高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專(zhuān)用)第01講集合(高頻精講)(原卷版+解析)

第01講集合(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：思維導(dǎo)圖 2第二部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第三部分：高考真題回歸 4第四部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 5高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念 5高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系 6高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性 7高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法 7高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系 9高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算 11高頻考點(diǎn)七：圖的應(yīng)用 13高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題 14第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 15①數(shù)形結(jié)合 15②分類(lèi)討論 16第六部分：核心素養(yǎng) 17①數(shù)學(xué)運(yùn)算 17②邏輯推理 17溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：思維導(dǎo)圖第二部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或說(shuō)明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱(chēng)為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱(chēng)集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運(yùn)算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱(chēng)為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱(chēng)為與的并集，記作，即．（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合的補(bǔ)集，記作，即．4、集合的運(yùn)算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．5、高頻考點(diǎn)結(jié)論（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．第三部分：高考真題回歸1．（2022·全國(guó)（乙卷（文））·統(tǒng)考高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)（甲卷（文））·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)（乙卷（理））·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)（甲卷（理））·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．第四部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念典型例題例題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．方程的解集是B．方程的解集為{(-2，3)}C．集合與集合表示同一個(gè)集合D．方程組的解集是例題2．（2023·高一單元測(cè)試）下面關(guān)于集合的表示正確的是（

）①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④練透核心考點(diǎn)1．（2023·湖南永州·高一?？茧A段練習(xí)）以下元素的全體不能夠構(gòu)成集合的是A．中國(guó)古代四大發(fā)明 B．周長(zhǎng)為的三角形C．方程的實(shí)數(shù)解 D．地球上的小河流2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（多選）（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谀┮阎希?，則實(shí)數(shù)的取值不可以為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)集滿足條件：若，則.（1）若，求集合中一定存在的元素；（2）集合內(nèi)的元素能否只有一個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)寫(xiě)出集合中的元素個(gè)數(shù)的所有可能值，并說(shuō)明理由.練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┫铝嘘P(guān)系中表述正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集是M，若且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）由實(shí)數(shù)構(gòu)成的非空集合A滿足條件：①；②若，則.試證明：(1)若，則在集合A中必有另外兩個(gè)數(shù)；(2)若，則集合A不可能是單元素集合；(3)若，且，則集合A中至少有三個(gè)元素.高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性典型例題例題1．（2023秋·浙江紹興·高三期末）已知集合，集合，且，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．例題3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，且，求實(shí)數(shù)、的值.練透核心考點(diǎn)1．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．或1 D．02．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）集合，若，則__________3．（2022秋·天津河西·高三統(tǒng)考期中）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則_____．高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，則集合中所含元素個(gè)數(shù)為（

）A．20 B．21 C．22 D．23例題2．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）下列集合與區(qū)間表示的集合相等的是（

）A． B．C． D．例題4．（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，寫(xiě)出一個(gè)滿足集合至少有5個(gè)元素的的值：______．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為（

）A．0 B．1 C． D．2．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合，，則集合（

）A． B． C． D．3．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．4．（2023上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用列舉法表示集合，______．高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系典型例題例題1．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（多選）（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是（

）A．B．C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，且，則例題3．（2023秋·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題4．（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）集合，集合，集合．(1)求集合；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023秋·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，．(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2023秋·海南·高一海南華僑中學(xué)?？计谀┮阎?，，全集(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算典型例題例題1．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知集合滿足，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題3．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題橫線處，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：已知集合___________，集合．(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例題4．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┮阎?，，.(1)求；(2)若，求的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·廣西南寧·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B．C． D．2．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)___________3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎?，集合，定義集合且(1)若，求．(2)若，求a的取值范圍．4．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第②問(wèn)的橫線處，求解下列問(wèn)題.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知集合.(1)求集合A；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.高頻考點(diǎn)七：圖的應(yīng)用典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，全值，集合，，則陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．例題2．（2023秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）年春節(jié)影市火爆依舊，《無(wú)名》、《滿江紅》、《交換人生》票房不斷刷新，為了解我校高三名學(xué)生的觀影情況，隨機(jī)調(diào)查了名在校學(xué)生，其中看過(guò)《無(wú)名》或《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過(guò)《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過(guò)《滿江紅》且看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生共有位，則該校高三年級(jí)看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為（

）A． B． C． D．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┠嘲嘤?0名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組．已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為，，，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為

_______．高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題1．（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）定義，集合，，則（

