2022-2023學(xué)年浙江省衢溫5+1聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE11浙江省衢溫5+1聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，解得：，所以,，即，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為復(fù)數(shù)，且，所以，即，，解得，則.故選：.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗記函數(shù)，定義域為R，，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除AC，又，排除D.故選∶B.4.隨著杭州亞運會的臨近，吉祥物“琮琮、蓮蓮、宸宸”開始走俏國內(nèi)外.現(xiàn)有個完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙位體育愛好者要與這個“宸宸”站成一排拍照留念，則有且只有個“宸宸”相鄰的排隊方法數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗先將位體育愛好者進行排序，共有種排法，因為個“宸宸”完全相同，將其中兩個“宸宸”捆綁，形成一個“大元素”，再將“大元素”與另外一個“宸宸”插入位體育愛好者所形成的空位中（包括兩端），由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的排隊方法種數(shù)為種.故選：C.5.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，是線段的中點，是線段的中點，則點到平面的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，點到底面的距離，所以，，，因為平面，平面，所以,且，，平面，平面，所以平面，且平面，所以，所以，因為是線段的中點，是線段的中點，所以，因為，所以,，設(shè)點到平面距離為，則，即.故選：A6.如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，則的展開式中的常數(shù)項是（）A. B. C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)球的半徑為，則球的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，故，球的表面積為，圓柱的表面積為，故，故，展開式中的通項公式為，令，解得，故常數(shù)項為.故選：C7.已知圓和點，為坐標(biāo)原點，若圓上存在點滿足，則的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由可得，整理得，∴點在圓上，且圓心為,半徑為，又∵點在圓上，∴圓與圓有公共點，∴，且,∴，則的最大值為，故選：.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先比較和，令，則，令，則，當(dāng)時，，即，所以，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，即，故，排除和;再比較和，令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最小值，故（當(dāng)時等號成立），，故.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（）A.B.是等腰直角三角形C.與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)空間向量的線性運算，，選項A正確；計算可得，三條邊不相等，選項B不正確；與平行的單位向量為：選項C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項D不正確，故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在處的切線方程是B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.函數(shù)有唯一的零點D.函數(shù)的最大值為3〖答案〗BC〖解析〗，則，所以函數(shù)在處的切線方程是，即，故A錯誤；令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故B正確，D錯誤；，等價于，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即函數(shù)在上存在唯一零點，即函數(shù)有唯一的零點，故C正確；故選：BC11.《九章算術(shù)》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬．如圖正方體的棱長為2，點是該正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），且平面，，分別是棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線不可能垂直B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角的正弦值的最大值為D.陽馬的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為〖答案〗BCD〖解析〗以為原點，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為正方體的棱長為2，，分別是棱，的中點，所以，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則,取，則，因為點是該正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），所以設(shè)點，其中，則，對于A：因為平面，所以，即，得，所以，所以，因為，所以，當(dāng)時，，即直線與直線垂直，故A錯誤；對于B：設(shè)點到平面的距離為，則三棱錐的體積為，又因為平面，所以點到平面的距離為定值，又因為為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C：由上述結(jié)論得，，平面一個法向量為，直線與平面所成角的正弦值為，因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故C正確；對于D：易得陽馬的外接球的直徑為，所以外接球半徑，易得，，，，，由等體積法得即，解得，所以，故D正確，故選：BCD．