中考數學模擬題《解答題》練習(提升篇)

中考數學模擬題匯總《解答題》練習(提升篇)

(含答案解析)

一.一元二次方程的應用(共1小題)

1.某區(qū)各街道居民積極響應“創(chuàng)文明社區(qū)”活動，據了解，某街道居民人口共有7.5萬人，街道劃分為A,

B兩個社區(qū)，2社區(qū)居民人口數量不超過A社區(qū)居民人口數量的2倍.

(1)求A社區(qū)居民人口至少有多少萬人？

(2)街道工作人員調查A,B兩個社區(qū)居民對“社會主義核心價值觀”知曉情況發(fā)現：A社區(qū)有1.2萬

人知曉，B社區(qū)有1萬人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個月的時間加強宣傳，A社區(qū)的

知曉人數平均月增長率為機％,B社區(qū)的知曉人數第一個月增長了膽％,第二個月增長了2〃?％,兩個月

后，街道居民的知曉率達到76%,求機的值.

二.反比例函數與一次函數的交點問題(共1小題)

2.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=K(x>0)的圖象上有一點。("?，>!),過點。作CO_Lx

軸于點C,將點C向左平移2個單位長度得到點B,過點8作y軸的平行線交反比例函數的圖象于點A,

A8=4.

(1)點A的坐標為(用含機的式子表示)；

(2)求反比例函數的解析式；

(3)設直線的解析式為為常數且a#0).則不等式K-(ox+b)>0的解集是.

三.反比例函數綜合題(共1小題)

3.如圖，動點P在函數y=3(x>0)的圖象上，過點P分別作x軸和y軸的平行線，交函數y=」的圖

xx

象于點A、B,連接A3、。4、0B,設點尸橫坐標為小

(1)直接寫出點P、A、8的坐標(用。的代數式表示)；

(2)點P在運動的過程中，△AOB的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；

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(3)在平面內有一點。(羨，1),且點。始終在的內部(不包含邊)，求。的取值范圍.

4.對某一個函數給出如下定義：如果存在實數M,對于任意的函數值y,都滿足yWM,那么稱這個函數是

有上界函數.在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的上確界.例如，函數)=-(X-3)2+2

是有上界函數，其上確界是2.

(1)函數①y=/+2x+l和②y=2x-3(xW5)中是有上界函數的為(只填序號即可)，其上確

界為;

(2)若反比例函數產旦(aWxWb,a>0)的上確界是b+l,且該函數的最小值為2,求〃、的值；

X

(3)如果函數y=-7+2ar+2(-1WXW3)是以6為上確界的有上界函數，求實數a的值.

5.在平面直角坐標系中，若兩點的橫坐標不相等，縱坐標互為相反數，則稱這兩點關于x軸縱對稱.其中

一點叫做另一點關于x軸的縱對稱點.如，點(-2,3),(1,-3)關于x軸縱對稱.在平面直角坐標

系xOy中，點A的坐標為(2,1).

(1)下列各點中，與點A關于x軸縱對稱的點是(只填序號)；

①(3,-1)；

②(-2,1)；

③(2,-1)；

@(-1,-1).

(2)若點4關于x軸的縱對稱點B恰好落在直線y=^+3&+l上，ZVlOB的面積為3,求人的值；

(3)拋物線3a上恰有兩個點與點A關于x軸縱對稱，且這兩個點之間的距離不超過6,

請直接寫出a的取值范圍.

6.已知拋物線>=蘇-2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C(0,

4),拋物線的頂點為尸，對稱軸交BC于點連接PC、PB,△PCM與△尸的面積比為1：2；

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(1)①拋物線的對稱軸是;②求拋物線的函數表達式.

(2)若點。為拋物線第一象限圖象上的一點，作軸交BC于點N,當QN+NB取得最大值時，求

以Q、N、B、G為頂點的平行四邊形頂點G的坐標.

