導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題（解析版）-2023年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微提分

微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題

【秒殺總結(jié)】

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題.解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從

而求得極最值.只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其

中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)

有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進行求值、證明等操作.

【典型例題】

例1.(2023秋?江蘇泰州?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃*)=。'-9方3(”為非零常數(shù))，記

加(X)=4'(x)(〃eN),」(X)="X).

(1)當x>0時，恒成立，求實數(shù)。的最大值;

⑵當4=1時，設(shè)g“(x)=ff(X),對任意的"23,當x=f“時，y=g.(x)取得最小值，證

i=2

明：g?(c,)>0且所有點(gg“4))在一條定直線上；

(3)若函數(shù)為(x),/(x),人(x)都存在極小值，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)由/(x)20,x>O=>e*-^ar3>0=>a<f^-j,

V/min

vx32vv

A.7x6e、e-x-3x-ee(x-3)

令=〃(zx)=6--------p-------=6.—

xw(0,3)時，，”(x)<0,x?3,+oo)時力'(x)>0,

???〃(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，(3,內(nèi))上單調(diào)遞增，

.?.Mx).=〃⑶=至=至，

\/mm\/279

.V2e3

9

3

即。的最大值為2二e；

9

vx

(2)/(x)=e-^x\"(x)=f(x)=e'_；x2,f2(x)=ft'(x)^e-x,

力(x)=4(x)=e*_l,力(x)=e",

〃24時，力(x)=e*,

當〃上3時，g“(x)=￡￡(x)=e'-x+e*-l+(〃-3)e*=(〃-l)e*-x-l,

i=2

g：(x)=(〃一令g：(x)=0=x=ln-^,

當In/1時，g：(x)<0,g.(x)單調(diào)遞減，

當x>In—二時，g：(x)>(),g.(x)單調(diào)遞增，

Jx=0=ln+■時，y=g〃(x)取得最小值，

且g〃(乙)=(〃-1).-——1=ln(/?-l)>ln2>0,

n—in—\

A(t?,gn&))為(inW/n(〃T))在定直線y=f上運動;

x3r2

(3)f0(x)=e-^ax,/(x)=e-^ar,人(x)=e、-<ax均存在極小值，

f^x)=e-a,當a40時，力(x)>0,力(x)單調(diào)遞增，」(x)不存在極小值,舍去，

當a>0時，令月(x)=0=>x=Ina,目/(x)在(-co,Ina)上單調(diào)遞減；(ina,+oo)上單調(diào)遞增,

.??力(x)在x=Ina處取得極小值,

f；^x)=e-ax,f；(x)=e*—a,工'(力訕=/'(lna)=a—alna,

要使工(x)存在極小值，則<'(x*=a-fllna<O=>a>e,

此時工'⑷=e">o,在(此0勾上有唯一的零點%,

且當lna<x</時，<'(%)<0,./；(x)單調(diào)遞減；

當x>x0時，/'(x)>0,工(x)單調(diào)遞增，

...力(x)存在極小值，

當〃>e時，考察/(x)極值情形，

/(x)=e一產(chǎn)一=六［1司，

令*(x)=1-5，則“⑺二三之，

當x<0或x>2時，e'(x)>0；當0<x<2時，d(x)<。，

...夕⑺在(y,0)上單調(diào)遞增;(0,2)上單調(diào)遞減;(2,+8)上單調(diào)遞增,

因為a>e,所以0<2<i,a2e">i,(pia\=l_3L=l_a^e,?<Qt<z>(o)=->O,

aao~aaa

e(x)在(e,o)上有唯一的零點4，

且當XVX1時,9(x)<0,工;(x)<o,T(x)單調(diào)遞減;

當Xi<x<0時，/(x)單調(diào)遞增，

加力在X=X1處取得極小值，符合條件，

綜上：實數(shù)”的取值范圍為(e,+8).

例2.(2023秋?遼寧葫蘆島?高三葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)

K—X

⑴若&=1,求曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/'(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)％40,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(6,20)上存在極值點，求左的取值范圍.

【解析】⑴若左=1,函數(shù)/⑴的定義域為以xwl},

e,（3-x2）

（If

則曲線V=f(x)在點(0,7(0))處切線的斜率為/(0)=3,

而f(0)=1,則曲線y=/a)在點(0,7(0))處切線的方程為尸3x+1.