）A． B．C．或 D．或2．（2023秋·四川成都·高一成都實(shí)外?？计谀┒x若則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．53．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合且，如果，，那么（

）A． B．C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給定數(shù)集，若對(duì)于任意、，有，且，則稱(chēng)集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號(hào)是______：①集合是閉集合；②正整數(shù)集是閉集合；③集合是閉集合；④若集合、為閉集合，則為閉集合．第五部分：數(shù)學(xué)思想方法①數(shù)形結(jié)合1．（2023·上海黃浦·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為全集，、為非空子集，，則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．2．（多選）（2023·福建福州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，是全集的兩個(gè)子集，，則（

）A． B．C． D．3．（多選）（2023秋·廣東廣州·高一?？计谀┰O(shè)集合，若，則a的可能取值為（

）A． B． C． D．4．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知集合，，則______.5．（2023·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___．②分類(lèi)討論1．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎?，集合．(1)求；(2)若集合，，且．求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知命題：“，使得不等式成立”是真命題，設(shè)實(shí)數(shù)取值的集合為.(1)求集合；(2)設(shè)不等式的解集為，若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2023·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第六部分：核心素養(yǎng)①數(shù)學(xué)運(yùn)算1．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中?？茧A段練習(xí)）定義集合運(yùn)算，若集合，則（

）A． B． C． D．2．（多選）（2023江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習(xí)）對(duì)于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程的解集中只含有一個(gè)元素，則的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．5②邏輯推理1．（2023·江蘇徐州·高一徐州市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）整數(shù)集合Z中，被4所除余數(shù)為K的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記作，以下判斷正確的是（

）.A． B．C． D．，，則2．（2022·福建·）設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意，都有、、、（除數(shù)），則稱(chēng)P是一個(gè)數(shù)域．例如有理數(shù)集是數(shù)域，有下列命題：①數(shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)；②整數(shù)集是數(shù)域；③若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；④數(shù)域必為無(wú)限集．其中正確的命題的序號(hào)是____________．（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填上）3．（2023·北京·高一北京市第十七中學(xué)?？计谥校?duì)于給定的數(shù)集A．若對(duì)于任意，有，且，則稱(chēng)集合A為閉集合.(1)判斷集合是否為閉集合；(2)若集合A，B為閉集合，則是否一定為閉集合？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若集合A，B為閉集合，且，，證明：.第01講集合(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：思維導(dǎo)圖 2第二部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第三部分：高考真題回歸 4第四部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 5高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念 5高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系 7高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性 10高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法 12高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系 15高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算 19高頻考點(diǎn)七：圖的應(yīng)用 24高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題 26第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 27①數(shù)形結(jié)合 27②分類(lèi)討論 29第六部分：核心素養(yǎng) 32①數(shù)學(xué)運(yùn)算 32②邏輯推理 33溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：思維導(dǎo)圖第二部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或說(shuō)明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱(chēng)為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱(chēng)集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運(yùn)算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱(chēng)為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱(chēng)為與的并集，記作，即．（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合的補(bǔ)集，記作，即．4、集合的運(yùn)算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．5、高頻考點(diǎn)結(jié)論（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．第三部分：高考真題回歸1．（2022·全國(guó)（乙卷（文））·統(tǒng)考高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A.2．（2022·全國(guó)（甲卷（文））·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A.3．（2022·全國(guó)（乙卷（理））·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:4．（2022·全國(guó)（甲卷（理））·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D.5．（2022·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故，故選：D6．（2022·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因?yàn)?，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.第四部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念典型例題例題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．方程的解集是B．方程的解集為{(-2，3)}C．集合與集合表示同一個(gè)集合D．方程組的解集是【答案】D【詳解】對(duì)于A，方程的解集是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，方程的解集為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，集合表示數(shù)集，集合表示點(diǎn)集，故不是同一集合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由解得，故解集為{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正確.故選：D.例題2．（2023·高一單元測(cè)試）下面關(guān)于集合的表示正確的是（