0

7.拋物線y=^+hx+c經過點C(0,-4),且OB=^OC.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)如圖1,點力、E是拋物線對稱軸上的兩個動點，且。E=l,點力在點E的下方，求四邊形ACDE

的周長的最小值；

(3)如圖2,點N為拋物線上一點，連接CN,直線CN把四邊形CBNA的面積分為3：1兩部分，直接

寫出點N的坐標.

8.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，二次函數-3a(。＜0)的圖象與x軸交于A、

8(點A在點B左側)兩點，與)，軸交于點C,已知點8(3,0),P點為拋物線的頂點，連接PC,作直

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線8c.

（1）點A的坐標為;

（2）若射線C8平分NPCO,求二次函數的表達式；

（3）在（2）的條件下，如果點力On,0）是線段48（含A、B）上一個動點，過點。作x軸的垂線,

分別交直線BC和拋物線于E、F兩點，當〃?為何值時，△CEF為直角三角形？

9.二次函數）'=/+灰+。（a,b,c為常數，且"W0）.

（1）若二次函數解析式為y=-/+1,此函數圖象經過A（xi,“）、8（%2,”），且〃?>",則xi=,

X2—；（找出一組符合條件的XI、的值即可）

（2）若b=-4〃<0,函數圖象經過尸（V2.yi）、Q（/?，”）、R（_*）,請直接寫出yi、”、

”的大小關系（用“〈”連接）；

（3）若〃：b：c=1：（-4）：3,函數圖象經過￡>（xi,相）、E（%2,m）、F（0,3）,且xi〈x2,當2W

X2-X1W3,求機的取值范圍.

10.如圖，拋物線尸-^^+飯+6,與x軸交于A、8兩點（點4在點8左邊），與），軸交于點C直線■工

（1）求拋物線的解析式；

（2）點尸是拋物線上的一動點，過點尸且垂直于工軸的直線與直線及x軸分別交于點。、M.PN

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VBC,垂足為N.設M(機，0).當點尸在直線8c下方的拋物線上運動時，是否存在一點P,使△PNC

與△AOC相似.若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

II.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=?x2-x+c(小c為常數)與x軸交于A(-2,0),B(4,

0)兩點，與y軸交于C,點。在線段BC上，且段」.

CD2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若P為第四象限內該拋物線上一動點，求△BQP面積的最大值；

(3)M是拋物線對稱軸上一點，N在拋物線上，直接寫出所有以A、D、M、N為頂點的四邊形是平行

四邊形時的N的坐標，并把其中一個求N坐標的過程寫出來.

12.在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,已知4(-3,

0),B(1,0),C(0,3).連接OM,作C￡>〃OM交AM的延長線于點。.

(1)求拋物線對應的二次函數表達式；

(2)求點。的坐標；

(3)直線4M上是否存在點P,使得△PO4的面積與四邊形POCM面積之比為1：2?如果存在請求出

點P的坐標，如果不存在請說明理由.

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五.平行四邊形的判定與性質(共1小題)

13.如圖，EL48C。中，E、尸為對角線8。上的兩點，且DF=BE,連接4E,CF.

(1)求證：ZDAE=ZBCF.

(2)連接AC交于BO點。，求證：AC,EF互相平分.

14.在RtZ\A3C中，/BAC=90°,。是2C的中點，E是A。的中點.過點A做A/〃BC交3E的延長線

于點F.

(1)求證：△AEFgADEB；

(2)證明四邊形AOC尸是菱形；

(3)若AC=3,AB=4,求菱形ADCF的面積.

15.如圖，在矩形ABCD中，A8=3,4。=4,連接BD,將△A3。繞點。順時針旋轉，記旋轉后的三角形

為△4'B'D,旋轉角為a(0°<a<360°且a#180°).

(1)在旋轉過程中，當A'落在線段BC上時，求A'B的長；

(2)連接A'A、A'B,當NB4'8'=90°時，求tan/4'AD；

(3)在旋轉過程中，若△D44的重心為G,則CG的最小值=.

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B'

16.已知一個矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A(8,0),點B(0,6),點尸在

BC邊上從點8運動到點C(點P不與點B、C重合)，經過點。、尸折疊該紙片，得點B'和折痕OP.

