第八章　第二節(jié)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【課標(biāo)解讀】【命題說明】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.借助長方體,在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義,了解四個基本事實和一個定理.2.能運(yùn)用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.考向考法以空間幾何體為載體,考查基本事實及其結(jié)論在判斷位置關(guān)系、交線問題、求角中的應(yīng)用.求異面直線所成的角是高考的熱點(diǎn),在各個題型中均有所體現(xiàn).預(yù)測2025年高考主要考查與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的判斷和求解異面直線所成的角,主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).【必備知識·逐點(diǎn)夯實】知識梳理·歸納1.四個基本事實基本事實1:過不在一條直線上的三個點(diǎn),有且只有一個平面.符號:A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事實2:如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).符號:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α.基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.符號:P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l.基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線平行.符號:a∥b,b∥c?a∥c.2.基本事實的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.3.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系項目直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l其他關(guān)系圖形語言-符號語言a,b是異面直線a?α-微點(diǎn)撥(1)直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.(2)兩條直線沒有公共點(diǎn)分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.4.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).5.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O分別作直線a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:0,常用結(jié)論1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時,容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補(bǔ)角.基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號14231.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)如果兩個平面有三個公共點(diǎn),則這兩個平面重合.(×)(2)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.(√)(3)兩兩相交的三條直線共面.(×)(4)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線.(×)提示:(1)中的兩個平面可能相交;(2)正確;(3)中的三條直線相交于一點(diǎn)時可能不共面;(4)中的兩條直線可能是平行直線.2.(忽略直線不在平面內(nèi)而致誤)若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)的所有直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)的直線與l都相交【解析】選B.由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系,因而只有選項B是正確的.3.(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCDA1B1C1D1,則()A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°【解析】選ABD.如圖,連接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因為AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1?平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,連接B1C,則B1C⊥BC1,因為CD∩B1C=C,CD,B1C?平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1?平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確.連接A1C1,交B1D1于點(diǎn)O,則易得OC1⊥平面BB1D1D,連接OB,因為OB?平面BB1D1D,所以O(shè)C1⊥OB,∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.設(shè)正方體的棱長為a,則易得BC1=2a,OC1=2a2,所以在Rt△BOC1中,OC1=12所以∠OBC1=30°,故C錯誤.因為C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正確.4.(必修二P134例1變形式)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件時,四邊形EFGH為菱形;

(2)當(dāng)AC,BD滿足條件時,四邊形EFGH為正方形.

【解析】(1)因為四邊形EFGH為菱形,所以EF=EH,因為EF=12AC,EH=12BD,所以AC(2)因為四邊形EFGH為正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因為EF∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12所以AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一基本事實的應(yīng)用[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,F,E四點(diǎn)共面;【證明】(1)如圖所示,連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD確定一個平面,即D,B,F,E四點(diǎn)共面.(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn),則P,Q,R三點(diǎn)共線;【證明】(2)在正方體AC1中,設(shè)A1,C,C1三點(diǎn)確定的平面為α,平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α與β的公共點(diǎn).同理,P是α與β的公共點(diǎn),所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,則R∈PQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線.(3)DE,BF,CC1三線交于一點(diǎn).【證明】(3)因為EF∥BD且EF<BD,所以DE與BF相交.設(shè)交點(diǎn)為M,則由M∈DE,DE?平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,點(diǎn)M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三線交于點(diǎn)M.解題技法共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法:先確定一個平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi).