經(jīng)濟數(shù)學套課件幻燈片教學教程電子講義

經(jīng)濟數(shù)學Economicmathematics目錄函 數(shù)

1極限與連續(xù)2導數(shù)與微分3導數(shù)的應用4積分學及其應用5隨機變量及其數(shù)字特征數(shù)學軟件Mathematica應用隨機事件與概率線性代數(shù)初步89目錄76第1章函數(shù)學習目標理解函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)定義域和值域的求法，了解分段函數(shù)的特點。掌握函數(shù)的基本性質(zhì)和表示方法。熟練掌握六類基本初等函數(shù)的概念、表達式、圖形和性質(zhì)．了解復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念和性質(zhì)，掌握復合函數(shù)的分解方法。了解常用經(jīng)濟函數(shù)的概念及相關運算，會建立簡單的函數(shù)關系式。1.1函數(shù)的概念1.1.1函數(shù)的概念引例1

自由落體運動設物體下落的時間為t，下落距離為s，假定開始下落的時刻t＝0，那么s與t之間的依賴關系由給出，其中g為重力加速度．在這個關系中，距離s隨著時間t的變化而變化．其特點是，當下落的時間t取定一個值時，對應的距離s的值也就確定了．引例2

醫(yī)師用藥醫(yī)師給兒童用藥和成年人不一樣，用藥量可由兒童的體重來確定．要計算1～12歲的兒童的體重可用經(jīng)驗公式y(tǒng)＝2x＋7，其中x代表年齡（歲），y代表體重（公斤），年齡確定了，相應的體重也就確定了．函數(shù)的定義1.1函數(shù)的概念定義1

設x，y是同一變化過程中的兩個變量，若當x取其變化范圍內(nèi)任一值時，按照某種對應規(guī)則，總能唯一確定變量y的一個值與之對應，則稱y是x的函數(shù)，記作y＝f（x）x叫做自變量，y叫做因變量．X的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值對應的y的值的集合叫做函數(shù)的值域．當自變量x取數(shù)值x0

時，因變量y按照對應法則f所對應的數(shù)值，稱為函數(shù)y＝f（x）在點x0處的函數(shù)值，記作y＝f（x0）。1.1函數(shù)的概念例1.1

設f(x)＝2x2-3，求f(-1），f（x0）。例1.2

求函數(shù)的定義域。解解要使分式有意義，必須分母x2+2x-3≠0，即x≠-3且x≠1，所以這個函數(shù)的定義域是(－∞，－3)∪(－3，1)∪(1，＋∞)。求函數(shù)定義域時應遵守以下原則：（1）代數(shù)式中分母不能為零；（2）偶次根式內(nèi)表達式非負；（3）基本初等函數(shù)要滿足各自的定義要求；（4）對于表示實際問題的解析式，還應保證符合實際意義．1.1函數(shù)的概念1.1.2函數(shù)的表示常用的函數(shù)表示方法有表格法、圖像法、解析法．(1)將自變量的值與對應的函數(shù)值列成表格以表示函數(shù)的方法叫表格法，如三角函數(shù)表、對數(shù)表及許多的財務報表等．(2)用圖像來表示自變量值與函數(shù)值的關系的方法叫圖像法，它的特點是較直觀．(3)用數(shù)學表達式表示自變量和因變量的對應關系的方法叫解析法，如y＝sinX，y＝2x+1等，它的特點是便于推理與演算．分段函數(shù)引例3

乘座火車時，鐵路部門規(guī)定：隨身攜帶物品不超過20千克免費，超過20千克部分，每千克收費0.2元，超過50千克部分，再加收50％，應如何計算攜帶物品所交的費用．1.1函數(shù)的概念設物品的重量為x，應交費用為y，則有解對于分段函數(shù)，要注意以下幾點：（1）分段函數(shù)是由幾個公式合起來表示一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)。（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。（3）在處理問題時，對屬于某一段的自變量就應用該段的表達式。1.1函數(shù)的概念1.1.3反函數(shù)定義如果已知y是x的函數(shù)，y＝f（x），則由它所確定的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)x＝φ（y）就是y＝f（x）的反函數(shù)，而y＝f（x）稱為直接函數(shù)．函數(shù)y＝f（x）的定義域和值域分別是其反函數(shù)y＝f－1（x）的值域和定義域．函數(shù)y＝f（x）和它的反函數(shù)y＝f－1（x）的圖像關于直線y＝x對稱．單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)與其反函數(shù)單調(diào)性相同．例1.3

求函數(shù)y＝x2，x∈［0，＋∞）的反函數(shù)．解因為函數(shù)y＝x2

在區(qū)間［0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以存在反函數(shù)．由y＝x2

解得x＝√y，y≥0，于是y＝x2

的反函數(shù)為y＝√x，x∈［0，＋∞）求反函數(shù)的步驟是從y＝f（x）中解出x，得到x＝f－1（y），再將x和y互換即可．1.1函數(shù)的概念例1.4

求y＝２x＋１的反函數(shù)解由y＝２x＋１得互換字母x，y得所求反函數(shù)為1.1.4函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的奇偶性定義２設函數(shù)y＝f(x)的定義域D關于原點對稱，即x∈D<=>-x∈D若f(-x)＝f(x)，x∈D，則稱f（x）為偶函數(shù)；若f(-x)＝-f(x)，x∈D，則稱f（x）為奇函數(shù)．例如：y＝x２，x∈R，是偶函數(shù)，其圖像如圖1.1所示；y＝x３，x∈R，是奇函數(shù)，其圖像如圖1-2所示．1.1函數(shù)的概念圖1-1圖1-2偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱．兩個偶函數(shù)之和、差、積、商仍是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)之和、差仍是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)之積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)之積、商是奇函數(shù)．1.1函數(shù)的概念例1.5

判斷下列函數(shù)的奇偶性．解（１）因為所以所以，所以即即是偶函數(shù)。2.函數(shù)的周期性1.1函數(shù)的概念定義3給定函數(shù)y＝f（x），x∈D，若存在常數(shù)T使得x∈D<=>x＋T∈D且f（x＋T）＝f（x），x∈D，則稱f（x）為周期函數(shù)，常數(shù)T稱為周期．滿足條件的最小正數(shù)T稱為f（x）的最小正周期，通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期．例sinx，cosx是周期為２π的函數(shù)，tanx，cotx是周期為π的函數(shù)．以T為周期的函數(shù)圖像沿x軸方向左右平移T的整數(shù)倍，圖像將重合．3.函數(shù)的單調(diào)性定義4

若對于區(qū)間I內(nèi)任意兩點x１，x２，當x１＜x２時，有f（x１）＜f（x２），則稱f（x）在I上單調(diào)增加（如圖1-3），區(qū)間I稱為單調(diào)遞增區(qū)間；若f（x１）＞f（x２），則稱f（x）在I上單調(diào)減少（如圖1-4），區(qū)間I稱為單調(diào)遞減區(qū)間．單調(diào)增加與單調(diào)減少分別稱為遞增與遞減．單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。1.1函數(shù)的概念圖1-3圖1-4４.函數(shù)的有界性1.1函數(shù)的概念定義５若存在正數(shù)M，使得在區(qū)間I上|f（x）|≤M，則稱f（x）在I上有界．否則稱為無界．例如函數(shù)y＝cosX在區(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)有|cosX|≤１，，所以函數(shù)y＝cosX在（－∞，＋∞）內(nèi)是有界的．1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)常函數(shù)：y＝c（c為常數(shù)）。冪函數(shù)：y＝xα（α為常數(shù)）。指數(shù)函數(shù)：y＝ax（a＞０，且a≠１，a為常數(shù)）。對數(shù)函數(shù)：y＝logax（a＞０，且a≠１，a為常數(shù)）。三角函數(shù)：y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx。以上函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)列表，見P5表1.11.2.2復合函數(shù)定義

