2024屆山東省濟寧市一中高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

濟寧一中高三12月份定時檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分.1iz22izz（1已知A.2.若集合，則）iB.iC.0D.12x3，則A0Axx2Bxx1B（，）x1x0x1xA.C.B.D.x1x3x1xAB3，t1，3.已知，則ABBC（）A8B.5C.2D.7exex4.函數(shù)fx的圖像可能是（）x3A.B.CD.1213sin,sin（5.已知則）32797929A.B.C.D.，則（9的前項和為，，）annSn25232a4475S56.已知等比數(shù)列A.29B.31C.33D.363到焦點的距離為，則其焦點坐標為（）x22pyp0M,1上一點7.已知拋物線2第1頁/共5頁112141,0,0A.B.C.D.248.如圖1，某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的正三棱錐得到的，它的所有棱長均相同，數(shù)學(xué)上我們稱之為半正多面體（semiregularsolid2，BCG與平面之間的距離是（設(shè)AB1，則平面）66263A.2B.C.D.63二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09.下列表述正確的是（0，cd，那么acbdA.如果aB.如果abb0，那么ab11C如果ab0，cd0，那么acbdabbaD.如果ab0，那么210.已知直線l:x2my10，圓2y23，則下列說法正確的是（）E:x0)A.直線l必過點B.直線l與圓E必相交C.圓心E到直線l的距離的最大值為11mD.當11.把函數(shù)單位長度，得到函數(shù)時，直線l被圓E截得的弦長為2πysinx1圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個26ygx的圖象，則（）第2頁/共5頁π5πA.在gx,上單調(diào)遞減36B.在gxπ上有2個零點πygxx的圖象關(guān)于直線C.對稱123π,03D.在gx,上的值域為2221PPP212.如圖，是一塊半徑為1的圓形紙板，在的左下端前去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依112P3P,,P,Pn次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個前掉半圓的半徑）得圖形，，記紙板的周長為4nLnSn，面積為，則下列說法正確的是（）7121132LS3A.C.B.D.34n1n11122n1L2SnSnn122三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項和為S，a≠0，a＋a＝3a，則_____．nn1152x22y2214.已知雙曲線M:1的左焦點為F1，A，B為雙曲線M上的兩點，O為坐標原點若四邊形ab1ABO為菱形，則雙曲線M的離心率為___________.15.20cm和10cm780cm2為________．第3頁/共5頁2，若對于任意的，均有xx12fxx1sinx1,216.已知函數(shù)ae1e|x成立，則實數(shù)a的取值范圍為______．fxfx212四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）f(x)22cosxsin(x)117.已知函數(shù)．4f()f(x)（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；4（2）求f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值．2滿足an2an1n5a18.已知等差數(shù)列.n（1）求數(shù)列的通項公式；anba22n的前項和bnn（2）設(shè)，求數(shù)列.nnnABCD中，底面119.如圖，在直四棱柱ABCD是菱形，E是BC的中點.111BD1//C；1（1）求證：平面（2）已知，AA12，求直線AD1C與平面所成角的正弦值.1S6S3的前項和為，且，28，數(shù)列滿足．n3logaanSn11b120.已知等比數(shù)列nn3n（1）求數(shù)列和的通項公式；abnnN*，na恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（2）若對任意的nnx2y223321.已知橢圓C:1ab0過點，且C的離心率為．2b22a（1）求橢圓C的方程；第4頁/共5頁（2）過點的直線l交橢圓于A、B兩點，求PAPBP1,0的取值范圍．Cfxeax2a，22.已知函數(shù)xyfx在,0（1）證明：函數(shù)內(nèi)存在唯一零點；x,xyfx有兩個不同零點xxxxa最小時，求此時的值.12（2）若函數(shù)且，當1212第5頁/共5頁濟寧一中高三12月份定時檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分.1iz22izz（1.已知，則）A.iB.iC.0D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到z，從而解出．1i1i1i11zizi，所以，即zzi．