(2)函數(shù)f(x)的定義域為{Txxk},f<x)=上(2"人，*),

①當%>0時，由XX%，且此時“2+2%>%,

可得-ylk2+2k<k<y/k2+2k>

令f'(x)<o，解得x<或x>，函數(shù)/a)為減函數(shù)，

令/‘(X)>。,解得一2+2%<X<,公+2改,且"人，

所以當―a+2%<x<k,k<x<2k時，函數(shù)AN為增函數(shù),

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(9,-42+24(〃2+2后,司,

單調(diào)增區(qū)間為卜山2+2%,揚+2%)

②當k=0時，函數(shù)fW的單調(diào)減區(qū)間為(-%()),(。,+℃),無單調(diào)增區(qū)間，

當左=-2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(7,-2),(-2,+?>),無單調(diào)增區(qū)間，

當一2v%<0時，由2Z+公<0,所以函數(shù)/5)的單調(diào)減區(qū)間為(一?,幻,(4,+8).

即當-2VZV0時，函數(shù)/*)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,%),(4,+8),無單調(diào)增各區(qū)間,

③當％<-2時，此時>k?令r(x)<0,

解得或X>〃2+2)，但xwh

所以當_￥<幺《<;(:<-〃2+2左，%>〃2+2/時，函數(shù)/。)為減函數(shù)；

令r(x)>0,解得-厄不<x<廬不，函數(shù)f@)為增函數(shù).

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(―,幻,卜,-廬NT),Rkfk,田卜

函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為卜/入2kXk~2k),

綜上所述，k>0時，單調(diào)減區(qū)間為(7,-"2+24(42+2A+8,

單調(diào)增區(qū)間為(-j〃+2k,q,(k,j%2+2k)

-2WZ40時，單調(diào)減區(qū)間為(TO,幻，(匕一)，無單調(diào)增各區(qū)間，

%<-2時，單調(diào)減區(qū)間為(9,k),(I公+2Z),即+2k,可，

單調(diào)增區(qū)間為1病+24,ylk?+2k).

(3)①當-24Z40時，由(2)問可知，函數(shù)在(6,20)上為減函數(shù)，

所以不存在極值點；

②當％<-2時，由(2)可知J(x)在卜”2+2&,“2+2%)上為增函數(shù),

在(4?+2A:,y)上為減函數(shù).

若函數(shù)/(x)在區(qū)間(73,272)上存在極值點，則百<痘諉<2亞，

解得T<%<-3或1<攵<2,

所以-4<%<-3.

綜上所述，當T<%<-3時，函數(shù)在區(qū)間(若,2&)上存在極值點.

例3.(2023秋?山東濰坊?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=e'-以2-cosx-ln(x+l).

(1)若a=l,求證：函數(shù)/(x)的圖象與x軸相切于原點；

(2)若函數(shù)”X)在區(qū)間(TO),(0,+功各恰有一個極值點，求實數(shù)〃的取值范圍.

【解析】(1)證明：因為a=l,/(x)=ev-x2-cosx-ln(x+l),/(0)=0；

又尸(x)=e*-2x+sinx,

所以/'(0)=0,所以在點(oj(o))處的切線方程為y=o,

所以函數(shù).“X)的圖象與X軸相切于坐標原點.

(2)先證明不等式e，Wx+l恒成立，

令9(x)=e*-x-l,則d(x)=e*-l,當x>0時，/(x)>0,當xvO時，^(x)<0,

故研x)=e*-x-1在x=0處取得極小值，也是最小值，

故e(x)2/(O)=O,所以e、2x-l,當且僅當x=0時，等號成立，

/'(x)=e，-2or+sinx—一-1—,令g(x)=7'(x),

12

g〈x)=e、-勿+cosx+^~^,令/?(x)=g，(x),〃(x)=e*—sinx~-y,

IX+11iX+1I

2

當x?TO)時，〃(、)二e一門-西<l-sinx-2=-sinx-l<0

故〃(x)在(TO)上為減函數(shù)，因為/?(o)=3-2q,所以當3—2aN0,

即時，/i(x)>0,

所以g(x)為增函數(shù)，故g(x)<g(O)=O,

所以為減函數(shù)，故函數(shù)f(x)在xe(TO)無極值點；

當時，當x?-l,O),因為g'(x)為減函數(shù)，g'(O)=3-2"O,

故必存在%w(-l,O),使得g'(%)=0,當xw(T,%)時,g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),

當無€小,0)時，/(x)<0,g(x)為減函數(shù)，而1f(0)=0,故/■'⑷>0,

又因為/'(-l+5)=eJ'+2a_^+sin(_]+!)_e3'

=(2a-e2u)+e-^-+sin^-ld■-^)<-l+ee20--^-+sin^-l+e2a^<0

所以必存在機e(—l,而)，/(加)=0,且當1,叫，r(x)<0,〃x)為減函數(shù)，

當xe(〃?,O),.盟x)>0,〃x)為增函數(shù)，故〃x)在區(qū)間(TO)上有一個極小值點加，

令，(x)="(x)=e、-sinx-日y,

因為f'(x)=e'-cosx+廠二

T>°,所以〃(x)在(0,+的上單調(diào)遞增,

(x+1)

