2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（滬教版）第十九章 幾何證明（15個知識歸納+14類題型突破）（解析版）

第十九章幾何證明（15個知識歸納+14類題型突破）1.掌握幾何證明的相關(guān)概念，掌握命題與定理、掌握逆命題與逆定理；2.掌握垂直平分線的性質(zhì)與判定；3.掌握角平分線的性質(zhì)與判定；4、掌握直角三角形的性質(zhì)與判定；5、掌握勾股定理的相關(guān)概念；知識點(diǎn)01．命題與定理1、判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．2、有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．3、定理是真命題，但真命題不一定是定理．4、命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．5、命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．知識點(diǎn)02．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE知識點(diǎn)03．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等．知識點(diǎn)04．兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離為AB＝．說明：求直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離可直接套用此公式．知識點(diǎn)05．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．知識點(diǎn)06．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．知識點(diǎn)07．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．知識點(diǎn)08．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．知識點(diǎn)09．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．知識點(diǎn)10．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．知識點(diǎn)11．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．知識點(diǎn)12．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知識點(diǎn)13．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．知識點(diǎn)14．平面展開-最短路徑問題（1）平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問題時的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型．知識點(diǎn)15．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R＝+1，所以r：R＝1：+1．題型一幾何證明1．（2023上·上海閔行·八年級統(tǒng)考期中）下列命題中，真命題的是（

）A．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直B．有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和D．等邊三角形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷A．根據(jù)全等三角形的判定方法可判斷B，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，描述正確，真命題，故A符合題意；∵有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等∴有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，假命題，故B不符合題意；∵三角形的一個外角等于和其不相鄰的兩個內(nèi)角的和∴三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和，假命題，故C不符合題意；∵等邊三角形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形∴等邊三角形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，假命題，故D不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形的外角的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，真假命題的判斷，熟記基本概念與圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023上·上海青浦·八年級?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個數(shù)是（

）（1）等角的補(bǔ)角相等；（2）兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的三角形是全等三角形；（3）一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等；（4）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【詳解】（1）等角的補(bǔ)角相等，正確；（2）無法證明全等，故錯誤；（3）一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)，故錯誤；（4）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故錯誤；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等，正確；故選：A．3．（2023上·上海楊浦·八年級校考期中）下列命題中，假命題的個數(shù)是（

）（）垂直于同一條直線的兩條直線平行；（）面積相等的兩個三角形全等；（）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊；（）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角；（）有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（）有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等．A．個 B．個 C． D．【答案】C【分析】本題考查了命題的真假，分別利用平行線的判定、三角形全等的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌握已經(jīng)學(xué)過的概念、性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故（）為假命題；（）面積相等的兩個三角形不一定全等，故（）為假命題；（）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊，故（）為真命題；（）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，故（）為假命題；（）有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故（）為假命題；（）有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，故（）為假命題；其中，假命題有個，故選：．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·北京豐臺·八年級北京市第十二中學(xué)?？计谥校┫铝忻}正確的是（

）①兩個等邊三角形一定全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；③有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等；④兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法逐一判斷即可．【詳解】①兩個等邊三角形的邊不一定相等，故“兩個等邊三角形一定全等”是錯誤的；②根據(jù)判定方法“角邊角”可得“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”是正確的；③根據(jù)判定方法“邊角邊”可得有兩邊及它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，但兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不全等，故“有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等”是錯誤的；④如圖，在和中，，，是邊上的中線，是邊上的中線，且．

∵是邊上的中線，是邊上的中線，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由此可得“兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個三角形全等”是正確的．綜上所述，正確的命題是：②和④．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，根據(jù)所給的條件逐一判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┌衙}“同角的補(bǔ)角相等”改寫為“如果……，那么……”的形式，如果那么．【答案】兩個角是同一個角的補(bǔ)角這兩個角相等【分析】命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，命題可以寫成“如果，那么”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論，由此即可得．【詳解】解：把命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫為“如果，那么”的形式：如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等，故答案為：兩個角是同一個角的補(bǔ)角，這兩個角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了命題，熟練掌握命題的表達(dá)形式是解題關(guān)鍵．3．（2022上·安徽阜陽·八年級?？计谥校┤鐖D，已知：是的一個外角．

(1)請從①，②平分，③中任選兩個當(dāng)條件，第三個當(dāng)結(jié)論構(gòu)成一個真命題．條件：________________________________________________結(jié)論：________________________________________________(2)證明你所構(gòu)建的命題是真命題．【答案】(1)①②，③(2)見解析【分析】（1）選擇①②當(dāng)條件，③為結(jié)論，即可（答案不唯一）；（2）根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義可得，推得，根據(jù)平行線的判定即可證明．【詳解】（1）解：選擇①②當(dāng)條件，③為結(jié)論；故答案為：①②，③．（2）解：已知：是的一個外角，，平分，求證：．證明：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴．即選擇①②當(dāng)條件，③為結(jié)論，構(gòu)成真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了真命題，平行線的判定，角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)，等邊對等角等，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二逆命題和逆定理1．（2023上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．直角三角形的兩個銳角互余B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形D．若，則【答案】D【分析】寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．【詳解】解：A、逆命題為兩角互余的三角形是直角三角形，正確，是真命題，不符合題意；B、逆命題為內(nèi)錯角相等，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；C、逆命題為全等三角形的三條邊對應(yīng)相等，正確，是真命題，不符合題意；D、逆命題為若，則，∵若，則，∴錯誤，是假命題，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解如何寫出一個命題的逆命題，難度不大．2．（2023上·上海靜安·八年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谀┫铝卸ɡ碇校绻淠婷}是真命題，那么這個定理是（