【詳解】因為2221i1i42故選：A．2x30Axx2Bxx12.若集合，，則AB（）x1x0x1xA.C.B.D.x1x3x1x【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求A，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性求B，最后求并集即可.22x3x1x30x1,3，即Ax1x，x【詳解】由由x10lg1x10,1x1,0，即Bx1x0，Bx1x故A.故選：CAB3，t1，3.已知，則ABBC（）A8B.5C.2D.7【答案】C【解析】第1頁/共22頁t31t3，可得，從而根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示即可求解.【分析】由及AB3，tt3，【詳解】解：因為，所以1，所以2t31，解得t3，2因為所以1,0，所以ABBC21302，故選：C.exex4.函數(shù)fx的圖像可能是（）x3A.C.B.D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，以圖像的對稱性排除錯誤選項CD；再以圖像的切線情況去排除錯誤選項exexA，即可得到函數(shù)fx的正確圖像.x3exex的定義域為xx0【詳解】fxx3exexexexfxfx，x3x3則為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱，排除選項CD；fxeex3eexexx33x2xexexexxxfxx6x4第2頁/共22頁10e3e13e則f100104104即函數(shù)在點的切線斜率為正值，fxf10選項A的圖像在第一象限內(nèi)每一點的切線斜率均為負值，故排除選項A.選項B的圖像在第一象限內(nèi)存在切線斜率為正值的點.故選：B11233sin,sin5.已知則（）2797929A.B.C.D.9【答案】D【解析】【分析】13]設(shè)，則,sin12，則sinsin[2化簡，由余弦的二倍角123123公式可得答案.1【詳解】設(shè)，則,sin，12123312327sinsin[2]sin212sin2從而.9故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)中知值求值的問題，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)，然后可得123123sinsin[2]，屬于中檔題.的前項和為，，，則（）anSn25232a4475S56.已知等比數(shù)列nA.29B.31C.33D.36【答案】B【解析】aa2a2a4a5q可求出首項，公比，然后利用等比數(shù)列求和公式即可求解.a1【分析】根據(jù)，25347【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，aa2a，253an第3頁/共22頁aaaaq32aqaq222a，則42.所以，即25222142a4a5a7又因為，故有.477a4181q3q，則所以所有，21521614q3a116，所有31，故B項正確.S5112故選：B.3x22pyp0B.到焦點的距離為，則其焦點坐標為（M,1上一點7.已知拋物線）21111,0,0A.C.D.2244【答案】A【解析】p【分析】由拋物線的定義可求的值，進而可求焦點坐標.32拋物線x22pyp0上一點M到焦點的距離為，p32p1p32yMp1，所以由拋物線的定義知，即1，所以，22221拋物線的焦點坐標為，2故選：A.8.如圖1，某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的正三棱錐得到的，它的所有棱長均相同，數(shù)學(xué)上我們稱之為半正多面體（semiregularsolid2，BCG與平面之間的距離是（設(shè)AB1，則平面）第4頁/共22頁66263A.2B.C.D.63【答案】D【解析】ABCDABCD2CM于點，1【分析】不妨記正方體為，設(shè)對角線分別交平面和平面BCG222211111NM1NBCG2M，結(jié)合對稱性求得1，可推出即為平面與平面的距離，結(jié)合等體積法求得11M11即可．【詳解】如圖，不妨記正方體為ABCDABCDAD//BCADBC，2，，222211111122112ADCBAB//CD故四邊形是平行四邊形，所以，11221221又E，Q分別為AA2B，的中點，212EQ//1BBG//C2D，1所以所以所以，同理2//BCGBCG，，又平面，平面EQ//BCGEM//BCG，平面，同理平面EEMEQ，又，，平面//BCG，所以平面平面2CBCGMN，，1設(shè)對角線分別交平面和平面于點11CCABCDìABCD平面，2222因為所以平面，122222CCMQ，12第5頁/共22頁AC,ACM,QAD,AB分別為的中點，2222連接，因為2211AC，又CACAACCCCACC故，平面，，22222212211222AACCACAACC所以所以平面，又平面，1221211221ACMQACEQ，21，同理21QMQEQ又，，平面，AC，所以平面21//BCG，又平面平面AC所以平面BCG，21M11BCG與平面的距離，即為平面MNACAMNC，11則112121AC2226由正方體棱長為2得，212EMQ，為等邊三角形，由題意得222233故S21，44根據(jù)VV，E2211222213AM，21得3222346解得2M1，6AMNC，11根據(jù)對稱性知216263所以M11212M1162，6263BCG的距離為則平面與平面．