又因為廳(。)<0,廳(1)>0,所以總存在不?0,1)使“(國)=0,

且當x?o,xj時，”(x)vO,〃(力單調(diào)遞減,16(3,+00)時,〃(x)>0,〃(力單調(diào)遞增,

當%￡(0,+oo),/?(0)=3-2(2<0,且

%(2々)=/“一%+cos(2o)+-----7>1+cos(2。)+-------7>0,

(2。+1)~(2。+1)~

故必存在々4。，內(nèi))，使得g'(9)=°，

xe(O,x,),g'(x)<0,/'(x)為減函數(shù)，xe(w，+oo),g'(x)>0,/'(x)為增函數(shù),

因為f'(o)=o,所以當x?o，z),r(x)<o,即r⑸<0,

又因為f'(4a)=e4"-8a2+sin(4a)-^—j->(a+l)4-8a2+sin(4a)-^

=(z4-2a2+4t?+4a+1+sin(4a)-4〔[>0,

故存在"?&,+(?),使得/'(〃)=0,

且當XW(X2，〃)，/'(x)<0,/(x)為減函數(shù)，

當xe(〃,+8),/4x)〉。，f(x)為增函數(shù)，

故/'(x)在區(qū)間(0,+o。)有-一個極小值點〃,

所以若函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,0)，(0,+8)各恰有一個極值點，

綜上：實數(shù)〃的取值范圍是(5，+8).

例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x2-2x+Hnr(a>。)?若函數(shù)”X)有兩個

極值點用,々(芯<毛)，且不等式/(辦)2噢恒成立，試求實數(shù)用的取值范圍.

【解析】/(x)的定義域為{x|x>0}J'(x)=2x—2+4=2--2x+a,

XX

令//(x)=0,/.2x2-2x+a=0,

又因為函數(shù)/(X)有兩個極值點不X?(X[<%),

.?.2x2_2x+a=0有兩個不等正實數(shù)根怎,工2(不<x,),

由于。>0,二次函數(shù)y=2f-2x+a圖象對稱軸為x=g>0,

1,

A=4-8tz>0,/.0<a<—,Mxi+x2=1,tz=2^-2x,,

從而0<%<^<x,<1,

由不等式/(占)N〃7?毛恒成立，可得m<=玉T+網(wǎng)恒成立,

X2X2

/㈤=Y_2%+(2%-2b)皿％=(]___!_+2x,lnxl,

%)1—Xj1—%

,=l——二+2hW,

令h(t)=l-r--pY+2/Int,0<r<-

2(I-/)2

當0</<g時，1-(1<0Jnr<0,故人'⑺<0恒成立,

所以函數(shù)可，)在(0,；］上單調(diào)遞減，—In2,

3

故ni<----In2,

2

故實數(shù)用的取值范圍是1-8,-|-ln2,

例5.(2023春?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=ac-x+\nx

-1(?GR).

⑴當age時，討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性：

(2)若函數(shù)/(x)恰有兩個極值點用，X2⑴<由)，且21n3,求三的最大值.

xl

【解析】(1)函數(shù)的定義域為(0,+8),尸(幻=-擾-,+1=巴竺，

xxe

當把0時'/'(')>。恒成立，/(工)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

當0<aWe時，令/'*)=0,則ex-〃x=0,設(shè)g(x)=ex-ax,則g'(x)=e”-〃，

易知，當OVxVlna時，g〈x)vO,g(x)單調(diào)遞減,

當x>lna時,gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

，g(x)>g(\na)=e%-a\na=a(1-ln6F)>0,

A/\x)>0,f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

綜上，當心e時，，(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

fg-V>—Z7V—Q

(2)依題意，=f'Cx2)=0,則｛v'一

兩式相除得，=三，設(shè)垣=f,貝h>l,X2=tx：,

Inrtint

（）

工%+%=/+llnr

t-\

'人（，+l）lnZ/八mit---2lnt

以”,-1'"才⑺=（3）2

設(shè)*）="；-2政（》,則歡）=l+?9>。,

.'.9（f）在（1,+oo）單調(diào)遞增，則夕（。>奴1）=0,

則〃⑺在（1,+oo）單調(diào)遞增，

又x/+x2?21n3,即3（/）<21n3,h（3）=21n3,

.,./e(1,3],即2的最大值為3.

例6.(2023?重慶?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=(2x-3)e*-ox+a(awR),設(shè)以x)為/⑶的導(dǎo)

函數(shù)/(X).