）A．對頂角相等 B．直角三角形的兩個銳角互余C．全等三角形的對應(yīng)角相等 D．鄰補(bǔ)角互補(bǔ)【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別寫出逆命題，再逐項判斷即可求解．【詳解】解：A.對頂角相等，逆命題為：相等的角是對頂角，原命題的逆命題是假命題，故該選項不正確，不符合題意；B.直角三角形的兩個銳角互余，逆命題為：兩個銳角互余的三角形是直角三角形，原命題的逆命題是真命題，故該選項正確，符合題意；C.全等三角形的對應(yīng)角相等，逆命題為：對應(yīng)角相等的兩個三角形全等，原命題的逆命題是假命題，故該選項不正確，不符合題意；D.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，逆命題為：互補(bǔ)的兩個角是鄰補(bǔ)角，原命題的逆命題是假命題，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了真假命題的判斷，寫出原命題的逆命題，掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·上海黃浦·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中，逆命題是假命題的是（）A．等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°B．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)角相等C．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊相等D．相等的兩個角是對頂角【答案】B【分析】先分別確定各命題的逆命題，再判斷真假即可．【詳解】A選項的逆命題是“三個內(nèi)角都等于的是等邊三角形”，是真命題，所以不符合題意；B選項的逆命題是“如果兩個三角形的對應(yīng)角都相等，那么這兩個三角形全等”，可知這兩個三角形不一定全等，是假命題，所以符合題意；C選項的逆命題是“如果兩個三角形的對應(yīng)邊都相等，那么這兩個三角形全等”，根據(jù)“”可知兩個三角形全等，是真命題，所以符合題意；D選項的逆命題是“對頂角相等”，是真命題，所以不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了逆命題，真假命題的判斷，掌握性質(zhì)定理及逆定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列四個命題：①若，，則；②若，則；③如果兩個角是直角，那么它們相等；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；其中逆命題是真命題的個數(shù)是（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】本題考查了逆命題真假的判定，平行線的性質(zhì)，絕對值的意義等知識，先寫出命題的逆命題，再對逆命題的真假進(jìn)行判斷即可，理解相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵．【詳解】解：①逆命題是若，則，，錯誤，如，是假命題，故不符合題意；②逆命題是若，則，錯誤，如，是假命題，故不符合題意；③如果兩個角相等，則這兩個角是直角，錯誤，相等的角不一定都是直角，是假命題，故不符合題意；④逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，正確，是真命題；綜上，它們的逆命題是真命題只有1個．故選：．2．（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壭？计谥校┟}“如果兩個實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是．它是命題．（填“真”或“假”）【答案】如果兩個實(shí)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個實(shí)數(shù)（它們）都是正數(shù)假【分析】逆命題就是將命題的題設(shè)和結(jié)論顛倒順序，即可寫出逆命題．根據(jù)逆命題判斷真假命題．【詳解】解：逆命題就是將命題的題設(shè)和結(jié)論顛倒順序，故“如果兩個實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是“如果兩個實(shí)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個實(shí)數(shù)（它們）都是正數(shù)”，根據(jù)兩個負(fù)數(shù)的乘積也是正數(shù)可以判斷該命題為假命題，故答案為：如果兩個實(shí)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個實(shí)數(shù)（它們）都是正數(shù)，假．【點(diǎn)睛】本題考查寫出命題的逆命題，熟練掌握命題的逆命題是解題的關(guān)鍵．3．（2022下·河南鄭州·八年級河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D①所示，將兩個含角且大小相同的三角尺擺放在一起，可以證得是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半．交換此命題的條件和結(jié)論，得到下面命題：．

(1)請在上面空格中寫出該命題；(2)小聰發(fā)現(xiàn)（1）中所寫命題為真命題，請根據(jù)該命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖②，用“幾何語言”補(bǔ)充出“已知”和“求證”，并寫出證明過程．已知：在中，，．求證：．證明：【答案】(1)若在直角三角形中，一直角邊等于斜邊一半，則這條直角邊所對的角為角；(2)；；證明見詳解【分析】（1）將條件與結(jié)論對調(diào)即可得到答案；（2）根據(jù)命題寫出已知求證，延長至D使，連接，證明即可得到得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，命題為：若在直角三角形中，一直角邊等于斜邊一半，則直角邊所對的角為角；（2）解：由（1）得，已知：在中，，，求證：；證明：延長至D使，連接，

