2023-2024學年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE11浙江省溫州市十校聯(lián)合體2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以方程有一個根是1，且2一定不是它的根，則，解得，當時，方程的根是1和，所以，滿足，即.故選：A.2.若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為A.2 B.-2 C. D.〖答案〗D〖解析〗∵函數(shù)f（x）＝（a﹣3）?ax是指數(shù)函數(shù)，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故選D．3.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C.1 D.－1〖答案〗C〖解析〗因為，所以，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.故選：C4.已知非負實數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為非負實數(shù)滿足，顯然，則，所以，則，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選:B6.已知正方形ABCD的邊長為2，若將正方形ABCD沿對角線BD折疊成三棱錐則在折疊過程中，不可能出現(xiàn)（）A. B.C.三棱錐的體積為 D.平面平面BCD〖答案〗A〖解析〗對于A，若，因為，面ABC，所以，而，即直角邊長與斜邊長相等，顯然不對，故A錯；對于B，取BD中點O，因為，AO所以面AOC，所以，故B對；對于C，當折疊所成的二面角時，頂點A到底面BCD的距離為，此時，故C對；對于D，當沿對角線折疊成直二面角時，有平面平面，故D對；故選:A7.一個袋子中裝有大小相同的5個小球，其中有3個白球，2個黑球，從中無放回地取出3個小球，摸到一個白球記2分，摸到一個黑球記1分，則總得分的數(shù)學期望等于（）A.5分 B.4.8分 C.4.6分 D.4.4分〖答案〗B〖解析〗設(shè)三個白球編號，黑球編號為，表示取到個白球，則，所有取法為種，則，，，的可能取值為，所以，總得分的數(shù)學期望等于分，故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，，，由換底公式，，，由于，根據(jù)基本不等式，，故，即，于是.故選：A二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列命題正確的是（）A. B.向量在向量上的投影向量為C. D.〖答案〗AB〖解析〗因為，對于選項A：因為，所以，故A正確；對于選項B：因為，所以向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于選項C：因為，所以不平行，故C錯誤；對于選項D：因為，所以不垂直，故D錯誤；故選：AB.10.下列命題中正確的是（）A.已知隨機變量，則B.已知隨機變量，若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)是8D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成總體樣本的方差為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，因為，所以，，A正確；對于B，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，所以區(qū)間和區(qū)間是關(guān)于的對稱區(qū)間，所以，B正確；對于C，因為，所以數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)是8，C正確；對于D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，由甲乙組成總體樣本的方差為，D不正確.故選：ABC11.定義在上的函數(shù)，滿足，且當時，，則使得在上恒成立的可以是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題意可知，如圖所示當時，，即；當時，，故；當時，，故；令，解得或，所以或，所以的最大值為.即.故選：ABC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在題中的橫線上．12._______〖答案〗152〖解析〗，，故.故〖答案〗為：15213.一位射擊運動員向一個目標射擊二次，記事件“第次命中目標”，，則______．〖答案〗〖解析〗由題意，，所以.又，所以，所以.故〖答案〗為：14.已知在三棱錐中，，點為三棱錐外接球上一點，則三棱錐的體積最大為______．〖答案〗〖解析〗在三棱錐中，由且，可得，取的中點，連接，因為，，可得，所以點為三棱錐的外接球的球心，其中為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，可得，當點到平面的距離為時，此時三棱錐的體積最大，體積的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且（1）若，求的值；（2）若，且的面積為，求和的值．解：（1）因，，所以，所以；（2）由，由正弦定理得，又，所以，又，因為，所以，所以，解得（負值已舍去）.16.已知四棱錐，⊥面，底面為正方形，，為的中點．（1）求證：面；（2）求直線與面所成的角．