有關(guān)球的高考題

1.(2014·陜西高考理科·T5)已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為QUOTE的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為()A.QUOTEππ D.QUOTE【解題指南】根據(jù)截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形,滿足勾股定理,求出球的半徑,代入球的體積公式求解.【解析】選D.由正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,可設(shè)正四棱柱的上底所在截面圓的半徑為R1,則QUOTE+QUOTE=1可得QUOTE=QUOTE;又側(cè)棱長(zhǎng)為QUOTE,所以球心到截面圓的距離d=QUOTE;由截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形,根據(jù)勾股定理得球半徑R=QUOTE=QUOTE=1,代入球的體積公式得球的體積為QUOTE.2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ文科·T4)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12π B.π C.8π D.4π【解題指南】利用正方體的體對(duì)角線就是球的直徑求解.【解析】選A.因?yàn)檎襟w的體積為8,所以正方體的棱長(zhǎng)為2,其體對(duì)角線長(zhǎng)為2,所以正3.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理科·T9)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()ππππ【解題指南】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出關(guān)于半徑R的方程,求出球的半徑,然后求出球的表面積.【解析】選C.如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=13×12R2×R=16R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4πR2=144π.4.(2016·全國(guó)卷Ⅲ·文科·T11)與(2016·全國(guó)卷3·理科·T10)相同在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()π B.π D.【解題指南】注意當(dāng)球和直三棱柱的三個(gè)側(cè)面內(nèi)切時(shí),球已不在直三棱柱內(nèi).【解析】選B.當(dāng)球的半徑最大時(shí),球的體積最大.在直三棱柱內(nèi),當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面都相切時(shí),因?yàn)锳B⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時(shí)球的半徑r==2,直徑為4>側(cè)棱.所以球的最大直徑為3,半徑為,此時(shí)體積V=.方體的外接球的半徑為,所以球的表面積為4π·()2=12π.5.（2010·遼寧高考文科·Ｔ11）已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1，BC=,則球O的表面積等于（）（A）4 (B）3 (C)2 (D)【命題立意】本題考查了空間兩點(diǎn)間距離公式和球的表面積公式.【思路點(diǎn)撥】建立空間坐標(biāo)系設(shè)球心坐標(biāo)球的半徑球的表面積建立空間坐標(biāo)系設(shè)球心坐標(biāo)球的半徑球的表面積【規(guī)范解答】選A.平面ABC，AB，AC平面ABC，，，故可以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為軸，AS所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則,,,,設(shè)球心O坐標(biāo)為，則點(diǎn)O到各頂點(diǎn)S，A，B，C的距離相等，都等于球的半徑R.，解得，球的表面積為.故選A.【方法技巧】1.選用球心到各頂點(diǎn)的距離都相等來(lái)確定球心，才能求出半徑，2.也可用另外的方法找到球心，因?yàn)椤螦BC是直角，所以AC是過(guò)A，B，C三點(diǎn)的小圓的直徑，所以球心在過(guò)AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因?yàn)榍蛐牡近c(diǎn)S，A，C的距離都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點(diǎn)，球的半徑為SC的一半，3.另外，可將三棱錐S-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體進(jìn)行求解.6.（2010·海南寧夏高考·理科T10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）（A）（B）（C）（D）【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問(wèn)題.【思路點(diǎn)撥】找出球與棱柱的相應(yīng)關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長(zhǎng)之間的關(guān)系.【規(guī)范解答】，設(shè)正三棱柱上底面為，中心為，因?yàn)槿庵欣獾拈L(zhǎng)為，則可知，，又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑，所以球的表面積為，故選Ｂ.7．（2011·遼寧高考文科·Ｔ10）已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，則棱錐S-ABC的體積為（）（A）(B)(C)(D)【思路點(diǎn)撥】找到直徑的垂截面是解決本題的關(guān)鍵．【精講精析】選C，設(shè)球心為，則是兩個(gè)全等的等腰直角三角形斜邊上的高，斜邊故，且有，．∴=．8.（2011·遼寧高考理科·Ｔ12）已知球的直徑=4，是該球球面上的兩點(diǎn)，=，，則棱錐的體積為（）（A）（B）（C）（D）1【思路點(diǎn)撥】找到直徑的垂截面是解決本題的關(guān)鍵．【精講精析】和是兩個(gè)全等的直角三角形，過(guò)直角頂點(diǎn)分別作斜邊上的高線，由于，求得，所以等邊的面積為，所求棱錐的體積等于以為底的兩個(gè)小三棱錐的體積的和，其高的和即為球的直徑的長(zhǎng)，故．