設y是u的函數(shù)y＝f（u），u是x的函數(shù)u＝φ（x），如果u＝φ（x）的值域或其部分包含于y＝f（u）定義域中，則y通過中間變量u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復合函數(shù)，記為y＝f［φ（x）］，其中x是自變量，u是中間變量．例1.6

設y＝2u，u＝sinx，則由這兩個函數(shù)組成的復合函數(shù)為y＝2sinx．復合函數(shù)也可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成，例如，由函數(shù)y＝sinu，u＝eυ

，υ＝tanx復合后可得復合函數(shù)y＝sinetanx．例1.7

函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的？解設，則是由函數(shù)復合而成的復合函數(shù)。1.2.3初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合運算而得到的，并且能用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例如，等都是初等函數(shù)．而不滿足有限次運算，1.2初等函數(shù)不是一個解析式子表示，因此都不是初等函數(shù)。例1.8

設，試分析它的結(jié)構(gòu)。解函數(shù)可分解為1.2初等函數(shù)1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟函數(shù)1.3.1單利、復利與貼現(xiàn)1.單利計算公式設初始本金為P元，銀行年利率為r．第一年末的利息為P·r，本利和為第二年利息不計入本金，即本金為P，第二年末的利息仍為P·r，本利和為依此方法，第n年末的本利和Sn為(1.1)2.復利計算公式設初始本金為P元，銀行年利率為r．第一年末的本利和為第二年利息計入本金，第二年末的利息為，本利和為依此方法，第n年末的本利和Sn為（1.2）例1.9

設有初始本金2000元，銀行年儲蓄利率為４％．試求：（１）按單利計算，３年末的本利和是多少？（２）按復利計算，３年末的本利和是多少？解（１）本金P＝2000元，年利率r＝0.04，存期３年，由單利計算公式（1.1）知（２）由復利計算公式（1.2）知1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟函數(shù)1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟函數(shù)3.貼現(xiàn)債券或其他票據(jù)的持有人，為了在票據(jù)到期以前獲得資金，從票面金額中扣除未到期期間的利息后，得到所余金額的現(xiàn)金，這就是貼現(xiàn)．假設未來n年復利年利率r不變，n年后到期價值R的票據(jù)現(xiàn)值為P，則由復利計算公式（1.2）可得例如，復利年利率為５％，５年后到期價值是1000元的票據(jù)的現(xiàn)值為1.3.2需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)一種商品的市場需求量與消費群體的人數(shù)、收入、習慣及該商品的價格等諸多因素有關，為簡化問題的分析，我們只考慮商品價格對需求量的影響，而其他因素暫時保持某種狀態(tài)不變，需求量犙可以看成價格犘的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟函數(shù)一般地，價格犘越高，需求量犙要下降；價格犘越低，需求量犙要上升，所以需求函數(shù)為價格犘的單調(diào)減少函數(shù)．常見需求函數(shù)有以下幾種類型：（１）線性需求函數(shù)均為常數(shù)；（２）二次需求函數(shù)均為常數(shù)；（３）指數(shù)需求函數(shù)２.供給函數(shù)在市場經(jīng)濟規(guī)律作用下，某種商品的市場供給量將依賴于該商品的價格高低，價格上漲將刺激該商品的供給量增多，供給量S可以看成是價格P的函數(shù)，稱為供給函數(shù)，記作1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟函數(shù)３.市場均衡由于需求函數(shù)Q是單調(diào)減少函數(shù)，供給函數(shù)S是單調(diào)增加函數(shù)，若把需求與供給曲線畫在同一坐標系（如圖1-5），它們將相交于一點（P０，Q０），這里的P０就是供、需平衡的價格，叫做均衡價格，Q０就是均衡數(shù)量，此時我們稱之為市場均衡．例1.10

某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別是求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量．解按市場均衡條件Q＝S，即25P－10＝200－5P，則P０＝７，此時Q０＝200－５×７＝165，即市場均衡價格為7，市場均衡數(shù)量為165．1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟函數(shù)1.3.3成本、收入和利潤函數(shù)在生產(chǎn)和產(chǎn)品經(jīng)營活動中，成本、收入和利潤這些經(jīng)濟變量都與產(chǎn)品的產(chǎn)量或銷售量q密切相關，它們都可以看成q的函數(shù)，分別稱為總成本函數(shù)，記作C＝C（q）；收入函數(shù)，記作R＝R（q）；利潤函數(shù)，記作L＝L（q）．1.總成本函數(shù)總成本C由固定成本C０和可變成本C１兩部分組成．固定成本C0

如廠房、設備、企業(yè)管理費等與產(chǎn)量q無關．可變成本C１如原材料費、勞動者工資等隨產(chǎn)量狇的變化而變化，即C１＝C１（q），這樣總成本C＝C０＋C１（q）．平均成本，記作，其中C（q）是總成本.1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟函數(shù)2.收入函數(shù)收入是指銷售某種商品所獲得的收入，又可分為總收入和平均收入．設P為商品價格，q為商品的銷售量，則有總收入函數(shù)：平均收入函數(shù)：３.利潤函數(shù)生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品的總收入與總成本之差就是它的總利潤，記作其中q為產(chǎn)品數(shù)量．它的平均利潤，記作1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟函數(shù)例1.13

已知生產(chǎn)某種商品狇件時的總成本（單位：萬元）為該商品每件售價是９萬元，試求：（１）該商品的利潤函數(shù)；（２）生產(chǎn)10件該商品時的總利潤和平均利潤；（３）生產(chǎn)40件該商品時的總利潤．例1.14

已知某種商品的成本函數(shù)為，銷售單價定為11元／件，試求該商品的盈虧平衡點，并說明隨產(chǎn)量q變化時的盈虧情況．本章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學習要點1.函數(shù)的概念2.函數(shù)的基本性質(zhì)3.反函數(shù)和復合函數(shù)4.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)5.經(jīng)濟函數(shù)二、重點與難點1.重點2.難點ThankYou!經(jīng)濟數(shù)學Economicmathematics第2章極限與連續(xù)學習目標了解極限的描述性定義，左右極限的定義．握極限四則運算法則，熟練使用兩個重要極限．了解無窮小的定義及性質(zhì)，了解無窮小與無窮大的關系，會利用其求極限．理解并會利用無窮小的比較求極限方法．了解函數(shù)連續(xù)的定義，會判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性．了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會求函數(shù)的間斷點．2.1極限2.1.1數(shù)列的極限1.極限的概念圖2.12.1極限圖2.2圖2.3定義設有數(shù)列｛an｝，當n無限增大時，an無限接近于某個確定的常數(shù)，那么就稱為數(shù)列｛an｝的極限，記作此時，也稱數(shù)列｛an｝收斂于，否則稱數(shù)列沒有極限，或稱數(shù)列發(fā)散．2.1極限2.數(shù)列極限的性質(zhì)性質(zhì)１若數(shù)列收斂，則其極限值必唯一．性質(zhì)２若數(shù)列收斂，則它必有界．性質(zhì)３單調(diào)有界數(shù)列必有極限．2.1.2函數(shù)的極限1.x→∞的情形定義如果當x無限增大時，函數(shù)∫（x）無限地接近于某一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)∫（x）當x→∞時的極限，記作例2.1

