第九章　第五節(jié)　第3課時(shí)　直線和橢圓

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第3課時(shí)直線和橢圓【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一直線與橢圓位置關(guān)系的判斷[例1](1)(2024·長(zhǎng)沙模擬)橢圓x28+y22=1與直線y=k(A.相離 B.相交C.相切 D.無(wú)法確定【解析】選B.直線過(guò)定點(diǎn)M(1,0)在橢圓內(nèi),故直線與橢圓相交.(2)(2024·福州模擬)當(dāng)m取何值時(shí),直線l:y=x+m與橢圓9x2+16y2=144.①無(wú)公共點(diǎn);【解析】①依題意,聯(lián)立y=消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,所以Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14400,要使直線l:y=x+m與橢圓9x2+16y2=144無(wú)公共點(diǎn),則Δ<0,即-576m2+14400<0,解得m<-5或m>5,所以當(dāng)m<-5或m>5時(shí),直線和橢圓無(wú)公共點(diǎn).②有且僅有一個(gè)公共點(diǎn);【解析】②要使直線l:y=x+m與橢圓9x2+16y2=144有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則Δ=0,即-576m2+14400=0,解得m=±5,所以當(dāng)m=±5時(shí),直線和橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).③有兩個(gè)公共點(diǎn).【解析】③要使直線l:y=x+m與橢圓9x2+16y2=144有兩個(gè)公共點(diǎn),則Δ>0,即-576m2+14400>0,解得-5<m<5,所以當(dāng)-5<m<5時(shí),直線和橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn).解題技法判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線,也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.直線y=2x-1與橢圓x29+y2A.相交 B.相切C.相離 D.不確定【解析】選A.因?yàn)?29+(-1)2因?yàn)閥=2x-1恒過(guò)點(diǎn)0,-1,所以直線y=2x-1與橢圓x292.若直線mx+ny=4與☉O:x2+y2=4沒有交點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓x29+y2A.至多為1 B.2C.1 D.0【解析】選B.由題意知4m2+所以點(diǎn)P(m,n)在橢圓x29+故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.【加練備選】已知直線l:kx+y+1=0,橢圓C:x216+y24=1,則直線l與橢圓A.相離 B.相切C.相交 D.無(wú)法確定【解析】選C.由直線l:kx+y+1=0,得直線l過(guò)定點(diǎn)(0,-1),因?yàn)?16+14<1,所以該點(diǎn)在橢圓C:x216所以直線l與橢圓C相交.考點(diǎn)二直線與橢圓相交的有關(guān)問題角度1弦長(zhǎng)問題[例2]已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)和F2(c,0),離心率是3(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)由題意可得ca=3所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+(2)若直線l:x+2y-2=0與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積.【解析】(2)設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立x+2y-2=0x2顯然Δ>0,故x1+x2=2,x1x2=-6,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1所以S△OAB=12·d·|AB|=12×25×35=7,所以△OAB解題技法1.弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩個(gè)不同的點(diǎn),則①|(zhì)AB|=1+k2|x1-x2|=②|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+12.弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用技巧在利用曲線方程和直線方程聯(lián)立時(shí),設(shè)直線方程也很講究.(1)若直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在縱軸上,一般設(shè)為斜截式方程y=kx+b便于運(yùn)算,即“定點(diǎn)落在縱軸上,斜截式幫大忙”;(2)若直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在橫軸上,一般設(shè)為my=x-a可以減小運(yùn)算量,即“直線定點(diǎn)落橫軸,斜率倒數(shù)作參數(shù)”.提醒:聯(lián)立直線與曲線方程后得到一元二次方程,一定要考慮判別式Δ.角度2中點(diǎn)弦問題[例3](一題多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A,B兩點(diǎn),l與x軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn),且|MA|=|NB|,|MN|=23,則l【解析】方法一:設(shè)直線l的方程為xm+yn=1(m>0,n>0),分別令y=0,x=0,得點(diǎn)M(m,0),N(0,n).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由題意知線段AB與線段所以x1+因?yàn)閗AB=kMN,所以y1-y2x將A(x1,y1),B(x2,y2)代入橢圓方程,得x126+y由題意知x1+x2≠0,x1≠x2,所以y1+y2x即nm·(-nm)=-12,整理得m2=2n又|MN|=23,所以由勾股定理,得m2+n2=12,②由①②并結(jié)合m>0,n>0,得m所以直線l的方程為x22+即x+2y-22=0.方法二:設(shè)直線l的方程為xm+yn=1(m>0,n>0),分別令y=0,x=0,得點(diǎn)M(m,0),N(0,n由題意知線段AB與線段MN有相同的中點(diǎn),設(shè)為Q,則Q(m2,n2),則kAB=0-nm-0=-nm由橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)知,kAB·kOQ=-b2a2即(-nm)·nm=-1答案:x+2y-22=0解題技法處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2024·南昌模擬)已知直線l交橢圓C:y29+x24=1于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)M(1,2)為A,B兩點(diǎn)的中點(diǎn),則直線A.29 B.-29 C.98 【解析】選D.橢圓C:y29+依題意可知直線l的斜率存在,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1兩式相減并化簡(jiǎn)得-94=y1+y2x1+x2·y1所以直線l的斜率為-982.若橢圓x24+y22=1的弦AB的中點(diǎn)為(-1,-1),則弦A.303 B.263 C.103【解析】選A.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為(-1,-1),可得x1+x2=-2,y1+y2=-2,又因?yàn)锳,B在橢圓上,可得x124+y可得y1-y2x1-x2=-2所以弦AB的直線方程為y+1=-12(x+1),即y=-12x-聯(lián)立y=-12x-32x24+y22=1,整理得3x2由弦長(zhǎng)公式,可得|AB|=1+(-12)

2·(x【加練備選】已知橢圓G:x2a2+y2b2=1(1)求橢圓G的方程;【解析】(1)由題意,e=ca=639a2+(2)斜率為1的直線l與橢圓G交于A,B兩點(diǎn),以AB為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2),求△ABP的面積.【解析】(2)令A(yù)B為y=x+n,則AB中垂線方程為y=-(x+3)+2=-x-1,聯(lián)立AB與橢圓方程得,x2+3(x+n)2=12,整理得4x2+6nx+3n2-12=0