∵，∴，在與，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；故所填答案為：；．(證明如上)【點(diǎn)睛】本題考查書寫逆命題及證明，解題的關(guān)鍵是作出輔助線得到．題型三線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1．（2022上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠B+∠C，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，EA＝EB，NA＝NC，則∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，從而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，能得到求∠EAN的關(guān)系式是關(guān)鍵．2．（2022下·湖南岳陽·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，根據(jù)ED是AC的垂直平分線，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余建立方程，解方程即可求解．【詳解】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE＝CE是解此題的關(guān)鍵．3．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ心涎竽７吨袑W(xué)校考期末）如圖，在中，，斜邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，那么下列關(guān)系中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，，則，再由平分，得．從而得出答案．【詳解】解：、，且，，又平分，，故．正確，不符合題意；、在與中，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理．正確，不符合題意；、，且，∴EB=EA，正確，不符合題意；、不一定成立，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)等要三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，∴，垂直平分，，∴，∴故選：D．2．（2023上·重慶沙坪壩·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，平分的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．若，，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．設(shè)，依據(jù)角平分線以及線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到的值．【詳解】解：設(shè)，∵平分，∴，∵的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴中，，即，解得，∴，故答案為：．3．（2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是的平分線，交于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)F，連接．求證：(1)是的垂直平分線；(2)為等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，然后根據(jù)等腰三角形判定和三線合一性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵在中，，，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，，∴是的垂直平分線；（2）證明：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．題型四角平分線的性質(zhì)與判定1．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，要使點(diǎn)到、的距離相等，且，點(diǎn)是（

）A．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)B．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)C．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)D．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到、的距離相等可得點(diǎn)在的角平分線上，由可得邊上的中線上，即可求解．【詳解】解：由點(diǎn)到、的距離相等可得點(diǎn)在的角平分線上，由可得邊上的中線上，則點(diǎn)是的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．2．（2022上·上海楊浦·八年級?？计谥校┤鐖D，是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則長是（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】先利用角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，∴，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）下面是“作的平分線”的尺規(guī)作圖過程：①在、上分別截取、，使；②分別以點(diǎn)、為圓心，以大于的同一長度為半徑作弧，兩弧交于內(nèi)的一點(diǎn)；③作射線．就是所求作的角的平分線．該尺規(guī)作圖可直接利用三角形全等說明，其中三角形全等的依據(jù)是（

）A．三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．兩角及它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等【答案】A【分析】由作圖可得，，根據(jù)三角形全等的判定方法“”解答．【詳解】解∶連接，，由作圖可得，，，在和中∴，∴，∴平分．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·陜西安康·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的面積是16，周長是8，則的長是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，先過點(diǎn)作于點(diǎn)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明，然后根據(jù)的面積的面積的面積的面積，求出答案即可．【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，分別是和的角平分線，，，，，，，，，，，故選：D．2．（2023上·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數(shù)是．【答案】/28度【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，作，垂足分別為P，Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，則平分，設(shè)，證出，，根據(jù)列出方程計算即可．【詳解】解：作，垂足分別為P，Q，∵，∴，平分，，設(shè)，∵，，，，，，∵，∴，，，，解得：，∴，故答案為：．3．（2023上·廣東廣州·八年級鐵一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，平分交BC于點(diǎn)D，，，垂足為E、F．

(1)若，，求的長度；(2)連接，求證：．【答案】(1)4(2)見解析【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，等邊對等角性質(zhì)，三角形面積公式等知識，（1）首先根據(jù)三角形面積公式求出，然后利用角平分線的性質(zhì)定理求解即可；（2）連接，根據(jù)等邊對等角得到，然后結(jié)合得到，即可證明．解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊相等的點(diǎn)在角的平分線上．【詳解】（1）∵，，∴，即解得∵平分交BC于點(diǎn)D，，，∴，（2）如圖所示，連接，