判斷當x→∞時，的極限情況．解如圖2.4為的圖像，可以看出，當和x→－∞時，圖像無限接近于零，所以即x→＋∞2.1極限圖2.4定理當x→∞時，函數(shù)∫（x）的極限存在的充分必要條件是當x→＋∞時和x→－∞時函數(shù)∫（x）的極限都存在而且相等，即2.x→x0

的情形定義設函數(shù)∫(x)在x0的左右兩側(cè)有定義，如果當x無限接近x0時，函數(shù)值∫(x)無限接近于某一確定的常數(shù)，則稱是函數(shù)∫(x)當x→x0

時的極限，記作2.1極限定義當x從x0左側(cè)（或右側(cè)）無限接近于x0

時，函數(shù)∫(x)無限地趨于某一確定的常數(shù)，則稱時，函數(shù)∫(x)的左(右)極限為，記作例2.2

求當x→１時，函數(shù)∫（x）＝２x＋１的極限．解如圖2.5所示，當x從１的左右兩側(cè)接近于１時，對應的函數(shù)值從數(shù)值３兩側(cè)無限接近于３，因此圖2.5圖2.62.1極限例2.3當x→1時，函數(shù)∫(x)的極限情況解如圖2.6所示，x無限接近于１時，∫(x)的函數(shù)值從數(shù)值4的兩側(cè)無限接近于4，即例2.4

設函數(shù)解如圖2.7所示，當x從０的右側(cè)接近于０時，函數(shù)值∫（x）接近于數(shù)值１，即

當x從０的左側(cè)接近于０時，函數(shù)值∫(x)接近于數(shù)值-1，關于函數(shù)∫(x)在一點處極限存在有如下定理:定理2.1極限圖2.7圖2.82.1極限例2.5設函數(shù)問當x→０時，∫(x)的極限是否存在？若存在是多少？解如圖2.8所示，當x從０的左側(cè)接近于０時，有０；當x從０的右側(cè)接近于０時，有存在的定理知，函數(shù)∫(x)在x→０時極限存在，根據(jù)極限在一點處2.1.3函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)１（唯一性）如果函數(shù)∫(x)的極限存在，則極限值唯一．性質(zhì)２（夾逼定理）設函數(shù)∫(x)，g(x)，h(x)在x0的左右兩側(cè)滿足條件：則2.1極限2.1.4函數(shù)極限的四則運算法則定理如果則例2.6

求解例2.7求解2.1極限例2.8求解習題2.1見課本P21。2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大2.2.1兩個重要極限1.重要極限Ⅰ注意，第Ⅰ重要極限形式為形式，為了強調(diào)其形式，可形象記為其中方框□代表同一變量。例2.9解2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大例2.10解例2.11解例2.12解2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大例2.13解2．重要極限Ⅱ重要極限Ⅱ的形式是類型，為了強調(diào)其形式，我們也可將它表示為其中方框□表示同一變量．2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大例2.14解例2.15解例2.16解2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大2.2.2無窮小量（簡稱無窮小）1．無窮小的定義定義以零為極限的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小，常用希臘字母α，β，γ來表示無窮小．關于無窮小一定要注意以下幾點：（１）談無窮小一定離不開自變量的變化趨勢．（２）不能把無窮小混同于一個非常小的數(shù)，但零是唯一可以作為無窮小的常數(shù)，因為lim0＝０．例2.19

自變量狓在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮?。ǎ保┮驗榻?，所以x→∞時是無窮小2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大（２）因為（３）因為（４）因為２．無窮小的性質(zhì)性質(zhì)１有限個無窮小的代數(shù)和是無窮?。再|(zhì)２有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。?.20解因為是有界函數(shù)，所以2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大推論常數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。再|(zhì)３有限個無窮小的積是無窮?。?.2.3無窮大量（簡稱無窮大）定義在自變量狓的某個變化過程中，若相應函數(shù)值的絕對值|∫（x）|無限增大，則稱∫（x）為該自變量變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大，記作ｌｉｍ∫（x）＝∞．例如，是x→０時的無窮大，可記為無窮大要注意以下幾點（１）談無窮大不能離開自變量的變化趨勢．（２）不能將無窮大與非常大的常數(shù)混為一談．（３）借用ｌｉｍ∫（x）＝∞，并不表示∫（x）的極限存在，事實上∫（x）的極限不存在．2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大2.2.4無窮小與無窮大的關系定理在自變量的同一個變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，除常數(shù)零外的無窮小的倒數(shù)是無窮大．例如，當x→０時，２x是無窮小，則當x→０時，為無窮大．又例如，當x→∞時，x２＋２是無窮大，則當x→∞時，是無窮?。?.2.5無窮小的比較定義設α和β是同一變化過程中的無窮小，即limα=0，limβ=0．2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大定理設α１、α２、β１、β２是同一變化過程中的無窮小，且有α１～α２，β１～β２，若（或無窮大），則例2.21

求下列極限：2.2兩個重要極限與無窮小、無窮大解2.3函數(shù)的連續(xù)性2.3.1函數(shù)連續(xù)的定義定義設Δx＝x－x０是自變量的增量，Δy＝∫（x）－∫（x０）是函數(shù)的增量，函數(shù)y＝∫(x）在x０的左右兩側(cè)（含x０點）有定義，當自變量的改變量Δx趨于零時，相應的函數(shù)改變量Δy也趨于零，即則稱y＝∫(x）在點x０處連續(xù)．函數(shù)∫（x）在點x０處連續(xù)必須滿足以下３個條件：例2.22

若∫（x）＝x２，證明y＝∫（x）在x＝１處連續(xù)．證明2.3函數(shù)的連續(xù)性而，所以函數(shù)在x＝１處連續(xù)．例2.23

設某城市出租車白天的收費（單位：元）x與路程（單位：ｋｍ）狓之間的關系為討論函數(shù)∫(x)在x＝７處是否連續(xù)．解2.3函數(shù)的連續(xù)性故函數(shù)∫(x)在x＝７處連續(xù)2.3.2連續(xù)函數(shù)的運算１．連續(xù)函數(shù)的四則運算設函數(shù)∫(x),g(x)在點x０處連續(xù)，則有以下性質(zhì)．性質(zhì)１

