三角形中的數(shù)學(xué)思想方法與熱點(diǎn)題型解析-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?？键c(diǎn)

第02講三角形中的數(shù)學(xué)思想方法與熱點(diǎn)題型（解析版）

弟一部分福畫加析+針對(duì)訓(xùn)綜

類型一方程思想

典例1在四邊形ABC。中，ZA與NC互補(bǔ)，ZA的3倍與NB的2倍相等，ZB的5倍與/C的6倍相等，

求NA：ZB：ZC：ZD.

3

思路引領(lǐng)：設(shè)/A為x,則/C為180。-x,N8為鼻x,再根據(jù)乙8的5倍與/C的6倍相等列出方程解

答即可.

3

解：設(shè)/A為x,則/C為180°-x,NB為r,

2

-3

可得：5x|x=6x（180°-x）,

解得：x=80。，

所以/4=80°,ZB=120°,ZC=100°,ZD=60°,

所以NA：ZB：ZC：ZD=4：6：5：3.

解題秘籍：此題考查多邊形的外角和內(nèi)角，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程解答.

典例2（江陰市期中）如圖，AABC,ZABC./4CB的三等分線交于點(diǎn)E、D,若N8FC=132°,NBGC

=118°,則NA的度數(shù)為（）

A.65°B.66°C.70°D.78°

思路引領(lǐng)：先根據(jù)三等份角得出結(jié)論，再利用三角形的內(nèi)角和列出方程，兩方程相加即可求出/A3C+

N4CB即可.

解：VAABC,/AC8的三等分線交于點(diǎn)E、D,

；.NCBG=NEBG=NABE=^ZABC,

1

NBCF=/ECF=ZACE=^ZACB,

在ABCG中，ZBGC=118°,

AZC?G+ZBCE=1800-NBGC,

：.ZCBG+Z2ZBCF=62°①

在△8CF中，NBFC=132°,

：.ZBCF+ZCBF=\SOa-ZBFC,

：.ZBCF+2ZCBG=4SQ②，

①+②得，3ZBCF+3ZCfiG=1103,

；./4=180°-（NBCF+NCBG）=70°,

故選：C.

解題秘籍：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180。這一隱

含的條件.用方程的思想解幾何問(wèn)題.

針對(duì)訓(xùn)練1

1.（2018秋?安慶期末）已知aABC中，NA比它相鄰的外角小10°,則/B+NC為（）

A.85°B.95°C.100°D.110°

思路引領(lǐng)：設(shè)NA=x°.構(gòu)建方程求出x,再利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題.

解：設(shè)NA=x°.

由題意：180-x-x=10,

解得x=85,

AZA=85°,

AZB+ZC=180°-85°=95°,

故選：B.

解題秘籍：本題考查三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常

考題型.

2.（2017春?江都區(qū)期中）如圖，/MBC的面積為18,8ZX2DC,AE=EC,那么陰影部分的面積是—.

—5—

思路引領(lǐng)：根據(jù)3￡>=2￡>C,AE=EC可設(shè)△。尸C的面積為x,的面積為y,則的面積為2%,

△AE尸的面積為再列出關(guān)于x、y的方程，求出x+y的值即可.

解：連接CF,

'：BD=2DC,AE=EC,

...設(shè)△。尸C的面積為x,的面積為y,則△BFD的面積為2r,△△￡下的面積為y,

VABEC的面積=|SAABC=9,

.13x+y=9①，

,:AADC的面積=.SAABC=6,

???x+2y=6②

①+2X②，可得x+y=誓.

故4答案為：Y-

解題秘籍：本題考查的是三角形的面積，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用三角形面積的性質(zhì)求解.

3.（2021?柳南區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角比它的外角的2倍多60°,則它的邊數(shù)是.

思路引領(lǐng)：設(shè)這個(gè)正多邊形的外角度數(shù)為x度，根據(jù)“一個(gè)內(nèi)角比它的外角的2倍多60°”建立方程求

出x,再用360度除以x即可得.

解：設(shè)這個(gè)正多邊形的外角度數(shù)為x度，

則2x+60+x=180,

解得：x=40,

即這個(gè)正多邊形的外角度數(shù)為40°,

它的邊數(shù)為360°+40°=9,

故答案為：9.

解題秘籍：本題主要考查多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和、外角和定理等性質(zhì).

4.（2021春?錫山區(qū)期中）如圖，在AABC中，C。是/4C8的角平分線，CE是A8邊上的高，若NDCE

=10°,Zfi=60°,求NA的度數(shù).