(1)如圖①，連接C8,當CB'長度最小時，求點P的坐標;

(2)①如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線?片上，得點。和折痕尸Q,請問AQ的長度

有沒有最小值，若有，諸求出這個最小值以及此時點P的坐標；若無，請說明理由.②請直接寫出點Q

的運動路徑長.

圖②

圖①

17.一道作圖題：“求作一個團A8CD,使得點A與邊BC的中點E的連線平分/BAD.”

小明的思考：在不明確如何入手的時候，可以先把圖描出來，接著倒過來想它有什么性質.

例如，假設回ABCZ)即為所求作，則A￡>〃2C,

：.ZDAE^ZBEA.

又AE平分

：.ZBAE=ZDAE.

:.NBAE=NBEA.

：.BA=BE.(①)

是邊BC的中點,

再倒過來，只要作出的團ABCC滿足BC=?BA即可.

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(1)填空：①(填推理依據)；②.

(2)參考小明的思考方式，用直尺和圓規(guī)作一個回ABCD,使得點A與邊BC的中點E的連線與對角線

垂直；(要求：保留作圖的痕跡，無需寫出文字說明.)

(3)問題(2)所作的121ABC。中的BC和BA是否也有和(1)類似的數量關系？設BC=kBA(k是常數)，

若％是定值，直接寫出A的值；若不是，試直接寫出4的取值范圍.

18.【閱讀感悟】數學解題的一個重要原則是對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發(fā)現有

價值的東西.知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現新問題、新結論的重要方法.

【知識方法】

(1)如圖1,AE=DE,BE=CE,CE_LAC交AC于點E,則AB與CQ的關系是；

【類比遷移】

(2)四邊形ABCD是矩形，A8=2,3c=4,點P是AO邊上的一個動點.

①如圖2,過點C作CE_LCP,CE：CP=］：2,連接BP、DE.判斷線段BP與OE有怎樣的數量關系

和位置關系，并說明理由；

②如圖3,以CP為邊在CP的右側作正方形CPFE,連接DF、DE,則面積的最小值為；

【拓展應用】

(3)四邊形ABC。是矩形，AB=2,8C=4,點P是CO邊上的一個動點(與點C、力不重合)，連接

BP,將BP繞點尸順時針旋轉90°至IJEP,EP交A。于點G,將CP繞點P順時針旋轉90°至FP,連

接AAGF.求四邊形4EGF面積的最小值.

A-----------------D

B-----------------C

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F

圖1圖2

19.【學習概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線.

【理解運用】(1)如圖1,對余四邊形中，AB=5,BC=6,CD=4,連接AC,若AC=A8,則cos/ABC

,sinZCAD—

(2)如圖2,凸四邊形中，AD^BD,ADLBD,2CD1+CB2=CA2,判斷四邊形A8CZ)是否為對余

四邊形，證明你的結論.

【拓展提升】(3)在平面直角坐標中，4(-1,0),8(3,0),C(l,2),四邊形ABC。是對余四邊形，

點E在對余線8。上，且位于AABC內部，ZA￡C=90°+ZABC.設嶇=〃，點。的縱坐標為,,請在

BE

下方橫線上直接寫出"與f的函數表達，并注明/的取值范圍.

20.如圖，在矩形ABC。中，AD=\Q,點￡是A力上一點，且(〃?是常數)，作△B4E關于直線BE

的對稱圖形△BFE,延長EF交直線BC于點G.

(1)求證：EG=BG；

(2)若m—2.

①當48=6時，問點G是否與點C重合，并說明理由；

②當直線BF經過點。時，直接寫出AB的長；

(3)隨著AB的變化，是否存在常數相，使等式8G-2AE=AB2總成立？若存在，求出根的值；若不

2

存在，請說明理由.

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21.已知矩形ABC。中，AB=6,M是A8的中點，N是BC邊上一動點，直線用垂直平分MN,垂足為0,

如圖1,當點N與點C重合時，直線〃?恰好經過點。.