(1)討論以外的零點個數(shù)：

(2)當a20時,記f(x)的最小值為g(a),求g(a)的最大值.

【解析】(1)因為函數(shù)/(0=(2%一3圮，一0￥+〃(〃￡*,所以/'0)=己'(21一1)一。

所以h(x)=ex(2x-1)一q,/zz(x)=ev(2x4-1)

當x<-g時，"(x)<0,所以〃(x)在(7,-；)上單調(diào)遞減；

當時，”(X)>0,所以/7(x)在(彳收)上單調(diào)遞增；

所以力(x)min=?-￡]=-2e2-a

當“<-2eW時，/7(X)min所以力。)>0恒成立，所以〃(X)零點的個數(shù)為0個?

當“=-2e4時，=0，所以〃(X)零點的個數(shù)為1個

當aN0時,以乩而<。且-aWO,

若X<；,則力(x)<o,

而當X>max{ln(a+1),1}時，h(x)>ex-a>e,n(a+1)-?=1>0,

所以以元)零點的個數(shù)為1個

'-2e”<av0時，〃⑴mm<°且一〃>0，

設(shè)s(x)=e2(21—1)戶<0，則'("=/

當時，s'(x)<0,當一；<x<0時，y(x)>0,

故S(x)在18,-()上為減函數(shù)，在(-l'，。]上為增函數(shù)，

3

故s(x).=-4e4-

\/min

/3\

所以當x<21n--e3時，

I4)

xx3

/z(x)=evs^x)-a>-e^x4e4-a>a—a=0'

而當x>max{in(同+1),1}時，h(x)>e*-a>e'n(|a|+l)-a=|a|+l-a>0,

由零點存在定理可得此時以x)零點的個數(shù)為2個

(2)當時,由⑴知f(x)有唯一零點

即有/'(%)=0,即

當xe(-oo,Xo)時，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當xe(%,+oo)時，/'(x)>0J3單調(diào)遞增.

則=/(%)=(2%-3)e">-axa+a

=(2x。-3)e*，-e&(2%-l)(%-l)

=-e"(2x；-5%+4)=g⑷

令，(xob-e&Qxo—SXo+Dxoe3'”)

2

/(x0)=-e"(2x0-%-1)=-e&(2x0+1)(%-1),%eg，”)

當X。e時，，'(％)>0J(x0)單調(diào)遞增；

當與?1,物)時，/'(不)<0j(x0)單調(diào)遞減；

所以?XO)M=?1)=Y,即g(*2=-e

例7.(2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=①嗎土嗎.

(1)若函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求。的最大值；

(2)若函數(shù)/(x)在定義域上有兩個極值點X1和X"，若々>4占,求用的最大值.

【解析】(1)解:由題知〃x)=.+D(；+mx)

.aInx八

=〃+lnxd1----,x>0,

xx

因為/(x)在定義域上單調(diào)遞增，

所以尸(力=9點+上詈20在(0,+8)上恒成立，

即aWx+1-Inx在(0,+8)上恒成立，

記g(x)=x+l_lnx,

即aVg(x)mm，

,\x—\

因為且'(力=1一'=二^,

所以當x?O,l)時,g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

當X?l,+oo)時,g[x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

故g(4n=g(l)=2,

故a42,

即”的最大值為2;

(2)因為“力在定義域上有兩個極值點為和々，

即r(力=。在定義域上有兩個不相等的實根七和％?,

故有:(x)=B_]+W^=0,

即a=x+l-Inx有兩個不相等的實根巧和％2，

B|1a=%1+1-In%,=x2+1-In,

移項可得：1眸-111玉=8-百,

因為/N4x，所以%>%,

77?>0,

令I(lǐng)n/-Inx]=x2-x]=

啾…

[lnx2=m+In

m

解得々=,，x,=，小卜,

e—1e〃r-l

所以m+---->-----

e’”一1e加一1

解得加221n2,

所以x/2=e，._r1+m)_療(mY

令力(x)=——+[——),x>21n2,

1)ex-l9-1

2x(ex-\]-""x]j(eT)-xe「

所以/?x)=T~y2(e-1)2J

(eT)

/

r2e、—2—2xeA)

xx(xx

=—2e-2-xe+----e-,---l---J=-(-e-'---l-)-\2e-xe-

/(二產(chǎn)

=心、2-x-二

(e-^-l1peT

令F(x)=2e'-2-B-無,了之21n2,所以F(x)=-xe*+e"-1,

r(x)=-Aer+ex-l,f(x)=-xex<0,

所以f(x)在［2如2,內(nèi))上單調(diào)遞減，所以如2),

3A3

因為《21n2)=—21n2e2m2+e2m2一i=-81n24-3=ln—<ln—<0,

256256

即￡(x)v0,F(x)在［21n2,+o>)上單調(diào)遞減，

3

所以尸(x)VF(2如2)=2e2>"2-2—-2如2=6—101n2=2(3-51n2)=21nll

［327

<2m彳=2111記<0,即尸(力<0在［21112,4?))恒成立,

xe*

當xe［2In2,4w)時，垣下>°,即〃(x)<0,即6(x)在［2In2,用)上單調(diào)遞減，

所以〃（力四=力⑵n2）=^+4h?2+41nl2=16hr2

e—1399

161n22i---41n2

H即nx/2W--，故J%%《飛”

所以卮的最大值為寫.