思路引領(lǐng)：在ABCE中由NBEC=90°,ZB=60°能夠得出NBCE=30°；結(jié)合CO是NACB的角平分

線，ZDCE=10°可得出NACE的度數(shù)；在Rt/XACE中由NACE的度數(shù)及/AEC=90°,即可得出NA

的度數(shù).

解：是AB邊上的高，

/.ZA+ZACE=90°,NB+NBCE=90°.

是NACB的角平分線，

/.NACD=NBCD=^ZACB,

又：NDCE=10°,ZB=60°,

.?./8CE=90°-ZB=30°,NBCD=NBCE+NDCE=40",

ZACE=ZACD+ZDCE=ZBCD+ZDCE=50°,

/.ZA=90°-ZACE=40°.

解題秘籍：本題考查了三角形的內(nèi)角和、三角形的角平分線及高線，解題的關(guān)鍵是找出/ACB一半的度

數(shù).本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該類型題目時(shí)，利用角平分線及三角形的內(nèi)角和找到相關(guān)角的大

小是關(guān)鍵.

類型二分類討論思想

典例3（永年區(qū)期末）如圖是一個(gè)多邊形，你能否用一直線去截這個(gè)多邊形，使得到的新多邊形分別滿足下

列條件：（畫出圖形，把截去的部分打上陰影）

①新多邊形內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了180°.

②新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等.

③新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了180°.

②過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)和相鄰邊上的點(diǎn)作出直線即可求解；

③過(guò)相鄰兩邊非公共頂點(diǎn)作出直線即可求解；

（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式先求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個(gè)角的情況進(jìn)行討論.

解：（1）如圖所示：

則（〃-2）780°=2520°,

解得n=16,

①若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1,則原多邊形邊數(shù)為15,

②若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為16,

③若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為17,

故原多邊形的邊數(shù)可以為15,16或17.

解題秘籍：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，注意要分情況進(jìn)行討論，避免漏解.

典例4（平泉市期末）已知：NMON=40：OE平分點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上

的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)。重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)。.設(shè)/O4C=x°.

A/

（1）如圖1,若4B〃0N,則

①NAB。的度數(shù)是；

②當(dāng)時(shí)，x=；當(dāng)/班。=NBDA時(shí)，x=.

（2）如圖2,若則是否存在這樣的x的值，使得△AOB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x

的值；若不存在，說(shuō)明理由.

思路引領(lǐng)：利用角平分線的性質(zhì)求出NA30的度數(shù)是關(guān)鍵，分類討論的思想.

解：（1）①..,NMON=40°,0E平分NMON,

：.ZAOB=ZBO7V=20°,

'.,AB//ON,

：.ZABO=20",

ZBAD=ZABD,

；.NBAD=20°,

,/ZAOB+ZABO+ZOAB=180°,

：.ZOAC=120°,

；NBAD=NBDA,430=20°,

AZBAD=80°,

ZAOB+ZABO+ZOAB=l80a,

AZOAC=60°；

故答案為：①20°；②120,60；

（2）①當(dāng)點(diǎn)。在線段08上時(shí)，

,/OE是NMON的角平分線，

AZAOB=|ZMO/V=20°,

'.'AB1.OM,

：.ZAOB+ZABO^90°,

AZABO=10°，

若N3Ao=NA8O=70°,則x=20

若NR4O=/BOA=*(180°-70°)=55°,則x=35

若NADB=NABD=70°,則/BA￡)=180°-2X70°=40°,：.x=50

②當(dāng)點(diǎn)。在射線8E上時(shí)，因?yàn)镹A8E=110°,且三角形的內(nèi)角和為180°,

所以只有/&4￡)=/BOA,此時(shí)x=l25.

綜上可知，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角，

且x=20、35、50、125.

解題秘籍：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于

180°,三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

針對(duì)訓(xùn)練2

5.(2017春?景德鎮(zhèn)期中)已知一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為4cm,另一邊長(zhǎng)為6c5，那么這個(gè)等腰三角形的周

長(zhǎng)為()

A.14cmB.16cmC.14c,"或16CVT!D.以上都不對(duì)

思路引領(lǐng)：分4cm為等腰三角形的腰和6c7〃為等腰三角形的腰，先判斷符合不符合三邊關(guān)系，再求出周

長(zhǎng).

解：當(dāng)4cm為等腰三角形的腰時(shí)，

三角形的三邊分別是4c,”，4cm,6c〃?符合三角形的三邊關(guān)系，

周長(zhǎng)為14cm；

當(dāng)6cm為等腰三角形的腰時(shí)，

三邊分別是，6cm,6cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系，

...周長(zhǎng)為\6cin,

故選：C.