∫(x)±g(x)在x０處連續(xù)．性質(zhì)２

∫(x)·g(x)在x０處連續(xù)．性質(zhì)３若處連續(xù)．2.3函數(shù)的連續(xù)性２．復合函數(shù)的連續(xù)性定理設函數(shù)u＝g（x）在x＝x０處連續(xù)，y＝∫(u)在u０＝g(x0)處連續(xù)，則復合函數(shù)y＝∫［g（x）］在x０點處連續(xù)．例2.24解例2.25解2.3函數(shù)的連續(xù)性例2.26解例2.27解在求連續(xù)的復合函數(shù)極限時，極限符號與函數(shù)符號可交換次序，即2.3函數(shù)的連續(xù)性2.3.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)１（有界定理）若∫(x)在［a，b］上連續(xù)，則∫(x)在［a，b］上有界．性質(zhì)２（最值定理）若∫(x)在［a，b］上連續(xù)，則∫(x)在［a，b］上必能取得最大值和最小值．性質(zhì)３（介值定理）若∫(x)在［a，b］上連續(xù)，且最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任意實數(shù)C（m＜C＜M），必定存在點ξ∈（a，b），使得∫（ξ）＝C．2.3.4函數(shù)的間斷點定義如果函數(shù)∫(x)在x0處不連續(xù)，則稱點x0為∫(x)的一個間斷點．根據(jù)連續(xù)的定義，有下列三種情況之一的點x０即為函數(shù)∫(x)的間斷點：（１）在點x0處，∫(x)無定義；（２）在點x0處，∫(x)的極限不存在；（３）在點x0處有定義，且有極限，但2.3函數(shù)的連續(xù)性例2.28解因為左、右極限存在但不相等．所以x＝０為∫(x)的跳躍間斷點．例2.29的間斷點．解

∫(x)在x＝１處無定義，所以x＝１是∫(x)的間斷點．而所以x＝１是∫(x)的可去間斷點．2.3函數(shù)的連續(xù)性例２．３０討論處間斷點的類別．解因為例２．３１解進一步可知，當x→０時，在－１和１之間振蕩，所以x＝０是的振蕩間斷點．本章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學習要點１．極限的概念２．無窮小與無窮大的概念３．連續(xù)的概念４．函數(shù)的間斷點及其類型的判定５．極限的計算方法６．求函數(shù)連續(xù)區(qū)間的方法二、重點與難點１．重點２．難點ThankYou!經(jīng)濟數(shù)學Economicmathematics第3章導數(shù)與微分學習目標理解導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線方程，了解可導與連續(xù)的關系．了解左右導數(shù)的概念，了解可導的充要條件．熟練掌握導數(shù)基本公式，四則運算法則，復合函數(shù)求導法則．會求二階導數(shù)以及較簡單函數(shù)的狀階導數(shù)．了解微分概念，掌握求微分的方法．3.1導數(shù)的概念3.1.1兩個引例１．變速直線運動的瞬時速度設一物體做變速直線運動，其運動方程（路程s與時間t之間的函數(shù)關系）為s＝s（t），求該物體在t０時刻的瞬時速度．當時間由t０變到t０＋Δt時，物體經(jīng)過的路程為從t０到t０＋Δt這一段時間的平均速度表示為當Δt很小時，可以用近似表示為物體在t０時刻的瞬時速度，Δt越小，就越接近物體在t０時刻的瞬時速度．而t０時刻的瞬時速度即為平均速度當Δt→０的極限，即3.1導數(shù)的概念２．切線的斜率圖３.１3.1導數(shù)的概念設曲線L的方程為y＝f(x),求此曲線上點M處切線的斜率k（圖３.１）設M、N是曲線L上的任意兩個定點，作直線MN，稱MN為曲線L的割線，當點N沿曲線L趨于定點M時，割線MN趨于極限位置MT，稱MT為曲線L在點M處的切線．下面求切線MT的斜率k．設點M的坐標為（x０，f(x)），點N的坐標為（x０＋Δx，f(x0

＋Δx）），割線MN對x軸的傾角為φ，切線MT對x軸的傾角為α，割線MN的斜率為當Δx→０時，點N就沿曲線L趨于點M，此時割線MN就隨之趨于它的極限位置MT，所以當Δx→０時，若的極限存在，則定義此極限值為曲線L在點M處的切線MT的斜率k，即3.1導數(shù)的概念3.1.2導數(shù)的定義定義設函數(shù)y＝f(x)在點x０及近旁有定義，當自變量x在x０處取得增量Δx時，相應的函數(shù)y取得增量Δy=f(x0＋Δx）-f(x0)；如果極限則稱函數(shù)y＝f(x)在點x0處可導，并稱這個極限值為函數(shù)y＝f(x)在點x０處的導數(shù)，記作；如果極限不存在，則稱函數(shù)y＝f(x)在點x０處不可導．定義設函數(shù)y＝f(x)在x０點及左側(cè)（右側(cè)）有定義，若極限3.1導數(shù)的概念存在，則稱此極限為函數(shù)y＝f(x)在點x０處的左（右）導數(shù)，記作也可寫成另一種形式定理函數(shù)y＝f(x)在x０點可導的充分必要條件是它在這一點處的左、右導數(shù)存在且相等．左右導數(shù)的定義及定理主要用于判斷閉區(qū)間的左右端點的可導性及分段函數(shù)分界點處的可導性．3.1導數(shù)的概念例3.1解因為f(0)=１，所以有3.1導數(shù)的概念3.1.3利用定義求導數(shù)根據(jù)導數(shù)的定義求導數(shù)，可歸納為以下三個步驟（俗稱求導三步曲）．（１）當自變量x在x０處取得增量Δx時，求函數(shù)y相應的增量（２）求兩個增量的比值．（３）求當Δx→０時，的極限，即例3.2

求常數(shù)函數(shù)y＝C的導數(shù)．解（１）求增量：因為y＝C不論x取什么值，y的值總等于C，所以3.1導數(shù)的概念（２）算比值：（３）取極限：即常數(shù)函數(shù)的導數(shù)等于零．例3.3

求函數(shù)y＝x２的導數(shù)，并求解3.1導數(shù)的概念例3.4求f(x）＝xn（n為正整數(shù)）在x＝a點的導數(shù)．解若將a視為任一點，并用x取代a，即得更一般地，3.1導數(shù)的概念例3.5

求函數(shù)f（x）＝sinx的導數(shù)．解3.1導數(shù)的概念例3.6解3.1導數(shù)的概念即3.1.4導數(shù)的幾何意義由引例２及導數(shù)的定義可知，函數(shù)y＝f（x）在x０處的導數(shù)f′(x０）就是該曲線在x０點處的切線斜率k，從而得到曲線y＝f（x）在點x０處的切線方程為法線方程為但要注意函數(shù)在某一點導數(shù)不存在不等于它對應的曲線在該點無切線，如曲線在某點的切線垂直于狓軸，而函數(shù)在這一點卻不可導．例3.7

求曲線y＝x２在點（１，１）處的切線和法線方程．解因為y′=（x２）′=２x，由導數(shù)的幾何意義知，曲線y＝x２在點（1，1）處的切線斜率為所以，所求切線方程為y－１＝２（x－１）即y＝２x－１．3.1導數(shù)的概念法線方程為3.1.5導數(shù)的經(jīng)濟應用某產(chǎn)品的總成本函數(shù)是，q是產(chǎn)品的產(chǎn)量，當產(chǎn)量由q0

