2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教版）專題02 全等三角形（解析版）

專題02全等三角形思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦全等圖形全等三角形的性質(zhì)全等三角形的判定方法添加條件使三角形全等全等三角形的應(yīng)用全等三角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題角平分線的性質(zhì)與判定倍長(zhǎng)中線模型證明線段和差問(wèn)題10、常見(jiàn)的輔助線全等三角形的定義和基本性質(zhì)1.基本定義（1）全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.（2）全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.（3）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).（4）對(duì)應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊.（5）對(duì)應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.2．尋找全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的三種方法：（1）圖形特征法：最長(zhǎng)邊對(duì)最長(zhǎng)邊，最短邊對(duì)最短邊；最大角對(duì)最大角，最小角對(duì)最小角．（2）位置關(guān)系法：①公共角（對(duì)頂角）為對(duì)應(yīng)角、公共邊為對(duì)應(yīng)邊．②對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角為對(duì)應(yīng)角．（3）字母順序法：根據(jù)書(shū)寫(xiě)規(guī)范按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角．3．全等三角形的性質(zhì)及應(yīng)用①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；③全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線分別相等；④全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等．二、三角形全等的判定方法及思路1．全等三角形的判定方法：“邊邊邊”定理(SSS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．“邊角邊”定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．“角邊角”定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．“角角邊”定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．“斜邊、直角邊”定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．2．全等三角形的證明思路：三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．注意：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，到三邊的距離相等．2.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，通常連接角的頂點(diǎn)和該點(diǎn)就能得到角平分線．一、全等的幾種模型（1）平移型（2）對(duì)稱型（3）旋轉(zhuǎn)型二、常見(jiàn)的幾種添加輔助線構(gòu)造全等三角形的方法1．倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定過(guò)程中，遇到一般三角形邊上的中線或中點(diǎn)，考慮中線倍長(zhǎng).如圖：已知：在三角形ABC中，O為BC邊中點(diǎn)，輔助線：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D使AO＝DO，結(jié)論：△AOB≌△DOC.證明：如圖，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D使AO＝DO，由中點(diǎn)可知，OB＝OC，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC.總結(jié)：由倍長(zhǎng)中線法證明三角形全等的過(guò)程一般均是用SAS的方法，這是由于作出延長(zhǎng)線后出現(xiàn)的對(duì)頂角決定的．2．截長(zhǎng)或補(bǔ)短（含有線段－關(guān)系或求證兩線間關(guān)系時(shí)常用）．截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段．基本圖形，如下：在中，平分（1）在上截??；（2）把延長(zhǎng)到點(diǎn)，使.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、全等圖形例1．如圖1，把大小為的正方形網(wǎng)格分割成了兩個(gè)全等形．請(qǐng)?jiān)趫D2中，沿著虛線畫(huà)出四種不同的分割方法，把的正方形網(wǎng)格分割成兩個(gè)全等形．

【解析】∵要求分成全等的兩塊，∴每塊圖形要包含有8個(gè)小正方形．

考點(diǎn)二、全等三角形的性質(zhì)例2．如圖，A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，且．

(1)求證：；(2)猜想：當(dāng)滿足什么條件時(shí)？并證明你的猜想．【解析】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：猜想，時(shí)，，∵，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴當(dāng)是直角三角形，且時(shí)，．考點(diǎn)三、全等三角形的判定方法例3．如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，點(diǎn)A，在異側(cè)，，，．(1)請(qǐng)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的度數(shù)．【解析】（1）證明：∵，∴．在和中，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，，，∵，∴．∵，∴，∴．考點(diǎn)四、添加條件使三角形全等例4．如圖，已知.(1)現(xiàn)要從如下條件中再添加一個(gè)①；②；③；④得到．你添加的條件是：________．（填序號(hào)）(2)選擇（1）中的一種情況進(jìn)行證明．【解析】（1）解：②或③（任選一個(gè)填即可）（2）選擇②證明：，，，，，在和中，，；選擇③證明：，，，，，在和中，，.考點(diǎn)五、全等三角形的應(yīng)用例5．如圖①，油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國(guó)的一種紙制或布制傘．油紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖②，傘圈D沿著傘柄滑動(dòng)時(shí)，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的，傘骨，的B，C點(diǎn)固定不動(dòng)，且到點(diǎn)A的距離．(1)當(dāng)D點(diǎn)在傘柄上滑動(dòng)時(shí)，處于同一平面的兩條傘骨和相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖③，當(dāng)油紙傘撐開(kāi)時(shí)，傘的邊緣M，N與點(diǎn)D在同一直線上，若，，求的度數(shù)．【解析】（1）解：相等．理由如下：∵傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的，∴．在和中，∵，∴．∴．（2）解：∵，∴．又∵，∴．∵，∴．考點(diǎn)六、全等三角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例6．如圖，已知中，，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如果點(diǎn)在線段上以每秒厘米的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上以每秒厘米的速度由點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度；(2)若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)秒后，與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？【解析】（1）解：由題意得：，則；（2）解：，理由如下：當(dāng)時(shí)，由題意得：，，∴，∵，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∵，∴；（3）解：∵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，∴，當(dāng)與全等，且，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，能夠使與全等．考點(diǎn)七、角平分線的性質(zhì)與判定例7．如圖，畫(huà)，并畫(huà)的平分線．(1)將三角尺的直角頂點(diǎn)落在的任意一點(diǎn)處，使三角尺的兩條直角邊與的兩邊分別垂直，垂足分別為、如圖①，則；(填“”“”或“”)(2)把三角尺繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)如圖②，兩直角邊分別與、交于點(diǎn)、，那么與相等嗎？試猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解析】（1）解：∵平分，，，，故答案為：；（2），理由如下：過(guò)作于，于，如圖②所示：則，，平分，，，，，，由（1）得，，在和中，，，．考點(diǎn)八、倍長(zhǎng)中線模型例8．（1）在中，，是邊上的中線，則中線長(zhǎng)范圍為_(kāi)__________；（2）如圖，在中，是邊上的中線，點(diǎn)分別在上，且，求證：．