9.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·Ｔ15）已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為_(kāi)_.【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出圖形，找出球心位置，然后數(shù)形結(jié)合求出棱錐O-ABCD的體積.【精講精析】如圖所示，垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足為，連接，，則在中，由OB＝4,，可得＝2,【答案】10.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ16）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_(kāi)_______【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合，然后利用球及圓的性質(zhì)求解.【精講精析】如圖設(shè)球的半徑為，圓錐的底面圓半徑為，則依題意得，即，,【答案】11.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（）(B)(C)(D)【解題指南】思路一：取AB的中點(diǎn)為，將棱錐分割為兩部分，利用求體積；思路二：設(shè)點(diǎn)到面的距離為d,利用求體積；思路三：利用排除法求解.【解析】選A.方法一：是球O的直徑，.，，，取AB的中點(diǎn)為，顯然，SD，平面CDS.在中，，，，利用余弦定理可得故，，+.方法二：的外接圓的半徑，點(diǎn)到平面的距離，為球的直徑點(diǎn)到平面的距離為，此棱錐的體積為.方法三：，排除.12.（2013·新課標(biāo)Ⅰ高考理科·Ｔ6）如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為()A. B. C. D.【解題指南】結(jié)合截面圖形,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程,求出球半徑,再利用求出球的體積.【解析】選A.設(shè)球的半徑為R,由勾股定理可知，,解得，所以球的體積13.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ8）平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為（）（A）eq\r(6)π（B）4eq\r(3)π（C）4eq\r(6)π（D）6eq\r(3)π【解題指南】利用球心到截面的距離、截面圓的半徑、球的半徑之間滿足勾股定理求得球的半徑，然后利用公式求得球的體積.【解析】選B.設(shè)球O的半徑為R，則，故.14.（2012·遼寧高考文科·Ｔ16）已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形.若PA=2,則△OAB的面積為_(kāi)_____________.【解題指南】注意到已知條件中的垂直關(guān)系，將點(diǎn)P,A,B,C,D看作長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)來(lái)考慮.【解析】由題意，PA⊥平面ABCD，則點(diǎn)P,A,B,C,D,可以視為球O的內(nèi)接長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，球O位于該長(zhǎng)方體的對(duì)角線的交點(diǎn)處，那么△OAB的面積為長(zhǎng)方體對(duì)角面的四分之一.的.【答案】15.（2013·遼寧高考文科·Ｔ10）與（2013·遼寧高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，則球的半徑為（）【解題指南】對(duì)于某些簡(jiǎn)單組合體的相接問(wèn)題，通過(guò)作出截面，使得有關(guān)的元素間的數(shù)量關(guān)系相對(duì)集中在某個(gè)平面圖形中。【解析】選C.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過(guò)球心和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的大圓，與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形，其外接圓的圓心為其斜邊BC的中點(diǎn)，連接,由勾股定理，其中,所以球的半徑為16.（2013·新課標(biāo)Ⅰ高考文科·Ｔ15）已知H是球的直徑AB上一點(diǎn)，AH:HB=1:2,AB⊥平面，H為垂足，截球所得截面的面積為π，則球的表面積為_(kāi)______.【解析】因?yàn)榻厍蛩媒孛娴拿娣e為π，所以截面的半徑為.設(shè)球的半徑為,則,,由勾股定理得,解得.所以球的表面積為.【答案】.17.（2013·大綱版全國(guó)卷高考文科·Ｔ16）與（2013·大綱版全國(guó)卷高考理科·Ｔ16）相同已知圓和圓是球的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng)等于球的半徑，則球的表面積等于.【解題指南】解決本題要明確球大圓是指球的切面過(guò)圓心的圓.根據(jù)題意畫(huà)出圖形，確定圓與圓所在平面的二面角，構(gòu)造直角三角形求出半徑長(zhǎng).【解析】如圖，設(shè)公共弦,為的中點(diǎn)，則，為圓與圓所在平面的二面角.所以，又為等邊三角形，所以.又因?yàn)?，所以，即.解得，所以.【答案】19.（2013·天津高考文科·Ｔ10）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為,則正方體的棱長(zhǎng)為.【解題指南】先根據(jù)球的體積求出半徑，再根據(jù)球的直徑與其內(nèi)接正方體對(duì)角線的相等關(guān)系求其棱長(zhǎng).【解析】設(shè)球半徑為R，因?yàn)榍虻捏w積為，所以R=，又由球的直徑與其內(nèi)接正方體對(duì)角線的相等知正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為3，故其棱長(zhǎng)為.【答案】20.(2013·福建高考理科·T12)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,如果該組合體的正視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形,則該球的表面積是.【解題指南】如果考球,我們只