25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課26解三角形的實(shí)際應(yīng)用

8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，AD=2．(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)證明：取AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為F，由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，則FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD?FO，則CD⊥AE，又E是PD中點(diǎn)，則AE⊥PD，由線面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；5也可聯(lián)系基礎(chǔ)課26解三角形的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)解三角形的實(shí)際應(yīng)用理解2021年全國(guó)甲卷T2021年全國(guó)乙卷T★☆☆直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來(lái)看，新高考一般不單獨(dú)考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用.預(yù)計(jì)2025年高考不會(huì)單獨(dú)命題一、仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角（如圖1）.二、方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫作方位角.如B點(diǎn)的方位角為α（如圖2）.三、方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45四、坡度坡面與水平面所成的二面角的正切值.題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）（1）東北方向就是北偏東45°的方向.(√（2）從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α+β=（3）俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為[0,π（4）方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.(√)2.（易錯(cuò)題）如圖，某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條筆直的公路，走向是南偏東40°，在C處測(cè)得公路上B處有一人，與C相距31km，正沿公路向A城走去，走了20km后到達(dá)D處，此時(shí)C，D間的距離為21km，則這人還要走【易錯(cuò)點(diǎn)】本題在解△ACD時(shí)，由于先求AC的長(zhǎng)，再用余弦定理求AD[解析]如圖，令∠ACD=α，∠CDB=β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ=BD2+CD題組2走進(jìn)教材3.（人教A版必修②P50·例10改編）某工廠的煙囪如圖所示，底部為A，頂部為B，相距20米的點(diǎn)C，D與點(diǎn)A在同一水平線上，用高為3米的測(cè)角工具在C，D位置測(cè)得煙囪頂部B在C1和D1處的仰角分別為45°，60°，其中C1，D1和A1[解析]如圖，在△BC1D1中，∠C1BD4.（人教A版必修②P51?T3改編）甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船正以anmile/h的速度向北勻速行駛.已知甲船的速度是[解析]如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)th兩船在點(diǎn)C相遇，則在△ABC中，BC=at，AC=3at，B=180°?60°題組3走向高考5.[2014·新課標(biāo)Ⅰ卷]如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MAN=60°，點(diǎn)C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75[解析]在△ABC中，因?yàn)椤螧AC=45°,∠ABC=90°,BC=100m，所以AC=100sin45°=100考點(diǎn)一測(cè)量距離［師生共研］典例1為了測(cè)量隧道口A,B間的距離，開車從點(diǎn)A出發(fā)，沿正西方向行駛4002米到達(dá)點(diǎn)D，然后從點(diǎn)D出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)點(diǎn)C，再?gòu)狞c(diǎn)C出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達(dá)隧道口點(diǎn)B處，測(cè)得B,D（1）若隧道口B在點(diǎn)D的北偏東θ的方向上，求cosθ（2）求隧道口A,B間的距離.[解析]（1）在△BCD中，由正弦定理得BD即1000sin45°由題可知，∠CDB<90°，所以（2）由（1）可知，cos∠ADB在△ABD中，由余弦定理得A所以AB=1000（米），故兩隧道口A,測(cè)量距離問(wèn)題的兩個(gè)注意事項(xiàng)1.確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知,則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一個(gè)確定的三角形中求解.2.確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.[2024·湖北模擬]如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N之間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).在點(diǎn)A測(cè)得M，N的俯角分別為α1=75°，β1=30°，在點(diǎn)B測(cè)得M，（1）求AM的長(zhǎng)度；[解析]在△ABM中，∠MAB=75°由正弦定理得AMsin∠所以AM=（2）求M，N之間的距離.[解析]因?yàn)棣?=45所以∠MBN=75°,所以BN=AB=在△AMN中，由余弦定理得，MN2故M，N之間的距離為25考點(diǎn)二測(cè)量高度［師生共研］典例2[2024·上饒模擬]某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量某建筑物的高度PO，在和它底部位于同一水平高度的共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂端P處的仰角分別為π6，π4，π3，且ABA.156m B.106m C.[解析]設(shè)PO=xm，在Rt△POC中，在Rt△POB中，∠PBO=在Rt△POA中，∠PAO=在△BOC和△BOA中，由余弦定理得解得x=106或x故選B.測(cè)量高度問(wèn)題的三個(gè)注意事項(xiàng)1.在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，理解仰角、俯角（它們是在鉛垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是關(guān)鍵.2.在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面（地面）同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò).3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.[2024·常州模擬]現(xiàn)代傳媒大廈是某市最高的標(biāo)志性建筑.某學(xué)習(xí)小組要完成兩個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)：驗(yàn)證某地圖APP測(cè)距的正確性及測(cè)算傳媒大廈的高度.如圖1，在某水平路面上有兩點(diǎn)A，B，其中AB指向正西方向，首先利用該APP測(cè)距功能測(cè)出AB的長(zhǎng)度為2km，接著在選定水平路面上可直接測(cè)距的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA=30°,∠ACD=45°,∠BDC=（1）通過(guò)計(jì)算判斷該地圖APP測(cè)距是否正確.2[解析]設(shè)CD=akm，在等腰Rt△ACD中，AC=2akm，在可得∠CBD由正弦定理得，BCsin60°在△ABC中，由余弦定理得，AB∵AB=2∵2828?2840（2）如圖2，小組在A處測(cè)得現(xiàn)代傳媒大廈樓頂M在西偏北θ方向上，且仰角∠MAN=4.8°，在B處測(cè)得樓頂M在西偏北φ方向上，通過(guò)計(jì)算得sinθsinφ=3[解析]在△ABN中，由正弦定理可得，BN設(shè)BN=3xkm由余弦定理可得，cosθcos∠ABNcosφ由cosθcosφ=114，解得在Rt△AMN中，MN=AN考點(diǎn)三測(cè)量角度［師生共研］典例3如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島B位于小島A北偏東75°方向距離60海里處，小島B北偏東15°方向距離303（1）求小島A到小島C的距離；（2）如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.[解析]（1）在△ABC中，AB=60∠ABCAC∴AC=306,∴小島A到小島（2）根據(jù)正弦定理得,ACsin∠∴306sin在△ABC中，∵∠ABC=∴∠ACB=45由75°?15測(cè)量角度問(wèn)題的三個(gè)注意事項(xiàng)1.測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義；2.求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值；3.在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意畫出示意圖，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題過(guò)程中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn).[2024·黔西模擬]為了測(cè)量一個(gè)不規(guī)則湖泊兩端C，D之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距1km的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向上，且A，B，C，D四點(diǎn)在同一水平面上.從點(diǎn)A處觀測(cè)得點(diǎn)C在它的東北方向上，點(diǎn)D在它的西北方向上；從點(diǎn)B處觀測(cè)得點(diǎn)C在它的北偏東30°方向上，點(diǎn)D在它的北偏西（1）求C，