2019初中數(shù)學必考知識點

2019初中數(shù)學必考知識點匯總

第一章：實數(shù)

重要復習的知識點:

一、實數(shù)的分類:

‘正整數(shù)'

整數(shù)零

有理數(shù)負整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)4數(shù)

實數(shù)［正分數(shù)

分數(shù)

負分數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

1、有理數(shù)：任何一個有理數(shù)總可以寫成"的形式，其中p、q

q

是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。

2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如垃、

返；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無限小數(shù),如1.101001000100001...；

特定意義的數(shù)，如n、sin45。等。

3、判斷一個實數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過整

理化簡后才下結(jié)論。

二、實數(shù)中的幾個概念

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實數(shù)a的相反數(shù)是-a；(2)a和b互為相反數(shù)oa+b=0

2、倒數(shù)：

(1)實數(shù)a(aWO)的倒數(shù)是［；(2)a和b互為倒數(shù)0

a

ab=l；(3)注意。沒有倒數(shù)

3、絕對值：

（1）一個數(shù)a的絕對值有以下三種情況：

a,a>0

時=<0,a=0

-a,aY0

（2）實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕

對值，就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離。

（3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號里面的實數(shù)

進行數(shù)性（正、負）確認，再去掉絕對值符號。

4、n次方根

（1）平方根，算術(shù)平方根：設a20,稱士而叫a的平方根，

及叫a的算術(shù)平方根。

（2）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；

負數(shù)沒有平方根。

（3）立方根：必叫實數(shù)a的立方根。

（4）一個正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數(shù)有

一個負的立方根。

三、實數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原

點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點和實數(shù)的對應關系：數(shù)軸上的每一個點都表示一

個實數(shù)，而每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點來表示。實數(shù)

和數(shù)軸上的點是一一對應的關系。

四、實數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)絕對

值大的反而小。

五、實數(shù)的運算

1、加法：

(1)同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；

(2)異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕

對值減去較小的絕對值。可使用加法交換律、結(jié)合律。

2、減法：

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

(1)兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。

(2)n個實數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0；若n個非0的

實數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時,

積為正；當負因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負。

(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

4、除法：

(1)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

(2)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

(3)0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數(shù)的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運

算，力口、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左

到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算,

有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號

后運算。

六、有效數(shù)字和科學記數(shù)法

1、科學記數(shù)法：設N>0,則他aXIO"（其中IWaVlO,n為

整數(shù)）。

2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到精確

到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的

形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個有效數(shù)字。

例題：

例1、已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，且

力Ml。

化簡：時_卜+4_卜_4

分析：從數(shù)軸上a、b兩點的位置可以看到：a<0,b>0且

卜卜忖

所以可得：

解：原式=一。+。+匕一匕+。=。

例2、若a=（-：）-3,6=-0）3,c=（$-3,比較a、b、C的

大小。

分析：4=—（§，Y—1；8=一（：）>—1且。YO；C>0；所以容

易得出：

a<b<Co

解：略

例3、若3-1與|"2|互為相反數(shù),求a+b的值

分析：由絕對值非負特性，可知,-[NO,|Z?+2|>0,又由題

意可知：一2|+忸+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所以a+b=O

解：略

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值是1,

求_cd+m'的值。

m

解：原式=0-1+1=0

例5、計算：（1）81994X0.1251994

解：（1）原式n/xO.lZS/994==1

第二章：代數(shù)式

基礎知識點：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式

子，叫代數(shù)式。單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到的

結(jié)果叫做代數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類:

,/單項式

力工用一整式《不用t，

有理式J［多項式

代數(shù)式

、分式

無理式

二、整式的有關概念及運算

1、概念

（1）單項式：像X、7、2x2y,這種數(shù)與字母的積叫做單

項式。單獨一個數(shù)或字母也是單項式。

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單

項式的次數(shù)。

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。

（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個

多項式含有幾項，就叫幾項式。

多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個

多項式的次數(shù)。不含字母的項叫常數(shù)項。

升（降）幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小

（大）到大（?。┑捻樞蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升

（降）幕排列。

（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別

相同的項叫做同類項。

2、運算

（1）整式的加減：

合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字

母及字母的指數(shù)不變。

去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”

號去掉，括號里各項都不變；括號前面是“一”號，把括號和它

前面的“-”號去掉，括號里的各項都變號。

添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不

變；括號前面是“一”號，括到括號里的各項都變號。

整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括

號，先去括號，再合并同類項。

(2)整式的乘除:

暴的運算法則：其中m、n都是正整數(shù)

同底數(shù)幕相乘：a"'-an=am+n；同底數(shù)基相除：

am^an=am-nx幕的乘方：(a，=a""積的乘方:(ab)"=anb".