）①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④【答案】CD【詳解】根據(jù)集合元素的無(wú)序性和集合的表示，可得，所以①不正確；根據(jù)集合的表示方法，可得集合為點(diǎn)集，集合表示數(shù)集，所以，所以②不正確；根據(jù)集合的表示方法，可得集合，所以③正確；根據(jù)集合的表示方法，可得集合，所以，所以④是正確的.故選：CD.練透核心考點(diǎn)1．（2023·湖南永州·高一?？茧A段練習(xí)）以下元素的全體不能夠構(gòu)成集合的是A．中國(guó)古代四大發(fā)明 B．周長(zhǎng)為的三角形C．方程的實(shí)數(shù)解 D．地球上的小河流【答案】D【詳解】地球上的小河流不確定，因此不能夠構(gòu)成集合，選D.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【詳解】A.、都是點(diǎn)集，與是不同的點(diǎn)，則、是不同的集合，故錯(cuò)誤；B.，，根據(jù)集合的無(wú)序性，集合，表示同一集合，故正確；C.，集合的元素表示點(diǎn)的集合，，表示直線的縱坐標(biāo)，是數(shù)集，故不是同一集合，故錯(cuò)誤；D.集合M的元素是兩個(gè)數(shù)字2，3，，集合的元素是一個(gè)點(diǎn)，故錯(cuò)誤；故選：B.高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（多選）（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谀┮阎?，且，則實(shí)數(shù)的取值不可以為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】因?yàn)榧?，且，則或，解得.當(dāng)時(shí)，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時(shí)，，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時(shí)，，合乎題意.綜上所述，.故選：ACD.例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【詳解】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，當(dāng)a＝0時(shí)，得，顯然不滿足題意，當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為，若，則解得或，所以只需滿足，解得；若，則解得或，所以只需滿足，解得9<a≤25，當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)時(shí)，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合題意，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)集滿足條件：若，則.（1）若，求集合中一定存在的元素；（2）集合內(nèi)的元素能否只有一個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)寫(xiě)出集合中的元素個(gè)數(shù)的所有可能值，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不能，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【詳解】（1）由，令，則由題意關(guān)系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.（2）不，理由如下：假設(shè)M中只有一個(gè)元素a，則由，化簡(jiǎn)得，無(wú)解，所以M中不可能只有一個(gè)元素.（3）M中的元素個(gè)數(shù)為，理由如下：由已知條件，則，以此類(lèi)推可得集合M中可能出現(xiàn)4個(gè)元素分別為：，由(2)得，若，化簡(jiǎn)得，無(wú)解，故；若，化簡(jiǎn)得，無(wú)解，故；若，化簡(jiǎn)得，無(wú)解，故；若，化簡(jiǎn)得，無(wú)解，故；若，化簡(jiǎn)得，無(wú)解，故；綜上可得：，所以集合M一定存在的元素有，當(dāng)取不同的值時(shí)，集合M中將出現(xiàn)不同組別的4個(gè)元素，所以可得出集合M中元素的個(gè)數(shù)為.練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┫铝嘘P(guān)系中表述正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】對(duì)A：寫(xiě)法不對(duì)，應(yīng)為或，A錯(cuò)誤；對(duì)B：是任何集合的子集，故成立，B正確；對(duì)C：是不含任何元素的集合，故，C錯(cuò)誤；對(duì)D：是所有自然數(shù)組成的集合，故成立，D正確.故選：BD.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集是M，若且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【詳解】若，則有，解得或，若，則有或，解得，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）由實(shí)數(shù)構(gòu)成的非空集合A滿足條件：①；②若，則.試證明：(1)若，則在集合A中必有另外兩個(gè)數(shù)；(2)若，則集合A不可能是單元素集合；(3)若，且，則集合A中至少有三個(gè)元素.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由，得，即，由，得，即，所以，若，則集合A中必有另外兩個(gè)數(shù)和；（2）假設(shè)集合A是單元素集合，即，所以，得，，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，于是，所以，若，則集合A不可能是單元素集合；（3）由，得，由，得，即，由（2）知，同理可得，，所以，集合A中至少有三個(gè)元素a，，.高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性典型例題例題1．（2023秋·浙江紹興·高三期末）已知集合，集合，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榧?，集合，且，所以，所以若，不滿足元素互異性，則或，滿足互異性，所以.故選：C．例題2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】4【詳解】因?yàn)榧现械脑?，，，所以?dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，6，7．當(dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，7，8．根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個(gè)元素．故答案為：4．例題3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，且，求實(shí)數(shù)、的值.【答案】.【詳解】因?yàn)榧?，，所以或，解得或或，根?jù)集合的元素的互異性可得，且，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．或1 D．0【答案】A【詳解】解：∵集合，，，∴由集合元素的互異性及子集的概念可知，解得實(shí)數(shù)．故選：A．2．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）集合，若，則__________【答案】【詳解】解：因?yàn)?，所以，若，則可得或2，當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，，滿足題意;若，則，此時(shí)，不滿足互異性，舍去；綜上故答案為：3．（2022秋·天津河西·高三統(tǒng)考期中）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則_____．【答案】1【詳解】因?yàn)?，顯然，故，則；此時(shí)兩集合分別是，則，解得或.當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足題意.所以故答案為：.高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，則集合中所含元素個(gè)數(shù)為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，有，6個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，有，5個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，有，4個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，有，3個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，有，2個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，有，1個(gè)元素，綜上，一共有21個(gè)元素．故選：B．例題2．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.例題3．（2023秋·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）下列集合與區(qū)間表示的集合相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】區(qū)間表示的集合為，A.集合表示點(diǎn)集，只有一個(gè)元素，故A錯(cuò)誤；B.，故B正確；C.，表示數(shù)集，其中只有2個(gè)元素，故C錯(cuò)誤；D.，故D錯(cuò)誤.故選：B例題4．（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，寫(xiě)出一個(gè)滿足集合至少有5個(gè)元素的的值：______．【答案】（答案不唯一）【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足題目要求，故答案為：（答案不唯一）練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【詳解】集合A滿足，，，故，，，，故，則集合A所有元素之和為：故選：C2．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題知，，，所以.故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.3．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．【答案】C【詳解】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)、，其余的點(diǎn)全部在集合中，選項(xiàng)中除去的是四條線；選項(xiàng)中除去的是或除去或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；選項(xiàng)，則且，即除去兩點(diǎn)?，符合題意；選項(xiàng)，則任意點(diǎn)都不能，即不能同時(shí)排除，兩點(diǎn)．故選：C4．（2023上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)校考階段練習(xí)）用列舉法表示集合，______．【答案】【詳解】因?yàn)?所以且,即且,又因?yàn)?所以,對(duì)應(yīng)的,其中,所以只能取,故,故答案為:.高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系典型例題例題1．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】集合表示以為圓心，為半徑的圓上的所有點(diǎn)，集合表示直線上的所有點(diǎn)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)圓心，所以直線與圓相交，所以的元素個(gè)數(shù)有2個(gè)，則的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：.例題2．（多選）（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是（