變到q0

＋Δq時，總成本相應的改變量為則總成本的變化率為當Δq→０時，極限為q０時的總成本的變化率，又稱邊際成本。是產(chǎn)量同樣收入函數(shù)R＝R（q）的導數(shù)R′＝R′（q）稱為邊際收入；利潤函數(shù)L＝L（q）的導數(shù)L′＝L′（q）稱為邊際利潤．3.1導數(shù)的概念3.1.6可導與連續(xù)的關系定理如果函數(shù)在點x０處可導，則在該點處必連續(xù)．注意：本定理的逆定理不成立，即連續(xù)未必可導．例如，函數(shù)因為處連續(xù)，但不可導，即y＝|x|在x０處連續(xù)，但該函數(shù)在x＝０處的左導數(shù)是而右導數(shù)是左右導數(shù)不相等，故函數(shù)在該點不可導，所以連續(xù)是可導的必要而非充分條件．所以3.2求導法則3.2.1函數(shù)的和、差、積、商求導法則定理若函數(shù)u（x）與v（x）在點x處可導，則（１）函數(shù)u（x）±v（x）在點x處可導，且（２）函數(shù)u（x）·v（x）在點x處可導，且（３）特別對任意常數(shù)C，有（４）若v（x）≠０，函數(shù)在點x處可導，且其中法則（１）、（２）可推廣到有限個函數(shù)的情形，下面只給出法則（１）的證明．3.2求導法則證則例3.8解3.2求導法則例3.9解例3.10解3.2求導法則3.2.2復合函數(shù)的求導法則定理如果u＝φ（x）在點x處可導，而y＝f（u）在對應的點u＝φ（x）處可導，則復合函數(shù)y＝f［φ（x）］在點x處可導，且有若y＝f（u），u＝φ（v），v＝g（x），則復合函數(shù)y＝f｛φ［g（x）］｝的導數(shù)為例3.16

求下列函數(shù)的導數(shù)．解（１）函數(shù)y=(1-2x)７是由y=u７，u=1-2x兩個函數(shù)復合而成的．3.2求導法則（２）函數(shù)y＝sin２x是由函數(shù)y＝u２，u＝sinx復合而成．所以所以3.2求導法則例3.17解例3.18解3.2求導法則3.2.4基本初等函數(shù)的求導公式現(xiàn)把基本初等函數(shù)求導公式歸納如下：3.2求導法則3.2.6高階導數(shù)連續(xù)兩次以上對某個函數(shù)求導數(shù)，所得的結(jié)果稱為這個函數(shù)的高階導數(shù)．定義如果函數(shù)y＝f（x）的導數(shù)f′（x）在點x處可導，則稱f′（x）在點x處的導數(shù)為函數(shù)y＝f（x）在點x處的二階導數(shù)類似地，二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)，……（n－１）階導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù)，分別記作y″，y(4)…，x（n）函數(shù)的二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)的高階導數(shù)．3.2求導法則例3.26解例3.27解例3.28解3.3函數(shù)的微分及應用3.3.1微分的概念先分析一個具體問題．一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由x０變到x０＋Δx（如圖3.2），問此薄片的面積改變了多少？圖3.23.2求導法則定義設函數(shù)y＝f（x）在點x及其近旁有定義，x＋Δx仍在這個范圍內(nèi)，如果函數(shù)的增量?？杀硎緸槠渲蠥是不依賴于Δx的常數(shù)，而ο（Δx）是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)y＝f（x）在點x處是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y＝f（x）在點x處的微分，記作dy，即定理函數(shù)y＝f(x)在點x處可微的充要條件是f（x）在點x處可導，且有dy＝f′(x)Δx．關于定義及定理的幾點說明：（１）由定義知dx=Δx，dx稱為自變量的微分，從而dy＝f′(x)dx．（２）由因此函數(shù)的導數(shù)f′(x） 又稱為函數(shù)的微商．3.2求導法則（３）由定理知，一元函數(shù)的可導與可微是等價的，但它們是有區(qū)別的：導數(shù)是函數(shù)在一點處的變化率；而微分是函數(shù)在一點處由自變量增量所引起的函數(shù)增量的主要部分，由于它是Δx的線性函數(shù)，因此又稱微分為線性主部，導數(shù)值只與x有關，而微分值與x和Δx都有關．（４）定理告訴我們，求函數(shù)的微分dy只需求出函數(shù)導數(shù)f′(x)，然后再乘以dx即可．（５）函數(shù)的微分dy與其增量Δy之間有關系事實上3.2求導法則例3.30

求函數(shù)y＝x３在x０＝1，Δx＝0.03時的改變量和微分．解而則比較Δy與dy知，Δy－dy＝0.092727-0.09=0.002727較小．3.3.2微分的幾何意義圖3-33.2求導法則3.3.3微分基本公式與運算法則3.2求導法則1.微分基本公式2.函數(shù)的和、差、積、商的微分運算法則設u（x）、v（x）都是可微函數(shù)，則有3.2求導法則3.復合函數(shù)微分法則設函數(shù)y＝f（u）可微，根據(jù)微分的定義，函數(shù)y＝f（u）的微分是如果u不是自變量，而是狓的函數(shù)u＝φ（x）且可微，則復合函數(shù)y＝f［φ（x）］的導數(shù)為于是，復合函數(shù)y＝f［φ（x）］的微分為由于所以3.2求導法則例3.31解例3.32解例3.32解3.2求導法則3.3.4微分在近似計算中的應用從微分的定義可知，Δy≈dy，（當|Δx|很?。?，即例3.35

某工廠每周生產(chǎn)x件產(chǎn)品所獲得利潤為y元，已知當每周產(chǎn)量由100件增至102件時，試用微分求其利潤增加的近似值．解由題意，x＝100，Δx＝dy＝102-100＝2，因為3.2求導法則例3.36解則3.2求導法則在公式（3.2）中，令x0+Δx＝x，且x0

＝0，則公式（3.2）變?yōu)槔霉剑?.2）可以推得下面幾個在工程上常用的近似計算公式例3.37

證明下列近似式．證：（１）令f(x)＝ex，則f′（x)＝ex,當x＝０時，f(０)＝1，f′(０)＝1，由f(x)≈f(０)+f′(０)x得ex≈1＋x．（２）令f(x)=ln(1+x)，則當x＝0時，f(0)＝0，f′(0)＝1，由f(x)≈f(0)＋f′(0)x得ln(1+x)＝x．本章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學習要點1.導數(shù)的概念2.導數(shù)的計算3.微分4.可導（可微）與連續(xù)的關系二、重點與難點1.重點2.難點ThankYou!經(jīng)濟數(shù)學Economicmathematics第4章導數(shù)的應用學習目標了解羅爾中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推論．熟練掌握用洛必達法則求型和型未定式極限的方法．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，會求單調(diào)區(qū)間．理解函數(shù)極限值的概念，了解極值點、駐點、不可導點之間的關系，掌握求極值的方法．掌握函數(shù)凸凹性的判別法，會求函數(shù)的拐點．了解函數(shù)最值的概念，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，熟練掌握求平均成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù)等常見經(jīng)濟函數(shù)的最值方法．理解邊際、彈性的概念及其經(jīng)濟意義，掌握求成本、收入和利潤等經(jīng)濟函數(shù)邊際的方法，掌握求彈性特別是需求彈性的方法．4.2洛必達法則4.2.1型不定式，有如下定理．定理(洛必達法則)設函數(shù)f(x)，g(x)在x0