故選：D第6頁/共22頁【點睛】方法點睛：求點到平面的距離方法，一是建立空間直角坐標系，利用空間向量求解；二是利用等體積法求解；三是作出輔助線，在三角形中結(jié)合余弦定理等方法進行求解.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09.下列表述正確的是（0，cd，那么acbdA.如果aB.如果abb0，那么ab11b0，cd0C.如果a，那么acbdabD.如果ab0，那么ba2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)等知識逐個驗證選項即可．0，cd【詳解】A．如果ab，ac2bd取a2，b1，c1，d2，則，故A錯誤；1B．由于在)為單調(diào)增函數(shù)，yxx2從而若ab0，那么ab，故B正確；C．如果ab0，cd0，則acbcbd0，111f(x)(0,)上單調(diào)遞減，從而而在，故C正確；xacbdab2aabb，故ba，故D正確．D．如果ab0，則2故選：BCD．10.已知直線l:x2my10，圓2y3，則下列說法正確的是（2）E:x0)A.直線l必過點B.直線l與圓E必相交C.圓心E到直線l的距離的最大值為11mD.當時，直線l被圓E截得的弦長為2【答案】BC【解析】第7頁/共22頁【分析】利用直線和圓的相關(guān)性質(zhì)求解即可.(0)【詳解】易知直線l必過點，故A錯誤；(0)點在圓內(nèi)，所以直線l與圓必相交，故B正確；EE1E(0,0)d，當m0時距離取最大值1，故C正確；圓心到直線l的距離14m2211ml:xy10l當時，直線，則直線被圓截得的弦長為E2310，故D錯誤．21212故選：BC11.把函數(shù)πysinx1圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個26ygx的圖象，則（單位長度，得到函數(shù)）π5π36A.在gx,上單調(diào)遞減B.在gxπ上有2個零點πygxx的圖象關(guān)于直線C.對稱123π,03D.在gx,上的值域為222【答案】BC【解析】yAsin(x+)ygx的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的【分析】由題意，由函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得圖象和性質(zhì)，逐一判斷各選項得出結(jié)論.ysinx1【詳解】把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，2ysin2x可得到的圖象；ππygxsin(2x)再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)6的圖象，3π5πx(,36π)2x(π,2π)時，，3π7π7π5π則在單調(diào)遞減，在gx(,)(,)單調(diào)遞增，故A錯誤；312126πππ令gx02xkx，得，即，326第8頁/共22頁ππ1373x[0,]0π，解得k因為，所以，26gx在π上有2個零點，故B正確；因為kZ，所以k1或k2，所以ππππg(shù)()sin(2)sin1，為gx的最大值，因為121232πxygx的圖象的一條對稱軸，故C正確；所以直線是123πx,0π2ππ2x,g(x)，故D錯誤.當時，，33232故選：BC1PPP212.如圖，是一塊半徑為1的圓形紙板，在的左下端前去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依112P3P,,P,P次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個前掉半圓的半徑）得圖形，，記紙板的周長為4nnLnSn，面積為，則下列說法正確的是（）7121132LS3A.C.B.D.34n1n11122n1L2SnSnn122【答案】ABD【解析】12n1剪掉了半徑為n2的半圓，PnPn1【分析】觀察圖形，分析剪掉的半圓的變化，紙板相較于紙板LnS的遞推公式，從而累加得到通項公式再逐個判斷即可n再分別寫出和12n1剪掉了半徑為n2的半圓，故PnPn1【詳解】根據(jù)題意可得紙板相較于紙板12n1122n12n112n21nLn12LLnn1L12L2L1，即，故，，2120112n112n2LLLLLL，…，累加可得32221432322nn12112n1111111n1211n2......2221222n10212n2122第9頁/共22頁11122217122L2，所以3，故A正確，C錯誤；n12n212422n111又SnSn1，故SS，即SSn，故D正確；n1n1nn1222n12222n1S1SSSSSSnn1又，，…，累加可得212332252811n1311141Sn...1S，故3正確，故B正確；32522n122n13222214故選：ABD三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項和為S，a≠0，a＋a＝3a，則_____．nn115211【答案】##4【解析】【分析】由aaaa與d1，得到的關(guān)系，再利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式求解.152aaa，2【詳解】解：152a4dad∴∴，11ad，11010145d55d11．