24-第二章第四節(jié)(概率統(tǒng)計)

第二章隨機變量及其分布2.4連續(xù)型隨機變量及其概率密度內(nèi)容簡介:對于連續(xù)型隨機變量X,同離散型隨機變量X并行研究,先后討論概率密度、分布函數(shù)及其二者關系問題,其中重點研究三種常用的連續(xù)型隨機變量的分布——均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布.重點學習正態(tài)分布的理論.第二章隨機變量及其分布2.4連續(xù)型隨機變量及其概率密度2.4.1提出問題若隨機變量X的所有的可能取值充滿一個區(qū)間,那么就不能像離散型隨機

變量那樣,以指定它取每個值的概率的方式給出其概率分布,怎樣來研究這種情形呢？2.4.2預備知識1.反常積分，原函數(shù)，定積分的幾何意義，定積分與反常積分計算;

2.奇偶函數(shù)，單調(diào)增函數(shù)，分布函數(shù)連續(xù)性.2.4.3提出概念

連續(xù)型隨機變量X的所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能像離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.1.連續(xù)型隨機變量的概率密度

定義對于隨機變量X,如果存在一個非負可積函數(shù)f(x),使得對于任意的實數(shù)x,有F(x)=P{-∞<X≤x}=則稱X為連續(xù)型隨機變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度.

由定義可以看出:連續(xù)型分布函數(shù)F(x)是處處連續(xù)的,而一般定義(2.3.1)得到的分布函數(shù)F(x)僅是右連續(xù)的.幾何意義見下圖.概率密度f(x)的性質(zhì)：

(1)

f(x)≥0,x∈(-∞,+∞).

(4)若f(x)在點x處連續(xù),則有(5)

連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0,

即P{X=a}=0,a為任一指定值.

(3)對于任意實數(shù)x1,x2(x1≤x2),P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)=講評如果任意一個非負實函數(shù)f(x)滿足以上兩條性質(zhì)(1)、(2),則f(x)就是一個隨機變量的概率密度.這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某個隨機變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.

由性質(zhì)(2)知道,介于曲線y=f(x)與Ox軸之間的面積等于1.見(圖2-7).

由性質(zhì)(3)知道,X落在區(qū)間(x1,x2]上的概率P{x1<X≤x2}等于區(qū)間(x1,x2]上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積值(圖2-8).這是因為性質(zhì)(4)說，若f(x)在點x處連續(xù),有故X的概率密度f(x)在x這一點的值,恰好是X落在區(qū)間(x,x+△x]上的概率與區(qū)間長度△x之比的極限.這里,如果把概率理解為質(zhì)量,則f(x)相當于線密度.若不計高階無窮小,有

P{x<X≤x+△x}≈f(x)△x.它表示隨機變量X取值落入?yún)^(qū)間(x,x+△x]的概率近似等于f(x)△x.由導數(shù)的定義，我們得到：

講評由P(A)=0,不能推出A=,但P()=0;由P(B)=1,也不能推出B=Ω,即Ｂ并非必然事件,但P(Ω)=1.性質(zhì)(5)是因為因此,對連續(xù)型隨機變量X,(2.4.2)式成為

P{x1≤X<x2}=P{x1<X≤x2}=P{x1<X<x2}.P{X=a}例2.4.1設連續(xù)型隨機變量X的概率密度f(x)如右式，試求:

解

(1)因為故由

(1)常數(shù)k;(2)P{|X|≤0.5};(3)X的分布函數(shù).

2.4.4理論應用

(2)所求概率

(3)因為得到當x<-1時,當-1≤x<1時,當x≥1時,

得X的分布函數(shù)

(4)計算連續(xù)型隨機變量X落入?yún)^(qū)間(a,b]或[a,b)或[a,b]內(nèi)的概率都用公式

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=或

(∵P{X=a}=0)

(1)確定f(x)中的待定參數(shù)用公式講評(2)已知概率密度f(x),求分布函數(shù)用定義(3)已知分布函數(shù)F(x),求概率密度f(x)用關系

注意F(x)和f(x)為分段函數(shù)時的定義區(qū)間寫法.

