物理競賽復(fù)賽試卷

第27屆全國中學生物理競賽復(fù)賽試卷

題號一二三四五六七八九總分

得分

閱卷

復(fù)核

本卷共九題，滿分160分.計算題的解答應(yīng)寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步

驟.只寫出最后結(jié)果的不能得分.有數(shù)字計算的題，答案中必須明確寫出數(shù)值和單位.填

空題把答案填在題中的橫線上，只要給出結(jié)果，不需寫出求解的過程.

一、（15分）蛇形

得分閱卷復(fù)核擺是一個用于演

示單擺周期與擺

長關(guān)系的實驗儀

器（見圖）.若干個擺球位于同一高度并

等間距地排成一條直線，它們的懸掛點在

不同的高度上，擺長依次減小.設(shè)重力加

速度g=9.80m/s2.

1.試設(shè)計一個包含十個單擺的蛇形擺（即求出每個擺的擺長），要求滿足：（a）每

個擺的擺長不小于。.450m,不大于1.000m；（b）初始時將所有擺球由平衡點沿工軸正

方向移動相同的一個小位移工0（%oVQ45m）,然后同時釋放，經(jīng)過40s后，所有的擺能

夠同時回到初始狀態(tài).

2.在上述情形中，從所有的擺球開始擺動起，到它們的速率首次全部為零所經(jīng)過的

時間為.

物理競賽復(fù)賽卷第1頁（共8頁）

二、（20分）距離我們?yōu)閆處有一恒星，其質(zhì)量為M,觀測發(fā)現(xiàn)其位置

得分閱卷復(fù)核呈周期性擺動，周期為T,擺動范圍的最大張角為假設(shè)該星體的周

期性擺動是由于有一顆圍繞它作圓周運動的行星引起山，試給出這顆

行星的質(zhì)量m所滿足的方程.

若Z=10光年,7=10年,=3毫角秒,M=Ms（Ms為太陽質(zhì)量），則此行星的質(zhì)量和它

運動的軌道半徑r各為多少？分別用太陽質(zhì)量Ms和國際單位AU（平均日地距離）作為單位,

只保留一位有效數(shù)字.已知1毫角秒=康角秒,1角秒=表度，lAU=l.5xdkm,

c=3.0x10skm/s.

三、（22分）如圖，一質(zhì)量均勻分布的剛性掾

得分閱卷復(fù)核旋環(huán)質(zhì)量為m,半徑為凡螺距/7=TTR,可繞

豎直的對稱軸。。'無摩擦地轉(zhuǎn)動，連接螺旋環(huán)

與轉(zhuǎn)軸的兩支撐桿的質(zhì)量可忽略不計.一質(zhì)量

也為m的小球穿在螺旋環(huán)上并可沿螺旋環(huán)無摩擦地滑動.首先扶住小

球使其靜止于螺旋環(huán)上的某一點4這時螺旋環(huán)也處于1號止狀態(tài).然

后放開小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，螺旋環(huán)便繞轉(zhuǎn)軸0。'轉(zhuǎn)動.求當

小球下滑到離其初始位置沿豎直方向的距離為人時，螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度和小球?qū)β菪?/p>

環(huán)作用力的大小.

物理競賽復(fù)賽卷第2頁（共8頁）

四、(12分)如圖所示,一質(zhì)量為m、電荷

得分閱卷復(fù)核量為g(g>0)的粒子作角速度為3、

半徑為尺的勻速圓周運動.一長直細導(dǎo)線

位于圓周所在的平面內(nèi)，離圓心的距離為

d(d>R),在導(dǎo)線上通有隨時間變化的電流h=0時刻,粒子速

度的方向與導(dǎo)線平行，離導(dǎo)線的距離為d+R.若粒子做圓周運動

的向心力等于電流i的磁場對粒子的作用力，試求出電流i隨時間

的變化規(guī)律.不考慮變化的磁場產(chǎn)生的感生電場及重力的影響.長

直導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度表示式中的比例系數(shù)*已知?