解題秘籍：此題是等腰三角形的性質(zhì)題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分類考慮

是解本題的關(guān)鍵.

6.將長(zhǎng)為24的木棒截成互不相等的且長(zhǎng)都為整數(shù)的三段，使這三段能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊，則不同

的截法有種.

思路引領(lǐng)：已知三角形的周長(zhǎng)，分別假設(shè)三角形的最長(zhǎng)邊，從而利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可求得

不同的截法.

解：?.?細(xì)木棒的長(zhǎng)度為24,即三角形的周長(zhǎng)為24,

...①當(dāng)三角形的最長(zhǎng)邊為11時(shí)，有4種截法，分別是：11,10,3；11,9,4；11,8,5；11,7,6；

②當(dāng)三角形的最長(zhǎng)邊為10時(shí)，有2種截法，分別是：10,9,5；10,8,6；

③當(dāng)三角形的最長(zhǎng)邊為9時(shí)，有1種截法，是：9,8,7；

其中是互不相等的三段的截法有7種.

故答案為：7.

解題秘籍：此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解及運(yùn)用能力，注意不能構(gòu)成三角形的情況一定要

排除.

類型三轉(zhuǎn)化思想

典例5（2015秋?武漢校級(jí)期中）（1）如圖（1）,將AABC紙片沿著。E對(duì)折，使點(diǎn)A落在四邊形8CQE內(nèi)

點(diǎn)A'的位置，探索NA,Z1,/2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如圖（2）,繼續(xù)這樣的操作，把AABC紙片的三個(gè)角按（1）的方式折疊，三個(gè)頂點(diǎn)都在形內(nèi)，那

么N1+N2+N3+/4+/5+N6的度數(shù)是.

（3）如果把n邊形紙片也做類似的操作，n個(gè)頂點(diǎn)都在形內(nèi)，那么/1+/2+/3+…+/2〃的度數(shù)為_（用

含有〃的代數(shù)式表示）.

思路引領(lǐng)：（1）運(yùn)用折疊原理及四邊形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；

（2）由折疊可知Nl+N2+N3+/4+/5+N6=N8+NB'+/C+/C+NA+NA',又知NC=N

C,故能求出N1+N2+N3+N4+N5+N6的度數(shù)和；

（3）利用（1）（2）的計(jì)算方法：類比得出答案即可.

解：（1）連接AA',

'：Z\^^BAA'+ZAA'E,/2=NOL4'+NMD,

：.Z\+Z2=ZBAA'+ZAA'E+ZCAA'+NAA'D=ZBAC+ZDA'E,

又；N8AC=NDA'E,

.../l+/2=2/8AC；

(2)Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=ZB+ZB'+ZC+ZC+Z/1+ZA',

:NB=NB;NC=/C,ZA=ZA',

：.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=2(ZB+ZC+ZA)=360°；

(3)N1+N2+N3+…+N2”

=2(N8+/C+NA)(n-2)

=360°(n-2).

解題秘籍：本題考查圖形的折疊與拼接，同時(shí)考查了三角形、四邊形等幾何基本知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練3

7.(2021秋?涼山州期末)如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=()度.

A.180B.270C.360D.540

思路引領(lǐng)：根據(jù)''三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”可知能把，Zl,Z2,Z3,Z4,Z5,

N6全部轉(zhuǎn)化到N2,/3所在的四邊形中，利用四邊形內(nèi)角和為360度可得答案.

解：如圖所示，

VZ4+Z6=Z7,Z1+Z5=Z8,

又；N3+/2+N7+/8=360°,

AZ1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6-36O0,

故選：c.

解題秘籍：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系及四邊形內(nèi)角和定理，（1）三角形的外角等

于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；（2）四邊形內(nèi)角和為360°.

8.（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖①，猜想：ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF-

我們把圖①稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為NA+NB+NC+/O+/E+/F；圖②稱為二環(huán)四邊形，它的

內(nèi)角和為/A+/B+/C+/Q+NE+NF+/G+/H.則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為

二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為

二環(huán)"邊形的內(nèi)角和為

①

思路引領(lǐng)：連接AE,可得NQ+NC=NCAE+NQEA,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和公式即可求解；

￡＞、E之間添加兩條邊，可得NM+NMEF+NMDH=NG+NF+NH,再根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式即可求

解；

根據(jù)二環(huán)三角形、二環(huán)四邊形和二環(huán)五邊形的內(nèi)角和可得二環(huán)n邊形的內(nèi)角和.