∵∴∵∴∵∴∴．題型五軌跡1．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，甲、乙、丙三人同時從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動，甲的運(yùn)動路線為一個半圓形的圓弧，乙的運(yùn)動路線為兩個半圓形的圓弧，丙的運(yùn)動路線為三個半圓形的圓弧，若甲、乙、丙的運(yùn)動速度相等，則誰先到達(dá)點(diǎn)（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同時到達(dá)【答案】D【分析】分別計算出三人所走的路程，即可判定．【詳解】解：甲的運(yùn)動路線為一個半圓形的圓弧甲的運(yùn)動路徑長乙的運(yùn)動路線為兩個半圓形的圓弧，乙的運(yùn)動路徑長丙的運(yùn)動路線為三個半圓形的圓弧，丙的運(yùn)動路徑長三人總路程相等，而速度也相等三人同時到達(dá)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長公式，理解題意，準(zhǔn)確計算是解決此類題的關(guān)鍵．2．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，將一個半徑為1cm的半圓，在直線上從左往右作無滑動的滾動，則滾動2020周后圓心所經(jīng)過的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓心O滾動一周路徑長，可得結(jié)論；【詳解】解：如圖，圓心滾動一周路徑為長為，∴滾動2020周后圓心所經(jīng)過的路徑長，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是作出圓心的滾動軌跡為兩個90°的弧長和一個180°的弧長．3．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點(diǎn)，分別在軸，軸正半軸上（含坐標(biāo)原點(diǎn)）滑動，且滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)由點(diǎn)向右移動時，點(diǎn)移動的路徑長為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由C點(diǎn)坐標(biāo)（），得出C點(diǎn)在直線y＋x=3（0≤x≤3）上，分別討論A在O點(diǎn)和A′時C，D的坐標(biāo)，結(jié)合圖形求解，從而確定D點(diǎn)的軌跡為線段．【詳解】解：如圖，OA＋OB=6，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)∴C點(diǎn)坐標(biāo)（），，即C點(diǎn)在直線y＋x=3（0≤x≤3）上設(shè)A（3，0），則B（0，3）∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時，C（0，3），此時D（3，0）∴∠BAO=45°當(dāng)點(diǎn)在處時即處，C（3，0），此時D′（6，3）AA′=A′D′=3∴∠D′AA′=45°∴△為等腰直角三角形∴∵∠BAO=45°，∠D′AA′=45°∴∠BAD′=90°線段AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD∴當(dāng)C點(diǎn)由B到A時，D點(diǎn)由A到D′∴點(diǎn)移動的路徑長為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，旋轉(zhuǎn)的特征，直線上坐標(biāo)的特征，由C點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得出C點(diǎn)的軌跡再結(jié)合圖形得出D點(diǎn)的軌跡是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，是邊長為2的等邊三角形，是高上的一個動點(diǎn)，以為邊向上作等邊，在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動過程中，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明，進(jìn)而得到，再計算出即可求出點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，，，和是等邊三角形，，，，，，，，，又點(diǎn)在處時，，點(diǎn)在處時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑的長為從C點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)運(yùn)動的路徑長．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定方法，本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)N的運(yùn)動軌跡的路徑長等于線段DM的長．2．（2022·八年級統(tǒng)考課時練習(xí)）和已知線段的兩端點(diǎn)距離相等，且到一個已知點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)最多有個．【答案】2【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得和已知線段的兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上，分別討論定長m>PO、m=PO和m<PO三種情況，得出與垂直平分線的交點(diǎn)個數(shù)即可得答案.【詳解】如圖，直線CD為相等AB的垂直平分線，過定點(diǎn)P作PO⊥CD，設(shè)定長為m，∵已知線段的兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在AB的垂直平分線上，∴所求的點(diǎn)在直線CD上，∴當(dāng)m>PO時，與CD有2個交點(diǎn)，當(dāng)m=PO時，與CD有1個交點(diǎn)，當(dāng)m<PO時，與CD沒有交點(diǎn)，∴已知線段的兩端點(diǎn)距離相等，且到一個已知點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)最多有2個，故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查本題考查的是點(diǎn)的軌跡，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用分類討論的思想是解題關(guān)鍵.3．（2022·八年級統(tǒng)考課時練習(xí)）如圖，，，點(diǎn)在上．以為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，則當(dāng)從運(yùn)動到的過程中，探求點(diǎn)的運(yùn)動軌跡．【答案】線段．【分析】過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，根據(jù)D點(diǎn)在B點(diǎn)，BC中點(diǎn)以及C點(diǎn)時，得出E點(diǎn)所在位置，進(jìn)而得出E點(diǎn)在一條直線上，進(jìn)而得出答案．【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時，∵，，∴．∵在和中，，∴≌（AAS）．∴，．∵，，∴．∴．∵∠ACB=45°，∴∠ECA=90°，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，∠ECA=90°，∴點(diǎn)與另兩個點(diǎn)都在過點(diǎn)C且垂直于AC的一條直線上．綜上所述：當(dāng)從運(yùn)動到的過程中，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是線段．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的軌跡問題，根據(jù)已知得出D點(diǎn)在不同位置時E點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．題型六直角三角形全等的判定1．（2023上·上海普陀·八年級?？计谥校┫旅嫠膫€命題中，真命題的個數(shù)是（

）①腰和腰上的高對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等；②有兩角及一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③有兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④有兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：①腰和腰上的高對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等，正確；理由：如圖所示，在等腰與等腰中，，于點(diǎn)H，于點(diǎn)G，且，求證：；

證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；②有兩角及一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，根據(jù)或可知其正確；③有兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；正確；理由：如圖所示，在與中，，、分別是上的中線，且，求證：；

證明：∵、分別是上的中線，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；④有兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確，理由：如圖所示，在與中，，，、分別為、上的中線，且，求證：．

證明：延長至，使，連接，延長至，使，連接．，．為的中點(diǎn)，．在和中，，．同理，．，．在和中，，，，同理可得．．．綜上所述：真命題的個數(shù)是4個；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，則△DEB的周長為（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出BE=DE，由角平分線的性質(zhì)可得出DE=DC、AE=AC，根據(jù)周長的定義即可得出C△DEB=BE+DE+BD=AB=10，此題得解．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵DE⊥AB，即∴∴DE=BE∴△BDE為等腰直角三角形，∴BE=DE．∵AD平分∠CAB交BC于D，∴DE=DC，又∠C＝90°，