單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相

同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一

個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再

把所得的積相加。

多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多

項式的每一項，再把所得的積相加。

單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式,

對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，

再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；

完全平方公式：(a+b)?=a"+2"+/,

(a-b)2=a2-2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式,

叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：

a2±2ab+b2=(a±b)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab-(x+a)(x+b)

(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或

運用公式分解。

(5)運用求根公式法：若ax2+/?x+c=0(。。0)的兩個根是

/、々，則有：

1

ax+hx+c—?(x—X1)(x—x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或

十字相乘法；

(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的

再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

1、分式定義：形如捺的式子叫分式，其中A、B是整式，

且B中含有字母。

（1）分式無意義：B=0時，分式無意義；BWO時，分式有

意義。

（2）分式的值為0：A=0,BW0時，分式的值等于0。

（3）分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去

叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

（4）最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫

做最簡分式。分式運算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分

工IO

（5）通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等

的同分母分式的過程，叫做分式的通分。

（6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次累的積。

（7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

（1）4=生"（知是70的整式）；（2）

BBM

4=41絲（知是/0的整式）

B

（3）分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符

號，改變其中任何兩個，分式的值不變。

3、分式的運算：

（1）力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加

減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加

減。

（2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分

子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子&(a20)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式,

被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相

同的二次根式，叫做同類二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如

果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化

因式(常用的有理化因式有：耳與&；a弗+c&l與

a4b-c4d)

2、二次根式的性質(zhì):

(?>0)

(1)(?)2=a(a>0)；(2)M=<

(a<0)

(3)y[ab-4a-4b(a20,b>0)；(4)

4a

(a>Q,b>0)

7b

3、運算:

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后,

合并同類二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b=4ab(a20,b20)。

(3)二次根式的除法：^=^(a>0,b>0)

二次根式運算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。

例題：

一、因式分解:

1、提公因式法：

例1、24?(X-y)+6b2(y-x)

分析：先提公因式，后用平方差公式

解：略

［規(guī)律總結(jié)］因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個

因式都分解到不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式

進行最后的審查，如果還能分解，應繼續(xù)分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)X4-5X2-36；(2)(x+yK-4(x+y)—12

分析：可看成是/和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法,

初步分解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］應用十字相乘法時，注意某一項可是單項的一字

母，也可是某個多項式或整式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、X3+2%2-x-2

分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，

后提取，再公式。

解:略

［規(guī)律總結(jié)］對多項式適當分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式分組，分

組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

例4、x2+5x+5

解:略

二、式的運算

巧用公式

例5、計算：（1一一二）2_（1+—1^）2

a—ba—b

分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌

握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運用公式的技巧，使運算

簡便準確。

2、化簡求值：

例6、先化簡，再求值：5公一（3/+5/）+（4；/+7個），其

X=-1y—1-,\/2

解:略

［規(guī)律總結(jié)］一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法

則。

3、分式的計算：

例7、化簡-_一”3）

2a-6a—3

分析：-。-3可看成-三二

a-3

解：略

［規(guī)律總結(jié)］分式計算過程中：（1）除法轉(zhuǎn)化為乘法時，要

倒轉(zhuǎn)分子、分母；（2）注意負號

4、根式計算

例8、已知最簡二次根式和是同類二次根式,

求b的值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-bo

解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運算是中考必考內(nèi)容，特別是

二次根式的化簡、求值及性質(zhì)的運用是中考的主要考查內(nèi)容。

第三章：方程和方程組

基礎知識點：

一、方程有關概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方

程的解，含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方

程。

4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不適合原方程的根

叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標準形式：ax+b=O（其中x是未知數(shù),

a、b是已知數(shù)，aWO）

（2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、

b是已知數(shù)，a#0）

（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、

合并同類項和系數(shù)化為lo

（4）一元一次方程有唯一的一個解。

2、一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（其中x

是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)，aWO）

（2）一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式

法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如

果沒有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判別式：△=^-4ac

當△>0時0方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當△=0時o方程有兩個相等的實數(shù)根；