解：（1）因為面，平面，所以⊥，因為四邊形為正方形，所以⊥，又，平面，故⊥平面，因為平面，所以⊥，又，故，因為為的中點，所以，因為，平面，故平面；（2）方法1：因為，平面，平面，所以平面，點B到面的距離就是點到面距離，由勾股定理得，又，由（1）得點A到面距離為．記直線與面所成角為，故，故；方法2：設(shè)，則，，故，且，因為，所以，，記直線與面所成角為，，；方法3：設(shè)，以為軸，為軸，為軸建立直角坐標系，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，記直線與面所成角為，，．方法4：將四棱錐還原為立方體，取的中點，連接，因為且，故四邊形為平行四邊形，故，由（1）知，平面，故面，為直線與面所成的角，記為，且，故，.17.已知的最小正周期為，（1）求的值；（2）若在上恰有個極值點和個零點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，由函數(shù)的最小正周期為且，即，解得，所以，所以．（2）由（1）可得，因為，所以，要使在上恰有個極值點和個零點，則需，解得，即實數(shù)的取值范圍.18.為了了解高中學生課后自主學習數(shù)學時間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學成績（y分）的關(guān)系，某實驗小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．編號12345學習時間3040506070數(shù)學成績65788599108（1）求數(shù)學成績與學習時間的相關(guān)系數(shù)（精確到0.001）；（2）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合，并求出關(guān)于的回歸直線方程，并由此預(yù)測每天課后自主學習數(shù)學時間為100分鐘時的數(shù)學成績（參考數(shù)據(jù)：，的方差為200（3）基于上述調(diào)查，某校提倡學生周末在校自主學習．經(jīng)過一學期的實施后，抽樣調(diào)查了220位學生．按照是否參與周末在校自主學習以及成績是否有進步統(tǒng)計，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗，分析“周末在校自主學習與成績進步”是否有關(guān)．

沒有進步有進步合計參與周末在校自主學習35130165未參與周末不在校自主學習253055合計60160220附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1），，又的方差為，；（2）由（1）知接近1，故與之間具有極強的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸直線方程模型進行擬合，，，故，當時，，故預(yù)測每天課后自主學習數(shù)學時間達到100分鐘時的數(shù)學成績?yōu)?40.5分；（3）零假設(shè)為：學生周末在校自主學習與成績進步無關(guān)．根據(jù)數(shù)據(jù)，計算得到：因為，所以依據(jù)的獨立性檢驗，可以認為“周末自主學習與成績進步”有關(guān)．19.已知（1）當時，解關(guān)于的不等式；（2）若有兩個零點，求的值；（3）當時，的最大值，最小值為，若，求的取值范圍.解：（1）當時，或，所以或于是不等式的解集為.（2），當時，的對稱軸為，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，的對稱軸為，所以在單調(diào)遞增；綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，有兩個零點，所以，即又，得.于是，由，解得，，所以.（3），當時，在遞增，在遞減，在遞增，，當時，在上遞增，所以，，由，得，不滿足，當，即時，，則，所以，則，，由，得，則，得，所以，當，即時，由，則，所以，所以，，由，得，得，所以，綜上，的取值范圍為浙江省溫州市十校聯(lián)合體2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以方程有一個根是1，且2一定不是它的根，則，解得，當時，方程的根是1和，所以，滿足，即.故選：A.2.若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為A.2 B.-2 C. D.〖答案〗D〖解析〗∵函數(shù)f（x）＝（a﹣3）?ax是指數(shù)函數(shù)，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故選D．3.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C.1 D.－1〖答案〗C〖解析〗因為，所以，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.故選：C4.已知非負實數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為非負實數(shù)滿足，顯然，則，所以，則，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選:B6.已知正方形ABCD的邊長為2，若將正方形ABCD沿對角線BD折疊成三棱錐則在折疊過程中，不可能出現(xiàn)（）A. B.C.三棱錐的體積為 D.平面平面BCD〖答案〗A〖解析〗對于A，若，因為，面ABC，所以，而，即直角邊長與斜邊長相等，顯然不對，故A錯；對于B，取BD中點O，因為，AO所以面AOC，所以，故B對；對于C，當折疊所成的二面角時，頂點A到底面BCD的距離為，此時，故C對；對于D，當沿對角線折疊成直二面角時，有平面平面，故D對；故選:A7.