物理競賽復(fù)賽卷第3頁(共8頁)

-----------------五、(20分)如圖所示，兩個固定的均勻帶電球M

得分閱卷復(fù)核面，所帶電荷量分別為Q和-Q(Q>0),半徑

分別為R和K/2,小球面與大球面內(nèi)切于C

----------------點，兩球面球心0和0'的連線MN沿豎直方

向.在MN與兩球面的交點B、0和C處各開有足夠小的孔,因小孔損

失的電荷量忽略不計.有一質(zhì)量為m,帶電荷量為q(g>0)的質(zhì)點自

MN線上離B點距離為R的4點豎直上拋.設(shè)靜電力常量為重力加

速度為冬

1.要使質(zhì)點從A點上拋后能夠到達B點，所需的最封沏動能為多少?

2.要使質(zhì)點從4點上拋后能夠到達。點，在不同條件下所需的最

小初動能各為多少？

物理競賽復(fù)賽卷第4頁(共8頁)

-----------------六、（20分）由單位長度電阻為r的導(dǎo)線組成如圖所示的正方形網(wǎng)

得分閱卷復(fù)核絡(luò)系列?n=l時，正方形網(wǎng)絡(luò)邊長為L；n=2時，小正方形網(wǎng)絡(luò)

的邊長為S；n=3時，最小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長為S.當n=1、

-----------------------2、3時，各網(wǎng)絡(luò)上4、B兩點間的電阻分別為多少？

n=n=2n?3

物理競賽復(fù)賽卷第5頁（共8頁）

七、（15分）地球上的能量從源頭上說來自太陽輜射.到達地面的

得分閱卷復(fù)核太陽輻射（假定不計大氣對太陽輻射的吸收）一部分被地球表面反

射到太空，其余部分被地球吸收.被吸收的部分最終轉(zhuǎn)換成為地球

熱輻射（紅外波段的電磁波）.熱福射在向外傳播過程中，其中一

部分會被溫室氣體反射回地面，地球以此方式保持了總能量平衡.作為一個簡單的理想模

型，假定地球表面的溫度處處相同，且太陽和地球的輻射都遵從斯忒蕃-玻爾茲曼定律：

單位面積的福射功率J與表面的熱力學溫度7的四次方成正比，即其中。是一

個常工已知太陽表面溫度7s=5.78xlO'K,太陽半徑Rs=6.96xl（）Skm,地球到太陽的

平均距離d=L50xl0'km.假設(shè)溫室氣體在大氣層中集中形成一個均勻的薄層，并設(shè)它

對熱輻射能0的反射率為B=0.38.

1.如果地球表面對太陽輻射的平均反射率a=0.30,試問考慮了溫室氣體對熱輻射

的反射作用后，地球表面的溫度是多少？

2.如果地球表面一部分被冰雪覆蓋，覆蓋部分對太陽輻射的反射率為q=0.85,其

余部分的反射率%=0.25.問冰雪覆蓋面占總面積多少時地球表面溫度為273K.

物理競賽復(fù)賽卷第6頁（共8頁）

------------------八、（20分）正午時太陽的人射光

得分閱卷復(fù)核與水平面的夾角6=45。.有一座房

一子朝南的墻上有一個直徑

-----------------即=10cm的圓窗，窗口中心距地面

的高度為H.試設(shè)計一套采光裝置，使得正午時刻太陽光

能進入窗口，并要求進入的光為充滿窗口、垂直墻面、且光

強是進入采光裝置前2倍的平行光可供選用的光學器件

如下:一個平面鏡，兩個凸透鏡，兩個凹透鏡;平面鏡的反

射率為80%，透鏡的透射率為70%，忽略透鏡表面對光的反射.要求從這些器件中選用最少

的器件組成采光裝置.試畫出你所設(shè)計的采光裝置中所選器件的位置及該裝置的光路圖，并

求出所選器件的最小尺寸和透鏡焦距應(yīng)滿足的條件?'

物理競賽復(fù)賽卷第7頁（共8頁）

㈣個閱卷復(fù)核九、（16分）已知粒子1和粒子2的靜止質(zhì)量都是m0,粒子1靜

止，粒子2以速度與與粒子I發(fā)生彈性碰撞.

1.若碰撞是斜碰，考慮相對論效應(yīng).試論證：碰后兩粒子速度方向的夾角是銳角、

直角還是鈍角.若不考慮相對論效應(yīng)結(jié)果又如何？

2.若碰撞是正碰，考慮相對論效應(yīng)，試求碰后兩粒子的速度.