解：如圖，

①

連接AE,則/O+NC=NCAE+/OEA,

ZBAC+ZB+ZC+Z￡>+ZDEF+ZF=NBAE+/B+/F+/FEA=360°:

如圖，。、E之間添加兩條邊，可得NM+NMEF+ZMOHuNG+ZT+N，，

則/A+/8+/C+/COH+/F+NG+N//+/AEF=/A+/B+/C+/C￡>M+/ME4+/M=720°；

?二環(huán)三角形的內(nèi)角和是360°=360°X(3-2),

二環(huán)四邊形的內(nèi)角和是720°=360°X(4-2),

.,.二環(huán)五邊形的內(nèi)角和是360°X(5-2)=1080°,

二環(huán)〃邊形的內(nèi)角和是360°X(〃-2).

故答案為：360°；720°；1080°；360°X(〃-2).

解題秘籍：本題考查了多邊形內(nèi)角和定理：(?-2)-180°(〃23)且〃為整數(shù))，正確畫出輔助線是解

題關(guān)鍵.

9.(2021?普陀區(qū)模擬)發(fā)現(xiàn)

如圖1,在有一個(gè)"凹角NAiA2A3”“邊形A1A2A3A4........A”中(w為大于3的整數(shù)),NAiA2A3=乙鈕+

NA3+N44+NA5+NA6+........+NA"-(n~4)X180°.

驗(yàn)證

(1)如圖2,在有一個(gè)“凹角NABC”的四邊形ABCQ中，證明：ZABC=ZA+ZC+ZD.

(2)如圖3,在有一個(gè)“凹角/A8C”的六邊形A8CCE/中，證明：ZABC^ZA+ZC+ZD+ZE+ZF

-360°.

延伸

(3)如圖4,在有兩個(gè)連續(xù)“凹角4A2A3和/AM3A4”的n邊形4AM3A4…-An中(n為大于4的整數(shù))，

ZAIA2A3+ZA2A3A4=ZA1+ZA4+ZA5+ZA6.…+ZAn-(〃-)X180°.

圖1

_____A

D

圖3

思路引領(lǐng)：(1)如圖2,延長(zhǎng)AB交CO于E,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

(2)如圖3,延長(zhǎng)AB交C。于G,則NABC=N8GC+/C,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得

到結(jié)論；

(3)如圖4,延長(zhǎng)A2A3交45A4于C,延長(zhǎng)A3A2交44于8,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到NA1A2A3+

ZA2A3A4=ZA?+Z2+Z/I4+Z4,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和得到Zl+N3=(?-2-2)X180°-(ZA5+Z

4-…+NA"),于是得到結(jié)論.

解：(1)如圖2,延長(zhǎng)AB交C￡>于E,

則/A8C=/BEC+/C,NBEC=NA+ND,

NABC=NA+ZC+ZD；

(2)如圖3,延長(zhǎng)48交CO于G,則N48C=/3GC+/C,

VZBGC=1800-NBGD,ZBGD=3X180°-(ZA+Z￡>+Z￡+ZF),

ZABC=ZA+ZC+ZD+ZE+ZF-360°；

(3)如圖4,延長(zhǎng)42A3交45A4于C,延長(zhǎng)A3A2交AiA"于B,

則NA1A243+NAM3A4=ZAl+Z2+ZA4+Z4,

VZ1+Z3=(n-2-2)X180°-(ZA5+ZA6…+ZA?),

而N2+N4=360°-(Z1+Z3)=360°-[(n-2-2)X180°-(ZA5+ZA6…+ZA?)],

.?./A1AM3+/AM3A4=/AI+/4+/A5+NA6-…+ZA,(-(〃-6)X180°.

解題秘籍：本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)，屬

于中考?？碱}型.

類型四整體思想

典例6(2021春?新吳區(qū)月考)(1)如圖①，把三角形紙片ABC沿。E折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形8C0E的

內(nèi)部時(shí)，NA與/1+/2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律；

(2)如果把△ABC紙片沿OE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形8CE。的外部點(diǎn)A'的位置，如圖②，此時(shí)NA

與Nl、N2之間存在什么樣的關(guān)系？

(3)如果把四邊形ABC。沿E/折疊，使點(diǎn)4、。落在四邊形BCFE的內(nèi)部A'、D'的位置，如圖③,

你能求出/A、ZD、N1與/2之間的關(guān)系嗎？(直接寫出關(guān)系式即可)

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)表示出/AOE、ZAED,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；

(2)先根據(jù)折疊的性質(zhì)及平角的定義表示出/AOE、NAED,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可

得解;

(3)先根據(jù)折疊的性質(zhì)表示出NACE、NAED,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解;

解：(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:

ZADE=ZA(DE,ZAED=ZA'ED,

/.Zl=180o-2ZADE?,

N2=180°-2^AED@,

①+②，得

Zl+Z2=360°-2(NADE+NAED),

VZADE+ZAED+ZA^\SO0,

.?./AOE+NAE￡>=180°-ZA,

/.Zl+Z2=360°-2(180°-NA)

=360°-360°+2ZA

=2NA,

/.ZA=1(Z1+Z2).