∴在和中，∵∴∴AE=AC，∴C△DEB=BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)找出BE=DE、DE=DC、AE=AC是解題的關(guān)鍵．3．（2020上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作，，垂足分別為M、N．下面四個結(jié)論：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可證得是的角平分線，又由，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可證得；②根據(jù)證明，利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出；③根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出；④根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正確；②∵，，∴，∵，∴；故②正確；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正確；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·廣東江門·八年級新會華僑中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，中，，，平分交于，于，且，則的周長為（

）

A．12 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出的周長即可．【詳解】解：∵平分，，，∴，在和中，，∴（），∴，∴的周長，，，，，，∵，∴的周長為．故選：B．2．（2023上·天津·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知平分，于E，，則下列結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的有．（只寫序號）【答案】①②③【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)及得，進(jìn)而可判斷①；利用得則可判斷③；利用全等三角形的性質(zhì)及角的等量代換即可判斷②，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交AD的延長線于點(diǎn)F，平分，于E，，，在和中，，，，，，，，，，故①正確；在和中，，，，，故③正確；，，，故②正確；故答案為：①②③．3．（2023上·江蘇南京·八年級南京外國語學(xué)校?？计谥校┮阎狐c(diǎn)O到的兩邊所在直線的距離相等，且．

(1)如圖1，若點(diǎn)O在邊上，過點(diǎn)O分別作，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)O在的內(nèi)部，求證：；(3)若點(diǎn)O在的外部，“小強(qiáng)”同學(xué)認(rèn)為也一定成立，你同意他的想法嗎？若同意，請說明理由；若不同意，請畫出反例并進(jìn)行必要的標(biāo)注．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)不同意，見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明，則，進(jìn)而可證；（2）過點(diǎn)O作于E，于F，如圖1所示，證明，則，由，可得，則，進(jìn)而可證；（3）由題意知分三種情況：①過點(diǎn)O作的延長線于點(diǎn)E，作的延長線于點(diǎn)F，如圖3所示，證明，則，，進(jìn)而可得，進(jìn)而可證；②過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，作的延長線于點(diǎn)F，連接，如圖4所示，證明，則，由，可得，③過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，作的延長線于點(diǎn)F，連接，如圖5所示：同理②，可得，然后作答即可．【詳解】（1）證明：由題意知，，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：過點(diǎn)O作于E，于F，如圖1所示，

∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；（3）解：不同意他的想法，理由如下：分三種情況：①過點(diǎn)O作的延長線于點(diǎn)E，作的延長線于點(diǎn)F，如圖3所示：

∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；②過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，作的延長線于點(diǎn)F，連接，如圖4所示：

∴，，∵，，∴，∴，∵，∴；③過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，作的延長線于點(diǎn)F，連接，如圖5所示：

同理②，，∴，∵，∴；綜上所述，不一定成立．題型七直角三角形的性質(zhì)1．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k上寶中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，點(diǎn)分別是對角線的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖所示，連接，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得，根據(jù)“邊邊邊”可證，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，點(diǎn)分別是對角線的中點(diǎn)，∴在中，是斜邊的中線，則，在中，是斜邊的中線，則，∴，∵點(diǎn)是對角線的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，∴，且，∴，∴，故選項正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，中，，、分別平分、，，下面結(jié)論中不一定正確的是(

)

A． B．C． D．點(diǎn)O到直線的距離是1【答案】C【分析】由角平分線的定義求出，由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)求出的度數(shù)是，的長在變化不一定等于，由直角三角形的性質(zhì)得到，由角平分線的性質(zhì)得到，得到到的距離是，據(jù)此即可求解．【詳解】解：作于，于，

、分別平分、，，，，，故A正確；、分別平分，是的內(nèi)心，平分，，，故B正確；的長在變化不一定等于，故C不一定正確；，，，，到的距離是，故D正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．3．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且AE平分∠BAC，下列關(guān)系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE＝BE，根據(jù)等邊對等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝EC，然后對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A.在Rt△ACE中，，故A錯誤，符合題意；B.∠B＝∠CAE=30°，故B正確，不符合題意；C.∵，，∴∠DEA＝∠CEA，故C正確，不符合題意；D.在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故D正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）在中，，如果將這個三角形折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，那么等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到是的垂直平分線，得到，進(jìn)而得到，再利用三角形的外角定理得，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出，即可得到．【詳解】解：如圖，連接，

