情境題解讀與模擬演練（解析版）-2021年高考數(shù)學八省聯(lián)考解讀與模擬演練

真題再現(xiàn)

20.(本小題滿分12分)北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是

幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2萬與多面體在該點的面角之

和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體

的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是所以

71

正四面體在各頂點的曲率為2〃-3x§=乃，故其總曲率為4萬.

(1)求四棱錐的總曲率；

(2)若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

【答案】(1)4萬；(2)證明見解析.

【命題意圖】立體幾何新定義

【解析】(1)由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和.

可以從整個多面體的角度考慮，所有頂點相關的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知:

四棱錐共有5個頂點，5個面，其中4個為三角形，1個為四動形.

所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個為三角形，1個為四邊形組成，

則其總曲率為：2;rx5-(44+24)=44.

(2)設頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為〃、/、m,所以有〃一/+m=2

設第i個面的棱數(shù)為七，所以％+W+…+X,”2/

所以總曲率為：一萬［（%-2）+（尤2-2）+…2）］

=24〃一乃（2/—2m）=2"（〃一/+m）=4萬

所以這類多面體的總曲率是常數(shù).

模擬演練

1.（2021?福建漳州市?龍海二中高三月考）一些二次曲面常常用于現(xiàn)代建筑的設計中，常用的二次曲面有球

面、橢球面、單葉雙曲面和雙曲拋物面、比如，中心在原點的橢球面的方程為

222

與+*+4=1（。＞（）力＞0,c＞0）,中國國家大劇院就用到了橢球面的形狀（如圖1）,若某建筑準備采用

22

半橢球面設計（如圖2）,半橢球面方程為±+上+Z2=1（ZN0）,該建筑設計圖紙的比例（長度比）為1:50

44V）

圖

圖12

222

A.4000^rnB.6000^mC.800()512D.10000^-m

【答案】D

【解析】求占地面積即求半橢球面的底面積,令y=0,5=0可得x=±2：

令x=0,z=0可得y=±2,

所以該半橢球面的底面是一個半徑為2的圓,建筑時選的半徑為2x50=100米則建筑的占地面積為

"xlOO?=10000萬平方米.故選：D

2.（2021?湖南長沙市?長郡中學高三月考）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大

眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為班，△A8E,

△BEC,DECD均是邊長為4的等邊三角形.設點P為后輪上的一點,則在騎動該自行車的過程中，AC-BP

的最大值為（）

【答案】C

【解析】騎行過程中，A3CDE相對不動，只有尸點繞。點作圓周運動.

如圖，以AO為x軸，E為坐標原點建立平面直角坐標系，由題意A(-4,0),3(—2,26)，CQ,20)，

圓D方程為(％-4)2+y?=3,設尸(4+685。,5/§5111。)，

則AC=(6,2>/3)，BP=(6+V3cosa.A/3sin?-273)，

AC-BP=6(6+cosa)+2百(sina-2^3)

-6gcosa+6sina+24=12—sinad----cosa+24==12sin(a+—)+24,

(22J3

易知當sin(a+$=l時，*.而取得最大值36.

故選：C.

3.(2020?全國高三專題練習)如圖，重慶歡樂谷的摩天輪被稱為"重慶之眼"，其旋轉(zhuǎn)半徑為50米，最高點

距離地面120米，開啟后按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周大約18分鐘.將摩天輪看成圓面，在該平面內(nèi)，以

過摩天輪的圓心且垂直于地平面的直線為y軸，該直線與地平面的交點為坐標原點建立平面直角坐標系，

某人在最低點的位置坐上摩天輪的座艙，摩天輪開始啟動,并記該時刻為t=0,則此人距離地面的高度/⑺

與摩天輪運行時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關系式為（）

A./(r)=50sinT-Tr+20(z..0)B./(/)=50sinII-7Tr--7FI\+70(z..0)

(7t7l\(7T、

C./(Z)=50sinf--J+20(r..0)D./(Z)=50sin^-Z-^l+70(/..0)

【答案】B

【解析】由已知/(/)=Asin(<yf+o)+3(A>0,<y>0),

—A+B=20_A=50

A+B=1200B=70'

2萬71

T=18,a)=—

18

'IZ—0nJ,sin(p~-1,(p----)

/TTTT

/(/)=50sin-r--+70Q..0),故選：B.

192,

4.（2021?濱?？h八灘中學高一期末）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一

名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的

TTTT

"弓",擲鐵餅者的手臂長約為：米，肩寬約為"米，"弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間

48

的距離約為（）

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

7T7C7C

【解析】由題得：弓所在的弧長為：/=—+—■+—=――；

4488

54

Q71

所以其所對的圓心角a=-1-=5；

4

...兩手之間的距離d=2/?sin^=75x1.25*1.768.故選：B.

4、

5/5-1^A/5-I

5.（2020?廣東廣州市?執(zhí)信中學高三月考）古希臘時期，人們把寬與長之比為212?0.618的矩

7

形稱為黃金矩形，把這個比值詼二1稱為黃金分割比例.下圖為希臘的一古建筑，其中圖中的矩形ABC。,

2

EBCF,FGHC,FGJI,LGJK,MNJK均為黃金矩形，若M與K間的距離超過L7m,C與F間

的距離小于12加，則該古建筑中A與8間的距離可能是().

