專題08一元二次方程的根與系數的關系（1個知識點6種題型1個易錯點2種中考考法）（解析版）-初中數學北師大版9年級上冊

【關注公眾號：林樾數學】免費獲取更多初高中數學學習資料專題08一元二次方程的根與系數的關系（1個知識點6種題型1個易錯點2種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點：一元二次方程根與系數的關系（難點）【方法二】實例探索法題型1：已知方程的一個根，求另一個根及字母系數的值題型2：利用根與系數的關系式求代數式的值題型3：已知用方程兩根表示的代數式的值，求字母系數的值題型4：根據一元二次方程的兩根確定一元二次方程題型5：根的判別式與根與系數關系的綜合題型6：有關一元二次方程的根與系數關系的創(chuàng)新題【方法三】差異對比法易錯點：沒有判斷一元二次方程根的情況，直接用一元二次方程的根與系數的關系?！痉椒ㄋ摹糠抡鎸崙?zhàn)法考法1：一元二次方程根與系數關系的直接應用考法2：一元二次方程根與系數關系的綜合應用【方法五】成果評定法【學習目標】1.了解一元二次方程的根與系數的關系，能利用根與系數的關系求一元二次方程的兩根之和、兩根之積及與兩根有關的代數式的值。2.能運用根與系數的關系由已知一元二次方程一個根求另一個根或由一元二次方程的根確定一元二次方程。【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點：一元二次方程根與系數的關系（難點）韋達定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數的關系．【例1】如果，是方程的兩個根，那么=_____________；=_______________．【答案】；．【解析】由韋達定理，可得：，．【總結】本題考查韋達定理，的應用．【變式1】（2023春·廣東揭陽·九年級校考階段練習）設一元二次方程的兩個實根為和，則（）A． B．2 C． D．3【答案】D【詳解】，∴，，【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系：，是解題的關鍵．【變式2】（2023·浙江金華·統考一模）若一元二次方程的兩根分別為，，則代數式________．【答案】2【分析】根據一元二次方程根與系數的關系求則可．若，是關于x的一元二次方程（，a，b，c為常數）的兩個實數根，則．【詳解】∵，這里，，∴．【方法二】實例探索法題型1：已知方程的一個根，求另一個根及字母系數的值1.若方程：的一個根為，則k=________；另一個根為________．【答案】；．【解析】將代入方程，可得：，再由韋達定理可得：，得另一根為．【總結】本題考查韋達定理，的應用．2．（2023·新疆生產建設兵團第一中學?？家荒＃┮阎P于x的一元二次方程的兩根分別記為，若，則______．【答案】【詳解】解：關于的一元二次方程的兩根分別記為，，，，，，，，原式．【點睛】本題考查了根與系數的關系，掌握，是解題的關鍵．3．（2023·江蘇淮安·統考一模）已知一元二次方程的一個根為2，則它的另一個根為________．【答案】【詳解】解：設方程的另一個根為t，根據題意得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系：若方程的兩根為，則．題型2：利用根與系數的關系式求代數式的值4.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．【解析】解：由韋達定理，得：，．原式=；原式；原式=；原式．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用．5.已知的值．【答案】．【解析】由，可得：，整理得：，又由于，所以可知、是方程的兩根，由韋達定理，可得：．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，而且還考查了一元二次方程的根的靈活應用，要注意觀察．6.已知是方程：的兩根，求代數式的值．【答案】．【解析】由題及韋達定理可得：，，得：．=====．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，運用了降次等的思想方法．題型3：已知用方程兩根表示的代數式的值，求字母系數的值7．（2023·四川成都·統考二模）關于的方程的兩實數根，滿足，則______．【答案】2【分析】根據方程有兩個實數根可得，再根據一元二次方程根與系數的關系：得到，即可求解．【詳解】解：關于的方程的兩實數根，，，，，或（不合題意，舍去），8．（2023·四川成都·統考二模）已知關于x的一元二次方程的兩個實數根分別為，，若，則m的值為______．【答案】1【分析】根據一元二次方程根于系數的關系，求出，，再根據，列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，即，解得：，題型4：根據一元二次方程的兩根確定一元二次方程9.寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是，．【答案】．【解析】由，，可得方程為：．【總結】本題考查韋達定理，的應用．題型5：根的判別式與根與系數關系的綜合10．（2023·湖北荊門·統考一模）已知是關于的一元二次方程的兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根、，∴，解得：，（2）∵，即：∴，又∵，∴，∴解得：或（舍去）【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題的關鍵．11．（2023·四川南充·統考二模）實數使關于的方程有兩個實數根，．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)給出的兩個值，使方程的根是整數．【答案】(1)，(2)，或(3)見解析【詳解】（1）解：原方程整理為．．由，得．（2）解：由根系關系，得，，∵，∴，∴，∴，整理，得，解得，或．均符合．（3）解：取，原方程為．解得，，根為整數．取，原方程為．解得，，根為整數．（答案不唯一）題型6：有關一元二次方程的根與系數關系的創(chuàng)新題12.已知一個直角三角形的兩個直角邊的長恰好是方程：兩個根，求這個直角三角形的周長．【答案】．【解析】解：設直角三角形的三邊長為，，，且是斜邊長，由題知，，，由勾股定理，可得：，所以，所以直角三角形的周長．