當△<0時o方程沒有實數(shù)根，無解；

當△20時o方程有兩個實數(shù)根

（5）一元二次方程根與系數(shù)的關系：

若X1,》2是1元二次方程OX?+匕X+C=O的兩個根，那么：

bc

+%2=----，X）*12二一

a"a

（6）以兩個數(shù)無I，聲為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）

1

是：X-（X（+x2）X+X]X2=0

三、分式方程

（1）定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊方法：換元法。

（3）檢驗方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母,

使最簡公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的

就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值

代入原方程檢驗。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做

解方程組

3、一次方程組：

（1）二元一次方程組：

一般形式：+'（q,知仿也,。1，。2不全為0）

[a2x+b2y^c2

解法：代入消遠法和加減消元法

解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數(shù)

的解。

（2）三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

（1）定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成

的方程組以及由兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方

程組。

（2）解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)

化為二元一次方程組。

考點與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

⑴g(x+3)2=2；(2)2X2+3X=1；(3)

4(x+3)2=25(x-2)2

分析：(1)用直接開方法解；(2)用公式法；(3)用因式分

解法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］如果一元二次方程形如(x+加『=〃("20),就可以用

直接開方法來解；利用公式法可以解任何一個有解的一元二次方

程，運用公式法解一元二次方程時，一定要把方程化成一般形式。

例2、解下列方程：

(1)Y一。(3%—2。+份=0(%為未矢口黝；(2)

x~+2ax—8，廠—0

分析：(1)先化為一般形式，再用公式法解；(2)直接可以十

字相乘法因式分解后可求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)

別，在用公式法時要注意判斷△的正負。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

(2)-=-----1；(2)-----+———=5

\-x~x+1xx+2

分析：(1)用去分母的方法；(2)用換元法

解:略

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關系

如：有平方關系，倒數(shù)關系等的分式方程，可采用換元法來解。

三、根的判別式及根與系數(shù)的關系

例4、已知關于x的方程：(〃一1次2+2〃》+〃+3=0有兩個相等

的實數(shù)根，求p的值。

分析：由題意可得A=0,把各系數(shù)代入A=0中就可求出p,但要

先化為一般形式。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留

意二次項系數(shù)不能為0

例5、已知a、b是方程公一■_1=o的兩個根，求下列各式的

值：

(1)a2+b2；(2)-+-

ab

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把(1)(2)變形后的式

子就可求出解。

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求

的式子變形成含有兩根之和和兩根之積的形式，再代入計算。但

要注意檢驗一下方程是否有解。

例6、求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程

/_%—5=()的兩個根小3

分析：先出求原方程的兩根之和為+々和兩根之積為9再代入求

出a-3)+(々-2)和(西-3)(々-3)的值,所求的方程也就容易

寫出來。

解:略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程的兩個解，但有時這樣

又太復雜，用根與系數(shù)的關系就比較簡單。

三、方程組

例7、解下列方程組：

,（x+y-2z-1

,、（2x+3y=3，、

（1）\，；（2）\2x-y-z=5

x-2y=5

i［x+y+3z=4

分析：（1）用加減消元法消x較簡單；（2）應該先用加減消元

法消去y，變成二元一次方程組，較易求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數(shù)

的系數(shù)最簡單就先消那個未知數(shù)。

例8、解下列方程組：

一、\x+y=l13/-*-4y2-3x+4y=0

xy=\2［x+y=25

分析：（1）可用代入消遠法，也可用根與系數(shù)的關系來求解；

（2）要先把第一個方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與

第二個方程分別組成兩個方程組來解。

解:略

［規(guī)律總結(jié)］對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方

程組一般用代入消元法，對于兩個二元二次方程組成的方程組，

一定要先把其中一個方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個

方程組成兩個方程組來求解。

第四章：列方程（組）解應用題

知識點:

