北·二模）已知復數，則（

）A．1 B． C． D．i【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選：A【典例2】（2024·河北·三模）已知復數滿足，則的共軛復數的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，所以，所以，所以，所以的共軛復數的虛部是.故選：D.五、復數方程的解在復數范圍內，實系數一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①當?≥0時，x=-b±b2-4ac2a=2\*GB3②（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為x=m+ni(將此代入方程ax【典例1】（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習）已知是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】由題意，得，即，所以，且，解得，所以.故選：A.【典例2】（2024·江蘇鹽城·模擬預測）（多選）已知，為方程的兩根，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】方程的兩根分別為和，且，，所以不妨設，，，所以，故錯誤；，故正確；，故正確；，，所以，故錯誤.故選：.六、復數的三角表示將復數z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當a=0，b>0時，argz=【注意】每一個不等于零的復數有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等．【典例1】（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）（多選）任何一個復數（，，為虛數單位）都可以表示成（，）的形式，通常稱之為復數的三角形式.法國數學家棣莫弗發(fā)現：（），我們稱這個結論為棣莫弗定理，則下列說法正確的有（

）A．復數的三角形式為B．當，時，C．當，時，D．當，時，“為偶數”是“為純虛數”的充分不必要條件【答案】BC【解析】復數的三角形式為，故錯誤；當，時，，因為，，所以，故正確；當，時，，，故正確；當，時，，，若為純虛數，則，則，所以，，雖然，是偶數，但是偶數還有，的形式的數，所以“為偶數”是“為純虛數”的必要不充分條件，故錯誤.故選：.【典例2】（2024·黑龍江哈爾濱·三