的左右兩側(cè)可導，且滿足：4.2洛必達法則例4.6解這是型不定式，且滿足洛必達法則條件，故有例4.7解例4.8解4.2洛必達法則例4.11這是類型，應用洛必達法則．解例4.12解例4.13解原式4.3函數(shù)單調(diào)性的判別利用拉格朗日中值定理，導出一個根據(jù)導數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)性的簡便方法．圖4.2從圖4.2可以看出：如果函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增加(單調(diào)減少)，則它的圖形是隨x的增大而上升(下降)的曲線，如果所給曲線每一點處都存在非鉛直的切線，則曲線上各點處的切線斜率非負(非正)，即f′(x)≥０(f′(x)≤０)．4.3函數(shù)單調(diào)性的判別定理設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(１)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)＞０，則函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)增加．(２)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)＜０，則函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)減少．證

,不妨設x1＜x2,則函數(shù)f(x)在[x1,x2]應用拉格朗日中值定理，得如果在(a，b)內(nèi)恒有f′(x)＞0，必有f′(ξ)＞０，又因x２-x1>０，則定有f(x2)>f(x1)．所以函數(shù)f(x)在［a，b］上單調(diào)增加．同理，如果在(a，b)內(nèi)f′(x)<０，可推出f(x)在[a，b]單調(diào)減少．例4.20

判定函數(shù)上的單調(diào)性．解因為f(x)＝x－sinx在［０，２π］上連續(xù)，在(０，２π)內(nèi)可導，且有4.3函數(shù)單調(diào)性的判別所以由定理知，上單調(diào)增加.有時，函數(shù)在其整個定義域內(nèi)并不具有單調(diào)性，但在其各個部分區(qū)間上卻具有單調(diào)性，如圖4.4所示.圖4.4確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：(1)指出函數(shù)定義域，求出f′(x);(2)求出f′(x)＝0的點或f′(x)不存在的點；(3)這些點把定義域分成若干區(qū)間，在這些區(qū)間上根據(jù)導數(shù)的符號判斷其單調(diào)性．4.3函數(shù)單調(diào)性的判別例4.21解4.3函數(shù)單調(diào)性的判別令f′(x)＝０，得x1

＝1，x2

＝2，這兩個點將定義域(－∞，＋∞)分成三個區(qū)間，(－∞，1］，［1，2］，［2，＋∞)，列表4.2討論如下：例4.22

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解4.3函數(shù)單調(diào)性的判別例4.23

判斷函數(shù)的單調(diào)性．解函數(shù)的定義域為(－∞，＋∞)，圖形如圖4.5所示，函數(shù)的導數(shù)不存在，X=0點將定義域分成兩個區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)，見表4.3.4.4函數(shù)的極值與最值4.4.1函數(shù)的極值定義設函數(shù)y＝f(x)在點x０及附近有定義，如果對于該范圍內(nèi)的任意一點x(x≠x０)，恒有f(x)＜f(x０)(或f(x)＞f(x０))，則f(x０)稱為函數(shù)f(x)的一個極大值(極小值)，x０稱為函數(shù)的極大值點(或極小值點)．極大值、極小值都稱為函數(shù)的極值．(１)函數(shù)極大值和極小值的概念是局部的.(２)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．(３)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部.圖4.64.4函數(shù)的極值與最值定理設函數(shù)f(x)在點x０處可導，在x０處取得極值，則f′(x0)＝０．使f′(x0)=0的點，稱為函數(shù)f(x)的駐點或穩(wěn)定點，由定理知，可導的函數(shù)極值點必為駐點或穩(wěn)定點．但反過來函數(shù)的駐點未必是極值點．圖4.7圖4.74.4函數(shù)的極值與最值定理（第一充分條件）設函數(shù)f(x)在x０的附近（不包含x０點）可導，則(1)如果當x＜x０時，f′(x0)>０；當x＞x０時，f′(x)<０，那么x０是f(x)的極大值點，f(x0)是f(x)的極大值．(3)如果在x０的兩側(cè)，f′(x)的符號保持不變，那么x０就不是f(x)的極值點，f(x)在x０處就沒有極值．(2)如果當x＜x０時，f′(x0)<０；當x＞x０時，f′(x)>０，那么x０是f(x)的極小值點，f(x0)是f(x)的極小值．例4.27求函數(shù)f(x)=x３＋３x２－８的極值．解函數(shù)f(x)的定義域是（－∞，＋∞），令f′(x)=0，求得駐點x１＝０，x２＝－２，且無不可導的點．x１

=0，x２

=－2將函數(shù)的定義域分成三個部分：（－∞，－２），（－２，０），（０，＋∞），列表討論見表4.5:4.4函數(shù)的極值與最值由上表知，函數(shù)的極大值f（－２）＝－４，極小值f（０）＝－８例4.28解函數(shù)f（x）的定義域為（－∞，＋∞）令f′（x）＝０，得x＝１，另外，x＝－１為不可導點．列表討論見表4.6：4.4函數(shù)的極值與最值所以函數(shù)的極大值f(-1)=０，極小值定理（第二充分條件）設函數(shù)f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f′(x0)=0，f"(x0)≠０，則4.4函數(shù)的極值與最值例4.29解4.4函數(shù)的極值與最值例4.30解函數(shù)f(x)的定義域為（－∞，＋∞）令f′(x)＝０得駐點x１=－１，x２=０，x３=１又因為f"(x)=6＞0，故f(x)在x=0處取得極小值，極小值為f(0)=0．又因為f"(-1)=f"(1)=0，因此第二充分條件失效．再用第一充分條件列表討論見表4.7．4.4函數(shù)的極值與最值函數(shù)的圖形如圖４-９所示．圖４-９4.4函數(shù)的極值與最值4.4.2函數(shù)的最值極值的概念是局部的，而最值的概念是全局的，但是求最值往往借助于極值.例4.31求函數(shù)在［－２，６］上的最大值與最小值．解而f(-1)=10，f(3)=-22，f(-2)=3，f(6)=59，比較可得f(x)在[-2,6]上的最大值是f(6)=59，最小值是f(3)=-22．圖4.104.4函數(shù)的極值與最值例4.33鐵路線上犃犅段的距離為１００ｋｍ，工廠C距A處為２０ｋｍ，AC垂直于AB（如圖４-１１所示），為了運輸需要，要在AB沿線選定一點D向工廠修筑一條公路．已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比為３∶５，為了使貨物從供應站B運到工廠C的運費最省，問D點應選在何處？例4.32

求函數(shù)的最值．4.5函數(shù)圖形的凹向與拐點4.5.1曲線的凹向與拐點圖4.124.5函數(shù)圖形的凹向與拐點定義設曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)各點都有切線，如果曲線上每一點的切線都在它的下方，則稱曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的，也稱（a，b）為曲線y＝f（x）的凹區(qū)間；如果曲線上每一點處的切線都在它的上方，則稱曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的，也稱（a，b）為曲線y＝f（x）的凸區(qū)間．如何判定曲線的凹凸呢？圖4-134.5函數(shù)圖形的凹向與拐點定理設函數(shù)y＝f（x）在（a，b）內(nèi)具有二階導數(shù)，那么（1）如果在（a，b）內(nèi)f″（x）>０，則曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的（也稱下凸的）.（2）如果在（a，b）內(nèi)f″（x）<０，則曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的（也稱上凸的）.例4.35