故答案為：ZA=1(Z1+Z2).

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，

AZI=1800-2ZADE@,

Z2=2ZA￡D-1800②,

①-②，得

Z1-Z2=180°-2ZAD￡-2ZAED+180°

=360°-2CZADE+ZAED),

，2(N4OE+NAE。)=360°-(Z1-Z2),

VZA+ZADE+ZAED=180°,

JZADE+ZAED=180°-ZA,

A2(180°-NA)=360°-(Z1-Z2),

360°-2Z4=360°-Z1+Z2,

AZI-Z2=2ZA,

/.Z/l=1(Z1-N2).

(3)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，

ZAEF=^(180°-Zl),

(180°-Z2),

VZA+ZD+ZAEF^ZDFE=360°,

.\ZA+ZD+1(180°-Zl)+.(180°-Z2)=360°,

A2(ZA+ZD)=Z1+Z2+36O°,

.,.ZA+ZD=1(Z1+Z2+3600).

解題秘籍：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角與外角，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是整

體思想的運(yùn)用.

10.(2021秋?平輿縣期末)如圖，在△ABC中，ZC=40°,將aABC沿著直線/折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)。的

位置，則N1-N2的度數(shù)是()

A.40°B.80°C.90°D.140°

思路引領(lǐng)：由折疊的性質(zhì)得到NO=NC,再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù).

解：由折疊的性質(zhì)得：ZD=ZC=40°,

根據(jù)外角性質(zhì)得：Z1=Z3+ZC,Z3=Z2+ZD,

則Nl=N2+NC+N￡>=/2+2/C=N2+80°,

則/I-Z2=80°.

故選：B.

解題秘籍：此題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），以及外角性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

II.（2021春?長(zhǎng)安區(qū)期末）如圖1和圖2,在三角形紙片4BC中，點(diǎn)O,E分別在邊AC,A8上，沿。E

折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)4的位置.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)A'落在8邊上時(shí)，ND4E與N1之間的數(shù)量關(guān)系為（只填序號(hào)），并說(shuō)明理

由；

①NQAE=N1

②NOAE=2/1

③N1=2NDAE

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫出ND4E與Nl,N2之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得N1=/E4O+/E4'D.由題意得：ZDAE=ZDA'E,可

推斷出/1=2ND4E.

（2）如圖2,連接AA'.由三角形外角的性質(zhì)，得N1=NA'AE+ZAA'E,Z2=ZA'AD+ZAA'D.由

題意知：ZEAD=ZEA'D,進(jìn)而推斷出/1+N2=2/EAO.

解：（1）由題意得：ZDAE^ZDA'E.

'：Zl^^EAD+ZEA'D^2ZDAE.

故答案為：③.

（2）Z1+Z2=2ZDA￡,理由如下:

如圖2,連接A4'.

由題意知：ZEAD=ZEA'D.

=AE+ZAA'E,Z2=ZA'AD+ZAA'D,

：.Z\+Z2^ZEAA'+ZA'AD+ZEA'A+ZAA'D=NEAD+NEA'D=2ZEAD.

解題秘籍：本題主要三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

類型五從特殊到一般思想

典例7（2021秋?高新區(qū)校級(jí)期末）小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1,在△ABC中，ZC>ZB,AE平分/8AC,AO_L8C于。.

猜想48、NC、/E4O的數(shù)量關(guān)系.

（1）小明閱讀題目后，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入N8、NC的值求NEAO值，得到

下面幾組對(duì)應(yīng)值：

/度1030302020

NC7度7070606080

NEAD/度30a152030

上表中。=,于是得到/8、/C、/EAO的數(shù)量關(guān)系為.

（2）小明繼續(xù)探究，在線段AE上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作POLBC于點(diǎn)O,請(qǐng)嘗試寫出NB、NC、Z

EPO之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）小明突發(fā)奇想，交換8、C兩個(gè)字母位置，如圖2,過(guò)E4的延長(zhǎng)線是一點(diǎn)尸作/￡）J_BC交C8的

延長(zhǎng)線于。，當(dāng)NABC=80°,/C=24°時(shí)，/尸度數(shù)為°.