一、列方程（組）解應用題的一般步驟

1、審題：

2、設未知數(shù)；

3、找出相等關系，列方程（組）；

4、解方程（組）；

5、檢驗，作答；

二、列方程（組）解應用題常見類型題及其等量關系；

1、工程問題

（1）基本工作量的關系：工作量=工作效率X工作時間

（2）常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合

作的工作總量

（3）注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題

屬于工程問題

2、行程問題

（1）基本量之間的關系：路程=速度X時間

（2）常見等量關系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題（設甲速度快）：

同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程-乙走的路

程=原來甲、乙相距路程

同地不同時：甲的時間=乙的時間-時間差；甲的路程=乙的

路程

3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4、增長率問題：

常見等量關系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量

=原來的量X(1+增長率)；

5、數(shù)字問題：

基本量之間的關系：三位數(shù)=個位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+

百位上的數(shù)X100

三、列方程解應用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間

的關系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應用題中的數(shù)量

關系，然后根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從

而找出各種量之間的關系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關系，它可以使量

與量之間的關系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。

例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項工程，合作5天后,

甲組另有任務，由乙組再單獨工作1天就可完成，若單獨完成這

項工程乙組比甲組多用2天，求甲、乙兩組單獨完成這項工程各

需幾天？

分析：設工作總量為1,設甲組單獨完成工程需要x天，則

乙組完成工程需要(x+2)天，等量關系是甲組5天的工作量+乙組

6天的工作量=工作總量

解:略

例2、某部隊奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時

45分后，因任務需要，又增派乙連乘車前往支援，已知乙連比

甲連每小時快28千米，恰好在全程的士處追上甲連。求乙連的

3

行進速度及追上甲連的時間

分析：設乙連的速度為V千米/小時，追上甲連的時間為t

小時，則甲連的速度為（V-28）千米/小時，這時乙連行了

?+2）小時，其等量關系為：甲走的路程=乙走的路程=30

4

解:略

例3、某工廠原計劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設備60臺支援

抗洪，由于改進了操作技術(shù)；每天生產(chǎn)的臺數(shù)比原計劃多50%,

結(jié)果提前2天完成任務，求改進操作技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設備多

少臺？

分析：設原計劃每天生產(chǎn)通訊設備x臺，則改進操作技術(shù)后

每天生產(chǎn)x（1+0.5）臺，等量關系為：原計劃所用時間-改進技

術(shù)后所用時間=2天

解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種

種原因，經(jīng)營不善，銷售額下降10%,以后經(jīng)加強管理，又使月

銷售額上升，到四月份銷售額增加到96萬元，求三、四月份平

均每月增長的百分率是多少？

分析：設三、四月份平均每月增長率為述，二月份的銷售

額為60（1-10%）萬元，三月份的銷售額為二月份的（1+x）倍，

四月份的銷售額又是三月份的（1+x）倍，所以四月份的銷售額

為二月份的（1+x）2倍，等量關系為：四月份銷售額為=96萬元。

解:略

例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%所得利息要交納20%

的利息稅，例如存入一年期100元，到期儲戶納稅后所得到利息

的計算公式為：

稅后利息=

1OOx2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%（1-20%）

已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是

450元，問該儲戶存入了多少本金？

分析：設存入x元本金，則一年期定期儲蓄到期納稅后利息

為2.25%（1-20%）x元,方程容易得出。

例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每

件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，減少庫存，商場決定

采取適當?shù)慕档统杀敬胧?jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1

元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要盈利1200

元，每件襯衫應降價多少元？

分析：設每件襯衫應該降價x元，則每件襯衫的利潤為

（40-x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，由關系式：

總利潤=每件的利潤X售出商品的叫量，可列出方程

解:略

第五章：不等式及不等式組

知識點：

一、不等式與不等式的性質(zhì)

1、不等式：表示不等關系的式子。（表示不等關系的常用

符號：#,<,>）O

2、不等式的性質(zhì)：

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號方

向不改變，如a>b,c為實數(shù)=>a+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方

向不變，如a>b,c>0=>ac>bco

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號方

向改變，如a>b,cVO=acVbc.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個實數(shù)時，一定要

養(yǎng)成好的習慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負數(shù)）再確

定不等號方向是否改變，不能像應用等式的性質(zhì)那樣隨便，以防

出錯。

3、任意兩個實數(shù)a,b的大小關系（三種）：

（1）a-b>0oa>b

（2）a-b=0<=>a=b

（3）a-b<Ooa〈b

4、（1）a>b>0<^>

（2）a>b>0<?a2<h2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個不等式（組）成立的未知數(shù)的一個值叫做這個

不等式（組）的一個解。

不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。

不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解

集。

2.求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（1）概念：含有一個未知數(shù)并且含未知數(shù)的項的次數(shù)是一

次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當不等

式的兩邊同乘以（或除以）一個負數(shù)時，不等號方向要改變。

2、一元一次不等式組：

（1）概念：含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成

的不等式組，叫做一元一次不等式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部

分。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。

例題：

方法1：利用不等式的基本性質(zhì)