物麟賽復(fù)賽卷第8頁（共8頁）

解答

一、參考解答：

1.以4表示第i個單擺的擺長，由條件（b）可知每個擺的周期必須是40s的整數(shù)分之

一，即

7=2兀（=竺（乂為正整數(shù)）（1）

［（1）式以及下面的有關(guān)各式都是在采用題給單位條件下的數(shù)值關(guān)系.］由（1）可得，各單擺的擺

長

公駟⑵

,712M

依題意，0.450m4、41.000m,由此可得

型女＜乂＜型戶⑶

7TV'7TV0.45

即204.429（4）

因此，第i個擺的擺長為

i12345678910

/j/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.472

400g

(i=L2,-.10)(5)

7t2(19+i)2

2.20s

評分標準：本題15分.

第1小問11分.（2）式4分，（4）式4分，10個擺長共3分.

第2小問4分.

二、參考解答:

設(shè)該恒星中心到恒星一行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離為d,根據(jù)題意有

,L\0

a=---(1)

2

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入（1）式，得d=5x10-3AU.又根據(jù)質(zhì)心的定義有

,Md

r—a=--(2)

m

式中，?為行星繞恒星做圓周運動的軌道半徑，即行星與恒星之間的距離.根據(jù)萬有引力定

律有

由(2)、(3)兩式得

4/d

(1+Af/w)2GT2

［若考生用，?表示行星到恒星至行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離，從而把(2)式寫為尸=也，把(3)式寫

,則同樣可得到(4)式，這也是正確的.］利用(1)式，可得

（AA^）\2

--------7=-----7-

(1+A///W)22GT2

(5)式就是行星質(zhì)量加所滿足的方程.可以把(5)試改寫成下面的形式

_(AA^)37t2,

(1+m/M)2=2GMT2

因地球繞太陽作圓周運動，根據(jù)萬有引力定律可得

3

(1AU)_GMS

(ly)24/

注意到M=〃s，由(6)和(7)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

(加/Ms),=8.6X］0T。(8)

由(8)式可知

m.

——?1

必

由近似計算可得

-3

m?1X10A/S(9)

由于加/A/小于1/1000,可近似使用開普勒第三定律，即

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

r-5AU(11)

評分標準：本題20分.

(1)式2分，(2)式3分，(3)式4分，(5)式3分，(9)式4分，(11)式4分.

三、參考解答:

解法一

一傾角為e的直角三角形薄片(如圖1所示)緊貼于半徑為R的圓柱面，圓柱面的軸線與

直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，

若把此三角形薄片卷繞在柱面上，則三角形薄

片的斜邊就相當于題中的螺線環(huán).根據(jù)題意有

八無及1,、

tan0=----=—(1)

2?；?

可得：

.?V5275

sin”=——，cosn"=----(2)

55

設(shè)在所考察的時刻，螺旋環(huán)繞其轉(zhuǎn)軸的角速度為①，則環(huán)上每一質(zhì)量為人々的小質(zhì)元

繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動線速度的大小都相同，用w表示，

u=(i)R(3)

該小質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動量

AAj=\m-uR=\mtR~(0

整個螺旋環(huán)對轉(zhuǎn)軸的角動量

L=火力=tnR之①(4)

小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在水平面內(nèi)的圓周運動和沿豎直方向的直線運動的合

成.在螺旋環(huán)的角速度為。時，設(shè)小球相對螺旋環(huán)的速度為0‘，則小球在水平面內(nèi)作圓周

運動的速度為

vp-vcosd—coR(5)

沿豎直方向的速度

%=z/sin6(6)

對由小球和螺旋環(huán)組成的系繞，外力對轉(zhuǎn)軸的力矩為0,系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒，故

有

0=nWpR-L(7)

由(4)、(5)、(7)三式得:

vcosd-a)R=a)R(8)

在小球沿螺旋環(huán)運動的過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，有

1

mgh—m(0；+d)+Z%”(9)

2

由(3)、(5)、由)、(9)四式得:

2gh=[vfcos0-a)R^+v/2sin20+co2R2(10)

解(8)、(10)二式，并利用(2)式得

辿(II)

R3

(12)

由(6)、(12)以及(2)式得

(13)

或有

2J,

%=2^gh(14)

(14)式表明，小球在豎直方向的運動是勻加速直線運動，其加速度

1

(15)

若小球自靜止開始運動到所考察時刻經(jīng)歷時間為7,則有

,_12

h----a11(16)