a(chǎn)20119d20d411故答案為：4x22y214.已知雙曲線M:1的左焦點為F1，A，B為雙曲線M上的兩點，O為坐標原點若四邊形ab21ABO為菱形，則雙曲線M的離心率為___________.【答案】31【解析】BF，根據(jù)圖形分析可得△BF1F【分析】利用雙曲線的對稱性，連結(jié)，是直角三角形，且122第10頁/共22頁2O60，在結(jié)合雙曲線的定義，即可得到雙曲線的離心率.BFF2【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點，連結(jié)，，211四邊形1ABO是菱形，BF1BF，122BO2BFO60并且根據(jù)對稱性可知是等邊三角形，，22BF1ca，12，根據(jù)雙曲線定義可知，c231即cc2a，即a31故答案為：31【點睛】方法點睛：本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔ca,ce題型，一般求雙曲線離心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：acba221e1a,c的齊次方程，通過等式兩邊同時除以a2，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出b1ca2，進而得到關(guān)于e的方程.15.20cm和10cm780cm2為________．第11頁/共22頁【答案】3【解析】【分析】利用四棱臺的結(jié)構(gòu)特征，作出輔助線，根據(jù)側(cè)面積列出方程，求出正四棱臺的高，結(jié)合棱臺的體積公式計算得結(jié)論ABEABE，上、下底面的中心O、O，1【詳解】如圖，取的中點、的中點EOO1E為直角梯形．11111E則為斜高，四邊形1S420)EE780正四棱臺的側(cè)面積，1121，EOO1EE作11M⊥在直角梯形中，過點于點M，1OEOOEM則，，1111121OEAB，OEAB10cm因為所以，111125cm，OOEMEE221325212cm，1111V12102202102028003該四棱臺的體積為3故答案為：32，若對于任意的，均有xx12fxx1sinx1,216.已知函數(shù)ae1e|x成立，則實數(shù)a的取值范圍為______．fxfx212【答案】第12頁/共22頁【解析】【分析】2求導(dǎo)可知函數(shù)在，均有xx12fxx,x上為增函數(shù)，進而原問題等價于對于任意的1222ae1x，構(gòu)造函數(shù)x，則函數(shù)在上為減函數(shù)，求導(dǎo)后fxfxaehxfxaehx212轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可．【詳解】解：fxsinxx1cosxsinxx1cosx，2x,xxx2，fx0恒成立，所以fx單調(diào)遞增，任意的不妨設(shè)121xx，又fxfxexex，，則121212故fxfxae1e2|等價于fxaexaex，fx211221fxae1fxae2即，122hxfxae設(shè)xx1sinxcosxae,xx，2易知函數(shù)在hx上為減函數(shù)，2x1cosx故h'xx1aex0在在上恒成立，即a上恒成立，2exx1cosxgx,x設(shè)，ex2xxcosxx1sinxex1cosxexsinxsinx則g'x0，(ex)2ex故函數(shù)在g(x)maxg01，故a1．gx上為減函數(shù)，則2故答案為：．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值及不等式的恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）第13頁/共22頁f(x)22cosxsin(x)117.已知函數(shù)．4f()f(x)（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；4（2）求f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值．2f()1；單調(diào)遞增區(qū)間為[k,k]kZ，【答案】（1）488（2）最大值2；最小值1【解析】f(x)22cosxsin(x)1f()；將函數(shù)轉(zhuǎn)化為1）由，直接求44fx2sin(2x)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；4fx2sin(2x)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（2）根據(jù)函數(shù)4【小問1詳解】f()22sin1解：，44222211，21；f(x)22cosxsin(x)1，42222x(sinx+x)1，222sinxx2cos2x1，sin2xcos2x，，2sin(2x)42k2x2k,kZ令，2422k2x2k,kZ，44kxk,kZ，88所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k,k]kZ，；88第14頁/共22頁【小問2詳解】0x因為所以，22x，44424所以sin2x1，2412sin2x2，故2x,x即當當時，f(x)有最大值2；4282x,x即時，f(x)有最小值1.442滿足an2an1n5a18.