討論曲線f（x）＝x３的凹凸性．解函數(shù)f（x）的定義域為（－∞，＋∞）4.5函數(shù)圖形的凹向與拐點例4..36

討論曲線的凹凸性．當x≠１時，所以，當x＜１時，f″（x）＞０，f（x）在（－∞，１）內(nèi)是凹的，當x＞１時，f″（x）＜０，f（x）在（１，＋∞）內(nèi)是凸的．顯然，x＝１時f″（x）不存在．點（１，０）是曲線f（x）上由凹變凸的分界點．一般地，連續(xù)曲線弧上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點．求拐點的方法：（１）確定函數(shù)的定義域；（２）求出使f″（x）＝０的點和f″（x）不存在的點；（３）判斷這些點兩側(cè)f″（x）的符號來確定是否為拐點．4.5函數(shù)圖形的凹向與拐點例4.37

求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點解函數(shù)f（x）的定義域為（－∞，＋∞）令列表討論見表4.8：函數(shù)f（x）在（－∞，０）與（２，＋∞）內(nèi)是凹的，在（０，２）內(nèi)是凸的，拐點分別為（０，－５），（２，－１７）．4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用4.6.1邊際分析在經(jīng)濟學中，習慣上，用平均和邊際這兩個概念來描述一個經(jīng)濟變量y相對于另外一個經(jīng)濟變量x的變化．概念“平均”表示y在自變量x的某一個范圍內(nèi)的平均值，概念“邊際”表示當x的改變量Δx趨于零時，y的相對改變量Δy與Δx的比值Δy/Δx的變化，即當x在某一給定值附近有微小變化時y的瞬時變化，也就是y對x的導數(shù)．其實際意義是：當x改變一個單位時，y對應改變y′個單位．１．邊際成本設生產(chǎn)某種產(chǎn)品數(shù)量q時所需要的總成本函數(shù)為C＝C（q），則邊際成本函數(shù)為：通常記作MC，即MC＝C′（q）．4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用例4.42

一企業(yè)某產(chǎn)品的日生產(chǎn)能力為５００臺，每日產(chǎn)品的總成本（單位：萬元）是日產(chǎn)量狇（單位：臺）的函數(shù)求：（1）產(chǎn)量為400臺時的總成本；（2）產(chǎn)量為400臺時的平均成本；（3）當產(chǎn)量由400臺增加到484臺時，總成本的平均變化率；（4）產(chǎn)量為400臺時的邊際成本．解4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用所以產(chǎn)量為400臺時的邊際成本為:4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用２．邊際收入設銷售某種產(chǎn)品數(shù)量q時的總收入函數(shù)為R＝R（q），則邊際收入函數(shù)為，記作MR，即MR＝R′（q）例4.43

設某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P＝２０－q/５，其中狆為價格，狇為銷量，求銷售量為１５個單位時的總收入、平均收入與邊際收入，并求當銷售量從１５個單位增加到２０個單位時，收入的平均變化率．解總收入函數(shù)為故銷售量為１５個單位時，總收入平均收入4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用邊際收入收入的平均變化率３．邊際利潤設銷售某種產(chǎn)品數(shù)量狇時的利潤函數(shù)為L＝L（q），則邊際利潤為因為利潤函數(shù)lL（q）＝R（q）－C（q）所以由導數(shù)的運算法則知4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用例4.44

某煤炭公司每天生產(chǎn)煤狇噸的總成本函數(shù)為C（q）＝2000＋450q＋0.02q２，如果每噸銷售價為490元，求：（１）邊際成本函數(shù)C′（q）；（２）利潤函數(shù)L（q）及邊際利潤函數(shù)L′（q）；（３）邊際利潤為０時的產(chǎn)量．解（１）因為C（q）＝2000＋450q＋0.02q２所以C′（q）＝450＋0.04q（３）邊際利潤為零０，即L′（q）＝－0.04q＋40＝０可得q＝1000（噸）（２）因為總收入R（q）＝pq＝490q所以利潤函數(shù)邊際利潤函數(shù)4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用4.6.2彈性分析設函數(shù)y＝f（x）在x處可導，則函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量稱為函數(shù)f（x）從x到x＋Δx兩點間的彈性．當Δx→０時，的極限稱為f（x）在x處的彈性．在經(jīng)濟學中，設某種商品的市場需求量為q，價格為p，需求函數(shù)q＝f（p）可導，則稱為該商品的需求價格彈性，簡稱需求彈性．由導數(shù)的定義可得從而4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用例4.45

某商品需求函數(shù)為q＝１０－p/２，求：（１）需求價格彈性函數(shù)；（２）當p＝３時的需求價格彈性．解（１）需求彈性：（２）當狆＝３時，需求價格彈性本章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學習要點1.中值定理2.洛必達法則3.函數(shù)的單調(diào)性4.函數(shù)的極值與最值5.曲線的凹凸性與拐點二、重點與難點1.重點2.難點6.邊際函數(shù)7.彈性ThankYou!經(jīng)濟數(shù)學Economicmathematics第5章積分學及其應用學習目標理解原函數(shù)與不定積分的概念，理解不定積分的性質(zhì)及幾何意義。掌握不定積分的基本公式和直接積分法，掌握第一類換元法和分部積分法，了解第二換元積分法。會利用積分相關知識求經(jīng)濟函數(shù)（成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù)）的方法。理解定積分的概念，掌握微元法，了解定積分的幾何意義及性質(zhì)．掌握牛頓—萊布尼茨公式，會計算定積分。了解并能計算簡單的廣義積分。了解用定積分求平面圖形的面積、體積的方法，了解定積分在經(jīng)濟中的應用。5.1不定積分5.1.1原函數(shù)的概念定義設函數(shù)f（x）在某區(qū)間上有定義，如果存在F（x），對于該區(qū)間上任意一點x，使得則稱函數(shù)F（x）是已知函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的一個原函數(shù)．例如，因為在區(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)有（x３）′＝３x２，所以x３是３x２在區(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)的一個原函數(shù)，又因為（x３＋１）′＝３x２，（x３＋√2）′＝３x２，（x３＋C）２＝３x２（C為任意常數(shù)），所以x３＋１，x３＋√2，x３＋C都為３x２在區(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)的原函數(shù)．定理１（原函數(shù)族定理）如果函數(shù)f（x）在某區(qū)間內(nèi)有一個原函數(shù)F（x），那么它必有無窮多個原函數(shù)，其形式可表示為F（x）＋C（C為任意常數(shù)），且任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)．定理２（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f（x）在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的原函數(shù)一定存在．5.1不定積分5.1.2不定積分的概念定義若F(x)是f(x)在某區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù)，則稱F(x)+C（C為任意常數(shù)）為f(x)在該區(qū)間上的不定積分，記為其中，∫稱為積分符號，f(x)稱為被積分函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量．由此可知，不定積分與原函數(shù)是整體與個體的關系，即其中F(x)+C稱為f(x)的原函數(shù)的一般表達式，C取一切實數(shù)值，稱之為積分常數(shù)．由定義可知，求函數(shù)f(x)的不定積分，就是求f(x)的全體原函數(shù)，故求不定積分的運算其實質(zhì)就是求導（或求微分）運算的逆運算．5.1不定積分例5.1