(1)求BC長；

(2)如圖2,過點，作BC的垂線〃，分別交直線小、AD于點E、F.

①當BN=4時，求EN長；

②如圖3,連接。W,交直線〃于點G,在點N由8向C運動的過程中，求GE長的最大值.

圖1圖2圖3

A.切線的性質(共2小題)

22.如圖，A2是。0直徑，CG是。。的切線，C為切點,8OLCG于￡>,的延長線交00于點E,連

接8C,CE.

(1)求證：8c平分乙48。；

(2)若A8=10,sinE=旦，求C￡>長.

23.如圖(1),/ABC=90°,0為射線BC上一點，。8=4,以點。為圓心，2日長為半徑作。。交BC

于點。、E.

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(1)當射線BA繞點8按順時針方向旋轉多少度時與。。相切？請說明理由.

(2)若射線BA繞點8按順時針方向旋轉60°時與。。相交于M、N兩點,如圖(2),求謫的長.

九.圓的綜合題(共2小題)

24.【數學概念】

我們把存在內切圓與外接圓的四邊形稱為雙圓四邊形.例如，如圖①，四邊形ABC。內接于。加，且每

條邊均與OP相切，切點分別為E,F,G,H,因此該四邊形是雙圓四邊形.

【性質初探】

(1)雙圓四邊形的對角的數量關系是,依據是.

(2)直接寫出雙圓四邊形的邊的性質.(用文字表述)

(3)在圖①中，連接GE,HF,求證GEJ_HF.

【揭示關系】

(4)根據雙圓四邊形與四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系，在圖②中畫出雙圓四邊形的

大致區(qū)域，并用陰影表示.

【特例研究】

(5)己知P,〃分別是雙圓四邊形A8CD的內切圓和外接圓的圓心，若4B=1,BC=2,NB=90°,

則PM的長為.

25.旋轉的思考

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【探索發(fā)現】

(1)已知△A8C,將AABC繞點A逆時針旋轉得到△A8'C'.小美，小麗探索發(fā)現了下列結論.

小美的發(fā)現如圖①，連接對應點B8',CC',則嗎_=坐.

CCZAC

小麗的發(fā)現如圖②，以4為圓心，BC邊上的高4力為半徑作。4,則8'C與相切.

(i)請證明小美所發(fā)現的結論.

(ii)如圖②，小麗過點4作A。'LB'C,垂足為￡>'.證明途徑可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚?/p>

其中的空格.

【問題解決】

(2)在RtZvWC中，/A=90°,48=&，AC=2屆,M是AC的中點，將△ABC繞點〃逆時針旋

轉得到△A'BC.

(i)如圖③，當邊8c恰好經過點C時，連接則88'的長為.

(ii)在旋轉過程中，若邊所在直線/恰好經過點8,請在圖④中利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出直線

/.(保留作圖痕跡，不寫作法)

【拓展研究】

(3)在(2)的條件下，如圖⑤，在旋轉過程中，直線B9,CC交于點P,則8尸的最大值為.

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①

十.相似三角形的判定與性質(共1小題)

26.矩形A8C。中，AB<BC,AB=6,E是射線CD上一點，點C關于BE的對稱點尸恰好落在射線D4

上.

(1)如圖，當點E在邊CD上時，若BC=10,。尸的長為,；若A尸。尸=9時，求。尸的長;

(2)作/ABF的平分線交射線D4于點當迎△時，求￡>尸的長.

BC2

27.從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出的一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三

角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我

們把這條線段叫做這個三角形的“優(yōu)美分割線”.

(1)如圖，在△ABC中，CO為角平分線，NA=40°,ZB=60°,求證：CD為△ABC的“優(yōu)美分割

線”；

(2)請構造一個三角形和它的“優(yōu)美分割線”，標出相關角的度數；

(3)在△A8C中，/A=30°,AC=6,為△ABC的“優(yōu)美分割線”，且△4CQ是等腰三角形，求線

段BO的長.