例8.(2023秋?山西運城?高三統(tǒng)考期末)已知"x)=-ln(l-x)-x.

⑴求證:〃x)20恒成立；

(2)令g(x)=x+：cos7u,討論尸(x)=/(x)+g(x)在上的極值點個數(shù).

【解析】⑴證明：由l-x>0,得/(x)=—ln(l—x)—x的定義域為(7,1),

1x

f\x)=----1=--,(%<!),

1-x1-x

當0<x<l時，Mq>0,/(X)單調(diào)遞增,

當xvO時，r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

.\/(x)>/(0)=0,即/(x)2。恒成立.

213

(2)/(X)=/(力+8(工)=一111(1一次)+—cosjLc,F\x)=-----2sin7tx，戈￡(一二,1

71\—x2

31

①當xe(-p-l］,y==單調(diào)遞增，y=2sinw單調(diào)遞減，

13

所以Fr(x)=------2sin心在x￡(-；，-1］上單調(diào)遞增,

\-x2

321

又F'(一一)=2<0,Fr(-1)=0>0,

252

3

所以在上F(X)有一個變號零點

故F(x)在上有一個極值點；

②當xw(-1,0］時，--->0,2sin7vc<0,所以尸'(x)=-----2sin7tx>0,

1-x1-x

/。)此時單調(diào)遞增，尸(外在這一區(qū)間內(nèi)無極值點；

③當xw(0,；］,令h{x}-F\x)------2sin7ix,

hr(x)=——!~7-27TCOS7CX,

(1)2

又y=在xw(0,3上單調(diào)遞增，y=27tcos7tr在xw(0，W上單調(diào)遞減，

(1-x)*22

所以方。)在xe(0,3上單調(diào)遞增，又/I'(0)=1-2TT<0,//(1)=4>0,

22

所以存在X。G(0,；］使得"(工)=0,

所以/X)在(0,用)上單調(diào)遞減，在(%,J上單調(diào)遞增，

又〃(0)=1>0,〃(:)=：_2&<0,〃(：)=0,所從/心)在xe(0,；］有1個變號零點,

所以產(chǎn)(x)有1個極值點；

④當寸，」一>222sin7Lr,F'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

2\-x

所以歹(幻這一區(qū)間內(nèi)無極值點，

結(jié)合③④可知3也是尸(外的一個極值點，

綜上/x)=/(x)+g(x)在xe(-|,l)匕有3個極值點.

【過關(guān)測試】

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-2)e'+e,g(x)=a］；f-x}其中。為大

于0的常數(shù)，若F(x)=f(x)-g(x).

⑴討論尸(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方⑴在x=f(fHl)取得極小值,求g⑺的最小值.

【解析】(1)F(x)=/(x)-g(x)=(x-2)e*+e-a［；x2-x),

求導(dǎo)Fz(x)=ex+(x-2)ev-a(x-l)=(x-l)er-a(x-l)=(x-l)(ev-?),

由a>0,令尸'(x)=0,得再=1,x2=lna

①當0<a<e時，Inacl,

當x<lna和x>l時，F(xiàn)\x)>0,所以尸(x)在(Yo,ln”)和(l,+8)上單調(diào)遞增;

當lna<x<l時,FrM<0,所以F(x)在(Ina,1)上單調(diào)遞減;

②當a=e0寸，lna=l>

當x<l時，F(xiàn)'(x)>0,當x>l時，F(xiàn)Xx)>0,所以尸(x)在R上單調(diào)遞增；

③當a>e時，］na>l,

當x<l和x>lna時,F'(x)>0,所以F(x)在(-oo,l)和(lna,48)上單調(diào)遞增;

當Ivxvlna時，r(x)<0,所以F(x)在(1,Ina)上單調(diào)遞減；

綜上，當a=e時，F(xiàn)(x)在R上單調(diào)遞增：

當0<a<e時，尸⑺在(Y°,lna)和(1,KO)上單調(diào)遞增，在(Ina,1)上單調(diào)遞減;