21

由(11)和(16)式得

a)=-t

3R

(17)式表明，螺旋環(huán)的運動是勻加速轉(zhuǎn)動，其角加速度

(18)

小球?qū)β菪h(huán)的作用力有：小球?qū)β菪h(huán)的正壓力乂，在圖

1所示的薄片平面內(nèi)，方向垂直于薄片的斜邊；螺旋環(huán)迫使小球在

水平面內(nèi)作圓周運動的向心力的反作用力"??向心力在

水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸C,如圖2所示.N、、N2兩力中只有乂

對螺旋環(huán)的轉(zhuǎn)軸有力矩，由角動量定理有

N、sin0R\t-AA(19)

由(4)、(18)式并注意到必=夕得

丫mgyJ5

(20)

而

(21)

由以上有關(guān)各式得

“2〃

N2=~mg(22)

JK

小球?qū)β菪h(huán)的作用力

(23)

評分標準：本題22分.

(1)、(2)式共3分，(7)式1分，(9)式1分，求得(11)式給6分，(20)式5分，(22)

式4分，(23)式2分.

解法二

一傾角為。的直角三角形薄片(如圖1所示)緊貼于半徑為火的圓柱面，圓柱面的軸線與

直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，若把此三角形薄片卷繞在柱面上，則三角形薄

片的斜邊就相當于題中的螺線環(huán).

根據(jù)題意有：tan6=變-=』(1)

2兀7?2

可得：sin6=^^,cos6=」占(2)

55

螺旋環(huán)繞其對稱軸無摩擦地轉(zhuǎn)動時，環(huán)上每點線速度的大小等于直角三角形薄片在光

滑水平地面上向左移動的速度.小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在豎直方向的直線運動和在水平

面內(nèi)的圓周運動的合成.在考察圓周運動的速率時可以把圓周運動看做沿水平方向的直線運

動，結(jié)果小球的運動等價于小球沿直角三角形斜邊的運動.小球自靜止開始沿螺旋環(huán)運動到

在豎直方向離初始位置的距離為〃的位置時，設(shè)小球相對薄片斜邊的速度為M,沿薄片斜

邊的加速度為a'.薄片相對地面向左移動的速度為〃，向左移動的加速度為為.〃就是螺

旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的線速度，若此時螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為①，則有

u=coR(3)

而為就是螺旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的切向加速度，若此時螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角加速度為《，

則有

(4)

小球位于斜面上的受力情況如圖2所示:

N

圖2

重力mg，方向豎直向下，斜面的支持力N,方向與斜面垂直，以薄片為參考系時的慣性

力方向水平向右，其大小

r=ina0(5)

由牛頓定律有

mgcosO-N-sin6=0(6)

加gsinS+fcos0=ma(7)

Nsing=maQ(8)

解(5)、(6)、(7)、(8)四式得

,2sin。

l+sin2/9^(9)

cos。

N1?2八mS(10)

l+sin0

sinOcos。

“。一l+si/V(ID

利用(2)式可得

，=Tg(12)

N=gmg

(13)

a0=；g(14)

由(4)式和(14)式，可得螺旋環(huán)的角加速度

/?=-g(15)

3R

若小球自靜止開始運動到所考察時刻經(jīng)歷時間為7,則此時螺旋環(huán)的角速度

co=(3t(16)

因小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在水平面內(nèi)的圓周運動和沿豎直方向的直線運動的合成，而小

球沿豎直方向的加速度

a1=a1=asind（17）

故有

1

h=—ci119（18）

21

由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得

小球在水平面內(nèi)作圓周運動的向心力由螺旋環(huán)提供，向心力位于水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸,

故向心力與圖2中的紙面垂直，亦即與N垂直.向心力的大小

N、=m——（20）

1R

式中〃是小球相對地面的速度在水平面內(nèi)的分量.若。為小球相對地面的加速度在水平面

內(nèi)的分量，則有

4=Clpt(21)

令4為儲在水平面內(nèi)的分量，有

ap-ap-a0-acosO-a0(22)

由以上有關(guān)各式得

N.—mg(23)

'3R

小球作用于螺旋環(huán)的力的大小

(24)

由（13）、（23）和（24）式得

(25)

評分標準：本題22分.

（1）、（2）式共3分，（9）或（12）式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）

式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分.