圖1圖2圖3

思路引領(lǐng)：(1)求出N8AE和NBA。的大小即可得到NE4O的值，再通過(guò)找規(guī)律的形式得出三者的關(guān)系,

(2)分別用NB和NC表示出NBAE和NBA。，再由/EAO=NBAE和-84。即可得出答案，

(3)分析同(2).

解：(1)VZB=30°,ZC=70°,

.?.RtzXABQ中，NBAD=180°-ZB-ZBDA=180°-30°-90°=60°,

平分N84C,

111

：.ZBAE=^ZBAC=^(180°-AB-ZC)(180°-30°-70°)=40°,

AZEAD=ZBAD-ZBAE=60Q-40°=20°,

：.a=20f

故答案為：20；2ZEAD=ZC-ZB.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作A/」5c于尸，

：.PD//AF,

；?/EPD=NEAF,

二△ABC內(nèi)角和為180°,

.*.ZBAC=180°-ZB-ZC,

,：AE平分N84C,

：.ZBAE=^ZBAC=90°-咒巴

同時(shí)N84尸=90°-ZB,

二可得出NEAF=ZBAF-ZBAE=~=NEPD,

綜上所述，NEPD=紅產(chǎn);

(3)同理(2),依舊可得幺不4=28°,

故答案為：28.

解題秘籍：本題主要是考查三角形的內(nèi)角和同位角相等的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于各個(gè)角之間的轉(zhuǎn)化，

同時(shí)注意計(jì)算不能出錯(cuò).

針對(duì)訓(xùn)練7

12.(2022?泗水縣一模)如圖中，分別是由1個(gè)、2個(gè)、〃個(gè)(〃為正整數(shù))正方形連接成的圖形，在圖1

中，x=70°；在圖2中，y=28°；通過(guò)以上計(jì)算，請(qǐng)寫出圖3中a+6+c+-+”=()(用含〃的式子

下

有

”

個(gè)

正

方

形

正

A.45°nB.90°nC.135°nD.180°n

思路引領(lǐng)：根據(jù)圖形的變化規(guī)律歸納出有〃個(gè)小正方形時(shí)各夾角的度數(shù)和是90°〃即可.

解：連接各小正方形的對(duì)角線，如下圖：

圖1中，61°+119°+20°+x+45°X2=360°,

即20°+x=90°,

圖2中，61°+119°+31°+121°+y+45°X4=360°,

即31°+121°+v=180°=2X9?！?

以此類推，a+b+c+-+d=nXW°=90°”，

故答案為：B.

解題秘籍:本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化得出有n個(gè)小正方形時(shí)各夾角的度數(shù)和是90°

〃是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，Z1=Z2,N3=N4,于點(diǎn)D

(1)若NA=80°,則/￡>CE=40度:

(2)若NA=a,求/。CE的度數(shù).

思路引領(lǐng)：(1)在△A8C中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出/4BC+/ACB的度數(shù)，結(jié)合/1=N2,Z3

=N4及三角形的外角性質(zhì)可求出NOEC的度數(shù)，再在△CDE中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出NDCE

的度數(shù)；

(2)在AABC中，利用三角形內(nèi)角和定理可用含a的代數(shù)式表示出ZABC+NAC8的度數(shù)，結(jié)合/1=

N2,N3=N4及三角形的外角性質(zhì)可用含a的代數(shù)式表示出/OEC的度數(shù)，再在△COE中，利用三角

形內(nèi)角和定理可用含a的代數(shù)式表示出NOCE的度數(shù).

解：(1)在△4BC中，乙4=80°,

AZABC+ZACB=\S0°-ZA=l00°.

VZ1=Z2,Z3=Z4,

.?./2+/4=：(ZABC+ZACB)=50°,

.,.Z￡)EC=Z2+Z4=50°.

,:CDLBD,

.".ZDCE=180°-ZD-Z￡>￡C=180°-90°-50°=40°.

故答案為：40.

(2)在△ABC中，ZA=a,

AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-a.

VZ1=Z2,Z3=Z4,

1i

AZ2+Z4=1(ZABC+ZACB)=90°一為

???NDEC=N2+N4=90°-1a.

VCD1BZ),

AZD=90°,

11

AZDCE=180--ZD-ZD￡C=180°-90°-(90。一加t)=扣t.