∵折疊，∴是的垂直平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，含30度的直角三角形，根據(jù)題意，正確的畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·山西呂梁·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)．若，則．【答案】/【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性這些質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．連接，由等腰三角形的性質(zhì)求出，再求出，可證，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接．∵，，∴．由作法知，是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．3．（2023上·廣東深圳·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，平分，E為上的一個動點(diǎn)（不與A、C重合），，垂足為F．(1)求證：；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)時，求的長？【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線的定義得到，由此可證明；（2）先求出，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，求出，得到，則；（3）先求出，則，即可得到，再證明，得到，則，解方程得到，則．【詳解】（1）證明：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，在中，，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊，角平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，列函數(shù)關(guān)系式等等，熟知含30度角的直角三角形中，30度角所對的直角邊長是斜邊長的一半是解題的關(guān)鍵．題型八勾股定理1．（2022上·上海青浦·八年級?？计谀┟绹鴶?shù)學(xué)家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點(diǎn)，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由題意求得，根據(jù)的面積為梯形面積減去兩個直角三角形的面積，列式計算即可求解．【詳解】解：∵的面積為1，∴，即，∵，即，∴，即，∴的面積．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用面積關(guān)系，完全平方公式的變形求解．2．（2022下·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖中能用來證明勾股定理的有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】運(yùn)用等面積法證明即可；【詳解】①根據(jù)等面積法得：，得出，可以證明勾股定理；②，得出，可以證明勾股定理；③不能證明勾股定理；④，得出，可以證明勾股定理；⑤得出，可以證明勾股定理；⑥，得出，可以證明勾股定理；⑦，不可以證明勾股定理；故①②④⑤⑥可以證明勾股定理；故選：C．【點(diǎn)睛】該題主要考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用等面積法的列等量關(guān)系．3．（2023上·山東濟(jì)南·八年級濟(jì)南市章丘區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖由“趙爽弦圖”變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，則的值是（

）A．12 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】分析已知條件，圖形由八個全等的直角三角形拼接而成，可設(shè)直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，用含a、b的式子把正方形，正方形，正方形的面積，，表示出來，得出根據(jù)，，，最后根據(jù)，代入求解即可．【詳解】解：該圖形由用八個全等的直角三角形拼接而成，設(shè)直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，∴，，，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形面積關(guān)系，弄清圖形的意義，熟練掌握勾股定理以及完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）；如果大正方形的面積是，小正方形的面積是，直角三角形的兩直角邊分別為、，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了勾股定理，完全平方式，根據(jù)大正方形的面積是，可得，根據(jù)小正方形的面積是，可得，將這兩個式子變形即可解決問題．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為、，大正方形的面積是，小正方形的面積是，∴，，由得：，得：，得：，∴，故選：．2（2023上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為50，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊，則．【答案】23【分析】由大正方形的面積為50結(jié)合勾股定理可得出；由小正方形的邊長為，即得出，即，最后整體代入計算即可．【詳解】解：由圖可知大正方形的邊長為．∵大正方形面積為50，∴，即．由圖可知小正方形的邊長為，∵小正方形面積為4，∴，即，將代入，得：，∴．故答案為：23．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理中弦圖的有關(guān)計算，準(zhǔn)確找出圖中的線段關(guān)系，并利用完全平方公式求出各個式子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結(jié)論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點(diǎn)，可得，，邊上的高為______．【答案】(1)見解析(2)6，【分析】本題考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用（1）表示出三個圖形的面積進(jìn)行加減計算可證；（2）計算出的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得邊上的高；【詳解】（1）解：，，，，∴，化簡得：；（2）解：設(shè)邊上的高為，則：，∴，∴即AB邊上的高是，故答案為：，．題型九勾股定理的逆定理1．（2023上·江蘇徐州·八年級?？计谥校┫铝袟l件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為；兩邊平方和等于第三邊平方的三角形為直角三角形．根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，即可判斷A、B；根據(jù)平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判斷C；根據(jù)勾股定理的逆定理，即可判斷D．【詳解】解：A、∵，，∴，解得：，能判定是直角三角形，不符合題意；B、∵，∴，，，不能判定是直角三角形，符合題意；C、∵，∴，能判定是直角三角形，不符合題意；D、設(shè)，，能判定是直角三角形，不符合題意；故選：B．2．（2023上·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有長度為的五根細(xì)木條，若選擇其中的三根首尾順次相接，恰好能擺成直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理，根據(jù)如果一個三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，由此逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、，故不能擺成直角三角形，不符合題意；B、，故不能擺成直角三角形，不符合題意；C、，故能擺成直角三角形，符合題意；D、，故不能擺成直角三角形，不符合題意；故選：C．3．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，是由繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明是等邊三角形，得，，再由勾股定理的逆定理可證明是等腰直角三角形得出，進(jìn)而求出，利用等邊對等角求出，從而可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，如圖：∵是等邊三角形，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，即，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出是等邊三角形．鞏固訓(xùn)練1（2023上·山東東營·八年級?？茧A段練習(xí)）如果a，b，c是三角形的三邊并且滿足：，則三角形的面積是（

）A．24 B．48 C．12 D．6【答案】D【分析】可得，求出a，b，c的值，用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷三角形的形狀，即可求解【詳解】解：由題意得，解得：，，，三角形是以a，b為直角邊的直角三角形，；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理，理解非負(fù)性，掌握逆定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，和的垂直平分線和分別交于點(diǎn)D、E，若，，，則的面積等于．【答案】18【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：連接、，如圖，是線段的垂直平分線，，是線段的垂直平分線，，，∴，∴，，故答案為：18．3．（2023上·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）【綜合與實(shí)踐】建筑工地上工人師傅經(jīng)常需畫直角或判定一個角是否是直角，現(xiàn)僅有一根繩子，請幫助工人師傅完成此項工作．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，小歌、小智兩名同學(xué)經(jīng)過討論，在繩子上打13個等距的繩結(jié)，做成如圖①所示的“工具繩”．他們利用此“工具繩”分別設(shè)計了以下方案：小歌的方案：如圖②，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將繩結(jié)點(diǎn)C、D固定，拉直、分別繞繩結(jié)點(diǎn)C、D旋轉(zhuǎn)，使繩結(jié)點(diǎn)A、B在點(diǎn)E處重合，畫出，則．