當a>e時，尸(x)在(9,1)和(Ina,4w)上單調(diào)遞增，在(1,Ina)上單調(diào)遞減；

(2)由(1)知，當0<a?e時，不符合題意；

當a>e時，F(xiàn)(x)在x=lna處取得極小值，即f=lna,

則g(f)=g(lna)=a(；ln2a_lna),其中a>e

令/?(x)=x(gln2x-lnx}x>e,即求//(x)*,,

求導(dǎo)=^-ln2x-lnx+xf^-x21nx----j=-^ln2x-lnx+lnx-l=^-ln2x-l

令〃(x)=0,得lnx=&，即》=/

當e<x<e應(yīng)時，〃'(力<0,所以人(尤)在(e,e&)上單調(diào)遞減；

當x>e"時，〃'(x)>0,所以3)在(e版,+8)上單調(diào)遞增;

故力(力在x=e上處取得極小值，即最小值碓°)=e?*2-&卜eRi-

所以g⑺的最小值為e^。一夜).

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x+2)lnx+a?-4x+7a.

(1)若a=；，求函數(shù)/*)的所有零點；

(2)若a2；,證明函數(shù)f(x)不存在極值.

117

a--/(x)=(x+2)lnx+—x92-4x+一

【解析】(1)當2時，22,

函數(shù)/⑶的定義域為(0,+8),

2

且f'W=lnx+—+x-3.

x

2

設(shè)g(x)=lnx+—+x-3,

x

,12x2+x—2(x+2)(x—1)

則g。)=----7+1=----2-=------o——-，U>0).

XXXX

當Ovxvl時，g'(x)<0；當元>1時，gr(x)>o,

即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

所以當x>0時，g(x)>g(D=O(當月.僅當x=l時取等號).

即當x>0時，r(x)>0(當且僅當x=l時取等號).

所以函數(shù)/(%)在(0,+/)單調(diào)遞增，至多有一個零點.

因為/⑴=0,元=1是函數(shù)/⑺唯一的零點.

所以若a=g，則函數(shù)/(x)的所有零點只有1.

(2)證明：因為f(x)=(x+2)ln尤+or2_4x+7a,

函數(shù)/⑶的定義域為(0,+功，Mr(x)=lnx+——+2ax-4.

12

當。之一時，/'(x)21nx+—FX—3,

2x

2

由(1)知InxH—FX—3>0.

X

即當x>o時，ru)>o,

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以/(幻不存在極值.

證法2：因為/(x)=(x+2)lnx+ox2-4x+7〃,

V*_1_o

函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8)，且/'(X)=Inx+—+2ax-4

x+2

設(shè)/n(x)=lnx+----+2ax-4,

x

mil,/、12c2ax2+x-2.八、

則(x)—---—+2cl—-----------,(x>0).

xxx

設(shè)h(x)=lax1+x-2,(x>0),則mr(x)與h(x)同號.

當。25時，由h(x)=2ax2+x-2=0,

解得土如也<0,x,=-l+'+16”>0

4〃~4〃

可知當0<工<工2時，〃(x)v(),即/(x)<0,當時，。(工)>0,即〃?(x)〉0,

所以廣⑴在(0,%)上單調(diào)遞減，在(&,口)上單調(diào)遞增.

2

由(1)知Inxd—Fx—320.

X

2

則/'(%2)=lnx,+—+x2-3+(2tz-l)x2>(2?-1)X2>0

x2

所以r(?2r(x2)>o,即f(x)在定義域上單調(diào)遞增.

所以/(冷不存在極值.

3.(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=ar+cosx(04x4;r,aeR)

(1)當。=立時，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：

2

3

(2)若函數(shù)/(x)恰有兩個極值點，記極大值和極小值分別為"、相，求證：

【解析】⑴函數(shù)的定義域為［0,九］,

當a=■^時，f(x)=—x+cosxr

27v72

fXx)=--sinx,令—(%)=0nx=g或與，

233

當xwQ?時，/。)>0,“力單調(diào)遞增，

當x嗚爭時，八x)<0,/⑺單調(diào)遞減，

當xe(?7)時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,g)和(子,萬)；

JD

(2)f(x)=ac+cosxn/'(x)=a-sinx,

因為函數(shù)〃x)恰有兩個極值點，

所以方程廣(x)=〃-sinx=0有兩個不相等的實根，設(shè)為%、3且玉<馬，

當04x4］時，函數(shù)y=sinx圖象關(guān)于直線x=5對稱，

則%十—=乃,即sin%=sinx2=a,

因為所以aw(0,l),

當xe(O小)時，/'(X)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當工€(士,馬)時，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當xeG，乃)時，八幻>0,“X)單調(diào)遞增，