四、參考解答：

以。表示粒子的速率，以8表示電流，,產(chǎn)生磁場

的磁感應(yīng)強度，根據(jù)題意粒子作圓周運動的向心力為

粒子受到的磁場洛侖茲力，因此有

V2

civB-m—（1）

R

而

v=a)R(2)

由(1)、(2)兩式得

B=—(3)

q

如圖建立坐標系，則粒子在時刻E的位置

x(t)-Rcoscot,y(t)=7?sindX(4)

取電流的正方向與y軸的正向一致，設(shè)時刻，長直導(dǎo)線上的電流為處)，它產(chǎn)生的磁場

在粒子所在處磁感應(yīng)強度大小為

B=k；(/)(5)

d+x(t)

方向垂直圓周所在的平面,由(4)、(5)式，可得

i(t)=k生^(d+Rcoscot)

q

(6)

評分標準：本題12分.

(3)式4分，(4)式2分，(5)式4分，(6)式2分.

五、參考解答：

1.質(zhì)點在1~6應(yīng)作減速運動(參看圖1).設(shè)質(zhì)點在4點的

最小初動能為紇°，則根據(jù)能量守恒，可得質(zhì)點剛好能到達3點

的條件為

也一*mgR=Ep+蛆-反(1)

R3滅/22R5R/2

由此可得：

“頻+需(2)

圖1

2.質(zhì)點在3To的運動有三種可能情況：

i.質(zhì)點在8To作加速運動(參看圖1),對應(yīng)條件為

mg修(3)

9R2

此時只要質(zhì)點能過8點，也必然能到達。點，因此質(zhì)點能到達。點所需的最小初動能由(2)

式給出，即

(4)

ko&302?

若(3)式中取等號，則最小初動能應(yīng)比(4)式給出的Eko略大一點?

ii.質(zhì)點在370作減速運動(參看圖I),對應(yīng)條件為

mg>———(5)

R2

此時質(zhì)點剛好能到達。點的條件為

愣-翳+"）5+第翳(6)

由此可得

耳0=2"@?一絲絲(7)

k05107?

iii.質(zhì)點在5—0之間存在一平衡點D（參看圖2）,在

87。質(zhì)點作減速運動，在。T。質(zhì)點作加速運動，對應(yīng)條件

為

嘿“誓(8)

設(shè)。到。點的距離為X,則

kqQ

mg(9)

((R/2)+x)2

即

(10)

2

根據(jù)能量守恒，質(zhì)點剛好能到達D點的條件為

誓-溫”“…一+第翳(11)

由（10）、（11）兩式可得質(zhì)點能到達。點的最小初動能為

Ekg=/gR+-2&gmqQ(12)

只要質(zhì)點能過。點也必然能到達。點，所以，質(zhì)點能到達。點的最小初動能也就是（12）

式（嚴格講應(yīng)比（12）式給出的Ek。略大一點?）

評分標準：本題20分.

第1小問5分.求得（2）式給5分.

第2小問15分.算出第i種情況下的初動能給2分；算出第ii種情況下的初動能給5

分；算出第iii種情況下的初動能給8分，其中（10）式占3分.

六、參考解答：

〃=1時，4、B間等效電路如圖1所示，4、4間的電阻

rLrL

CZI__cz?

A

□_cn

rLrL

圖1

R、=；(2rL)=rL(1)

〃=2時，A,8間等效電路如圖2所示，A.8間的電阻

212

-rL-R-rL

333

圖2

―哭"+R⑵

由(1)、(2)兩式得

&(3)

O

〃=3時，/、8間等效電路如圖3所示，/、8間的電阻

圖3

11<33)1

&=——2+—+3+3+—+24+-R,(4)

32|_9(44J32_

由(3)、(4)式得

7-

R、=—rLr(5)

39

評分標準：本題20分.

(1)式4分，(3)式6分，(5)式10分.

