專題05用配方法求解一元二次方程（3個知識點(diǎn)7種題型2個易錯點(diǎn)4種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級上冊

【關(guān)注公眾號：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專題05用配方法求解一元二次方程（3個知識點(diǎn)7種題型2個易錯點(diǎn)4種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1：用直接配平方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識點(diǎn)2：用配方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識點(diǎn)3：利用一元二次方程求解簡單的實(shí)際問題（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程題型2：用配方法解一元二次方程題型3：用配方法求字母的值題型4：用用配方法求代數(shù)式的最大（最小）值題型5：直接開平方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用題型6：用配方法判斷三角形的形狀題型7：利用配方法解決有關(guān)新定義問題【方法三】差異對比法易錯點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方易錯點(diǎn)2配方時，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯誤【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：解一元二次方程-直接開平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：換元法解一元二次方程考法4：配方法的應(yīng)用【方法五】成果評定法【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1：用直接配平方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．【例1】（2022秋?江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4知識點(diǎn)2：用配方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．【例2】用配方法解一元二次方程.【例3】如何用配方法解方程知識點(diǎn)3：利用一元二次方程求解簡單的實(shí)際問題（難點(diǎn)）一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效數(shù)學(xué)模型，有些通過列一元二次方程來解決的實(shí)際問題都可以利用配方法或直接開平方法來解決。注意：一定要檢驗(yàn)所得的根是否符合實(shí)際意義【例4】（2023?定遠(yuǎn)縣校級三模）閱讀下面的材料：我們可以用配方法求一個二次三項(xiàng)式的最大值或最小值，例如：求代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）①仿照上述方法求代數(shù)式m2﹣4m﹣3的最小值為．②代數(shù)式﹣x2﹣4x+7的最大值為．（2）延伸與應(yīng)用：如圖示，小紅父親想用長60m的柵欄．再借助房屋的外墻圍成一個矩形的羊圈，已知房屋外墻長40m，設(shè)矩形ABCD的邊面積為Sm2．當(dāng)AB，BC分別為多少米時，羊圈的面積最大？最大值是多少？【方法二】實(shí)例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程解方程(x-3)2=49．

