《金融數(shù)學(xué)》(3)變額年金

變額年金

（VaryingAnnuities）孟生旺

2主要內(nèi)容離散變額年金（每年變化一次）每年支付1次的離散變額年金（遞增、遞減、復(fù)遞增）每年支付m次的離散變額年金（遞增、遞減、復(fù)遞增）連續(xù)支付的離散變額年金（遞增、遞減、復(fù)遞增）連續(xù)變額年金（連續(xù)變化）一般形式的連續(xù)變額現(xiàn)金流特例：連續(xù)遞增（或遞減）的年金3遞增年金（increasingannuity）期末付遞增年金(increasingannuity-immediate)：第一年末支付1元，…，第n年末支付n元?，F(xiàn)值：上式兩邊乘以(1+i)：4

遞增年金的現(xiàn)值：5例：寫(xiě)出下述年金的現(xiàn)值表達(dá)式6遞增年金的累積值為現(xiàn)值累積值期初付遞增年金(increasingannuity-due)7當(dāng)時(shí)，還可以得到遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值為在計(jì)算上述極限時(shí)，遞增永續(xù)年金(increasingperpetuity)8例：年金在第一年末的付款為1000元，以后每年增加100元，總的付款次數(shù)為10次。如果年實(shí)際利率為5%，這項(xiàng)年金的現(xiàn)值應(yīng)該是多少？解：年金分解如下：100011001800190090090090090010020090010009Exercise：Aninvestmentof700istobeusedtomakepaymentsof10attheendofthefistyear,20attheendofsecondyear,30attheendofthirdyear,andsoon,everyyearassolongaspossible.Asmallerfinalpaymentispaidoneyearafterthelastregularpayment.Thefundearnsaneffectiveannualrateof5%.Calculatethesmallerfinalpayment.700102030R10700102030R解：11解上述方程（應(yīng)用excel求解）即得n=14.49。因此有14次正規(guī)支付和在第15年末有一次小額支付。設(shè)小額支付為R，則12時(shí)期

0123…n–1

n遞減年金nn–1n–2…21等額年金111…11111…1111…………

111111期末付遞減年金(decreasingannuity-immediate)：第1年末支付n元，…，第n年末支付1元。2、遞減年金（decreasingannuity）13遞減年金的現(xiàn)值：14遞減年金的其他公式：?jiǎn)栴}：遞減年金與遞增年金之和的現(xiàn)值是多少？1516例：一項(xiàng)年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。從第n+1年開(kāi)始，每年遞減1元，直至最后一年付款1元。證明該項(xiàng)年金的現(xiàn)值可以表示為12nn?1117

練習(xí)：一項(xiàng)20年期的年金，每年末的付款金額如下。年實(shí)際利率為6%，計(jì)算其現(xiàn)值。18年份金額16002700380049005100061100712008130091400101500111400121300131200141100151000169001780018700196002050019年份金額分解16005001002700500200380050030049005004005100050050061100500600712005007008130050080091400500900101500500100011140050090012130050080013120050070014110050060015100050050016900500400178005003001870050020019600500100205005000解：Example：Findthepresentvalueofanannuityimmediatesuchthatpaymentsstartat1,eachpaymentthereafterincreasesby1untilreach10,andthenremainatthatleveluntil25paymentsintotalaremade.0101011025次數(shù)：金額：212Solution：0101011025次數(shù)：金額：21222復(fù)遞增年金（compoundincreasingannuity）

含義：付款金額按照某一固定比例增長(zhǎng)的年金。期初付復(fù)遞增年金

：注：r<0

，遞減。23令，則：其中24期末付復(fù)遞增年金的現(xiàn)值：

其中25例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的給付金額按5％遞增，假設(shè)年實(shí)際利率為4%，請(qǐng)計(jì)算這項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。解：年金的現(xiàn)金流如下：26

現(xiàn)值：其中例：年金的年增長(zhǎng)率r與年利率i相等，則j=0.計(jì)算期初付年金與期末付年金的現(xiàn)值。解：期初付=n期末付=n/(1+i)2728ExerciseAperpetuity-immediatepays100peryear.Immediatelyafterthefifthpayment,theperpetuityisexchangedfora25-yearannuity-immediatethatwillpayXattheendofthefirstyear.Eachsubsequentannualpaymentwillbe8%greaterthantheprecedingpayment.Immediatelyafterthe10thpaymentofthe25-yearannuity,theannuitywillbeexchangedforaperpetuity-immediatepayingYperyear.Theannualeffectiverateofinterestis8%.CalculateY.100100100100100第一次替換時(shí)，永續(xù)年金的現(xiàn)值為100/0.08＝1250100X1.08X1.082X1.083X1.0824X利率i＝0.08，等于年金增長(zhǎng)率，故遞增年金的現(xiàn)值為：P=X·n/(1+i)=25X/1.08X=541250=25X/1.08第一次替換后的遞增年金：25次付款30X1.089X1.0810X1.0824X第二次替換為永續(xù)年金，每年末支付Y，價(jià)值為Y/0.08價(jià)值方程(X=54)為：Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)=54(1.08)9·15注：v=1.08-1由此可得：Y=129.5Y……原年金剩余15次原年金已支付10次年金的基本類型311年支付1次1年支付m次連續(xù)支付32在等額年金中，分m次支付，年金價(jià)值的變化：