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，并且考查了直角三角形的性質，即勾股定理的應用．13.已知關于x的方程有兩根，其中且，求m的取值范圍．【答案】．【解析】因為方程有兩根，所以，即；由韋達定理，可得：，，因為且，所以，，即，解得：．【總結】本題考查韋達定理的應用和一元二次方程的概念以及解不等式的應用．14.已知方程：的一個根大于3，另一個根小于3，求a的取值范圍．【答案】．【解析】解：設方程的兩根為，，由，，可得：，即，而由韋達定理可得，，所以，即．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用．15．（2023春·湖北黃石·九年級統考階段練習）閱讀材料：材料1：若一元二次方程的兩個根為，則，．材料2：已知實數，滿足，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個不相等的實數根，根據材料1得，，所以根據上述材料解決以下問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則___________，____________．(2)類比探究：已知實數，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實數、分別滿足，，且．求的值．【答案】(1)；；(2)；(3)-1【分析】（1）直接根據根與系數的關系可得答案；（2）由題意得出、可看作方程，據此知，，將其代入計算可得；（3）把變形為，據此可得實數和可看作方程的兩根，繼而知，，進一步代入計算可得．【詳解】（1），；故答案為；；（2），，且，、可看作方程，，，；（3）把變形為，實數和可看作方程的兩根，，，．16．（2023秋·福建泉州·九年級統考期末）閱讀材料：材料1：若關于的一元二次方程的兩個根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數根分別為m，n，求的值．解：∵一元二次方程的兩個實數根分別為m，n，∴，，則．根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則___________，___________．(2)類比應用：已知一元二次方程的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實數s、t滿足，，且，求的值．【答案】(1)3，(2)(3)或【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，．故答案為：，；（2）∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；（3）∵實數s、t滿足，，∴s、t可以看作方程的兩個根，∴，，∵∴或，當時，，當時，，綜上分析可知，的值為或．17．（2023春·福建南平·九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個實數根；(2)若，方程的兩個實數根分別為（其中），若y是m的函數，且，求這個函數的解析式．(3)若m為正整數，關于x的一元二次方程的兩個根都是整數，a與分別是關于x的方程的兩個根．求代數式的值．【答案】(1)見解析(2)(3)24【詳解】（1）解：由題意可知，方程有兩個實數根；（2）解：由（1）可知，方程有兩個實數根，，，，，，．．（3）解：a與分別是關于x的方程的兩個根．，，與是整數，與同為整數，是正整數，，方程為，，，將代入原式．18．（2023春·湖北十堰·九年級專題練習）如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現了此類方程的一般性結論：設其中一根為t，則另一個根為2t，因此，所以有；我們記“”即時，方程為倍根方程；下面我們根據此結論來解決問題：(1)若是倍根方程，求的值；(2)關于x的一元二次方程是倍根方程，且點在一次函數的圖像上，求此倍根方程的表達式．【答案】(1)0(2)【詳解】（1）整理得：，∵是倍根方程，∴，∴．（2）∵是倍根方程，∴，整理得：．∵在一次函數的圖像上，∴，∴，，∴此方程的表達式為19．（2023春·湖北十堰·九年級專題練習）定義：已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．【答案】(1)此方程為“限根方程”，理由見解析(2)k的值為2(3)m的取值范圍為或【詳解】（1）解：，，∴或，∴．∵，，∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程的兩個根分比為，∴，．∵，∴，解得：，．分類討論：①當時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程是“限根方程”，∴符合題意；②當時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程不是“限根方程”，∴不符合題意．綜上可知k的值為2；（3），，∴或，∴或．∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個不相等的實數根，∴，且，∴，即，∴且．分類討論：①當時，∴，∵，∴，解得：；②當時，∴，∵，∴，解得：．綜上所述，m的取值范圍為或．20．（2023春·湖北黃石·九年級?？茧A段練習）（1）是關于的一元二次方程的兩實根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個實數根，設，，…，．根據根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經計算可得：，，，當時，請猜想，，之間滿足的數量關系，并給出證明．【答案】（1）1；（2）①，；②，證明見解析【詳解】解：（1）∵是關于的一元二次方程的兩實根，∴，，∴，整理，得：，解得：，．當時，，∴此時原方程沒有實數根，∴不符合題意；當時，，∴此時原方程有兩個不相等的實數根，∴符合題意，∴的值為1；（2）①∵，∴．∵，是一元二次方程的兩個實數根，∴，，∴，；②猜想：．證明：根據一元二次方程根的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，由①+②，得：，∵，，，∴，即．21．（2023·四川南充·統考一模）關于的一元二次方程中，、、是的三條邊，其中．