2.解關(guān)于的方程：．3.解關(guān)于的方程：．4.解關(guān)于的方程：．5.解關(guān)于的方程：．6.解關(guān)于的方程：．7.解關(guān)于的方程：．題型2：用配方法解一元二次方程8.用配方法解方程：．9.用配方法解方程：．10.用配方法解方程：．11.用配方法解方程：．12.用配方法解方程：．13.用配方法解方程：．14.用配方法解關(guān)于x的方程：．題型3：用配方法求字母的值15.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．16.已知，求的值．題型4：用配方法求代數(shù)式的最大（最小）值17．（2023春?蘇州月考）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題．例題：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0且n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3問題：（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．（2）求代數(shù)式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值．18．（2022秋?淮安區(qū)校級期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因?yàn)閙2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長，且a，b滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長．19．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，請?zhí)骄肯铝袉栴}，（1）嘗試：①當(dāng)x＝﹣2，y＝1時，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②當(dāng)x＝1，y＝2時，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③當(dāng)x＝2，y＝2.5時，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④當(dāng)x＝3，y＝3時，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y22xy．（2）歸納：x2+y2與2xy有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．（3）運(yùn)用：求代數(shù)式的最小值．題型5：直接開平方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用20．（2022秋?高州市期末）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱為配方法，利用配方法請解以下各題：（1）探究：當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時，求代數(shù)式a2﹣4a的最小值．（2）應(yīng)用：如圖．已知線段AB＝6，M是AB上的一個動點(diǎn)，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN．問：當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動時，長方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；否則請說明理由．21．（2022秋?洛陽期末）【閱讀材料】若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3．【解決問題】（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；【拓展應(yīng)用】（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且b，c滿足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最長的邊，求a的取值范圍．22．（2022秋?廣水市期末）【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因?yàn)椋╝+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，當(dāng)a＝﹣3時，代數(shù)式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【問題解決】利用配方法解決下列問題：（1））當(dāng)x＝時，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值為．（2）當(dāng)x取何值時，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）當(dāng)x，y何值時，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值為多少？（4）如圖所示的第一個長方形邊長分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個長方形邊長分別是5a、a+5，面積為S2．試比較S1與S2的大小，并說明理由．題型6：用配方法判斷三角形的形狀23.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關(guān)于x的方程的兩根，當(dāng)k為何值時，△ABC是等腰三角形？24．（2023春?莊浪縣期中）若三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判斷此三角形的形狀，并求此三角形面積．題型7：利用配方法解決有關(guān)新定義問題25．（2022秋?通川區(qū)期末）配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個式子或?qū)⒁粋€式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決問題．定義：若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?＝12+22，所以5是“完美數(shù)”．解決問題：（1）已知29是“完美數(shù)”，請將它寫成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數(shù)），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出k值．26．（2023春?江都區(qū)月考）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問題】（1）數(shù)11“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；數(shù)53“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，則x+y＝；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說明理由．27．（2023春?東陽市期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12.所以5是“完美數(shù)”．解決問題：（1）已知10是“完美數(shù)”，請將它寫成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），則mn＝；探究問題：（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，則x+y＝；（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．拓展結(jié)論：（5）已知實(shí)數(shù)x、y滿足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．【方法三】差異對比法易錯點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方28.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．易錯點(diǎn)2配方時，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯誤29.如何用配方法解方程【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1．解一元二次方程-直接開平方法30．（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2＝9的根是．考法2：解一元二次方程-配方法31．（2019?南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25考法3：換元法解一元二次方程32．（2002?南京）用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果設(shè)x2﹣x＝y(tǒng)，那么原方程變?yōu)椋挤?：配方法的應(yīng)用33．（2018?泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，則實(shí)數(shù)a的值為．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）下列配方有錯誤的是（）A．，化為B．，化為C．，化為D．，化為2．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時，變形正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·山西太原·九年級?？茧A段練習(xí)）在解方程時，對方程進(jìn)行配方，圖1是小思做的，圖2是小博做的，對于兩人的做法，說法正確的是（

）A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確5．（2022秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習(xí)）用配方法解方程時、配方正確的是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的解為（）A． B．C． D．7．（2021秋·廣東東莞·九年級東莞市東華初級中學(xué)?？计谀┬露x：關(guān)于的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．20168．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、填空題9．（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學(xué)考試）方程的根是．10．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級統(tǒng)考期中）將配方成形式，則．11．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）把方程用配方法化為的形式，則的值是．12．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知一元二次方程的兩根為、，且，則的值為．13．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級統(tǒng)考期中）已知方程，則此方程的解為．14．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州六中校考階段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為．15．（2022秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)?？计谥校┮辉畏匠痰母牵?6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若（為實(shí)數(shù)），則的最小值為．三、解答題17．（2022秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）解方程：18．（2022秋·天津津南·九年級校考期中）選取最恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)19．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．．解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，第一步

移項(xiàng)，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)公式是______；(2)上述解題過程，從第______步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出正確的解答過程．20．（2022秋·河南南陽·九年級南陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小明在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程．解：原方程可變形，得：．，．直接開平方并整理，得．，．我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”(1)下面是小明用“平均數(shù)法”解方程時寫的解題過程．解：原方程可變形，得：．，∴．直接開平方并整理，得．，．上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為______，______，______，______．(2)請用“平均數(shù)法”解方程：．21．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當(dāng)時，有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為______．22．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上,老師展示了這樣一段內(nèi)容．問題求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小麗和小明想,二次多項(xiàng)式都能用類似的方法求出最值（最小值或最大值）嗎？（1）小麗寫出了一些二次三項(xiàng)式