1、判斷正誤：

（1）若a>b,c為實數(shù),WJac2>be2；

（2）若ac?〉/?/,則a>b

分析：在（1）中，若c=0,則。°2=兒，2；在（2）中，因

為">"，所以。CWO,否則應有42=此2故a>b

解：略

［規(guī)律總結(jié)］將不等式正確變形的關鍵是牢記不等式的三條

基本性質(zhì)，不等式的兩邊都乘以或除以含有字母的式子時，要對

字母進行討論。

方法2：特殊值法

例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是（）

A、-<-B、ab<0C、-<1D、->1

abbh

分析：使用直接解法解答常常費時間，又因為答案在一般情

況下成立，當然特殊情況也成立，因此采用特殊值法。

解：根據(jù)a<b<0的條件，可取a=-2,b=-1,代入檢驗,

易知區(qū)〉1,所以選D

b

［規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學生知識有限，不

能直接解答時使用特殊值法，既快，又能找到符合條件的答案。

方法3：類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來。

(1)8-2(x+2)<4x-2；(2)1-X—-1>2-X^—-1

23

分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主

要步驟有去分母，去括號、移項、合并同類項，把系數(shù)化成1,

需要注意的是，不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等

號要改變方向。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類

似，但要注意當不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)時，不等

號的方向必須改變，類比法解題，使學生容易理解新知識和掌握

新知識。

方法4：數(shù)形結(jié)合法

2(x+8)<10-4(x-3)

例4、求不等式組：L+16X+7的非負整數(shù)解

-----------<1

分析：要求一個不等式組的非負整數(shù)解，就應先求出不等式

組的解集，再從解集中找出其中的非負整數(shù)解。

解：略

方法5：逆向思考法

例5、已知關于x的不等式(a-2)x>10-。的解集是x>3,

求a的值。

分析：因為關于x的不等式的解集為x>3,與原不等式的

不等號同向，所以有a-2>0,即原不等式的解集為x>U4

。-2

止￡=3解此方程求出a的值。

a-2

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求

成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來解。

第六章：函數(shù)及其圖像

知識點：

一、平面直角坐標系

1、平面內(nèi)有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直

角坐標系。在平面直角坐標系內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一

一對應的關系。

2、不同位置點的坐標的特征：

(1)各象限內(nèi)點的坐標有如下特征：

點P(x,y)在第一象限ox>0,y>0；

點P(x,y)在第二象限=x<0,y>0；

點P(x,y)在第三象限oxVO,y<0；

點P(x,y)在第四象限ox>0,y<0o

(2)坐標軸上的點有如下特征：

點P(x,y)在x軸上oy為0,x為任意實數(shù)。

點P(x,y)在y軸上ox為0,y為任意實數(shù)。

3.點P(x,y)坐標的幾何意義:

(1)點P(x,y)到x軸的距離是1y|；

(2)點P(x,y)到y(tǒng)袖的距離是Ix|；

(3)點P(x,y)到原點的距離是Jx?+到

4.關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征：

(1)點P(a,b)關于x軸的對稱點是片3-打；

(2)點P(a,b)關于x軸的對稱點是舄(-a,。)；

(3)點P(a,b)關于原點的對稱點是〃(-”,-?；

二、函數(shù)的概念

1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫

做變量；保持數(shù)值不變的量叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x和y,

如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x

是自變量，y是x的函數(shù)。

(1)自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范

圍是全體實數(shù)。

②解析式是只含有一個自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范

圍是使分母不為0的實數(shù)。

③解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取

值范圍是使被開方數(shù)非負的實數(shù)。

注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問

題，還必須使實際問題有意義。

(2)函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個值所求得的函

數(shù)的對應值。

(3)函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：①列表;

②描點；③連線

三、幾種特殊的函數(shù)

1、一次函數(shù)

性

自變量的質(zhì)

函數(shù)解析式圖像

取值范圍

正比例y=kx全體

函數(shù)(kf0)實數(shù)

當

①k時y

>0增

隨

的

而

X大

增

大

②時

當ky

大

隨

的

而

X<0增

減

小

一

y=kx

一次全體

+b

函數(shù)實數(shù)

(k#0)