七、參考解答：

1.根據(jù)題意，太陽輻射的總功率?=4兀&cr7；4.太陽輻射各向同性地向外傳播.設(shè)

地球半徑為生，可以認為地球所在處的太陽輻射是均勻的，故地球接收太陽輻射的總功率

為

i用(1)

地球表面反射太陽輻射的總功率為設(shè)地球表面的溫度為耳，則地球的熱輻射總功率

為

PE=4兀廠：aT^(2)

考慮到溫室氣體向地球表面釋放的熱輻射，則輸入地球表面的總功率為［+￡4.當達到

熱平衡時，輸入的能量與輸出的能量相等，有

+^Pf=CCPX+P￥(3)

由以上各式得

代入數(shù)值，有

TE=287K(5)

2.當?shù)厍虮砻嬉徊糠直槐└采w后，以優(yōu)表示地球表面對太陽輻射的平均反射率，根

據(jù)題意這時地球表面的平均溫度為耳=273K.利用(4)式，可求得

a=0.43(6)

設(shè)冰雪覆蓋的地表面積與總面積之比為x,則

a'-atx+a2(l-x)(7)

由(6)、(7)兩式并代入數(shù)據(jù)得

x=30%(8)

評分標準：本題15分.

第1小問11分.(1)式3分，(2)式1分，(3)式4分，(4)式2分，(5)式1分.

第2小問4分.(6)式2分，(8)式2分.

八、參考解答：

方案一：采光裝置由平面鏡M和兩個凸透鏡Li、L2組成.透鏡組置于平面鏡M后面,

裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖1所示.

L|、L2的直徑分別用。、功表示，其焦距的大小分別為力、火.兩透鏡的距離

d=f[+f2(1)

直徑與焦距應(yīng)滿足關(guān)系

-A_⑵

---——--f-z-VZ.)

DiD2

設(shè)射入透鏡L,的光強為兒，透過透鏡L,的光強為I；,考慮到透鏡L.對光的吸收有

/：=0.704(3)

從透鏡Li透出的光通量等于進入L2的光通量，對應(yīng)的光強與透鏡的直徑平方成反比，進入

L2的光強用，20表示，即

＜氏UJ

故有

品”用⑷

\J1)

透過L2的光強/；=O.7O/2O,考慮到(3)式，得

ffV

4=0.494乙(5)

由于進入透鏡L的光強〃是平面鏡M的反射光的光強，反射光是入射光的80%,設(shè)射入

裝置的太陽光光強為/。，則

4=0.8070

代入(5)式有

/；=0.39/0互(6)

按題設(shè)要求

4=2/0

代入(6)式得

2/。=0.39/。A

2J

從而可求得兩透鏡的焦距比為

4=2.26(7)

f2

L2的直徑應(yīng)等于圓形窗戶的直徑憶即。2=l0cm,由(2)式得

f

〃=。2W=22.6cm(8)

fi

由圖可知，平面鏡M參與有效反光的部分為一橢圓，其半短軸長度為

b=。］/2=11.3cm(9)

半長軸長度為

a-￡>,/(2sin22.5°)=29.5cm(10)

根據(jù)裝置圖的結(jié)構(gòu)，可知透鏡組的光軸離地應(yīng)與平面鏡M的中心等高，高度為〃.

評分標準：本題20分.

作圖8分(含元件及其相對方位，光路)，求得(7)、(8)兩式共10分，(9)、(10)

式共2分.

方案二：采光裝置由平面鏡M和兩個凸透鏡Li、L2組成，透鏡組置于平面鏡M前面,

裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖2所示.

對透鏡的參數(shù)要求與方案一相同.

但反射鏡M的半短軸、半長軸的長度分別為

b-D2/2-5.0cm和"=Z）2/（2sin22.5°）=13.1cm

評分標準：參照方案一.

方案三、采光裝置由平面鏡M和一個凸透鏡Li、一個凹透鏡L2組成，透鏡組置于平

面鏡M后面（也可在M前面），裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖3所示.

有關(guān)參數(shù)與方案一相同，但兩透鏡的距離

d=f「3

如果平面鏡放在透鏡組之前，平面鏡的尺寸和方案一相同；如果平面鏡放在透鏡組之后,

平面鏡的尺寸和方案二相同.

評分標準：參照方案一.

九、參考解答：

1.假設(shè)碰撞后球1和球2的速度方向之間的夾角為二（見圖）,

則由能量守恒和動量守恒可得

22

mQc+m^c%=加0/%+加0c2y2（1）

（加（A%『=（加00%『+（加04%『+2（恤0%）（%4%）cosa（2）

#.111

其中%=I，%=I，r=I.

Jl-0；/c?J1一//<?2一說/<?

