人教版2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊《有理數(shù)》知識總結(jié)

第一章知識歸納一、有理數(shù)基本概念1.正數(shù)與負(fù)數(shù)我們把以前學(xué)過的數(shù)大于零叫做正數(shù)。有時(shí)在正數(shù)前面也加上“+”（正）號。如+0.5、+3、+1/2……“＋”號可以省略。我們把在以前學(xué)過的數(shù)（0除外）前面加上負(fù)號“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。如－３、－０.５、-2/3……0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是正負(fù)數(shù)的分界。正數(shù)與負(fù)數(shù)可以用來表示具有相反意義的量。相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義要相反；二是它們都具有數(shù)量。與一個量成相反意義的量不止一個。2．有理數(shù)正整數(shù)、0統(tǒng)稱自然數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)整數(shù)可以看做分母為1的分?jǐn)?shù)。正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式?？梢赃@樣說:有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式；能寫成分?jǐn)?shù)（分子分母互質(zhì)）形式的數(shù)是有理數(shù).有理數(shù)的分類（兩種）正整數(shù)整數(shù)零有理數(shù)負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)零負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)3.數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)從左到右依次增大；原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)是正數(shù).4.相反數(shù)一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離是a的點(diǎn)有兩個，他們分別在原點(diǎn)的左右，表示－a和a，我們說這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).（絕對值相等，符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.在一個數(shù)前面添上“-”號,表示這個數(shù)的相反數(shù).5.絕對值在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值。對任意有理數(shù)，總有。正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。（互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。）6.比較大小（1）數(shù)軸上兩個點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。（2）方法總結(jié)：兩個正數(shù)比較大小，與小學(xué)一致；正數(shù)與零比較，正數(shù)大于零；正數(shù)與負(fù)數(shù)比較，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)與零比較，負(fù)數(shù)小于零；兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小。二、有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法有理數(shù)的加法法則：（先確定符號，再算絕對值）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時(shí)，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（如果兩個數(shù)的和為0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。有理數(shù)的加法運(yùn)算律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即；三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即。2.有理數(shù)的減法有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即。注：兩個變化：減號變成加號；減數(shù)變成它的相反數(shù)。3.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算規(guī)則：運(yùn)用減法法則將加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法進(jìn)行運(yùn)算（為了書寫簡便，可以把已經(jīng)統(tǒng)一為加法運(yùn)算的式子中各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略，寫成省略加號的和的形式。）步驟：（1）減法化加法；（2）省略括號和加號；（3）運(yùn)用加法運(yùn)算律使計(jì)算簡便；（4）運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算。注：運(yùn)用加法運(yùn)算律時(shí)，可按如下幾點(diǎn)進(jìn)行：（1）同號的先結(jié)合；（2）同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合；（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（5）帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加。三、有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)。（數(shù)的倒數(shù)是）多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：（1）幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)。確定符號后，把各個因數(shù)的絕對值相乘。（2）幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)是0.注：帶分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，通常把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再與分?jǐn)?shù)相乘。2.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即。乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即。乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即。3.有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：（1）除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。即。（2）兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何不為0的數(shù)，都得0。步驟：先確定商的符號，再算出商的絕對值。4.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算運(yùn)算順序：從左往右進(jìn)行，將除法化成乘法后，進(jìn)行約分計(jì)算。（注：帶分?jǐn)?shù)應(yīng)首先化為假分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算）5.有理數(shù)的四則混合運(yùn)算運(yùn)算順序：先乘除，后加減，有括號要先算括號里面的。注：除法一般先化為乘法，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，合理使用運(yùn)算律。四、有理數(shù)的乘方1.乘方一般地，個相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作的次方。求個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。指數(shù)因數(shù)的個數(shù)冪底數(shù)因數(shù)在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。讀作的次方，也可以讀作的次冪。指數(shù)因數(shù)的個數(shù)冪底數(shù)因數(shù)乘方的規(guī)律：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.2.有理數(shù)的混合運(yùn)算運(yùn)算順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級運(yùn)算,從左到右進(jìn)行；（3）如有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號的順序。3.科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)（即），是正整數(shù)，這樣的記數(shù)方法叫科學(xué)記數(shù)法。（用科學(xué)記數(shù)法表示一個數(shù)時(shí)，10的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.）把還原成原數(shù)時(shí)，只需把的小數(shù)點(diǎn)往前移動位。4.近似數(shù)和有效數(shù)字在實(shí)際問題中，由“四舍五入”得到的數(shù)或大約估計(jì)的數(shù)都是近似數(shù)。（