一個袋子中裝有大小相同的5個小球，其中有3個白球，2個黑球，從中無放回地取出3個小球，摸到一個白球記2分，摸到一個黑球記1分，則總得分的數(shù)學期望等于（）A.5分 B.4.8分 C.4.6分 D.4.4分〖答案〗B〖解析〗設(shè)三個白球編號，黑球編號為，表示取到個白球，則，所有取法為種，則，，，的可能取值為，所以，總得分的數(shù)學期望等于分，故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，，，由換底公式，，，由于，根據(jù)基本不等式，，故，即，于是.故選：A二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列命題正確的是（）A. B.向量在向量上的投影向量為C. D.〖答案〗AB〖解析〗因為，對于選項A：因為，所以，故A正確；對于選項B：因為，所以向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于選項C：因為，所以不平行，故C錯誤；對于選項D：因為，所以不垂直，故D錯誤；故選：AB.10.下列命題中正確的是（）A.已知隨機變量，則B.已知隨機變量，若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)是8D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成總體樣本的方差為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，因為，所以，，A正確；對于B，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，所以區(qū)間和區(qū)間是關(guān)于的對稱區(qū)間，所以，B正確；對于C，因為，所以數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)是8，C正確；對于D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，由甲乙組成總體樣本的方差為，D不正確.故選：ABC11.定義在上的函數(shù)，滿足，且當時，，則使得在上恒成立的可以是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題意可知，如圖所示當時，，即；當時，，故；當時，，故；令，解得或，所以或，所以的最大值為.即.故選：ABC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在題中的橫線上．12._______〖答案〗152〖解析〗，，故.故〖答案〗為：15213.一位射擊運動員向一個目標射擊二次，記事件“第次命中目標”，，則______．〖答案〗〖解析〗由題意，，所以.又，所以，所以.故〖答案〗為：14.已知在三棱錐中，，點為三棱錐外接球上一點，則三棱錐的體積最大為______．〖答案〗〖解析〗在三棱錐中，由且，可得，取的中點，連接，因為，，可得，所以點為三棱錐的外接球的球心，其中為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，可得，當點到平面的距離為時，此時三棱錐的體積最大，體積的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且（1）若，求的值；（2）若，且的面積為，求和的值．解：（1）因，，所以，所以；（2）由，由正弦定理得，又，所以，又，因為，所以，所以，解得（負值已舍去）.16.已知四棱錐，⊥面，底面為正方形，，為的中點．（1）求證：面；（2）求直線與面所成的角．解：（1）因為面，平面，所以⊥，因為四邊形為正方形，所以⊥，又，平面，故⊥平面，因為平面，所以⊥，又，故，因為為的中點，所以，因為，平面，故平面；（2）方法1：因為，平面，平面，所以平面，點B到面的距離就是點到面距離，由勾股定理得，又，由（1）得點A到面距離為．記直線與面所成角為，故，故；方法2：設(shè)，則，，故，且，因為，所以，，記直線與面所成角為，，；方法3：設(shè)，以為軸，為軸，為軸建立直角坐標系，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，記直線與面所成角為，，．方法4：將四棱錐還原為立方體，取的中點，連接，因為且，故四邊形為平行四邊形，故，由（1）知，平面，故面，為直線與面所成的角，記為，且，故，.17.已知的最小正周期為，（1）求的值；（2）若在上恰有個極值點和個零點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，由函數(shù)的最小正周期為且，即，解得，所以，所以．（2）由（1）可得，因為，所以，要使在上恰有個極值點和個零點，則需，解得，即實數(shù)的取值范圍.18.為了了解高中學生課后自主學習數(shù)學時間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學成績（y分）的關(guān)系，某實驗小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．編號12345學習時間3040506070數(shù)學成績65788599108（1）求數(shù)學成績與學習時間的相關(guān)系數(shù)（精確到0.001）；（2）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合，并求出關(guān)于的回歸直線方程，并由此預(yù)測每天課后自主學