由⑴、（2）式得

1+%=%+%⑶

耳+1=片+力+2（01%/c?）%%cosa（4）

由（3）、（4）式得

cosa-日±就±應(yīng),_r/,-ix/2-vc2>0⑸

71、

a<—（6）

2

即為銳角.

在非相對論情況下，根據(jù)能量守恒和動量守恒可得

121,12

—mv=-mv',-\"—mv.（7）

2vn9n2"n2un/

（加0%）2=（加0%）2+（加0。2）一+2（加0馬）（/?o02）COSa（8）

對斜碰，口的方向與4的方向不同，要同時滿足(1)和(2)式，則兩者方向的夾角

a=一

2

即為直角.

2.根據(jù)能量守恒和動量守恒可得

_movim,v2

41一1/024-評/02Jl一說/c2

人111

令%=~j=^^，%=/，尸7i=I

J1-說/C~J1_0；/C_說/C

則有：

Vo=cJlT/卜，V,=cjl-l/斤,v2=cjl-1/卜

代入（10）、（11）式得

1+%=%+%（⑵

7/o-1=7ri2-1+7/2-1（|3）

解（12）、（13）兩式得

%=1%=%（14）

或

%=%八=1（15）

即

U1=0,v2=v0（16）

（或叼=。0，v2=0,不合題意）

評分標準：本題16分.

第1小問10分.（1）、（2）式各2分，（6）式4分，（9）式2分.

第2小問6分.（10）、（11）式各1分，（16）式4分.

第28屆全國中學生物理競賽復(fù)賽試卷

一、（20分）如圖所示，哈雷彗星繞太陽S沿橢圓軌道逆時針方向運動，其周期T為76.1

年，1986年它過近日點P。時與太陽S的距離ro=O.59OAU,AU是天文單位，它等于地

球與太陽的平均距離，經(jīng)過一段時間，彗星到達軌道上的P點，SP與SP。的夾角0

P=72.0°。已知：lAU=1.50X10“m,引力常量G=6.67X10“Nm2/kg2,太陽質(zhì)量ms=1.99

X1030kg,試求P到太陽S的距離m及彗星過P點時速度的大小及方向（用速度方向與

SP。的夾角表示）。

p

%

4

二、（20分）質(zhì)量均勻分布的剛性桿AB、CD如圖放置，A點與水平地面接觸，與地面間

的靜摩擦系數(shù)為UA，B、D兩點與光滑豎直墻面接觸，桿AB和CD接觸處的靜摩擦系數(shù)為

Uc，兩桿的質(zhì)量均為m,長度均為1。

1、已知系統(tǒng)平衡時AB桿與墻面夾角為。，求CD桿與墻面夾角a應(yīng)該滿足的條件（用a

及己知量滿足的方程式表示）。

2、若UA=L00，UC=0.866,6=60.0°?求系統(tǒng)平衡時a的取值范圍（用數(shù)值計算求出）。

三、（25分）在人造衛(wèi)星繞星球運行的過程中，為了保持其對稱轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定在規(guī)定指向，一種

最簡單的辦法就是讓衛(wèi)星在其運行過程中同時繞自身的對稱軸轉(zhuǎn)，但有時為了改變衛(wèi)星的指

向，又要求減慢或者消除衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)，減慢或者消除衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)的一種方法就是所謂消旋法，

其原理如圖所示。

一半徑為R,質(zhì)量為M的薄壁圓筒，，其橫截面如圖所示，圖中O是圓筒的對稱軸，

兩條足夠長的不可伸長的結(jié)實的長度相等的輕繩的一端分別固定在圓筒表面上的Q、Q'

（位于圓筒直徑兩端）處，另一端各拴有一個質(zhì)量為上的小球，正常情況下，繩繞在圓筒

2

外表面上，兩小球用插銷分別鎖定在圓筒表面上的P。、P。'處，與衛(wèi)星形成一體，繞衛(wèi)星的

對稱軸旋轉(zhuǎn)，衛(wèi)星自轉(zhuǎn)的角速度為若要使衛(wèi)星減慢或者停止旋轉(zhuǎn)（消旋），可瞬間撤去

插銷釋放小球，讓小球從圓筒表面甩開，在甩開的整個過程中，從繩與圓筒表面相切點到小

球的那段繩都是拉直的。當衛(wèi)星轉(zhuǎn)速逐漸減小到零時，立即使繩與衛(wèi)星脫離，解除小球與衛(wèi)

