聚焦核心素養(yǎng)提升思維能力-橢圓與雙曲線的切線和焦點(diǎn)三角形的斜率性質(zhì)

聚焦核心素養(yǎng)，提升思維能力—橢圓與雙曲線的切線和焦點(diǎn)三角形的斜率性質(zhì)解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，特別是圓錐曲線，在歷年的高考題中占重要地位。此類題綜合考查了學(xué)生的抽象概括能力，運(yùn)算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力等數(shù)學(xué)能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在對(duì)圓錐曲線的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線的切線和焦點(diǎn)三角形三邊的斜率之間的關(guān)系，有以下結(jié)論：命題1已知點(diǎn)是橢圓：上異于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。設(shè)直線的斜率分別為，過點(diǎn)作橢圓的切線，記切線的斜率為。延長(zhǎng)直線分別與橢圓交于點(diǎn)，記直線的斜率為。若，則有（1），（2）。證明：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以。而橢圓在點(diǎn)處的切線的方程為，所以。又因?yàn)?，，所以有。?）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則有。由（1）可知切線的斜率，直線的方程為，與橢圓方程：聯(lián)立后消去,得到。由韋達(dá)定理可知，，所以。又直線的方程為，同理也可得。，。解得。又，所以，為一個(gè)定值。對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形和它的切線，也有以下結(jié)論：命題2已知點(diǎn)是雙曲線：上異于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。設(shè)直線的斜率分別為，過點(diǎn)作雙曲線的切線，記切線的斜率為。延長(zhǎng)直線分別與雙曲線交于點(diǎn)，記直線的斜率為。若，則有（1），（2）。證明過程與命題1類似。證明：（1）如圖2，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以。雙曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，所以。而，，所以有。（2）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線C上，則有。由（1）可知切線的斜率，直線的方程為，與雙曲線方程：聯(lián)立后消去,得到由韋達(dá)定理可知，，所以，同理可得。，。。又，所以有為一個(gè)定值。通過對(duì)上述2個(gè)命題的證明，又可以得到以下結(jié)論：結(jié)論1：已知點(diǎn)是橢圓：上異于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。設(shè)直線的斜率分別為，過點(diǎn)作橢圓的切線，記切線的斜率為。延長(zhǎng)直線分別與橢圓交于點(diǎn)，記直線的斜率為。若，則有：。結(jié)論2：已知點(diǎn)是雙曲線：上異于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。設(shè)直線的斜率分別為，過點(diǎn)作雙曲線的切線，記切線的斜率為。延長(zhǎng)直線分別與雙曲線交于點(diǎn)，記直線的斜率為。若，則有。這兩個(gè)結(jié)論由命題1和2顯而易得。其實(shí)，圓錐曲線可以挖掘出多個(gè)優(yōu)美統(tǒng)一的結(jié)論，未被發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還有很多。只要多加思考，勇于猜想，勤于計(jì)算，定能收獲很多意外的驚喜。當(dāng)你的猜想得到證實(shí)的時(shí)候，你將會(huì)體會(huì)苦盡甘來，妙趣橫生，其樂