所以凡應(yīng)分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，

即M=f(x])=axx+cosX],tn=f(x2)=ax2+cosx2,

于是有2M-m=2(ax]+cos^)-(ax2+cosx2),

因為％+%=乃，所以工2=%一玉，

所以2M-m=3ax[+3cosx}-an,而sinX[=〃，

所以2M-m=3xlsin^+3cosxl一乃sin%,

設(shè)〃(x)=3xsinx+3cosx-;rsinx,0<x<^,

ITTT

貝ljh\x)=(3x-乃)cosx,令h\x)=0nx=§或彳，

當0<x<2時，h'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

3

當XTT<X<7土T時，//(%)>0,以幻單調(diào)遞增,

32

所以當x=?時，函數(shù)有最小值，即人*)*=6(?)=?,

33

因此有/?(幻2不，即

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃工)=丁+奴+2加3為常數(shù))，且f(x)在定義域

內(nèi)有兩個極值點.

(1)求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)〃x)的兩個極值點分別為再,々(先<々)，求〃嶗-/優(yōu))的范圍.

【解析】⑴函數(shù)/(力的定義域為(0,+8),-(刈=2尤+〃+2=2/+絲匚,

XX

[*]/(X)在定義域內(nèi)有兩個極值點，則r(x)=0。2』+OX+2=0有二不等的正實根士汽，

A=a2-16>0

從而得，士+々=一￡>0,解得“<-4,

xxx2=1>0

所以〃的取值范圍是(-8,-4)；

(2)由(1)知為+々=一],西尤2=1，而0<不<々，則工2>1,

/(石)一/(毛)=(%：+?1+21叫)一(后+3+21nx2)=(片-A^)+?(Xj—x2)+2(lnx]-lnx2)

=(x；—焉)一2(X|+x-y)(Xj—x>)+21n--=-xf+21n--=——+21n—亍,

■■x2x2-x2x2

ii71

2

令/=*>1,則/(%)一/(x2)=gQ)=，一；-21nf,^(r)=l+-?--r=(l--)>0,

從而得g⑺在(1，y)上單調(diào)遞增，即有V"l,g⑺〉g⑴=。，g⑺的值域是(0,+8),

所以〃與)-/(w)的范圍是(。，叱).

5.(2023?四川攀枝花?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)"%)="2-ainx+M〃eR).

⑴當a=3時，求函數(shù)人力的極值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-x,若g(%)有兩個零點/，且與為g。)的唯一極值點,

求證：%+%2>2%.

【解析】(1)當。=3時，/(x)=x2-31nx+x,定義域為(0,+8),

\o3[2x~+x—3(x—l)(2x+3)

f(x)=2x——+1=-------------=------------------(x>0)?

XXX

所以“X)在區(qū)間(O,l)J'(x)<OJ(x)遞減；在區(qū)間(l,M)J'(x)>0J(x)遞增.

所以/(x)的極小值為"1)=2,無極大值.

r\2

(2)g(x)=x?-alnx(x>0),g<x)=2x——=-.

當aWO時，g'(x)>0在(0,+8)上恒成立,8(%)在(0,+8)上遞增,不符合題意.

當a>0時，g(x)在區(qū)間[o,正)，短(x),g(x)遞減；

在區(qū)間源,+8，g'(x)>O,g(x)遞增.

所以g(x)的極小值點為x=4，

g(l)=l>0,

要使g(x)有兩個零點,

aa.aa(.a\八，.a_.a,._

-------In-=-1-ln—<0,1-In-<0,In—>1=Ine,tz>2e,

2222l2)22

則卜e,牌五＞1,

1V—1

對于函數(shù)G(x)=x-lnx(x>O),G[x)=l-t=Y,

所以G(x)在區(qū)間(0,1),G(x)<0,G(x)遞減：在區(qū)間(1,田),G，(x)>0,G(x)遞增.

所以G(x)NG⑴=1>0,所以x—lnx>0在(0,+力)上恒成立.

則g(q)=，/-a\na=a^a-\nci)>G,

所以不妨設(shè)1<X]<J]<七<a,

由g(%)=g(W)=0'得=x；-alnx2,

令上=M>1,

王

即k-aln內(nèi)=產(chǎn)片-aln(q),整理得x：=??；,

要證司+工2>2天)，即證公+%=?+1)為>2*4=,

即證(t+1『X；>2a,即證(f+1)?甥>2a(a>0j>l),

即證(f+l)ln/>2(f-l),即證inr>受?.

設(shè)函數(shù)Mr)=ln一坐?(r>l),

m12?+1)-2"1)(+1)2-41(I):

⑴一f(/+1)2一位+1)2一次+1)2

所以函數(shù)在(1,內(nèi))上遞增，所以人。)>〃(1)=。，

所以Mf)=ln-^^>0,Inr>^^

所以X+X2>2X0.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(力=3潑-(a+l)x+lnx,a>0.