直線位置與k,b的關系：

(1)k>0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為

銳角；

(2)kVO直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為

鈍角；

(3)b>0直線與y軸交點在x軸的上方；

(4)b=0直線過原點；

(5)b<0直線與y軸交點在x軸的下方；

2、二次函數(shù)

自變量的

函數(shù)解析式圖像(拋物垓)

取值范圍

(1)——式:產(chǎn)M+hx+c

(a#0)

(2)頂點式:y=a(x-m)2+n全體

二次

數(shù)

頂點為(m,n)實

函數(shù)

(3)兩根式：2a

y=a(x-X])(x-X2)與

X軸兩交點：(X],O)(X2,O)a>0a<0

L

>0-<o

-2a-2

拋物線位置與a,b,c的關系:

a>0o開口向上

(1)a決定拋物線的開口方向.

a<0o開口向下

(2)c決定拋物線與y軸交點的位置：

c>0o圖像與y軸交點在x軸上方；c=0u>圖像過原點；

c〈0o圖像與y軸交點在x軸下方；

(3)a,b決定拋物線對稱軸的位置：a,b同號，對稱軸在

y軸左側(cè)；b=0,對稱軸是y軸；a,b異號。對稱軸在y軸右

側(cè)；

3、反比例函數(shù):

4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對照表:

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(k+O)y=~(A#0)

圖像直線，經(jīng)過原點雙曲線，與坐標軸沒有交點

自變量取值范圍全體實數(shù)x#0的一切實數(shù)

圖像的位置當A>0時，在一、三象限；當A>0時，在一、三象限；

當A<0時，在二、四象限。當A<0時，在二、四象限。

性質(zhì)當A>0時,y隨X增大而增大；當A>0時,y隨x增大而減?。?/p>

當A<0時,y隨x的增大而減小。當A<0時,y隨工增大而增大。

例題：

例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點P(m,4),

已知點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍.

⑴求點P的坐標.；

⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。

分析：由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：

21ml=4,易求出點P的坐標，再利用待定系數(shù)法可求出這正、反

比例函數(shù)的解析式。

解:略

例2、已知a,b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y

是x的一次函數(shù).

分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后判斷所得

結(jié)果是否符合一次函數(shù)定義.

證明：由已知，有y+b=k(x+a),其中k#0.

整理，得y=kx+(ka—b).①

因為kWO且ka—b是常數(shù)，故y=kx+(ka—b)是x的一次函

數(shù)式.

例3、填空：如果直線方程ax+by+c=O中，a<0,bVO且be

<0,則此直線經(jīng)過第象限.

分析：先把ax+by+c=O化為-.因為aVO,b<0,所

bb

以0〉o,-0①，又bevo,即￡<o,故一￡>o.相當于在一次函

bbbb

數(shù)y=kx+l中，k=--<0,l=-->0,此直線與y軸的交點(0,

bb

一￡)在X軸上方.且此直線的向上方向與X軸正方向所成角是鈍

b

角，所以此直線過第一、二、四象限.

例4、把反比例函數(shù)y="與二次函數(shù)丫=1^2出/0)畫在同一

x

個坐標系里，正確的是().

答：選(D).這兩個函數(shù)式中的k的正、負號應相同(圖

圖13-110

例5、畫出二次函數(shù)y=x,-6x+7的圖象，根據(jù)圖象回答下列

問題：

(1)當x=T,1,3時y的值是多少？

(2)當y=2時，對應的x值是多少？

(3)當x>3時，隨x值的增大y的值怎樣變化？

(4)當x的值由3增加1時，對應的y值增加多少？

分析：要畫出這個二次函數(shù)的圖象，首先用配方法把y=x?-

6x+7變形為y=（x-3）2-2,確定拋物線的開口方向、對稱軸、

頂點坐標，然后列表、描點、畫圖.

解：圖象略.

例6、拖拉機開始工作時，油箱有油45升，如果每小時耗

油6升.

（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時間t（時）之間的

函數(shù)關系式；

（2）畫出函數(shù)的圖象.

答：（1）Q=45-6t.

（2）圖象略.注意：這是實際問題，圖象只能由自變量t

的取值范圍0WtW7.5決定是一條線段，而不是直線.