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28.己知。M_LON,垂足為點0,點E、尸分別在射線。歷、ON上,連接EF,點4為EF的中點，ED//

ON,ED=DF,連接。4并延長交線段ED或。尸于點G.

(1)如圖1所示，當點G在上，若OG=DE,則N￡W=°；

(2)當點G在FD上，請在圖2中畫出圖形并證明△OEFS/XAOF；

(3)若DG=2,AG=4,求。尸的長.

M

F

圖1圖2

備用圖

參考答案與試題解析

--一元二次方程的應用(共1小題)

I.某區(qū)各街道居民積極響應“創(chuàng)文明社區(qū)”活動，據了解，某街道居民人口共有7.5萬人，街道劃分為A,

B兩個社區(qū)，B社區(qū)居民人口數量不超過A社區(qū)居民人口數量的2倍.

(1)求A社區(qū)居民人口至少有多少萬人？

(2)街道工作人員調查A,B兩個社區(qū)居民對“社會主義核心價值觀”知曉情況發(fā)現：A社區(qū)有1.2萬

人知曉，B社區(qū)有1萬人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個月的時間加強宣傳，A社區(qū)的

知曉人數平均月增長率為機％,B社區(qū)的知曉人數第一個月增長了相％,第二個月增長了2根％,兩個月

后，街道居民的知曉率達到76%,求機的值.

【解答】解：(1)設A社區(qū)居民人口有x萬人，則8社區(qū)有(7.5-%)萬人，

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依題意得：75-xM2x,

解得x22.5.

即A社區(qū)居民人口至少有2.5萬人；

2

(2)依題意得：1.2(1+機％)+1X(l+w%)X(l+2w%)=7.5X76%

設機％=〃，方程可化為：

1.2(1+a)2+(1+a)(l+2a)=5.7

化簡得：32a2+54a-35=0

解得4=0.5或4=-二反(舍)

16

.,./?=50

答：加的值為50.

二.反比例函數與一次函數的交點問題(共1小題)

2.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數)，=K(x>0)的圖象上有一點。(相，匡)，過點。作

-x3

軸于點C,將點C向左平移2個單位長度得到點B,過點B作y軸的平行線交反比例函數的圖象于點A,

AB=4.

(1)點A的坐標為(m-2,4)(用含加的式子表示)；

(2)求反比例函數的解析式；

(3)設直線4。的解析式為y=ax+h(小匕為常數且〃#0).則不等式K-(or+b)>0的解集是0<

【解答】解：(1)。(m,4),BC=2,

3

/.OB=m-2,

又?.?A8=4,ABLOC,

：.A(m-2,4),

故答案為：(m-2,4)；

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（2）反比例函數y=K（%>0）的圖象上有A,D兩點,

X

.\k=4'X（m-2）=~mt

3

解得"7=3,

.?.k=4,

...反比例函數的解析式為y=±

(3)VA(1,4),D(3,A),

3

不等式K-(ax+b)>0的解集為0<x<l或x>3.

三.反比例函數綜合題（共1小題）

3.如圖，動點P在函數y=3（x>0）的圖象上，過點P分別作x軸和y軸的平行線，交函數），=」的圖

xx

象于點A、B,連接A3、。4、OB,設點P橫坐標為a.

（1）直接寫出點P、4、8的坐標（用〃的代數式表示）；

（2）點P在運動的過程中，△AOB的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；

（3）在平面內有一點。（5，1）,且點。始終在△外8的內部（不包含邊），求a的取值范圍.

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【解答】解：(1)?.?點P在函數(x>0)的圖象上，點尸橫坐標為外

X

：.P(.a,—

a

???Rl〃x軸，尸8〃y軸，

：.B(a,-A),A(-A.3)；

a3a

(2)是定值，理由如下：

\'PA=a-(-A)=絲，PB=3-(-1)=A,

33aaa

AAPB的面積為工X以XPB=^X全?乂名=2，

223a3

*?*S四邊形AOBP=3+1=4,

：./\AOB的面積為定值4-2=4；

33

(3)設直線AB的解析式為)，=丘+6,

將點8(?,-工)，A(-曳，旦)代入得，

a3a

直線A8的解析式為：y=-gx3，

a2a

當x=」時,尸-3金，

3a?a

?.?點。始終在△山8的內部，

/.且3>1,且0>工，

a2aa3

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解得aWl,且工Va<3,

3

綜上：工?<°V3且aWl.