）A．B．C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，且，則【答案】CD【詳解】由于集合有且僅有兩個(gè)子集，所以方程只有一解，所以，所以，由于，所以.A，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤.B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤.C，不等式的解集為，所以方程的兩根為，所以，故C正確.D，不等式的解集為，即不等式的解集為，且，則，則，所以，故D正確，故選：CD例題3．（2023秋·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，故；（2）因?yàn)?，所以，故要想，則，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題4．（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）集合，集合，集合．(1)求集合；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得：，即，；由得：，解得：，即；.（2）由得：，解得：；當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，解得：（舍）；當(dāng)時(shí)，由得：，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，∴當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，若，則時(shí)，時(shí)，．的取值集合是．故選：C．2．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：集合，又因?yàn)?，所以，解得：，所以?shí)數(shù).（2）由（1）可知：集合，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，解得：；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.3．（2023秋·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，．(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，則或，又因?yàn)椋虼耍?（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)，因?yàn)?，，，則，解得.綜上所述，.4．（2023秋·海南·高一海南華僑中學(xué)?？计谀┮阎?，，全集(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以或.由以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可解得，所以.所以.（2）當(dāng)時(shí)，有時(shí)，即，此時(shí)滿足；當(dāng)時(shí)，由得，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算典型例題例題1．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知集合滿足，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?所以，解得．故選:D例題2．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，；（2）①當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意，②當(dāng)時(shí)，則或，解得或，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，，.例題3．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題橫線處，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：已知集合___________，集合．(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，.(2)【詳解】（1）若選①：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，又因?yàn)榛?，所?若選②：，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，又因?yàn)榛颍?若選③：，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，又因?yàn)榛?，所?（2）由（1）可知，，因?yàn)?，所以，故，所以，解得：，故?shí)數(shù)的取值范圍為．例題4．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┮阎?，，.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以.（2）因?yàn)?，所以，若，則，解得：，若，則，解得：，所以m的取值范圍為：.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·廣西南寧·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意得，，則.故選：C2．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)___________【答案】0或2【詳解】∵，∴，顯然，若，則，滿足題意；若，則或，不合題意，代入可知滿足題意，綜上，或2.故答案為：0或2.3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)校考期末）已知集合，集合，定義集合且(1)若，求．(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），.由，則，故.（2）由得，即有或，故.故a的取值范圍為.4．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第②問(wèn)的橫線處，求解下列問(wèn)題.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，而，所以，則或.（2）選①：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，即，滿足，則；當(dāng)時(shí)，，由得，解得；綜上：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；選②：因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，當(dāng)時(shí)，則，即，滿足題意，則；當(dāng)時(shí)，，則，且不能同時(shí)取等號(hào)，解得；綜上：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；選③：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，則，即，滿足，則；當(dāng)時(shí)，，由得或，解得或，又，所以或；綜上：或，實(shí)數(shù)的取值范圍為.5．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知集合.(1)求集合A；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由有，即，所以，解得，所以集合；（2）因?yàn)?，所以，由?）知，而，顯然，則有，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.高頻考點(diǎn)七：圖的應(yīng)用典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，全值，集合，，則陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：解不等式得，故，解不等式得或，故或所以，所以陰影部分表示的集合是.故選：B例題2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）年春節(jié)影市火爆依舊，《無(wú)名》、《滿江紅》、《交換人生》票房不斷刷新，為了解我校高三名學(xué)生的觀影情況，隨機(jī)調(diào)查了名在校學(xué)生，其中看過(guò)《無(wú)名》或《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過(guò)《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過(guò)《滿江紅》且看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生共有位，則該校高三年級(jí)看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以集合表示調(diào)查的名在校學(xué)生看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生構(gòu)成的集合，集合表示調(diào)查的名在校學(xué)生看過(guò)《滿江紅》的學(xué)生構(gòu)成的集合，如下圖所示：所以，調(diào)查的名在校學(xué)生看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生人數(shù)為，所以，該校高三年級(jí)看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為，故選：C.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，則，所以.\由，得，則，則圖中陰影部分表示的集合為.故選:B.2．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┠嘲嘤?0名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組．已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為，，，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為