常用的連續(xù)型隨機變量的分布有均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布.2.4.5常見常用的連續(xù)型隨機變量的分布

1.均勻分布

均勻分布的分布函數(shù)為

若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,其中a,b為分布參數(shù),且a<b,

記為X~U(a,b).

均勻分布的概率密度f(x)及分布函數(shù)F(x)的圖形分別如下圖所示.若X～U(a,b)，則對于滿足a≤c<

d≤b的c,d,總有

可見,若隨機變量X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,則X落入該區(qū)間中任一相等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率相同,即X落入任何子區(qū)間的概率僅與該區(qū)間的長度成正比,而與其位置無關.此性質(zhì)進一步說明了幾何概率定義的合理性.

均勻分布常見于下列情形:某一事件等可能地在某一時間段發(fā)生;在數(shù)值計算中,由于進行四舍五入,小數(shù)點后某一位小數(shù)舍入的誤差,例如對小數(shù)點后第一位是按四舍五入原則得到時,那么一般認為誤差在(-0.05,0.05)上服從均勻分布.

由題意,可以認為測量誤差X(單位:cm)

在區(qū)間(-0.05,0.05)上服從均勻分布,故知X的概率密度為

例2.4.2

測量一個工件的長度,要求準確到毫米,即若以厘米為單位計,小數(shù)點后第一位數(shù)字是按“四舍五入”的原則得到.求由此產(chǎn)生的測量誤差X的概率密度,并求某次測量中,其誤差的絕對值小于0.03的概率.解因此所求概率為

2.指數(shù)分布若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

則稱

X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,其中λ>0,是一常數(shù)，記為X~E(λ).用分段積分的方法,易知指數(shù)分布的分布函數(shù)為

例2.4.3

多年統(tǒng)計表明,某廠生產(chǎn)的電視機的壽命X~E(0.2)(單位:萬小時).

(1)某人購買了一臺該廠生產(chǎn)的電視機,問其壽命超過4萬小時的概率是多少?

(2)某單位一次購買了10臺這種電視機,問至少有2臺壽命大于4萬小時的概率又是多少?

(3)若已知一臺電視機的壽命大于4萬小時，問這臺電視機的壽命大于5萬小時的概率是多少？解由題設知,隨機變量X的概率密度為(1)

電視機壽命超過4萬小時的概率為

(2)設Y={10臺電視視中壽命大于4萬小時的臺數(shù)},則Y服從二項分布,即有Y~B(10,).于是P{Y≥2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}

=0.9765.(3)這是求條件概率P{X>5|X>4}.講評

(1)這里X~E(0,2),Y服從二項分布Y~B(10,).用到結(jié)論P{X>4}=e-0.8.

(2)此題比較綜合,應引起重視.

指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命,動植物的壽命,服務系統(tǒng)的服務時間等等.連續(xù)型隨機變量X的指數(shù)分布概率密度還有形式：

3.正態(tài)分布

正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布.正態(tài)分布在19世紀前葉由高斯(Gauss)加以推廣,所以通常又稱為高斯分布.

正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最常用也是最重要的一種概率分布,它在解決實際問題中有著廣泛的應用.經(jīng)驗表明,當一個變量受到大量微小的、互相獨立的隨機因素影響時,這個變量往往服從或近似地服從正態(tài)分布.在正常條件下,各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標,零件的尺寸,纖維的強度和張力，農(nóng)作物的產(chǎn)量,小麥的穗長和株高，測量誤差,射擊目標的水平或垂直偏差,信號噪聲，等等,都服從或近似地服從正態(tài)分布.(1)正態(tài)分布的定義

若隨機變量X

的概率密度為

則稱X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布,其中μ和σ(σ>0)都是常數(shù).常記為X～N(μ,σ2).f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)分布的圖形特點正態(tài)分布的概率密度圖象見圖2-11.圖2-11正態(tài)分布的概率密度及參數(shù)μ,σ含義

正態(tài)分布的密度曲線是一條關于x=μ對稱的鐘形曲線,其特點是“兩頭小,中間大,左右對稱”.μ決定了圖形的中心位置,當μ取不同值時,圖像將會發(fā)生平移；σ決定了圖形的峰的陡峭程度:當σ較大時,曲線較平坦;當σ較小時,曲線則較陡峭.

