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常微分方程期終試卷(3)一.解下列方程(10%*8=80%)2xylnydx+{+}dy=02.=6-x3.=24.x=+ytgydx-ctydy=0{y-x(+)}dx-xdy=07．一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，從速度為零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時間的關(guān)系。8.已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。二．證明題(10%*2=20%)9.試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,則是該方程的一個積分因子。10.證明：如果已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等方法求得它的通解。試題答案：02412-28解：=2xlny+2x,=2x,則==,故方程有積分因子==，原方程兩邊同乘以得dx+dy=0是恰當(dāng)方程.d(lny)+ydy=0,兩邊積分得方程的解為lny+=C。解：1）y=0是方程的特解。2）當(dāng)y0時，令z=得=z+x.這是線性方程，解得它的通解為z=代回原來的變量y得方程解為=；y=0.3.解：令x=u+3,y=v2,可將原方程變?yōu)?，再令z=，得到z+=，即=，分離變
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