12.已知為坐標(biāo)原點，為拋物線上一點，直線與交于，兩點，過，作的切線交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若點為，且直線與傾斜角互補，則C.點在定直線上 D.設(shè)點為，則的最小值為3〖答案〗ABC〖解析〗A.設(shè)，，聯(lián)立，得，，，，故A正確；B.因為，直線與傾斜角互補，所以，，得，且，即，且解得：，故B正確；C.設(shè)點在軸上方，在軸下方，，，軸上方的拋物線方程為，軸下方的拋物線方程為，此時在點處的切線的斜率，點處的切線的斜率，所以點處的切線方程為，點處的切線方程為，方程化簡為，，兩式相除化簡得，故C正確；D.設(shè)，,，當(dāng)時，最小值為，故D錯誤.故選：ABC非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.在三次獨立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，則每次射擊擊中目標(biāo)的概率是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，則，即，所以，所以；故〖答案〗為：14.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故〖答案〗為：.15.若，則______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴，兩邊平方得，∴.故〖答案〗為：.16.已知橢圓的左右頂點為，，點為直線上一點，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗若為外接圓的圓心，半徑為，則，故，由外接圓圓心為各邊中垂線的交點知：必在軸上（不妨令其在軸上方），所以，故，則.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，求證：.解：（1）對任意的，，當(dāng)時，則，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，因為數(shù)列為等比數(shù)列，故其公比為，所以，，解得，所以，.（2），因此，.18.在2023年3月10日，十四屆全國人大一次會議在北京召開.中共中央、國家主席、中央軍委主席在十四屆全國人大一次會議閉幕會上發(fā)表重要講話.出席全國兩會的代表委員和全國各地干部群眾紛紛表示，這一重要講話堅定歷史自信、飽含人民情懷、彰顯使命擔(dān)當(dāng)、指引前進方向，必將激勵我們在新征程上團結(jié)奮斗，開拓創(chuàng)新，堅定信心，勇毅前行，作出無負時代、無負歷史、無負人民的業(yè)績，為推進強國建設(shè)、民族復(fù)興作出應(yīng)有貢獻.某社區(qū)為調(diào)查社區(qū)居民對這次會議的關(guān)注度，隨機抽取了60名年齡在的社區(qū)居民，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求選取的社區(qū)居民平均年齡及選取的社區(qū)居民年齡的中位數(shù)；（2）現(xiàn)若樣本中和年齡段的所有居民都觀看了會議講話，社區(qū)計劃從樣本里這兩個年齡段的居民中抽取3人分享此次觀看會議的感受，設(shè)表示年齡段在的人數(shù)，求的分布列及期望.解：（1）選取的社區(qū)居民平均年齡，因為，，所以中位數(shù)落于區(qū)間之間，中位數(shù)為；（2）因為社區(qū)居民年齡在）內(nèi)的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為6人，所以的可能取值為0,1,2,3,則，，，，故的分布列為0123期望為.19.在中，角，，的對邊分別為，，.若為銳角三角形，且滿足.（1）證明：；（2）若，的面積為，求的周長.解：（1）由題意可得：所以展開整理得∵為銳角三角形∴∴∴.（2）∵∴∵整理得，∴∴，∴，∵，∴，∴，∴的周長為.20.如圖，在三棱錐中，已知側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，，點為側(cè)棱的中點.（1）求證：；（2）若，，若直線與平面所成角的正切值為，求的值.解：（1）取的中點，連接，，∵，∴，∵，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解法1：取的中點，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴平面，∴為平面的法向量，以的中點為原點，分別以，為空間直角坐標(biāo)系的，軸，以垂直于平面的直線為軸，則，，，在直角三角形中，，，，所以，，∴，，，設(shè)，則，∵直線與平面所成角的正切值為，∴直線與平面所成角的正弦值為，∴，解得，而，即，得，所以.解法2：取的中點，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴平面，如圖，作，連接，∴平面，直線與平面所成的角就是，由已知得直線與平面所成角，設(shè)，則在三角形和中，由得，同理得，所以，在直角三角形中，，所以在直角三角形中有，即解得，而，所以.21.設(shè)函數(shù)，.（1）若函數(shù)存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，，因為存在兩個極值點，所以在有兩個不等實根，所以且，解得且，即實數(shù)的取值范圍為.（2）方法一：（分類討論）令，則，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，又，所以恒成立，即，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，①若，對恒成立，在單調(diào)遞增，，符合題意；②若，則（?。