第七章：統(tǒng)計初步

知識點：

一、總體和樣本：

在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每

一考察對象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一

個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。

二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)

1、平均數(shù)

（1）%,蒼,演,…,X”的平均數(shù),X=—（X]+x+-??+%?）

n2

（2）加權(quán)平均數(shù)：如果n個數(shù)據(jù)中，歷出現(xiàn)工次，々出現(xiàn)

人次，...，々出現(xiàn)次（這里/+力+…+人=〃），則

一1

x=—（x/+xf+…+4/）

n22

（3）平均數(shù)的簡化計算:

當一組數(shù)據(jù)不々，匕，…,與中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都與

常數(shù)a接近時，設％-。,々-。,與的平均數(shù)為x'則:

x=x'+aa

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處在最中

間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)

中位數(shù)就是處在中間位置上兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)

據(jù)的眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個。

三、反映數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)：

1、方差：

（1）.,電,兀3,…,X”的方差,

C2（再-X）2+（%1以+…+（X”一%）?

0=------------------------------------------------------------------

n

222

（2）簡化計算公式：s2=*+「…+□

n

（和々,％3,％為較小的整數(shù)時用這個公式要比較方便）

（3）記司/2，陽,…,X”的方差為S2,設a為常數(shù)，

為一。,々一。,％3-卬一，與一。的方差為5'2,則S?=S'2。

注：當X，%，/，…,X”各數(shù)據(jù)較大而常數(shù)a較接近時，用該

法計算方差較簡便。

2、標準差：方差（S?）的算術(shù)平方根叫做標準差（S）。

注：通常由方差求標準差。

四、頻率分布

1、有關概念

（1）分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標準分成若干組稱為分

組，當數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，通常分成5—12組。

（2）頻數(shù)：每個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做該組的頻數(shù)。各

個小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)no

（3）頻率：每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)n的比值叫做這一

小組的頻率，各小組頻率之和為1。

（4）頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應的頻數(shù)、

頻率所列成的表格叫做頻率分布表。

（5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結(jié)果，繪制成的,

以數(shù)據(jù)的各分點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，

叫做頻率分布直方圖。

圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。

每個小長方形的面積等于該組的頻率。

所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于lo

樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個數(shù)分別占樣本容量n

的比例的大小，總體分布反映總體中各組數(shù)據(jù)的個數(shù)分別在總體

中所占比例的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率

分布。

2、研究頻率分布的方法；得到一數(shù)據(jù)的頻率分布和方法，

通常是先整理數(shù)據(jù)，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是：

（1）計算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數(shù)；

（3）決定分點；（4）列領率分布表；（5）繪頻率分布直方圖。

例題：

例1、某養(yǎng)魚戶搞池塘養(yǎng)魚，放養(yǎng)鰭魚苗20000尾，其成活

率為70%,隨意撈出10尾魚，稱得每尾的重量如下（單位：千

克）0.8、0.9、1.2、1.3、0.8、1.1、1.0、1.2、0.8、

0.9

根據(jù)樣本平均數(shù)估計這塘魚的總產(chǎn)量是多少千克？

分析：先算出樣本的平均數(shù)，以樣本平均數(shù)乘以20000,再

乘以70%o

解：略

［規(guī)律總結(jié)］求平均數(shù)有三種方法，即當所給數(shù)據(jù)比較分散

時，一般用平均數(shù)的概念來求；著所給數(shù)據(jù)較大且都在某一數(shù)a

上下波動時，通常采用簡化公式；若所給教據(jù)重復出現(xiàn)時，通常

采用加權(quán)平均數(shù)公式來計算。

例2、一次科技知識競賽，兩次學生成績統(tǒng)計如下

分數(shù)5060708090100

甲組人數(shù)2510-13146

乙組人數(shù)441621212

已經(jīng)算得兩個組的人均分都是80分，請根據(jù)你所學過的統(tǒng)

計知識進一步判斷這兩個組成績誰優(yōu)誰次，并說明理由

解：（1）甲組成績的眾數(shù)90分，乙組成績的眾數(shù)為70分,

從眾數(shù)比較看，甲組成績好些。

（2）算得S甲2=172,S乙2=256

所以甲組成績較乙組波動要小。

（3）甲、乙兩組成績的中位數(shù)都是80分，甲組成績在中位

數(shù)以上的有33人，乙組成績在中位數(shù)以上的有26人，從這一角

度看甲組的成績總體要好。

（4）從成績統(tǒng)計表看，甲組成績高于80分的人數(shù)為20人,

乙組成績高于80分的人數(shù)為24人，所以，乙組成績集中在高分

段的人數(shù)多，同時，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6

人，從這一角度看，乙組的成績較好