已知等差數(shù)列.n（1）求數(shù)列的通項公式；anba22b，求數(shù)列n的前項和nn（2）設(shè).nnnan1n【答案】（1）n22n14（2）Tn【解析】1）利用賦值法可得數(shù)列的首項及公差；n（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【小問1詳解】當n1時，a2a8①，12n2a時，22311②，當②①得，3d3，解得d1，a2aa2a28a2，所以，11211a2n11n1；所以n【小問2詳解】an1n由（1）得，第15頁/共22頁ba22nn32，n則nnn22n1n32n，n421526223n22nn32n1，n422526234n42122232nn32n1212n128n32n112n14n22，n4n22n1.ABCD中，底面119.如圖，在直四棱柱ABCD是菱形，E是BC的中點.111BD1//C；1（1）求證：平面（2）已知，AA12，求直線AD1C與平面1所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析.6（2）3【解析】1）連接CD1交1于O，連接，易得//BD，再根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論.1（2）F為AB中點，結(jié)合已知可構(gòu)建以D為原點，DF,DC，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標1系，設(shè)AA122，寫出對應(yīng)點坐標，并求出直線AD1C的方向向量和平面的法向量，由空間1AD1C所成角的正弦值.1向量夾角的坐標表示求直線與平面【小問1詳解】第16頁/共22頁由題設(shè)，連接CD1交1于O，易知：OCD的中點，連接是，1∵E是BC的中點，∴//BD，又OEC1C面，面1，11BD1//C.∴面1【小問2詳解】ABCDDAB60FABAB中點，則，底面是菱形，，即，若為30ABCD1DFDCDD1DD1DF中有、、，∴，故在直四棱柱111∴可構(gòu)建以D為原點，DF,DC，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，設(shè)22，1133312∴D(0,0),E(,,0),C2),A(,,2)，則114423331(,,0),2),(,,2)，11442233mxy0若m(x,y,z)是面C1的一個法向量，則44，令x3，則my2z01第17頁/共22頁m(3,2)，2|,|m3616AD1C所成角的正弦值1∴1|m|||33，故直線與平面.3132S6S3的前項和為，且，28，數(shù)列滿足．a(chǎn)nSn11bn3loga120.已知等比數(shù)列nn3n（1）求數(shù)列和的通項公式；abnnN*，na恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（2）若對任意的nnan3n1nN*bnn2nN，*【答案】（1），；9,（2）．4【解析】S6S31）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由q28求得公比，再由a1求解；進而由1an1求解.nn3loga33n3n*fn，nN，求得其最小值即可.*（2）由對于任意的nN恒成立，令n2n2【小問1詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，qanS6S3631q1q28q1，所以q3，28，解得由，顯然a1的通項公式為an3n1，由于，所以nN；*1n所以b3loga13logn11n2，nN，*n3n3所以的通項公式為，nN．bbn2n*n【小問2詳解】3nna的N*恒成立．n因為恒成立，即對于任意nn2第18頁/共22頁3n令fn，nN*，n2n1nnn76fn1fn則，n1n2n1n2當n1時，fn1fn，所以，即的最小值為f1f2f3f4fn9f2，49所以實數(shù)的取值范圍為,.4x22y22331ab0過點21.已知橢圓C:，且C的離心率為．2ab2（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l交橢圓于A、B兩點，求PAPBP1,0的取值范圍．Cx23y212）,3【答案】（1）．44【解析】【分析】abcab的值，進而可求得橢圓C（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出、的方程；xPAPBx（2）對直線l分兩種情況討論，直線l與軸重合時，直接求出的值，在直線l不與軸重合，設(shè)直線l的方程為x1，設(shè)點Ax,y、Bx,y，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋1122PAPBmPAPB關(guān)于的代數(shù)式，綜合可得出的取值范圍．達定理，利用弦長公式可得出c3a23a2b111，解得1）由題意得.a2b22a2bc2x2所以橢圓C的方程為y1；24（2）分以下兩種情況討論：PAPBa1a1a213；x①若直線l與軸重合，則第19頁/共22頁x1Ax,yBx,y，設(shè)點、，1122x②若直線l不與軸重合，設(shè)直線l的方程為xmy1m24y230，x，消去可得22聯(lián)