【解析】（1）如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，

，則，是邊上的中線，，在和中，，，，，，即，，，故答案為：；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)至使，連接，，

，在和中，，，，，，，，．考點(diǎn)九、證明線段和差問(wèn)題例9．如圖所示，在，，平分交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．求證：．

【解析】證明：如圖所示，在上取一點(diǎn)F使得，連接，

∵，，∴，∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴.考點(diǎn)十、常見(jiàn)的輔助線例10．如圖，△ABC中，AB=AC,在AB上取一點(diǎn)E，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使CF=BE,連接EF，交BC于點(diǎn)D．求證：DE=DF．【解析】證明：作FHAB交BC延長(zhǎng)線于H，∵FHAB，∴∠FHC=∠B，∠BED=∠HFD．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∠ACB=∠FCH，∴∠FHC=∠FCH．∴CF=HF．又∵BE=CF，∴HF=BE．在△DBE和△DHF中，∴△DBE≌△DHF（ASA）．∴DE=DF．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，只要量出的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（

）

A．兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等C．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】B【解析】點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，，，由對(duì)頂角相等得，在和中，，，，即只要量出的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長(zhǎng)度，故選B．2．如圖，，，，當(dāng)時(shí)，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，，∴，設(shè)，∵，∴，，∴，∵，∴，解得：，∴，∵，∴．故選A．3．如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，已知：，，下列條件中不能判定的是A． B． C． D．【答案】C【解析】A、符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項(xiàng)不符合題意；B、符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本選項(xiàng)符合題意；D、因?yàn)?，所以，所以符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項(xiàng)不符合題意．故選C．4．如圖，在△中，，，平分，交的延長(zhǎng)線于，為垂足，則結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，，平分，，在與中，，，，∴，，故①正確．②①中，，故②正確．③①中，在中，，，，，，即，故③正確．④由③可知，，易知，若，則有，則有，則可得為等邊三角形，這與①中的矛盾，故④錯(cuò)誤．⑤由③可知，，，故⑤正確．四項(xiàng)正確，故選D．5．如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)O到各邊的距離相等；④設(shè)，，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】①和的平分線相交于點(diǎn)O，，，∵，，，，，，，，故①正確；②和的平分線相交于點(diǎn)O，，，故②正確；③和的平分線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是的內(nèi)心，點(diǎn)O到各邊的距離相等，故③正確；④連接，點(diǎn)O是的內(nèi)心，，，，故④正確；綜上分析可知，正確的有4個(gè)．故選D．二、填空題6．如圖，在的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了和，則度．【答案】135【解析】如圖，連接、，，，，由圖可知，在和中，，，，，，故答案為：．7．如圖，已知平分，若添加一個(gè)條件使，則這個(gè)條件可以是（寫(xiě)三個(gè)條件）．【答案】或或【解析】平分，，又，添加，利用即可得到；添加，利用即可得到；添加，利用即可得到．故答案為：或或．8．如圖，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則．【答案】7【解析】∵，∴，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴．∴．∵，∴．故答案為：7．9．如圖，已知在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，于，，．（1）若，則；（2）已知，，則的長(zhǎng)是．【答案】6【解析】（1），，，在和中，，，，平分，，，，，，故答案為：；（2），，，在和中，，，，，故答案為：6．10．如圖，在中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上以4厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使與全等．

【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，使與全等，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，厘米，，要使與全等，必須或，即或，解得：或，時(shí)，，；時(shí)，，；即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是4厘米/秒或6厘米/秒，故答案為：4或6.三、解答題11．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，，，垂足分別為、，且．請(qǐng)選擇一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形并加以證明．

(1)你選擇的是：____________________；(2)根據(jù)你的選擇，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【解析】（1）解：根據(jù)圖形和已知條件，選擇證明的全等三角形為，故答案為：，（答案不唯一）；（2）證明：，，和是直角三角形，在和中，，．12．如圖，點(diǎn)分別在線段上，，不添加新的線段和字母，從下列條件①，②，③，④中選擇一個(gè)使得．(1)你選擇的一個(gè)條件是_____________（填寫(xiě)序號(hào)）(2)根據(jù)你的選擇，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【解析】（1）解：∵，，可以利用三種方法證明；故可以選擇的條件可以是：①或③或④（2）選擇①：在和中，，∴；選擇③在和中，，∴；選擇④在和中，，∴．13．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線的兩側(cè)，且，，．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：在和中，，．．．在和中，．（2）由（1）知，，，，故的長(zhǎng)為4．14．如圖，的外角的平分線交邊的垂直平分線于P點(diǎn)，于D，于E，連接，．(1)求證：；(2)若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【解析】（1）證明：點(diǎn)在的垂直平分線上，，是的平分線，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，，且，，即，解得．故答案為：．15．為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長(zhǎng)到，使，連接．(1)【探究