星的聯(lián)系，于是衛(wèi)星轉(zhuǎn)動停止。已知此時繩與圓筒的相切點剛好在Q、Q'處。

1、求當衛(wèi)星角速度減至3時繩拉直部分的長度1;

2、求繩的總長度L；

3、求衛(wèi)星從3。到停轉(zhuǎn)所經(jīng)歷的時間t。

0

四、（20分）空間某區(qū)域存在勻強電場和勻強磁場，在此區(qū)域建立直角坐標系O-盯z,如圖

所示，勻強電場沿x方向，電場強度=&＞；?,勻強磁場沿z方向，磁感應(yīng)強度Z=

E。、Bo分別為已知常量，i、E分別為x方向和z方向的單位矢量。

1、有一束帶電量都為+q、質(zhì)量都為m的粒子，同時從。yz平面內(nèi)的某點射出，它們的初速

度均在Qyz平面內(nèi)，速度的大小和方向各不相同，問經(jīng)過多少時間這些粒子又能同時回到

0yz平面內(nèi)。

--?—?

2、現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)再增加一個沿x方向隨時間變化的勻強電場，電場強度生=（4,cos。）左，

式中也，若有一電荷量為正q、質(zhì)量為m的粒子，在t=0時刻從坐標原點0射出，

m

初速度V。在Oyz平面內(nèi)，試求以后此粒子的坐標隨時間變化的規(guī)律。

不計粒子所受重力以及各帶電粒子之間的相互作用，也不考慮變化的電場產(chǎn)生的磁場。

x

五、（15分）半導(dǎo)體外結(jié)太陽能電池是根據(jù)光生伏打效應(yīng)工作的。當有光照射外結(jié)時，pn

結(jié)兩端會產(chǎn)生電勢差，這就是光生伏打效應(yīng)。當8結(jié)兩端接有負載時，光照使p〃結(jié)內(nèi)部產(chǎn)

生由負極指向正極的電流即光電流，照射光的強度恒定時，光電流是恒定的，已知該光電流

為II；同時，結(jié)又是一個二極管，當有電流流過負載時，負載兩端的電壓V使二極管正

v

向?qū)ǎ潆娏鳛?/°（e萬一1）,式中Vr和I。在一定條件下均為已知常數(shù)。

1、在照射光的強度不變時，通過負載的電流I與負載兩端的電壓V的關(guān)系是

1=?太陽能電池的短路電流Is=，開路電壓

Voc=，負載獲得的功率P=o

2、己知一硅pn結(jié)太陽能電池的L=95mA,Io=4.1Xl09mA,Vr=0.026V（,則此太陽能電池

的開路電壓VclV,若太陽能電池輸出功率最大時，負載兩端的電壓

可近似表示為囁尸=■E"5"°）,則VmP=______________Vo太陽能電池輸出的最

1+（%/勿）

大功率Pmax=mW。若負載為歐姆電阻，則輸出最大功率時，負載電阻

R=Qo

六、（20分）圖示為圓柱形氣缸，氣缸壁絕熱，氣缸的右端有一小孔和大氣相通，大氣的壓

強為Po。用一熱容量可忽略的導(dǎo)熱隔板N和一絕熱活塞M將氣缸分為A、B、C三室，隔

板與氣缸固連，活塞相對氣缸可以無摩擦地移動但不漏氣，氣缸的左端A室中有一電加熱

器Q。已知在A、B室中均盛有1摩爾同種理想氣體，電加熱器加熱前，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),

A、B兩室中氣體的溫度均為To,A、B、C三室的體積均為Vo?，F(xiàn)通過電加熱器對A室中

氣體緩慢加熱，若提供的總熱量為Q。，試求B室中氣體末態(tài)體積和A室中氣體的末態(tài)溫度。

設(shè)A、B兩室中氣體1摩爾的內(nèi)能U=5/2RT。R為普適恒量，T為熱力學溫度。

NM

W*3AB

七、（20分）如圖所示，L是一焦距為2R的薄凸透鏡，MN為其主光軸。在L的右側(cè)與它

共軸地放置兩個半徑皆為R的很薄的球面鏡A和Bo每個球面鏡的凹面和凸面都是能反光