┊?dāng)，，恒成立，在單調(diào)遞減，只需，所以；（ⅱ）當(dāng)時，，恒成立，在單調(diào)遞增，只需，所以均符合題意；（ⅲ）當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，而當(dāng)時，，均成立，所以符合題意.綜上所述，.方法二：（分離參數(shù)）恒成立，設(shè)，，則，由在單調(diào)遞增，得，即，所以在單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，只需.設(shè)，，則設(shè)，，則，所以在單調(diào)遞減，所以，（或者由）,從而得，故在單調(diào)遞增，所以，所以.22.已知離心率為2的雙曲線的左右頂點分別為，，頂點到漸近線的距離為.過雙曲線右焦點的直線與雙曲線交于，（異于點，）兩點.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記，，的面積分別為，，，當(dāng)時，求直線的方程；（3）若直線，分別與直線交于，兩點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，取一條漸近線為，又，則由題意可得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線，，.聯(lián)立，消去整理得，當(dāng)時，，則，.當(dāng)與雙曲線交于兩支時，，，，不合題意；當(dāng)與雙曲線交于一支時，，，則，得，故；（3）直線的方程為，令，得，則.直線方程為，令，得，則.因為，所以，，故，即，故為定值.浙江省衢溫5+1聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，解得：，所以,，即，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為復(fù)數(shù)，且，所以，即，，解得，則.故選：.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗記函數(shù)，定義域為R，，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除AC，又，排除D.故選∶B.4.隨著杭州亞運會的臨近，吉祥物“琮琮、蓮蓮、宸宸”開始走俏國內(nèi)外.現(xiàn)有個完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙位體育愛好者要與這個“宸宸”站成一排拍照留念，則有且只有個“宸宸”相鄰的排隊方法數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗先將位體育愛好者進行排序，共有種排法，因為個“宸宸”完全相同，將其中兩個“宸宸”捆綁，形成一個“大元素”，再將“大元素”與另外一個“宸宸”插入位體育愛好者所形成的空位中（包括兩端），由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的排隊方法種數(shù)為種.故選：C.5.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，是線段的中點，是線段的中點，則點到平面的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，點到底面的距離，所以，，，因為平面，平面，所以,且，，平面，平面，所以平面，且平面，所以，所以，因為是線段的中點，是線段的中點，所以，因為，所以,，設(shè)點到平面距離為，則，即.故選：A6.如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，則的展開式中的常數(shù)項是（）A. B. C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)球的半徑為，則球的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，故，球的表面積為，圓柱的表面積為，故，故，展開式中的通項公式為，令，解得，故常數(shù)項為.故選：C7.已知圓和點，為坐標(biāo)原點，若圓上存在點滿足，則的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由可得，整理得，∴點在圓上，且圓心為,半徑為，又∵點在圓上，∴圓與圓有公共點，∴，且,∴，則的最大值為，故選：.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先比較和，令，則，令，則，當(dāng)時，，即，所以，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，即，故，排除和;再比較和，令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最小值，故（當(dāng)時等號成立），，故.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（）A.B.是等腰直角三角形C.與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)空間向量的線性運算，，選項A正確；計算可得，三條邊不相等，選項B不正確；與平行的單位向量為：選項C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項D不正確，故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在處的切線方程是B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.函數(shù)有唯一的零點D.函數(shù)的最大值為3〖答案〗BC〖解析〗，則，所以函數(shù)在處的切線方程是，即，故A錯誤；令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故B正確，D錯誤；，等價于，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即函數(shù)在上存在唯一零點，即函數(shù)有唯一的零點，故C正確；故選：BC11.《九章算術(shù)》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬．如圖正方體的棱長為2，點是該正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），且平面，，分別是棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線不可能垂直B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角的正弦值的最大值為D.陽馬的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為〖答案〗BCD〖解析〗以為原點，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為正方體的棱長為2，，分別是棱，的中點，所以，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則,取，則，因為點是該正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），所以設(shè)點，其中，則，對于A：因為平面，所以，即，得，所以，所以，因為，所以，當(dāng)時，，即直線與直線垂直，故A錯誤；對于B：設(shè)點到平面的距離為，則三棱錐的體積為，又因為平面，所以點到平面的距離為定值，又因為為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C：由上述結(jié)論得，，平面一個法向量為，直線與平面所成角的正弦值為，因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故C正確；對于D：易得陽馬的外接球的直徑為，所以外接球半徑，易得，，，，，由等體積法得即，解得，所以，故D正確，故選：BCD．12.已知為坐標(biāo)原點，為拋物線上一點，直線與交于，兩點，過，作的切線交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若點為，且直線與傾斜角互補，則C.點在定直線上 D.設(shè)點為，則的最小值為3〖答案〗ABC〖解析〗A.設(shè)，，聯(lián)立，得，，，，故A正確；B.因為，直線與傾斜角互補，所以，，得，且，即，且解得：，故B正確；C.設(shè)點在軸上方，在軸下方，，，軸上方的拋物線方程為，軸下方的拋物線方程為，此時在點處的切線的斜率，點處的切線的斜率，所以點處的切線方程為，點處的切線方程為，方程化簡為，，兩式相除化簡得，故C正確；D.設(shè)，,，當(dāng)時，最小值為，故D錯誤.故選：ABC非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.在三次獨立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，則每次射擊擊中目標(biāo)的概率是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，則，即，所以，所以；故〖答案〗為：14.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故〖答案〗為：.15.若，則______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴，兩邊平方得，∴.故〖答案〗為：.16.已知橢圓的左右頂點為，，點為直線上一點，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗若為外接圓的圓心，半徑為，則，故，由外接圓圓心為各邊中垂線的交點知：必在軸上（不妨令其在軸上方），所以，故，則.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，求證：.解：（1）對任意的，，當(dāng)時，則，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，因為數(shù)列為等比數(shù)列，故其公比為，所以，，解得，所以，.（2），因此，.18.在2023年3月10日，十四屆全國人大一次會議在北京召開.中共中央、國家主席、中央軍委主席在十四屆全國人大一次會議閉幕會上發(fā)表重要講話.出席全國兩會的代表委員和全國各地干部群眾紛紛表示，這一重要講話堅定歷史自信、飽含人民情懷、彰顯使命擔(dān)當(dāng)、指引前進方向，必將激勵我們在新征程上團結(jié)奮斗，開拓創(chuàng)新，堅定信心，勇毅前行，作出無負時代、無負歷史、無負人民的業(yè)績，為推進強國建設(shè)、民族復(fù)興作出應(yīng)有貢獻.某社區(qū)為調(diào)查社區(qū)居民對這次會議的關(guān)注度，隨機抽取了60名年齡在的社區(qū)居民，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求選取的社區(qū)居民平均年齡及選取的社區(qū)居民年齡的中位數(shù)；（2）現(xiàn)若樣本中和年齡段的所有居民都觀看了會議講話，社區(qū)計劃從樣本里這兩個年齡段的居民中抽取3人分享此次觀看會議的感受，設(shè)表示年齡段在的人數(shù)，求的分布列及期望.解：（1）選取的社區(qū)居民平均年齡，因為，，所以中位數(shù)落于區(qū)間之間，中位數(shù)為；（2）因為社區(qū)居民年齡在）內(nèi)的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為6人，所以的可能取值為0,1,2,3,則，，，，故的分布列為0123期望為.19.在中，角，，的對邊分別為，，.若為銳角三角形，且滿足.（1）證明：；（2）若，的面積為，求的周長.解：（1）由題意可得：所以展開整理得∵為銳角三角形∴∴∴.（2）∵∴∵整理得，∴∴，∴，∵，∴，∴，∴的周長為.20.如圖，在三棱錐中，已知側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，，點為側(cè)棱的中點.（1）求證：；（2）若，，若直線與平面所成角的正切值為，求的值.解：（1）取的中點，連接，，∵，∴，∵，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解法1：取的中點，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