3

四.二次函數綜合題(共9小題)

4.對某一個函數給出如下定義：如果存在實數M,對于任意的函數值y,都滿足yWM,那么稱這個函數是

有上界函數.在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的上確界.例如，函數>=-(%-3)2+2

是有上界函數，其上確界是2.

(1)函數①y=/+2x+l和②y=2x-3(xW5)中是有上界函數的為②(只填序號即可)，其上確界

為7；

(2)若反比例函數(aWxWb,a>0)的上確界是加I,且該函數的最小值為2,求a、6的值；

X

(3)如果函數y=-f+2ar+2(-1WXW3)是以6為上確界的有上界函數，求實數a的值.

【解答】解：(1)；y=/+2x+l=(x+1)2,

，代0,

.,.y=/+2x+l沒有上界函數；

；y=2x-3(xW5),

；.yW7,

Ay=2x-3(xW5)有上界函數，上確界為7,

故答案為：②，7；

(2)'：y=—(aWxWb,a>0),

X

當x=a時，y有最大值反，當時，y有最小值(，

.??gWyW反，

ba

???函數上確界是6+1,

.?.旦=〃+1,

a

???函數的最小值為2,

???2=2,

b

：.b=3,

?.?q=3一；

2

(3)Vy=-?+2^+2=-(x-a)W+2,

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...當x=a時，y有最大值J+2,

①aW-1時，x=-1,y有最大值1-2a,

；6為上確界，

Al-2a=6,

：.a=-立；

2

②a23時，x=3時，y有最大值6。-7,

V6為上確界，

；.6a-7=6,

.?.〃=區(qū)（舍）；

6

③-1<〃<3時，x=a時，y有最大值/+2,

：6為上確界，

.'.a2+2=6,

:?a=2或a=-2（舍）；

綜上所述：a的值為或2.

2

5.在平面直角坐標系中，若兩點的橫坐標不相等，縱坐標互為相反數，則稱這兩點關于x軸縱對稱.其中

一點叫做另一點關于x軸的縱對稱點.如，點（-2,3）,（1,-3）關于x軸縱對稱.在平面直角坐標

系xOy中，點A的坐標為（2,1）.

（1）下列各點中，與點A關于x軸縱對稱的點是①④（只填序號）；

①（3,-1）；

②（-2,1）；

③（2,-1）；

④（-1,-1）.

（2）若點A關于x軸的縱對稱點B恰好落在直線y=fcr+3k+l上，△AOB的面積為3,求人的值；

（3）拋物線），=〃/-2以-3a上恰有兩個點與點A關于x軸縱對稱，且這兩個點之間的距離不超過6,

請直接寫出。的取值范圍.