(1)求證此方程有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩個根是、，且，求．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：關于的一元二次方程去括號，整理為一般形式為：，，、、是的三條邊，其中，，，，此方程有兩個不相等的實數根；（2）方程的兩個根是、，，，，，即，，，，，，，，，．【方法三】差異對比法22.已知關于x的方程有兩個正整數根，求整數k和p的值．【答案】．【解析】設是原方程的兩根，因為是正整數根，所以且都是正整數，由韋達定理，得：，所以是正整數，所以是正整數，即是正整數，所以，代入原方程可得：，方程的兩根為，所以．【總結】本題考查韋達定理的靈活應用，結合正整數根，題目較綜合．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1：一元二次方程根與系數關系的直接應用23．（2021·江蘇徐州·統考中考真題）若是方程的兩個根，則_________．【答案】-3【詳解】解：∵是方程的兩個根，∴，24．（2022·湖南婁底·統考中考真題）已知實數是方程的兩根，則______．【答案】【詳解】解：實數是方程的兩根，25．（2022·湖北黃岡·統考中考真題）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，則x1?x2＝_____．【答案】3【詳解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，∴x1?x2＝＝3．考法2：一元二次方程根與系數關系的綜合應用26．（2022·湖北鄂州·統考中考真題）若實數a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．【答案】【詳解】解：∵a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程的兩個實數根，∴a+b=4，ab=3，∴，27．（2022·四川巴中·統考中考真題）、是關于的方程的兩個實數根，且，則的值為________．【答案】【詳解】解：∵是方程的根∴，∴∴k=-428．（2022·山東日照·統考中考真題）關于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數根x1，x2，且，則m=__________．【答案】【詳解】解：根據題意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0時，∴m=不合題意，29．（2022·四川內江·統考中考真題）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．【答案】2【詳解】解：∵x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當k＝2時，關于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當k＝5時，關于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實數解，不符合題意；∴k＝2，30．（2022·貴州銅仁·統考中考真題）已知關于的方程有兩個相等的實數根，則的值是______．【答案】1【詳解】解：一元二次方程有兩個相等的實數根，可得判別式，∴，解得：．【方法五】成功評定法一、單選題1．（2023秋·全國·九年級專題練習）若，是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A． B．4 C． D．3【答案】D【分析】直接利用根與系數的關系求解．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個根，，故選D．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程（）的兩根時，，．2．（2023秋·湖南益陽·九年級校考期末）設方程的兩個根為與，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系得到兩根之積即可．【詳解】解：∵方程的兩個根為與，∴．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數關系，兩根之和是，兩根之積是．3．（2022秋·湖南衡陽·九年級統考期末）若方程的兩根為，，則的值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據兩根之和與之積，再根據即可求出答案．【詳解】解：由題意得：，，∴，故選：．【點睛】此題考查了一元二次方程的根與系數的關系，解題的關鍵是熟記：，．4．（2023春·廣西柳州·九年級統考期中）已知是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值等于（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】由一元二次方程根與系數的關系，可得，根據一元二次方程根的定義得，由，整體代入求解即可．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個實數根，，，，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數的關系，代數式求值等知識．解題的關鍵在于熟練掌握一元二次方程根與系數的關系．5．（2022秋·湖南永州·九年級校考期中）已知一元二次方程的兩個實數根為，，下列說法：①若a，c異號，則方程一定有實數根；②若，則方程一定有實數根；③若，，，由根與系數的關系可得，其中結論正確的個數有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】當a、c異號時，，則根據根的判別式的意義可對①進行判斷；當時，則，則根據根的判別式的意義可對③進行判斷；若，，，計算出，則可對④進行判斷．【詳解】解：，當a、c異號時，，所以，所以此時方程一定有實數根，所以①正確；若時，，則方程一定有兩實數根，所以②正確；若，，，，所以方程沒有實數根，所以③錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．也考查了根的判別式．6．