絕密資料高中數(shù)學(xué)橢圓的方程

第51講橢圓的方程

一、課程標(biāo)準(zhǔn)

1、了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.

2、經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程.

3、通過(guò)橢圓的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

4、了解橢圓的簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧

工、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)以，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|尸擊|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的

焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

集合P={/W|+|MF2|=2a},\FiFi\=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù).

⑴若a>c,則集合P為橢圓；

⑵若a=c,則集合P為線段；

⑶若a<c,則集合P為空集.

2、焦半徑：橢圓上的點(diǎn)P(x。，㈤與左(下)焦點(diǎn)Fi與右(上)焦點(diǎn)F2之間的線段的長(zhǎng)度叫做橢圓的焦半徑，分別

記作ri=|PFi|,r2=\PF2\.

x2y2

⑴/+京=l(a>b>0),r-L=a+ex0,r2=a—ex0；

y2x2

(2)3+京=l(a>b>0),r^a+eyo,r2=a—ey0;

⑶焦半徑中以長(zhǎng)軸為端點(diǎn)的焦半徑最大和最小(近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)).

3、焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(xo,%)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△0凡「?叫做焦點(diǎn)三角形，/FIPF2=&Z\PFIF2的面積為

X2V2

S,則在橢圓了+臺(tái)=l(a>b>0)中

⑴當(dāng)p為短軸端點(diǎn)時(shí)，e最大.

⑵S=]|PFi||PF2卜sine=b2tan,=c|yo|,當(dāng)|yo|=b時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為be.

⑶焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).

三、自主熱身、歸納總結(jié)

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1、（2020?河南洛陽(yáng)一模）已知橢圓元的長(zhǎng)軸在y軸上，且焦距為4,則相等于（）

A.5B.6

C.9D.10

2、適合b=l，c=y[B，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

Aj+y2=lB.f^+y2=lC.^-+x2=lD.^+x2=l

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3、已知方程已+含=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.（-8>DB.（1>2）

°（「1）D.（1，|）U（|，2）

4、若點(diǎn)D（2，3）在橢圓M：*+*=l（m>0，n>0）上，且其中一個(gè)焦點(diǎn)是（一2-0），則橢圓M的方程為（）

A-n+^=1B-^+n=1

D+=l

C-^+S=1-Mi

5、（2020?安徽江南十校模擬）已知橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,點(diǎn)F,8分別為橢圓G的右焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn).點(diǎn)

。到直線3P的距離為小，過(guò)尸垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為2,則橢圓G的方程是（）

四、例題選講

考點(diǎn)一橢圓的定義及其應(yīng)用

例1已知圓Fi：（x+l>+y2=16，定點(diǎn)F2（l，0），動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)F2，且與圓Fi相內(nèi)切，那么點(diǎn)M的軌跡C

的方程為

變式1、(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為。，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，/W是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F

重合，然后抹平紙片，折痕為CD,設(shè)CD與。/W交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.圓

X21/2-A-A

⑵已知Fi，F(xiàn)2是橢圓C：3+爐=1(。＞匕＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PFiLPFz.若△PFiFz的面積為9,

則b=.

變式2、如圖，圓0的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓0內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線1和

半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是.

X2V2X2V2

變式3、曲線正+白=1與曲線=二7+士工=邛＜9)的()

ND-/ZDKJK

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B.短軸長(zhǎng)相等

C.離心率相等D.焦距相等

方法總結(jié)：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在

橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)8,F2組成的三角形通常稱為"焦點(diǎn)三角形"，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和

余弦定理可求IPF11?|PE|,通過(guò)整體代入可求其面積等

考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個(gè)頂點(diǎn)為(3＞0)＞(-3'0)＞離心率為阿-；

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(2)過(guò)點(diǎn)(小，—小)＞且與橢圓1+方=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式1、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—2小，0),Q(0,2)兩點(diǎn)；

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(2)與橢圓5+1=1有相同的焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,一小).

變式2、（江西金溪一中2019屆模擬）（1）若直線x—2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2

A.y+y=lB.，y2=14+丫?^或卜為nD.以上答案都不正確

（2）一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)Fi，F(xiàn)2在x軸上，P（2,?。┦菣E圓上一點(diǎn)，且|PFi|,|「冏，|PF2|成等

差數(shù)列，則橢圓的方程為（）

X2V2X2V2

?+LD.而+L

變式3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：Q+，=l（a>b>0）的離心率為，，橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距

離的最小值為3（A/2-1），求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

方法總結(jié)：用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟：

①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上、在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能；

②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程今+'=l（a>b>0）或今+3=l（a>b>0）或mx2+ny2=l（m>0,n>0）；

③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c的方程組；

④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.

五、優(yōu)化提升與真題演練

1、【2019年高考全國(guó)I卷】已知橢圓C的焦點(diǎn)為打（一L°）'鳥(niǎo)（L°）,過(guò)F2的直線與C交于4B兩點(diǎn).若

|他1=2|他I,SH明I,則c的方程為（）

222222

—+/=1土+乙=1L+J-X--「1---—-1

A.2-B.32C.43D.54

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2、設(shè)點(diǎn)F「F2分別是橢喉+靠=1的左、右焦點(diǎn)’點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)M是BP的中點(diǎn)'OM=3，則

點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為

3、已知Fi，F(xiàn)2是橢圓C：點(diǎn)+*=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)>MZFIPF2=60°，SAPFR

二3/,則b=

丫

4、點(diǎn)P是橢圓X行2+春2=1上一點(diǎn)'F「F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)’且APFR的內(nèi)切圓半徑為1'當(dāng)P在第一象限

時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為―.

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-冗--