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)當4=1時，設(shè)g(x)=〃x)+(3-m)x-(x+l)lnx,(meR),函數(shù)g(x)有兩個極值點

先>%(再〈七).

①求m的取值范圍；

②若3為2占，求In玉+In々+2，*的取值范圍.

【解析】(1)/'(x)=ax_(a+l)x+g=("x-2°T)(x>()),

當Ovavl時，Ovxvl或無>—時，>0,1cxe—時，/'(力<0,

所以〃x)的增區(qū)間是(0,1),(g+8)減區(qū)間是11，皆，

當”=1時，尸(切=也止20,所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當0>1時，0cx<,或X>1時，f?x)>0,4<X<1時，//(x)<0,

所以“X)的增區(qū)間是(o3),(1，+8),減區(qū)間是(：,1)：

(2)①g(x)=gx2+(l-〃7)x-xlnr,因為函數(shù)g(x)有兩個極值點m，x?,

所以g'(x)=xTnx—〃z=O有兩個變號零點，

1r_1

令//(x)=x-lnx-z?,貝=l——=：---(x>0),

當x?O,l)時，//(x)<0,/i(x)單減,

當xe(l,+8)時,h'(x)>0,單增，

所以函數(shù)g'(x)在(0,1)上遞減，在(1,內(nèi))上遞增，

當XfO時，g〈X)->+co,當Xf+8時，g，(x)->+oo,

所以只需g'(x)mm=g'⑴=1一%<0即可，

所以ZZ7>1；

②由已知機=再一lnX|=x2-Inx2,

則與f=ln五,令巴=fe(l,3],得<

占X1

(r+l)lnr

Inx(+Inx2+2tn=x1+x2=----——，

(/+l)ln//i—2In/-f-Z—

令地卜，止(1,3],則/⑺=-------一，

令*S=-21nr+”；,則d?)=」；)>0?€(1,3?

所以函數(shù)9⑺在fe(1,3]上遞增,又因為夕(1)=0,

所以當f?L3]時,?、?gt;0,即加⑺>0,所以函數(shù)加(。在一(1,3]上遞增,

由洛必達法則理他)=2,43)=21n3,

所以In%+111毛+2加的范圍是(2⑵n3].

7.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中?？计谀?已知函數(shù)/(x)=e，-以有兩個

極值點玉，Xy

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

⑵求證：〃芭)+/(毛)>2.

【解析】(1)由于/(x)=e*-；x2-奴，則/(x)=e*7-a.

設(shè)g(x)=f'(x)=ex-a,貝I]g'(x)=e*-1，令g'(x)=O,解得x=0.

所以當xe(-oo,0)時，g'(x)<0；當xe(0,+oo)時，g'(x)>0,所以g(x)ms=g(0)=l-a

①當a41時，g(x)=/'(x)WO,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，沒有極值點.

②當時，g(x)min=l-a<O,a>1,g(-a)=e-">O,g⑷=e"-勿>0.

此時，8。)=-。)=6"-》-“有兩個零點4、4，不妨設(shè)玉<*2，則不<0<々，

所以函數(shù)/W=e:-6有2個極值點時，a的范圍時(1,”).

(2)由(1)知，X|、々為g(x)=。的兩個實數(shù)根，不妨設(shè)玉<々，則再<0<占，

g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

卜,面先證xt<-x2<0,只需證g(-w)<g(X1)=0.

2

山Tg(x2)=e'-x2-a=0,所以a=e-,

X2

所以g(-x2)=e'+x2-a=e-&-e-+2x2.

設(shè)h(x)=e-v-ex+2x(x>0),貝ljhi(x)=----er+2<0,

ex

所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以h(x2)=g(-x2)<0,

所以為<-當<0.

由于函數(shù)f(x)在(玉,0)匕單調(diào)遞減，所以/(百)>/(-々).

要證/,(飛)+/'(工2)>2,只需證/(-毛)+/(毛)>2,即證e*+eh一x；-2>0.

設(shè)函數(shù)A(x)=e*+e-v-x2-2,xe(0,-+?o)，則犬(x)=e*-e*'-2x.

設(shè)*(x)=k\x)=ex-e~x-2x,則<p(x)=ex+e-x-2>0,

所以奴x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，S(x)>0,即％'(x)〉0.

所以儀x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，-x)>0.

故當xe(0,4w)時，e*+eT-x2-2>0,貝Ue-+e』一考一2>0,

所以■/(-j)+/(毛)>2,即/(玉)+/(占