_______．【答案】4【詳解】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為，因?yàn)槊棵瑢W(xué)至多參加兩個(gè)小組，所以同時(shí)參加三個(gè)小組的同學(xué)的人數(shù)為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有人.故答案為：4高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題1．（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）定義，集合，，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【詳解】，由已知表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后構(gòu)成的集合，或.故選：D.2．（2023秋·四川成都·高一成都實(shí)外校考期末）定義若則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【詳解】因?yàn)榍?，?dāng)時(shí)，可能為，此時(shí)的取值為：；當(dāng)時(shí)，可能為，此時(shí)的取值為：；當(dāng)時(shí)，可能為，此時(shí)的取值為：；綜上可知：，所以集合中元素個(gè)數(shù)為5，故選：D.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合且，如果，，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵，，∴.故選：B.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給定數(shù)集，若對(duì)于任意、，有，且，則稱(chēng)集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號(hào)是______：①集合是閉集合；②正整數(shù)集是閉集合；③集合是閉集合；④若集合、為閉集合，則為閉集合．【答案】③【詳解】對(duì)于①，，，所以錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)檎麛?shù)減正整數(shù)可能不為正整數(shù)，所以錯(cuò)誤，對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以集合是閉集合，所以正確；對(duì)于④,設(shè)，由③可知，集合為閉集合，，而，故不為閉集合，所以錯(cuò)誤．故答案為：③.第五部分：數(shù)學(xué)思想方法①數(shù)形結(jié)合1．（2023·上海黃浦·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為全集，、為非空子集，，則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如下圖所示：由圖可知，，，因?yàn)?，則，，ACD選項(xiàng)都對(duì)，B錯(cuò).故選：B.2．（多選）（2023·福建福州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，是全集的兩個(gè)子集，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】由，根據(jù)子集的定義，如圖，對(duì)于A，，所以A正確；對(duì)于B，，所以B不正確；對(duì)于C，由韋恩圖知，，所以C正確；對(duì)于D，由韋恩圖知，，所以D不正確；故選：AC.3．（多選）（2023秋·廣東廣州·高一?？计谀┰O(shè)集合，若，則a的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】因?yàn)?，如圖：所以，所以，故a的可能取值為，.故選：CD.4．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知集合，，則______.【答案】【詳解】如圖所示，則.故答案為：.5．（2023·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___．【答案】【詳解】根據(jù)，結(jié)合數(shù)軸可知，在的左側(cè)或與之重合，故.故答案為：.②分類(lèi)討論1．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎希希?1)求；(2)若集合，，且．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設(shè)得，（2），當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得綜上所述：的取值范圍是2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知命題：“，使得不等式成立”是真命題，設(shè)實(shí)數(shù)取值的集合為.(1)求集合；(2)設(shè)不等式的解集為，若“”是“”