小智的方案：如圖③，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將中點(diǎn)O固定，拉直繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）到的位置，畫出，則．問題解決：(1)填空：在小歌的方案中，依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是；(2)根據(jù)小智的方案，證明：；(3)工地上有一扇如圖④所示的窗戶，利用“工具繩”設(shè)計一個與小歌、小智不一樣的方案，檢驗(yàn)窗戶橫檔與豎檔是否垂直．畫出簡圖，并說明理由．【答案】(1)勾股定理的逆定理(2)見解析(3)見解析，理由：到一條線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．【分析】本題主要考查直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理以及垂直平分線的性質(zhì)等知識．（1）由可判斷是直角三角形，且，由此可知得出依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是勾股定理的逆定理；（2）由操作得出和為等腰三角形，得到，再由三角形內(nèi)角和定理可得出，得，從而可得出；（3）利用“工具繩”畫出的垂直平分線即可．【詳解】（1）∵，∴是直角三角形，且，依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是：勾股定理的逆定理，故答案為：勾股定理的逆定理；（2）∵為的中點(diǎn)，∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴,∴和為等腰三角形，∴，又，∴∴∴；（3）如圖，

將工具繩置于處，1.先以P點(diǎn)為圓心，為半徑畫一個圓，2.再以Q點(diǎn)為圓心，為半徑畫一個圓，3.兩圓會有兩個交點(diǎn)，用直尺連接，4.觀察連線與是否重合理由：到一條線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．題型十勾股定理的應(yīng)用1．（2023上·山東威海·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測量與地面垂直的旗桿高度．如圖，已知系在旗桿頂端A的繩子緊貼旗桿垂到地面后，在地面上多出1米，將繩子拉直后測出繩子的末端與地面的重合點(diǎn)C到旗桿底部B的水平距離為5米，則旗桿的高度為（

）

A．5米 B．12米 C．13米 D．17米【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．設(shè)旗桿的長為，根據(jù)，，，運(yùn)用勾股定理得到，解方程即得．【詳解】解：設(shè)旗桿的長為．根據(jù)題意，得，，．在中，．∴．解方程，得．答：旗桿的長為12米．故選：B．2．（2023下·廣西南寧·八年級校考階段練習(xí)）如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時為，如果梯子頂端A沿墻下滑至點(diǎn)C，那么梯子的底端B外移至點(diǎn)D，則的長（

）

A．小于 B．等于 C．大于 D．不確定【答案】C【分析】梯子的長是不變的，只要利用勾股定理解出梯子滑動前和滑動后所構(gòu)成的兩直角三角形即可．【詳解】解：在中，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，即的長大于，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用和實(shí)數(shù)的大小比較，利用圖形培養(yǎng)同學(xué)們解決實(shí)際問題的能力，由已知觀察題目的信息抓住不變量是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．3．（2022上·江西九江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交會，公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是．如果火車行駛時，周圍以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時，點(diǎn)處受噪音影響的時間是（

）A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒【答案】A【分析】過點(diǎn)A作，設(shè)在點(diǎn)B處開始受噪音影響，在點(diǎn)D處開始不受噪音影響，則，，根據(jù)勾股定理求出求出的長，進(jìn)而得到的長，即可得出居民樓受噪音影響的時間．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作，設(shè)在點(diǎn)B處開始受噪音影響，在點(diǎn)D處開始不受噪音影響，則，，∵公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴，∵，∴A處受噪音影響的時間為：．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時（即水平距離m），踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（）

A．m B．m C．6m D．m【答案】A【分析】設(shè)，則，然后根據(jù)勾股定理得到方程，解方程即得答案.【詳解】解：設(shè)，則，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即繩索的長是m；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、得出是解題的關(guān)鍵.2．（2023下·四川綿陽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，河岸，互相平行，橋垂直于兩岸，從處看橋的兩端，，夾角，測得，則橋長m（結(jié)果精確到）．

【答案】24【分析】由含角的直角三角形的性質(zhì)得，再由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：，，為直角三角形．，，，，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性質(zhì)求出的長是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）燕塔廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所，某校八年級的王明和孫亮兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：

①測得的長度為8米；（注：）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線的長為17米；③牽線放風(fēng)箏的王明身高米；(1)求風(fēng)箏的垂直高度．(2)若王明同學(xué)想讓風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】(1)米；(2)7米．【分析】（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，，所以，（負(fù)值舍去），所以，（米），答：風(fēng)箏的高度為米；（2）解：連接，由題意得，米，