求下列不定積分．解（１）被積函數(shù)f（x）＝２x，因為（x２）′＝２x，x２是２x的一個原函數(shù)，即f（x）＝x２，所以不定積分（２）被積函數(shù)f(x)=cosx，因為(sinx)′=cosx，所以不定積分例5.2

求函數(shù)的不定積分．解被積函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)當狓＞０時，因為5.1不定積分所以內(nèi)的一個原函數(shù)．因此在（０，＋∞）內(nèi)當x＜０時，因為所以內(nèi)的一個原函數(shù)．因此在（－∞，０）內(nèi)合并以上兩種情況，當x≠０時，得5.1不定積分5.1.4不定積分的幾何意義若y＝F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則稱y＝F（x）的圖形是f（x）的積分曲線，因為不定積分是f（x）的原函數(shù)的一般表達式，所以它對應的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族，積分曲線族y＝F（x）＋C有如下特點．圖５-１5.1不定積分例5.3

已知曲線上任意一點處切線斜率等于該點處橫坐標平方的兩倍，且該曲線經(jīng)過點（０，３），求曲線方程．解設所求曲線為y＝f（x），由題意（１）積分曲線中任意一條積分曲線都可以由曲線y＝F（x）沿y軸方向上、下平移圖５-１得到．（２）由于（F（x）＋C）′＝F′（x）＝f（x），即橫坐標相同點處，所有曲線的切線都是互相平行的，如圖５-１．于是又因為曲線過點（０，３），代入上式可得C＝３，所以，所求曲線的方程為5.1不定積分5.1.4不定積分的性質(zhì)性質(zhì)１不定積分的導數(shù)（或微分）等于被積函數(shù)（或被積表達式），即性質(zhì)２一個函數(shù)的導數(shù)（或微分）的不定積分與這個函數(shù)相差一個常數(shù)，即性質(zhì)３兩個函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于各個函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即性質(zhì)４被積函數(shù)中的非零常數(shù)因子可以提到積分符號外，即5.1不定積分5.1.5基本積分公式5.1不定積分5.1.6直接積分法用積分基本公式和不定積分的性質(zhì)，直接求出積分的方法稱為直接積分法．例5.4

求不定積分解：把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成代數(shù)和形式，再積分有5.1不定積分例5.5

求不定積分解5.1不定積分例5.6

求不定積分解例5.7

求不定積分解5.1不定積分應用案例１設某商品的邊際收益函數(shù)為試求收益函數(shù)解

因為收益函數(shù)是邊際收益的的原函數(shù)，所以由于R（０）＝０，得C＝０，所以應用案例２已知某產(chǎn)品產(chǎn)量對時間的變化率是時間t的函數(shù)設此產(chǎn)品在時間t的產(chǎn)量為Q（t），且Q（0）＝０，求Q（t）．解因為Q（t）是的原函數(shù)，所以將Q（０）＝０代入，得C＝０，所以5.2不定積分的積分法5.2.1第一換元積分法（湊微分法）首先，考察不定積分因為被積函數(shù)是x的復合函數(shù)，基本積分公式中沒有這種公式，我們可將原積分進行適當變形，轉(zhuǎn)化為某個基本積分公式的形式：5.2不定積分的積分法驗證：因為所以確為一般地，若不定積分可以化為的原函數(shù)。的形式，則可令當積分容易求出時，就可用下面方法進行計算：通常將這種積分方法稱為第一換元法（或稱為湊微分法）．5.2不定積分的積分法1.利用等式均為常數(shù)且a≠０湊微分例5.8解故再將代入上式，得5.2不定積分的積分法例5.9解令u＝２x＋４，則ｄu＝２ｄx，即故再將u＝２x＋４代回上式，得熟練之后，可以將設φ（x）＝u一步省略，直接進行湊微分．5.2不定積分的積分法例5.10解2．利用等微分公式湊微分思路：當被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積且含有上式各因子時，不妨將它湊成相應微分來解決所求積分．5.2不定積分的積分法例5.11解被積函數(shù)可以看成的被積形式，且被積公式中含有可將其湊微分，即則5.2不定積分的積分法例5.12解例5.13解5.2不定積分的積分法例5.14解例5.15解5.2不定積分的積分法３．利用三角恒等式湊微分例5.16解例5.17解5.2不定積分的積分法例5.18解5.2不定積分的積分法我們可以歸納出常用的湊微分公式5.2不定積分的積分法5.2.2第二換元積分法一般地，如果積分不易湊微分，可設x＝φ（t），則上式化為其中，x＝φ（t）的反函數(shù)t＝φ-1（x）存在且可導，則有再將t＝φ-1（x）代入上式有，這種求不定積分的方法稱為第二換元法．5.2不定積分的積分法例5.19解因為被積函數(shù)含有根號，不容易湊微分，為了去掉根號，令則有關系ｄx＝２tｄt，于是有將t＝√x代入上式，得5.2不定積分的積分法例5.20解被積函數(shù)含有根號，由第二換元法，設變量，找關系，求積分，5.2不定積分的積分法代回變量，將代入上式得5.2.3積分表續(xù)5.24分部積分法在某一區(qū)間上具有連續(xù)導數(shù)，由乘積的設微分法則，得5.2不定積分的積分法移項得，兩邊同時積分，有例5.21解被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，用分部積分法，令則由分部積分公式，得5.2不定積分的積分法例5.22解被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，用分部積分法，令得例5.23解被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積，用部分積分法，得5.2不定積分的積分法（１）當被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)乘積時，設冪函數(shù)為u，指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)與ｄx乘積部分為ｄv，如例5.21和例5.22．（２）當被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)乘積時，設對數(shù)函數(shù)為u，冪函數(shù)與ｄx乘積部分為ｄv，如例5.23．利用分部積分求積分解題步驟歸納如下 （１）湊微分（是關鍵，原則如上述）． （２）利用公式，交換u，v的位置． （３）求積分，得結(jié)果．5.3定積分的概念與性質(zhì)5.3.1引例例5.24

計算曲邊梯形的面積圖５-２設y＝f（x）為閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，且f（x）≥０．由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b以及x軸所圍成的平面圖形（圖５-２）稱為f（x）在［a，b］上的曲邊梯形，下面將討論該曲邊梯形的面積（這是求任何曲線邊界圖形的面積的基礎）．（１）分割．在［a，b］中任意插入n－１個分點把［a，b］分成狀個子區(qū)間，每個子區(qū)間的長度為（２）近似．（３）求和．（４）逼近（取極限）5.3定積分的概念與性質(zhì)5.3.2定積分的概念定義設f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］上任取n－１個分點把區(qū)間［a，b］分割成狀個小區(qū)間各小區(qū)間的長度依次為在每個小區(qū)間上任取一點作函數(shù)小區(qū)間長度Δxi的乘積值并作和式記，如果不論對［a，b］怎樣的分法，5.3定積分的概念與性質(zhì)也不論在小區(qū)間式的極限存在，我們就稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上可積，并且稱此極限值為函數(shù)