【解答】解：（1）根據題意得：與點A關于x軸縱對稱的點的縱坐標為-1,橫坐標為不等于2,

???②③不是點A關于x軸縱對稱的點，①④是點A關于x軸縱對稱的點，

故答案為：①④；

第19頁共79頁

（2）由題意可得點8的縱坐標為-1,設點8的坐標為（x,-1）,

①當x>0時，如圖，分別過點A、點B作AMLy軸于M,作BNLy軸于M

-'?SMOB-S^AMNB-S^AOM-SABON——(2+X)X(1+1)-_lx2X1-工廣1=3,

222

??X=4,

，點3的坐標為(4,-1),

丁點5恰好落在直線>="+3攵+1上,

.\4k+3k+\=-1,解得k=-2,

7

.?/的值為-2；

7

②當xVO時，如圖，分別過點A、點B作軸，作軸于N,AM.BN交于點、M,

?'?S^AOB—SAABM-SW.AMNO-S^BON——(2-X)X(1+1)--X(1+1+1)X2--(-x)X1=3,

222

-8,

.,.點8的坐標為（-8,-1）,

,/點B恰好落在直線y^kx+3k+i上,

二-Sk+3k+\=-1,解得％=2,

5

.?/的值為2；

5

第20頁共79頁

綜上，4的值為-2或2；

75

（3）令y=~1,則ax2-2ax-3a=-1,

-2ax-3〃+l=0,

???拋物線y=or2-2ax-3a上恰有兩個點與點A關于x軸縱對稱,

，△=（-2。）2-4。（-3^+1）=16。2-4。＞0,

，4。2-。＞0,

設兩個點的橫坐標分別為巾、X2,

/.Xl+X2=--^^-=2,X1?X2=.二ki-X2|W6,

aa

（XI-X2）2=（X1+X2）2-4X]?X2＜36,

??.4-4XAZ^W36,

a

Al-lz3a_^9,

a

①當40時，

1-且4。2-。＞0,

a

解得且

54

???與點A（2,1）關于x軸縱對稱，

，這兩個點不能是（2,-1）,

將（2,-1）代入cu?-2ax-3。=0得,

4a-4a-3a=-1,解得Q=工，

3

3

；?4＞工且a^—\

43

②當〃vo時，

1且4/-。＞0,

a

解得aW-」，且4V』，

54

第21頁共79頁

■—；

5

綜上，a的取值范圍為a＞工且aW2或“W-工.

435

6.已知拋物線y=a?_2G：+c(“VO)與x軸交于A、8兩點(點A在點8的左側)，與y軸交于點C(O,

4),拋物線的頂點為P,對稱軸交BC于點M,連接PC、PB,△PCM與的面積比為1：2：

(1)①拋物線的對稱軸是直線x=1；②求拋物線的函數表達式.

(2)若點Q為拋物線第一象限圖象上的一點，作QNLx軸交BC于點M當。N+NB取得最大值時，求

以Q、N、B、G為頂點的平行四邊形頂點G的坐標.

’3

0x

【解答】解：(1)①..juax*2-2ax+c,

?x=--2aj

2a

即拋物線的對稱軸是直線x=l,

故答案為：直線x=l；

②；C(0,4),

.??拋物線yuox2-2ar+4,

:△PCM與△P8M的面積比為1：2,

：.XpMX(XB-1)=2XaPMX(1-xc),

22

??XB-1=2,

??XB~^3,

：.B(3,0),

?.?拋物線的對稱軸是直線x=1,

AA(-1,0),

第22頁共79頁

將3(3,0)代入拋物線y=a/-2ox+4中,

得：9a-6(7+4=0,

解得：a4

3

...該拋物線的函數表達式為)，=-&/+/葉4.

33

(2)設直線BC的解析式為將B(3,0),C(0,4)代入得：Pk+b=0

Ib=4

2

解得:3,

設Q(f,^+―r+4),則N(t,一駕+4),

333

QN---r*2+3*8—r+4-(-A/+4)=-—r+4t,

3333

設QV與x軸交于H,則H(r,0),

:.NH=當+4,BH=3-t,

3

???QNL軸，

:.NBHN=NBOC=90°,

在RtABOC中，BC—yjQg2+QQg2=5,

:.NB=~(當+4)=E+5,

433

QN+NB--—^+4?+(上f+5)=--?+—r+5=-—(z-—)2+^9_,

33333848

.?.當f=1時，QN+NB取得最大值2竺，

848

-當2+旦什4=-Ax(1)2+區(qū)義工+4=強，

33383816

此時，Q(工，—),N(工，-AL),

81686

①當8。為回BNQG的對角線時，BG//QN,BG=QN,

第23頁共79頁

S5_-QN〃y軸,

16648

.?.86=衛(wèi)9,8G〃y軸，

48

AGi(3,

②當8N為團BQNG的對角線時，BG//QN,BG=QN,

?.?QN=適-9=11^,°N〃y軸,

16648

BG〃y軸,

48

：.G2(3,-

48

③當QN為團2QGN的對角線時，BN//GQ,BN=GQ,

886

...8N向左平移」工個單位，向上平移」2個單位，得到線段G。,

86

...點G的橫坐標為：工5?，點G的縱坐標為：巫+“=旦里1,

88416648

：.G3(-—,聞J；

448

—)或02(3,里)或G3(-2391).