解題秘籍：本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)利用三角形的外

角性質(zhì)，找出/QEC的度數(shù)；(2)利用三角形的外角性質(zhì)，用含a的代數(shù)式表現(xiàn)出/DEC的度數(shù).

類型六動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

典例8(2022春?江都區(qū)期中)/MON=90°,點(diǎn)A,8分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)。重合).

(1)如圖①，AE,BE分別是NBAO和NA8。的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A0=80時(shí)，Z

AEB=°；

(2)如圖②，若8c是NA3N的平分線，8c的反向延長(zhǎng)線與/OA8的平分線交于點(diǎn)￡>,隨著點(diǎn)4,B

的運(yùn)動(dòng)/O的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求/。的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖③，延長(zhǎng)M。至Q,延長(zhǎng)BA至G,已知NBA。，NOAG的平分線與NBOQ的平分線及其延

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；

(3)①當(dāng)NEAF=3NE時(shí)，，②當(dāng)NEA尸=3/尸時(shí)，③當(dāng)N尸=3NE時(shí)，④當(dāng)NE=3/尸時(shí),，根據(jù)三角

形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論.

解：(1).直線MN與直線PQ垂直相交于。，

；.4。8=90°,

???NOAB+NO8A=9(T,

BE分別是N3A0和NABO角的平分線，

11

：.ZBAE=^ZOABfNABE=^NABO,

1

/.ZBAE+ZABE=CZOAB+ZABO)=45°,

AZA￡B=135°；

故答案為：135；

(2)NO的度數(shù)不隨點(diǎn)A、8的移動(dòng)而發(fā)生變化，

設(shè)NB4O=a,

YAO平分NR40,

：.ZBAO=2a,

VZAOB=90°,

???N43N=180°-ZABO=ZAOB+ZBAO=90+2a,

■:BC平分/ABN,

：.ZABC=45°+a,

???ZABC=180°-ZABD=ZD+ZBAD.

：.ZD=ZABC-ZBAD=45Q+a-a=45°；

(3)???/班。與/8。。的平分線交于點(diǎn)￡

ZAOE=\35°,

???ZE=180°-ZEAO-ZAOE

=45°-ZAOE

=45°-1ZBAO

=45°--(180°-90°-NAB。)

1

=*48。，

VAE>AF分別是NA4O和NOAG的平分線，

111

/.ZEAF=^ZBAO+^ZGAO=1xl80°=90。,

在尸中，若有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，

則①當(dāng)NE4尸=3NE時(shí)，得NE=30°,此時(shí)NA5O=60°；

②當(dāng)NE4尸=3/尸時(shí).，得NE=60°，

此時(shí)NABO=120°>90°,舍去；

1

③當(dāng)/F=3/E時(shí)，得/E="x90°=22.5°,

此時(shí)NA6O=45°；

④當(dāng)/E=3NF時(shí)，得/E=,x90°=67.5°,

此時(shí)NABO=135°>90°,舍去.

綜上可知，/480的度數(shù)為60°或45°.

解題秘籍：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的

關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練6

14.（2022春?江陰市校級(jí)月考）在AABC中，射線AG平分NBAC交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)O在直線BC上運(yùn)動(dòng)

（不與點(diǎn)G重合），過(guò)點(diǎn)。作。E〃AC交直線45于點(diǎn)E.

圖1

（1）如圖1,點(diǎn)O在線段CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DF平分/EDB,

①若NBAC=100°，ZC=30°,則乙4/。=；

②若NB=40°,則NAF￡>=；

③探究/AF。與之間的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)。在射線GB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NBDE的角平分線所在直線與射線4G交于點(diǎn)F,NA尸。與N4BC

之間的數(shù)量關(guān)系是否與（1）中③相同，若不同請(qǐng)寫出新的關(guān)系并畫圖說(shuō)明理由.

思路引領(lǐng)：（1）①若NBAC=100°,NC=30°,由三角形內(nèi)角和定理求出NB=50°,由平行線的性

質(zhì)得出NEO8=ZC=30°,由角平分線定義得出NBAG=*BAC=50°,NFDG="EDB=15。，由

三角形的外角性質(zhì)得出NOGF=100°,再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；

②若NB=40°，則NBAC+NC=180°-40°=140°，由角平分線定義得出NBAG=4/BAC,/尸。G=

\ZEDB,由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果;

③由①得：ZEDB=ZC,NBAG=*BAC,/FDG=^NEDB,由三角形的外角性質(zhì)得出NQGF=N

B+NBAG,再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)由(1)得：ZEDB=ZC,NBAG=；NBAC,NBDH=^NEDB=g/C,由三角形的外角性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