（2023春·山東煙臺·九年級統考期中）若是方程的兩個實數根，則代數式的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】是方程的兩個實數根，則，，代入即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個實數根，∴，，∴，∴，故選：D【點睛】此題考查了一元二次方程根的定義和根與系數關系，整體代入是解題的關鍵．7．（2023秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）已知是方程的兩根，則代數式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據是方程的兩根，得出，，，然后對代數式變形，最后代入進行計算即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩根，∴，，，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數的關系以及整式的變形，根據需要對整式靈活變形成為解答本題的關鍵．8．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知、為一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】利用根與系數的關系求得，，利用根的定義得到，，即可得到，，然后將其代入整理后的代數式求值即可．【詳解】解：、為一元二次方程的兩個根，，，，，，，．故選：．【點睛】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．9．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知m，n是關于x的方程的兩個根，則的值為（）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】先根據方程根的定義和根與系數的關系可得，然后再對變形后整體代入即可解答．【詳解】解：∵m，n是關于x的方程的根，∴，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義、根與系數的關系等知識點，由題意得到是解答本題的關鍵．10．（2023秋·九年級單元測試）下列給出的四個命題，真命題的有（

）個①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個實根中有且只有一個根為0，那么，．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】①根據一元二次方程根與系數的關系可得，即可判斷；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判斷；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判斷；④利用根與系數的關系進行判斷．【詳解】①若方程兩根為-1和2，則，則，即；故此選項符合題意；②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴；此選項符合題意；③∵，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定無解，故此選項符合題意；④若方程x2+px+q＝0的兩個實根中有且只有一個根為0，∴兩根之積為0，那么p≠0，q＝0，故此選項符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判別式，根與系數的關系等，熟記各計算方法是解題的關鍵．二、填空題11．（2023·全國·九年級專題練習）若關于x的方程的一個根是3，則此方程的另一個根是．【答案】【分析】根據根與系數的關系即可求出方程的另一個根．【詳解】設另一個根為，根據題意：，解得，，即另一個根為，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解、根與系數的關系，在利用根與系數、來計算時，要弄清楚、、的意義．12．（2021春·廣東廣州·九年級校考期中）已知是方程的一個解，方程的另一個解為，則．【答案】【分析】利用要根的定義求得m的值，再根據根與系數的關系求得方程的另一個解，代入數據即可求出答案．【詳解】解：∵是方程的一個解，∴，解得，∴，∵方程的另一個解為，且，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數的關系，一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練運用根與系數的關系．若是一元二次方程的兩根時，．13．（2022秋·湖北隨州·九年級校聯考階段練習）已知方程的兩根為，則．【答案】13【分析】根據兩根之和，兩根之差的公式，代入計算即可解答．【詳解】根據題意得，，則．故答案為：13【點睛】本題考查了根與系數的關系，熟記公式是解題的關鍵．14．（2023·湖南岳陽·統考一模）已知關于x的一元二次方程．若方程的兩個實數根分別為、，且，則m的值為．【答案】1或【分析】根據根與系數的關系即可得出，，再由，求出，，進而根據得出，解之即可得出的值．【詳解】解：關于的一元二次方程的兩個實數根分別為、，，，，，，，，，解得或．，∴無論m取何值，方程都有兩個實數根，∴的值為1或．故答案為：1或．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式以及一元二次方程的根與系數的關系．15．（2023秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）已知、，滿足等式：，則．【答案】【分析】根據題意可得出，為以為未知數的一元二次方程的兩根，再利用根與系數的關系即可求解．【詳解】解：∵∴，∴∵滿足∴，為以為未知數的一元二次方程的兩根，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，，，得出，為以為未知數的一元二次方程的兩根是解題的關鍵．16．（2023·江蘇鹽城·統考二模）若方程的兩根為，，則的值為．【答案】2023【分析】根據一元二次方程根與系數的關系以及一元二次方程的解的概念可得，，再代入進行計算即可得到答案．【詳解】解：方程的兩根為，，，，，故答案為：2023．