，（米），（米），他應(yīng)該往回收線7米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，解題的關(guān)鍵是能從實(shí)際問題中抽象出直角三角形．題型十一用勾股定理解三角形1．（2023上·江蘇南京·八年級南京五十中校考期中）如圖，在中，為邊上的高，為邊上的中線，，則的長度是（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】本題考查勾股定理，直角三角形的性質(zhì)；先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可求得，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：在中，，為邊上的中線，，∴，∵，∴，∵為邊上的高，∴，∴由勾股定理得：，∴，∴，故選：D．2．（2023上·天津·八年級校聯(lián)考期中）如圖，三角形紙片中，，在上取一點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行翻折，使的一部分與重合，與延長線上的點(diǎn)重合，若，，則，的長度為（）

A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)，先由含角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出，再由折疊的性質(zhì)可得，，再由含角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出，進(jìn)行計算即可得到答案，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，，，，，，由折疊知，，，在中，，，，，，，，，故選：B．3．（2023上·吉林·九年級吉林松花江中學(xué)校考期中）如圖，是等腰三角形的底邊的中線，，，與關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，連接，則的長是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及中心對稱，掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得出，，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵是等腰三角形的底邊的中線，，∴，，∵與關(guān)于點(diǎn)C中心對稱，，∴，，，∴，∴．故選：D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，的平分線交于點(diǎn)，且．將沿折疊使點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合．①

②點(diǎn)到的距離為8

③

④

以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷①；根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷②；設(shè)，則，中，，，繼而求得；根據(jù)，求得，可得，即可判斷④．【詳解】解：中，，，故①正確；如圖，過點(diǎn)作于，于，

，平分，，是的角平分線，，，，故②正確；將沿折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合，，設(shè)，則，中，，．，解得，，故③正確；，且，即，，故④正確；結(jié)論正確的個數(shù)是4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，高相等的兩個三角形面積的比等于底邊的比，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊的，上各取一點(diǎn)，，使，，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．若，則的長為．

【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)可得，可證，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，，如圖，過點(diǎn)作于，

，，，，，，，，，，故答案為：．3．（2023上·山東泰安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知與都是等腰直角三角形，其中，為邊上一點(diǎn)．(1)找出圖中的一對全等三角形，并說明理由；(2)求證：．【答案】(1)，理由見解析(2)見解析【分析】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明是解題的關(guān)鍵．（1）由與都是等腰直角三角形，，可知，，，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，由，得，，則，根據(jù)勾股定理得，則．【詳解】（1）解：，理由：與都是等腰直角三角形，，，，，在和中，，．（2）證明：，，，，，，，，．題型十二勾股定理與折疊問題1．（2023上·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┤鐖D，長方形中，，，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，則的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，設(shè)，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，問題隨之得解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，∴，故選：B．2．（2023上·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將長方形沿對角線對折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于，，，則重疊部分（即）的面積為（

）A．24 B．30 C．40 D．80【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理與折疊問題，平行線的性質(zhì)，等角對等邊性質(zhì)，由折疊結(jié)合矩形的性質(zhì)先證明，設(shè)，則，再利用勾股定理求解，從而可得的面積．掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：長方形，，，由對折可得：設(shè)，則，∵∴．故選：C．3．（2023上·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，把沿著直線翻折，得到，連接交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的長為()

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題，先由沿著直線翻折，得到，證明垂直平分，再由，根據(jù)勾股定理求得，再由，得，則，即可列面積等式求得，則，再根據(jù)勾股定理求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵沿著直線翻折，得到，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的長是，故選：B．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，將沿翻折得到，交于點(diǎn)E，F(xiàn)為中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)G，連接，若，，的面積為42，則的面積為（）A．26 B．24 C．21 D．15【答案】D【分析】本題考查了翻折變換的折疊問題、勾股定理和三角形的面積的計算，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，由勾股定理得到，由題意得，，進(jìn)一步得到，求得，即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，∵，，∴，∵的面積為42，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，∵沿翻折得到，∴，則，解得，∴，則，，故選∶D．2．（2023上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一張長方形紙片，，．先對折長方形紙片使與重合，得到折痕，再將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)恰好落在折痕上時，則的長為．【答案】【分析】本題考查矩形的判定及其性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)對折長方形紙片使與重合，得到折痕，求得，根據(jù)將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)恰好落在折痕EF上，得到，，在和中，應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】解：在長方形中，，，，∵對折長方形紙片使與重合，得到折痕，∴，，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)恰好落在折痕上，∴，在中，，即，∴，∴，在中，，即，∴，故答案為：．3．（2023上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，勾股定理；（1）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中根據(jù)勾股定理，列出方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，由翻折可得，，（2）解：由翻折可得，設(shè)，則，

在中，解得，．題型十三求最短路徑問題1．（2023上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長為，高為，是底面直徑，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到點(diǎn)的最短路程是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及幾何體的展開圖形，將圓柱側(cè)面沿展開，則點(diǎn)、點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，連接，利用勾股定理即可求解，熟練掌握勾股定理及圓柱的展開圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將圓柱側(cè)面沿展開，則點(diǎn)、點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，連接，如圖：

，，在中，根據(jù)勾股定理得：，故選B．2．