令x1=μ+c,x2=μ-c(c>0),分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c),且f(μ+c)≤f(μ),

f(μ-c)≤f(μ),并在x=μ處達到最大值:

當x→±∞時,f(x)→0.這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越接近x軸,即f(x)

以x軸為漸近線;用求導的方法可以證明,x=μ±σ為f(x)的兩個拐點的橫坐標.設X～N(μ,σ2),則隨機變量X的分布函數(shù)是

(3)正態(tài)分布的分布函數(shù)當μ=0,σ=1時,得到的正態(tài)分布N(0,1)稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用φ(x)和Φ(x)表示.這里(4)標準正態(tài)分布關于φ(x)和Φ(x)的圖形見圖2-12.圖2-12標準正態(tài)分布概率密度φ(x)和分布函數(shù)Φ(x)關系

關于分布函數(shù)Φ(x)和概率密度φ(x)有以下性質(zhì):(i)Φ(0)=0.5,

φ(0)=

(ii)Φ(-x)=1-Φ(x),

φ(-x)=φ(x).

標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布N(μ,σ2)都可以通過“標準化”線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.

定理

若X

～N(μ,σ2),

則Z=～N(0,1)．證的分布函數(shù)為

=P{X≤μ+σx}

根據(jù)這個定理,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表,就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.得到

令

由此得到

(5)正態(tài)分布表及正態(tài)分布計算問題

書末附有標準正態(tài)分布表,借助于該表,可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.表中給的是當x≥0時Φ(x)的值.對于x<0時,用關系等式Φ(x)=1-Φ(-x)計算.特別地,P{│X│≤a}=2Φ(a)-1.

(2.4.13)(i)若X～N(0,1),則P{a<X<b}=P{a≤

X≤b}=Φ(b)-Φ(a).(2.4.12)(ii)若X～N(μ,σ2),則Y=

～N(0,1),且有

(2.4.14)

求導,得概率密度關系

(2.4.15)

P{a<X≤b}=(2.4.16)

區(qū)間概率關系：

講評

(1)若X服從標準正態(tài)分布,即X~N(0,1)則X落于區(qū)間(a,b]上的概率為

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=Φ(b)-Φ(a).

(2)若X服從一般正態(tài)分布,即X~N(μ,σ2)

則X落于區(qū)間(a,b]上的概率為

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)-F(a)

(iii)3σ準則:由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，當X～N(0,1)時,

P{│X│≤1}=2Φ(1)-1=0.6826,P{│X│≤2}=2Φ(2)-1=0.9544,

P{│X│≤3}=2Φ(3)-1=0.9974.

(3)標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)與正態(tài)分布函數(shù)F(x)的關系:F(x)=Φ

Φ(x)=F(μ+σx).

這說明,X的取值幾乎全部集中在

[-3,3]區(qū)間內(nèi),超出這個范圍的可能

性僅占不到0.3%.這表明,Y

的取值幾乎全部集中在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi).這在統(tǒng)計學上稱作3σ準則

(三倍標準差原則）.

上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布Y～N(μ,σ2)時,

P{│X-μ│≤σ}=0.6826,P{│X-μ│≤2σ}=0.9544,P{│X-μ│≤3σ}=0.9974.(6)上α分位點

為了便于今后在數(shù)理統(tǒng)計中的應用,對于標準正態(tài)隨機變量,我們給出α分位點的定義.

設X~N(0,1),若zα滿足條件

P{X>zα}=α(0<α<1),(2.4.17)則稱數(shù)zα為標準正態(tài)分布的上α分位點.圖2-13上α分位點zα下面列出了幾個常用的zα的值.α0.0010.0050.010.0250.050.10zα3.0902.5762.3271.9601.6451.282特別地,由φ(x)圖形的對稱性知道z1-α=-zα.(2.4.18)顯然,由P{X>zα}=α得到P{X≤zα}=1-α.(2.4.19)例2.2.4

設隨機變量.X～N(3,22)(1)計算P{2<X≤5}，P{|X|>2}；(2)確定c使得

(3)設d滿足

,問d至多為多少？

解

(1)利用(2.4.16)式，查標準正態(tài)分布表，得到(2)由