(2)證明共線的方法:先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).對點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必經(jīng)過()A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)M【解析】選D.因為AB?γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根據(jù)基本事實3可知,M在γ與β的交線上.同理可知,點(diǎn)C也在γ與β的交線上.所以γ與β的交線必經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)M.2.已知空間四邊形ABCD(如圖所示),E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且CG=13BC,CH=13(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;【證明】(1)連接EF,GH,因為E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD.又因為CG=13BC,CH=13所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)三直線FH,EG,AC共點(diǎn).【證明】(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,所以設(shè)FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因為平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共點(diǎn).考點(diǎn)二空間兩直線位置關(guān)系的判斷1.空間中有三條線段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A.平行B.異面C.相交或平行D.平行或異面或相交均有可能【解析】選D.根據(jù)條件作出示意圖,容易得到以下三種情況.如圖可知AB,CD有相交,平行,異面三種情況.2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點(diǎn),則下列直線中與直線EF相交的是()A.直線AA1 B.直線A1B1C.直線A1D1 D.直線B1C1【解析】選D.根據(jù)異面直線的概念可知直線AA1,A1B1,A1D1都和直線EF為異面直線.因為直線B1C1和EF在同一平面內(nèi),且這兩條直線不平行,所以直線B1C1和直線EF相交.3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,則EF與BD1的位置關(guān)系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直C.異面 D.平行【解析】選D.連接D1E并延長,與AD交于點(diǎn)M,由A1E=2ED,可得M為AD的中點(diǎn),連接BF并延長,交AD于點(diǎn)N,由CF=2FA,可得N為AD的中點(diǎn),所以M,N重合,所以EF和BD1共面,且MEED1=12,MFBF=12,所以MEED4.(多選題)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),則在這個正四面體中()A.GH與EF平行B.BD與MN為異面直線C.GH與MN成60°角D.DE與MN垂直【解析】選BCD.還原成正四面體A-DEF,如圖所示,其中H與N重合,A,B,C三點(diǎn)重合,易知GH與EF異面,BD與MN異面.連接GM,因為△GMH為等邊三角形,所以GH與MN成60°角.由圖易得DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE,因此正確的選項是B,C,D.5.(多選題)四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等,M,N分別為PA,CD的中點(diǎn),下列說法正確的是()A.MN與PD是異面直線B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB【解析】選ABD.如圖所示,取PB的中點(diǎn)H,連接MH,HC,由題意知,四邊形MHCN為平行四邊形,所以MN∥平面PBC.設(shè)四邊形MHCN確定平面α,又D∈α,故M,N,D共面,但P?平面α,D?MN,因此MN與PD是異面直線,故A,B說法均正確;若MN∥AC,由于CH∥MN,則CH∥AC,事實上AC∩CH=C,C說法不正確;因為PC=BC,H為PB的中點(diǎn),所以CH⊥PB,又CH∥MN,所以MN⊥PB,D說法正確.6.(2023·濟(jì)南模擬)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,已知AA1=4,AB=2,點(diǎn)E,F分別在棱BB1,CC1上,且BE=14BB1,CF=12CC1,則(A.D1E≠AF,且直線D1E與AF是相交直線B.D1E≠AF,且直線D1E與AF是異面直線C.D1E=AF,且直線D1E與AF是異面直線D.D1E=AF,且直線D1E與AF是相交直線【解析】選B.連接D1B1,AC,則D1E=D1B1AF=AC2+CF2=2如圖,取點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),連接AM,MF,AD1,D1F,則AD1∥MF,故A,M,F,D1共面,點(diǎn)E在平面AMFD1外,故直線D1E經(jīng)過平面AMFD1內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn),故直線D1E和平面內(nèi)直線AF異面.解題技法兩直線位置關(guān)系的判定方法(1)異面直線的判定:可采用直接法或反證法;(2)平行直線的判定:可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;(3)垂直關(guān)系的判定:往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.考點(diǎn)三異面直線所成的角[例2](1)如圖所示,圓柱O1O2的底面半徑為1,高為2,AB是一條母線,BD是圓O1的直徑,C是上底面圓周上一點(diǎn),∠CBD=30°,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A.33535 BC.3714 D【解析】選C.連接AO2,設(shè)AO2的延長線交下底面圓周上的點(diǎn)為E,連接CE,易知∠CAE(或其補(bǔ)角)即為異面直線AC與BD所成的角,連接CD(圖略),在Rt△BCD中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=3,CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=AB2+BC2=7,所以在△CAE中,cos∠CAE=AC2+AE即異面直線AC與BD所成角的余弦值為37(2)(2023·武漢模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),則異面直線C1D與B1E所成角的余弦值為()A.33 B.C.1010 D.【解析】選D.設(shè)AB=2,取A1B1的中點(diǎn)F,連接C1F,DF,DE,則B1F=12A1B1因為D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),所以DE∥AB,DE=12AB因為A1B1∥AB,A1B1=AB,所以DE∥B1F,B1F=DE,所以四邊形DEB1F為平行四邊形,所以DF∥B1E,所以∠C1DF為異面直線C1D與B1E所成的角或補(bǔ)角.因為AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),所以DF=B1E=12+2C1F=12+22=5,C1D=所以cos∠C1DF=12C1DDF解題技法求異面直線所成角的方法(1)求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.(2)求異面直線所成角的三步:一作、二證、三求.①一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.提醒:如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角.對點(diǎn)訓(xùn)練1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線PB與AD1所成的角為()A.π