在變額年金中，上述結(jié)論仍然成立。33在等額年金中，連續(xù)支付，年金價(jià)值的變化：

在變額年金中，上述結(jié)論仍然成立。每年支付

m

次的期末付變額年金3435每年支付

m

次的期末付變額年金36每年支付

m

次的期初付變額年金37例：寫(xiě)出下述年金的現(xiàn)值計(jì)算公式（年利率i=10%)：10010010010020020020020001238100200300400500600700800012例：寫(xiě)出下述年金的現(xiàn)值計(jì)算公式（年利率i=10%)：39連續(xù)支付的變額年金

(continuouslypayablevaryingannuity)連續(xù)支付，但支付金額離散變化。連續(xù)支付的遞增年金連續(xù)支付的遞減年金連續(xù)支付的復(fù)遞增年金連續(xù)支付的任意變額年金40連續(xù)支付的遞增年金：第一年連續(xù)支付1元，第二年連續(xù)支付2元，…，第n年連續(xù)支付n元。41連續(xù)支付的遞減年金：第一年連續(xù)支付n元，第二年連續(xù)支付n-1元，…，第n年連續(xù)支付1元。42連續(xù)支付變額年金的價(jià)值（V）43例：一個(gè)現(xiàn)金流在第1年連續(xù)支付30元，第2年連續(xù)支付40元，第3年連續(xù)支付50元，直到第10年連續(xù)支付120元，假設(shè)年利率為5%，求這項(xiàng)年金的現(xiàn)值。解：分解為兩項(xiàng)年金:44計(jì)算：45連續(xù)支付的遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值：第1年連續(xù)支付1元，第2年連續(xù)支付2元，第3年連續(xù)支付3元，并以此方式無(wú)限地延續(xù)下去。其現(xiàn)值為46一般形式的連續(xù)變額現(xiàn)金流現(xiàn)值：付款從時(shí)刻a到時(shí)刻b，在時(shí)刻t的付款率為r(t)，利息力為d(t)。時(shí)刻

t支付的1在時(shí)刻0的現(xiàn)值為：47在時(shí)刻t的付款率為r(t)，在區(qū)間[t,t+dt]的付款為r(t)dt，所有付款在時(shí)刻0的現(xiàn)值是將所有付款的現(xiàn)值加總：48例：一個(gè)連續(xù)支付的現(xiàn)金流支付期從時(shí)刻0開(kāi)始，到時(shí)刻0.5結(jié)束在時(shí)刻t的付款率為利息力為計(jì)算此現(xiàn)金流在時(shí)刻零的現(xiàn)值。解：49令現(xiàn)值為：（課后）50終值：在時(shí)刻t的1元，累積到時(shí)刻T的終值為51從時(shí)刻a到時(shí)刻b內(nèi)所有付款到時(shí)刻T的終值，就是將該期間內(nèi)所有付款的終值加總：例：一個(gè)連續(xù)支付的現(xiàn)金流，其付款率為，支付期間從

t=1到t=6，利息力為。計(jì)算此現(xiàn)金流在t=9的終值。解：5253例：連續(xù)遞增年金（continuouslyincreasingannuity）

假設(shè)在時(shí)刻t的付款率（paymentrate）為t，常數(shù)利息力為d，則連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值為：注:I和

a上都有橫線。在時(shí)刻t

的付款率為t，表示按此付款，1年的付款總量將為t.54證明：55例：一項(xiàng)10年期的年金，在時(shí)刻t的付款率為9t+6，利息力為9％。計(jì)算此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。解：56連續(xù)遞增的永續(xù)年金：57例：一項(xiàng)年金在時(shí)刻t的付款率為3t，付款從0時(shí)刻起一直延續(xù)下去，年利率為5％，則其現(xiàn)值為：58例：連續(xù)遞減年金

(continuouslydecreasingannuity)支付期為n年，在時(shí)刻t的付款率為n-t，利息力為d?，F(xiàn)值為：乘以(1+i)乘以乘以乘以年金計(jì)算公式之間的關(guān)系乘以變額年金：算數(shù)級(jí)數(shù)變化6061變額年金：幾何級(jí)數(shù)變化遞增年金遞減年金復(fù)遞增年金每年支付m次的變額年金連續(xù)支付的變額年金連續(xù)變額年金63Exercise:1000isdepositedintoFundX,whichearnsanannualeffectiverateof6%.Attheendofeachyear,theinterestearnedplusanadditional100iswithdrawnfromthefund.Attheendofthetenthyear,thefundisdepleted.TheannualwithdrawalsofinterestandprincipalaredepositedintoFundY,whichearnsanannualeffectiverateof9%.DeterminetheaccumulatedvalueofFundYattheendofyear10.X：annualeffectiverate6％