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系以及一元二次方程的解的概念，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，．17．（2022·湖南永州·統考一模）已知不等式的解集是，其中，則不等式的解集．【答案】或【分析】由于不等式的解集為，其中，可得，是一元二次方程的實數根，且，利用根與系數的關系可把不等式化為，解出即可．【詳解】解：不等式的解集為，則，是一元二次方程的實數根，且，，其中，，，則不等式化為，，可化為，或，，，不等式的解集為：或，故答案為：或．【點睛】本題考查了一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數根之間的關系、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．18．（2023·全國·九年級專題練習）將兩個關于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數）的形式，如果只有系數a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個根為、，則b－2c＝，的最大值是．【答案】4；-3【分析】利用（）與方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根與系數的關系可得，，進而得出，設（），得，根據方程有正數解可知，求出t的取值范圍即可求出的最大值．【詳解】解：根據新的定義可知，方程（）可變形為，∴，展開，，可得，，∴；∵，，∴，∵方程（）有兩個根為、，∴，且，∴，設（），得，∵方程有正數解，∴，解得，即，∴．故答案為：4，-3．【點睛】本題考查新定義、一元二次方程根與系數的關系以及根的判別式，由根與系數的關系得到是解題的關鍵．三、解答題19．（2022秋·甘肅定西·九年級?？计谥校┮阎獙崝礱、b滿足，，求的值．【答案】或2【分析】分為兩種情況進行討論：①當時，a，b可能是方程的同一個根，兩數相等；②當時，由根與系數的關系，得，，把代數式變形成與兩根之和和兩根之積有關的式子，代入兩根之和與兩根之積，求得代數式的值．【詳解】解：①當時，．②當時，可以把a，b看作是方程的兩根．由根與系數的關系，得，，所以；綜上可知，的值為或2．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的應用以及分類討論思想的運用．此題綜合性較強，特別注意不要漏掉“”的情況．20．（2023秋·陜西咸陽·九年級統考期末）已知，是關于x的方程的兩個實數根，若，求m的值．【答案】【分析】先由一元二次方程根與系數關系得，，再根據得，然后整體代入得，求解即可．【詳解】解∶由題意得∶，，∵，∴∴，∴．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數關系．熟練掌握一元二次方程根與系數關系是解題的關鍵．21．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）關于x的方程有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍；(2)是否存在實數m，使方程的兩個實數根的倒數和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)且(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由二次項系數非零及根的判別式△，即可得出關于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍；（2）假設存在，設方程的兩根分別為、，根據根與系數的關系結合，即可得出關于的方程，解之即可得出的值，再根據（1）的結論即可得出不存在實數，使方程的兩個實數根的倒數和等于0．【詳解】（1）關于的方程有兩個不相等的實數根，，解得：且．（2）假設存在，設方程的兩根分別為、，則，．，．且，不符合題意，舍去．假設不成立，即不存在實數，使方程的兩個實數根的倒數和等于0．【點睛】本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）根據二次項系數非零結合根的判別式△，找出關于的一元一次不等式組；（2）根據根與系數的關系結合，列出關于的方程．22．（2022秋·湖北隨州·九年級校聯考階段練習）已知關于的方程．(1)當方程有兩個實數根時，求的取值范圍；(2)當方程的兩個根滿足時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出關于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范圍；（2）利用根與系數的關系可得出，．結合，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結合（1）的結論即可確定m的值．【詳解】（1）解：∵關于的方程有兩個實數根，∴，解得：，∴的取值范圍為；（2）∵關于的方程的兩個根分別為：，，∴，，∵，∴，即，整理得，∴，解得：，，∵，∴m的值為．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系、根的判別式以及解一元二次方程，解題的關鍵是∶（1）牢記“當時，方程有兩個實數根”；(2)利用根與系數的關系結合，找出關于m的一元次方程．23．（2022秋·湖南懷化·九年級統考期中）已知關于的方程．(1)求證：無論取何值，這個方程總有實數根；(2)若等腰三角形的一邊長，另兩邊、恰好是這個方程的兩個根，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）運用根的判別式，根與系數的關系，平方數的非負性進行判斷即可求證；（2）根據等腰三角形的性質，分類討論，①當時，即方程兩根相等；②當或者時，即是原方程的一個根；根據根與方程的關系即可求解．【詳解】（1）解：在關于的方程中，，，，∴∵∴無論取何值，方程總有實數根．（2）解：是等腰三角形，一邊長，另外兩邊分別為，，且、恰好是這個方程的兩個根，①當時，即方程兩根相等，∴，解得，方程可化為：，解得，∴三邊為長分別為，，，∵，不符合三角形三邊關系，不能構成三角形，故舍去；②當或者時，即是原方程的一個根，把代入得，，解得，，∴原方程可化為