(參考數(shù)據(jù)：0.6182?0.382,0.6183?0.236>0.6184?0.146?0.6185?0.090>0.6186*0.056.

0.6187?0.034)

A.28mB.29.2mC.30.8mD.32.5m

【答案】C

【解析】設|AB|=x,ab0.618,因為矩形ABC。，EBCF,FGHC,FGJI,LGJK,MNJK均為

黃金矩形，所以有忸Cj=ar,|。同=。2%,|即=。與，(叫=4與，|欣|=。5；3|我用=46%由題設

\a6x>\.l

得4，，解得：30.357<x<31.414.故選：C

a-x<12

6.（2021?全國高三月考（文））在2000年威尼斯世界建筑設計展覽會上，方圓大廈成為亞洲唯一獲獎的作

品，獲得“世界上最具創(chuàng)意性和革命性的完美建筑”的美譽建筑，大廈立面以頗具傳統(tǒng)文化意味的"古錢幣"

為外形，借此預示著入駐大廈的業(yè)主財源廣進，事業(yè)發(fā)達，也有人認為這是象征中國傳統(tǒng)文化的天圓地方，

若將“內(nèi)方”視為空心，其主視圖和左視圖如圖所示，則其表面積為（）

A.900071+6600

B.9000兀+4800

C.900071+3000

D.900071-1800

【答案】C

【解析】S=27x50x40+7x502x2+4x30x40—2x3()2

4000萬+5000萬+4800—1800=9000萬+3000,故選：C.

7.（2020?江蘇省濱海中學高三期中）意大利"美術三杰"（文藝復興后三杰）之一的達芬奇的經(jīng)典之作一《蒙

娜麗莎》舉世聞名。畫中女子神秘的微笑數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷，某數(shù)學兼藝術愛好者對《蒙娜麗莎》

的同比例影像作品進行了測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角A,C處作圓弧的切線，兩條

切線交于B點，測得如下數(shù)據(jù)：AB=6.9cm,BC=JAcm,AC=12.6cm,根據(jù)測量得到的結(jié)果推算:

將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角位于以下哪個區(qū)間（）

【答案】B

【解析】取=,設N4BC=28,

12.6

則sin"-2-=（）.9eg,."阪）,

...e嗚年），伙仔，爭,

設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為a,

則a+2。=乃，

'''CtG（―,—）,故選：B.

43

8.（2021?湖南長沙市?長郡中學高三月考）意大利畫家列奧納多?達?芬奇（1452.4-1519.5）的畫作《抱

銀貂的女人》中，女士脖頸上黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達?芬奇提出：固定

項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后

X

人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：/（x）=acosh—,其中。為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函

a

數(shù)表達式為coshx=紅土，相應地雙曲正弦函數(shù)的表達式為sinhx=二士.若直線x=m與雙曲余弦

22

函數(shù)G與雙曲正弦函數(shù)C2的圖象分別相交于點A,B,曲線G在點A處的切線/i與曲線C2在點B處的切線

4相交于點P，則下列結(jié)論正確的為（）

A.cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

B.y=sinhxcoshx是偶函數(shù)

C.(coshx)/=sinhx

D.若APAB是以A為直角頂點的直角三角形，則實數(shù)m=0

【答案】ACD

e'+e—e>+e->e'-bev-e-yj>'+仁中、

【解析】coshuxcoshuy-sinhuxsmhuy=——-------------------------------------——=---------------=coshu(;x-y),AA1上確；

2x—2.xlx—2,x—2x2x

y=sinhxcoshx=^---------,記〃(x)=^---------以，則一x)=^----------=-〃(x),〃(x)為奇函數(shù)，即y

444

=sinhxcoshx是奇函數(shù)，B錯誤；

(~e+e—/=-——--,即(coshx)，=sinhx,C正確；

22

對于D,因為AB_Lx軸，因此若A是以A為直角頂點的直角三角形，則aPA=O,由左4_—=0

2

解得機=0,D正確.故選：ACD.

9.(2021?青海西寧市?高三期末(文))2019年7月1,《上海市生活垃圾管理條例》正式實施，生活垃圾要

按照“可回收物"、"有害垃圾"、"濕垃圾"、"干垃圾"的分類標準進行分類，沒有對垃圾分類或未投放到指定

垃圾桶內(nèi)都會被處罰.若某上海居民提著廚房里產(chǎn)生的“濕垃圾”隨意地投放到樓下的“可回收物"、"有害垃圾、

"濕垃圾"，"干垃圾"四個垃圾桶內(nèi)，則該居民會被處罰的概率為.

3

【答案】一

4

【解析】“濕垃圾"隨意地投放到樓下的"可回收物"、"有害垃圾、

"濕垃圾"、"干垃圾"四個垃圾桶內(nèi)，有4種投放方法，

被處罰的投放有"可回收物"、"有害垃圾、"干垃圾"3種投法，

該居民會被處罰的概率為;.故答案為:;.

44

10.(2020?江蘇省包場高級中學高一月考)某市每年春節(jié)前后，由于大量的煙花炮竹的燃放，空氣污染較

為嚴重.該市環(huán)保研究所對近年春節(jié)前后每天的空氣污染情況調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)，每天空氣污染的指數(shù)/(t),

隨時刻”