解：(I)①若N8AC=100°,NC=30°,

則NB=180°-100°-30°=50°,

'：DE//AC,

.\ZEDB=ZC=30°,

；AG平分NBAC,DF'平分4EDB,

11

/.ZBAG=|ZBAC=50°,NFDG=^NEDB=15。,

ZDGF=ZB+ZBAG=50<,+50°=100°,

：.ZAFD^ZDGF+ZFDG=100°+15°=115°,

故答案為：115°；

②若NB=40。，則NBAC+NC=180°-40°=140°,

平分N&4C,DF平分NEDB,

N8AG=^ZBAC,2FDG=^ZEDB,

:NDGF=/B+NBAG,

：.ZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG=ZB+1(ZBAC+ZC)=40°+1xl40°=40°+70°

=110°；

故答案為：110°；

1

③/AF￡>=90°+/N8；理由如下：

由①得：ZEDB=ZC,ZBAG=^ZBAC,NFDG=)EDB,

?:/DGF=NB+NBAG,

AZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG=ZB+1(ZBAC+ZC)=ZB+1(180°-ZB)=

90°+1ZB；

1

(2)如圖所示：不相同，ZAFD=90°-1ZABC；理由如下：

E

cFro~B

GI

11i

由(1)得：NEDB=NC,NBAG//BAC,/BDH=REDB=三/C,

'/NAHF=/ABC+NBDH,

：.ZAFD=180°-/BAG-NAHF

=180°-g/BAONABC-NBDH

11

=180°-^ZBAC-ZABC-^ZC

=180°-ZABC-^(ZBAC+ZC)

=180°-乙48cq(180°-NA8C)

=180。-Z/1BC-90°+^ZABC

1

=90°-^ZABC.

解題秘籍：本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角形

內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

第二部分專典理優(yōu)訓(xùn)綜

1.（2020?錦州）如圖，在△ABC中，NA=30°,ZB=50°,C￡>平分NACB,則/ADC的度數(shù)是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

思路引領(lǐng)：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：VZA=30°,ZB=50°,

/.ZAC/?=180°-30°-50°=100°（三角形內(nèi)角和定義）.

平分/AC8,

：.ZBCD=^ZACB=1X100°=50°,

.../AOC=/BC￡>+/8=50°+50°=100°.

故選：C.

解題秘籍：本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的

內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2020秋?德城區(qū)校級(jí)月考）如圖，求N4+NB+NC+ND+NE+N尸的度數(shù)為（）

360°C.540°D.720°

思路引領(lǐng):連接BE,由三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系可知/C+/L>=/CBE+/￡>E8,由四邊形內(nèi)角和是360°,

即可求NA+NB+NC+NO+NE+N尸=360°.

解：如圖，連接8E.

NCBE+NDEB,

ZC+ZD=ZCBE+ZDEB,

：.ZA+ZABE+ZBEF+ZF=360°,

：./A+/48C+NC8E+/E>E8+/￡>E/:'+/F'=360°.

故NA+/B+NC+NO+NE+/F的度數(shù)是360°.

故選：B.

解題秘籍：本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，涉及到四邊形及三角形內(nèi)角和定理，正確作出輔助

線是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2018春?渝中區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，NA-NB=25°,ZC=75°,則N8的度數(shù)為.

思路引領(lǐng)：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得/4+/B=105°,再聯(lián)立條件/A-/B=25°,解方程組即可.

解：VZC=75°,

/.ZA+ZB=105°，

又-NB=25°,

；./A=65°,N8=40°,

故答案為：40°.

解題秘籍：此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和是180°.

4.（2017秋?興隆縣期末）等腰三角形的一個(gè)角為70°,其余兩個(gè)角的度數(shù)為（）

A.55°和55°B.40°和70°

C.55°和55°或40°和70°D.70°和60°

思路引領(lǐng)：已知給出了一個(gè)內(nèi)角是70°,沒(méi)有明確是頂角還是底角，所以要進(jìn)行分類討論，分類后還有

用內(nèi)角和定理去驗(yàn)證每種情況是不是都成立.

解：（1）當(dāng)頂角為70°時(shí)，則它的另外兩個(gè)角的度數(shù)是55°,55°；

（2）當(dāng)?shù)捉?0°時(shí)，則它的另外兩個(gè)角的度數(shù)是70°,40°；

所以另外兩個(gè)角是55°,55°或70°,40°.

故選：C.

解題秘籍：此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)；若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的

度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.（2018秋