4848448

-4),且OB=2OC

4

(1)求拋物線的函數表達式;

(2)如圖1,點。、E是拋物線對稱軸上的兩個動點，且QE=1,點。在點E的下方，求四邊形AC￡>￡

的周長的最小值;

第24頁共79頁

(3)如圖2,點N為拋物線上一點，連接CN,直線CN把四邊形CBM4的面積分為3：1兩部分，直接

寫出點N的坐標.

【解答】解：(1)；點C(0,-4),

OC=4,

?；OB=±OC

4

；.OB=3,

點B(3,0),

,拋物線產產+以+。經過點C(0,-4),點8(3,0),

'g

...(12+3b+c=0,解得產方,

I|c=-4

拋物線的表達式為：一2x-4；

33

(2)把C向上移1個單位得點C',再作C'關于拋物線的對稱軸的對稱點C",連接AC",與對稱

軸交于點E,再在對稱軸上E點下方取點。，使得。E=l,連接CD,則CZ)=C'E=C"E,此時四邊

形ACDE的周長最小，

第25頁共79頁

VC(0,-4),

:C(0,-3),

_8

-當14的對稱軸是直線k——J=l,

332x|

:?C”(2,-3),A(-1,0),

??.AC=Ji2+42=g,

AC"=4(2+D2+§2=3加,

AE+DE+CD+AC=AE+l+C"E+A/17=l+yfl7+AE+C"E=1+J77+AC"=1+百7+3&的值最小,

四邊形AC￡>E的周長的最小值為1+JF+3J5；

(3)如圖，設直線CN交x軸于點E,

直線CN把四邊形CBNA的面積分為3：1兩部分，

第26頁共79頁

又"：S&NCB：S^NCA——EBX（JW-yc）：—AEX（y/v-yc）—BE：AE,

22

則BE：AE=\：3或3：1,

VA（-1,0）,B（3,0）,

.,.A3=4,

貝ljAE=3或1,

即：點E的坐標為（2,0）或（0,0）,

：當點E的坐標為（0,0）時，直線CE與拋物線不可能交于點N,故不合題意，舍去，

當點E的坐標為（2,0）時，設直線CN的表達式：），=日-4,

...2、-4=0,解得比=2,

直線CN的表達式：y=2x-4,

聯立>=9/一2?4并解得：或0（不合題意，舍去），

332

故點N的坐標為（［，3）.

2

8.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，二次函數y=o?+6x-3a（。<0）的圖象與x軸交于A、

8（點A在點3左側）兩點，與），軸交于點C,已知點8（3,0）,P點為拋物線的頂點，連接PC,作直

線BC.

（1）點A的坐標為（-1,0）；

（2）若射線CB平分NPC。，求二次函數的表達式；

（3）在（2）的條件下，如果點。Cm,0）是線段A8（含A、B）上一個動點，過點。作x軸的垂線,

分別交直線BC和拋物線于E、尸兩點，當機為何值時，ACEF為直角三角形?

【解答】解：(1)把8(3,0)代入入y=a/+bx-3”，得0=9a+3b-3a,

:?b=-2a,

?"=〃/-2ax-3a,

當y=0時，

第27頁共79頁

cvr-lax,-3a=0,

'：a<0,

A?-2x-3=0,解得xi=7,X2=3.

(-1,0),

故答案為：(-L0)；

(2)由(1)知，b=-la,

對稱軸為直線x=l.

設對稱軸與8c交于點G,

y=a)?+bx-3?=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4。,

：.P(1,-4a),

當x=0時，y=axi+bx-3a--3a,

：.C(0.-3a),

設直線BC的解析式為y=mx+n,

.?/3mk=0,解得(m=a,

[n=-3a\n=-3a

*.y=ax-3。