2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：條件概率與正態(tài)分布（原卷）

專題21條件概率與正態(tài)分布

一、條件概率

i.在二十大報(bào)告中，體育、健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競(jìng)技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育

強(qiáng)國是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬

舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上

場(chǎng)一次且是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根

據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手M對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為|,甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員

的勝率均為去(注：比賽結(jié)果沒有平局)

(1)求甲隊(duì)最終2:1獲勝且種子選手M上場(chǎng)的概率；

(2)已知甲隊(duì)2:1獲得最終勝利，求種子選手M上場(chǎng)的概率.

2.(1)若B和C是兩個(gè)互斥事件，求證：P((BUC)M)=P(BM)+P(C|4)；

(2)在孟德爾豌豆試驗(yàn)中，子二代的基因型為。D,Dd,dd,其中。為顯性基因，d為隱性基因，且這三種基

因型的比為1:2:1,如果在子二代中任意選取2株豌豆進(jìn)行雜交試驗(yàn)，試求出子三代中基因型為ZM的概率.

3.某地區(qū)舉行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)，要求以學(xué)校為單位參賽，最終力學(xué)校和B學(xué)校進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如下:

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4道選擇題和2道填空題，乙箱中有3道選擇題和3道填空題，決賽由兩

個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩校每位參賽同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱；

環(huán)節(jié)二：由4學(xué)校和B學(xué)校分別派出一名代表進(jìn)行比賽.兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)

得分的高低決定名次.

(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道從A學(xué)校抽取12人,

其答對(duì)題目的平均數(shù)為1,方差為1，從B學(xué)校抽取8人，其答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5,方差為0.25,求這20

人答對(duì)題目的均值與方差；

(2)環(huán)節(jié)二，A學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后B學(xué)校代

表再從乙箱中抽取題目，已知B學(xué)校代表從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求4學(xué)校代表從甲箱中取出的是

兩道選擇題的概率.

4.一只不透朋的袋中裝有10個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0-9,先后從袋中隨機(jī)取兩只小球用事件/表

示“第二次取出小球的標(biāo)號(hào)是2”，事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號(hào)之和是優(yōu)”.

(1)若用不放回的方式取球，求PQ4)；

(2)若用有放回的方式取球，求證：事件/與事件2相互獨(dú)立的充要條件是m=9.

5.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%,加工

出來的零件混放在一起，已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺(tái)車床所加工的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)；

(3)參照第(2)問給出判斷，求第1,2,3臺(tái)車床操作員對(duì)加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.

6.某轄區(qū)組織居民接種新冠疫苗，現(xiàn)有4B,C,D四種疫苗且每種都供應(yīng)充足.前來接種的居民接種與號(hào)碼機(jī)

產(chǎn)生的號(hào)碼對(duì)應(yīng)的疫苗，號(hào)碼機(jī)有4B,C,0四個(gè)號(hào)碼，每次可隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)號(hào)碼，后一次產(chǎn)生的號(hào)碼由前一

次余下的三個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)產(chǎn)生，張醫(yī)生先接種與號(hào)碼機(jī)產(chǎn)生的號(hào)碼對(duì)應(yīng)的A種疫苗后，再為居民們接種，記

第律位居民(不包含張醫(yī)生)接種4B,C,。四種疫苗的概率分別為Pa⑷,Pn(B),Pn(C),Pn(D).

(1)第2位居民接種哪種疫苗的概率最大；

(2)張醫(yī)生認(rèn)為，一段時(shí)間后接種4B,C,D四種疫苗的概率應(yīng)該相差無幾，請(qǐng)你通過計(jì)算第10位居民接種

4B,C,D四種的概率，解釋張醫(yī)生觀點(diǎn)的合理性.

參考數(shù)據(jù):G)屋5.1x1。-5,(I)10X1.7x1。弋圖工2.0x10-3,(茅。9.8x1L

7.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為123,4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，

再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若

獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打開2號(hào)箱之前，主持人先打開了

另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開甲的選擇之外的一個(gè)空箱子.

(1)計(jì)算主持人打開4號(hào)箱的概率；

(2)當(dāng)主持人打開4號(hào)箱后，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還是改選1號(hào)

或3號(hào)箱？(以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù))

8.杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)(The19thAsianGamesHangzhou2022)將于2023年9月23日至10月8日

舉辦.本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.同時(shí)，在保持40個(gè)大項(xiàng)目

不變的前提下，增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目.與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多

賽事的青睞.

傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才

會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率.假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分

組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍.雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝

者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組.之前進(jìn)入到

敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總

決賽的勝者即為冠軍.雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)比賽即總決賽

就無法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因

此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？

這里我們簡(jiǎn)單研究:一下兩個(gè)賽制.假設(shè)四支隊(duì)伍分別為4B,C,D,其中4對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為p,

另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為今最初分組時(shí)4B同組，CD同組.

(1)若p=|,在淘汰賽賽制下，4c獲得冠軍的概率分別為多少？

(2)分別計(jì)算兩種賽制下4獲得冠軍的概率(用p表示)，并據(jù)此簡(jiǎn)單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否

如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？

9.甲袋中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋中裝有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，其中的小球除

顏色外完全一致.現(xiàn)從甲袋中一次性抽取2個(gè)小球，記錄顏色后放入乙袋，混勻后從乙袋一次性抽取3個(gè)小

球，記錄顏色.設(shè)隨機(jī)變量x表示在甲袋中抽取出的紅球個(gè)數(shù)，y(k)表示X=k時(shí)，在乙袋中抽取出的紅球個(gè)

數(shù)，Z表示在乙袋中抽取出的紅球個(gè)數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)求y(k)的數(shù)學(xué)期望E[y(k)](用含k的代數(shù)式表示)；

⑶記x的所有可取值為由,。2,…,時(shí),證明：E(Z)=2：=IP(X=/)磯丫(〃)],并求E(Z).

10.某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)6件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天、第三天分別生產(chǎn)出了2件、1件、1件

次品，質(zhì)檢部門每天要從生產(chǎn)的6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不

能通過.

（1）求第一天的產(chǎn)品通過檢測(cè)的概率；

（2）求這三天內(nèi)，恰有兩天能通過檢測(cè)的概率.

11.在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課程上，老師和班級(jí)同學(xué)玩了一個(gè)游戲.老師事先準(zhǔn)備3張一模一樣的卡片，編號(hào)為

1、2、3后，放入一個(gè)不透明的袋子中，再準(zhǔn)備若干枚1元硬幣與5角硬幣和一個(gè)儲(chǔ)蓄罐；然后邀請(qǐng)同學(xué)從

袋子中有放回地抽取1張卡片，若抽到的卡片編號(hào)為1或2,則將1枚1元硬幣放入儲(chǔ)蓄罐中，若抽到的卡

片編號(hào)為3,則將2枚5角硬幣放入儲(chǔ)蓄罐中，如此重復(fù)人次試驗(yàn)后，記儲(chǔ)蓄罐中的硬幣總數(shù)量為幾.

⑴若k=4,求幾>5的概率；

⑵若k=5,記第n（n=1,2,3,4,5）次抽卡且放置硬幣后，5角硬幣的數(shù)量為Xn，1元硬幣的數(shù)量為七,求在S5>

7的條件下Xn=%的概率.

12.果酒由水果本身的糖分被酵母菌發(fā)酵而成.研究表明，果酒中的芳香氣味主要來自于酯類化合物.某學(xué)習(xí)

小組在實(shí)驗(yàn)中使用了3種不同的酵母菌（N型，8型，C型）分別對(duì)三組（每組10瓶）相同的水果原液進(jìn)

行發(fā)酵，一段時(shí)間后測(cè)定發(fā)酵液中某種酯類化合物的含量，實(shí)驗(yàn)過程中部分發(fā)酵液因被污染而廢棄，最終

得到數(shù)據(jù)如下（"Y’表示該瓶發(fā)酵液因廢棄造成空缺）：

酵母菌類型該酯類化合物的含量（〃g/L）

/型X27472688XX28172679X26922721

假設(shè)用頻率估計(jì)概率

(1)從樣本未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，求其品質(zhì)高的概率；

(2)設(shè)事件。為“從樣本含/型，B型,C型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中各隨機(jī)抽取一瓶，這三瓶中至少有一

瓶品質(zhì)高”，求事件。發(fā)生的概率P(D);

(3)設(shè)事件E為“從樣本未廢棄的發(fā)酵液中不放回地隨機(jī)抽取三瓶，這三瓶中至少有一瓶品質(zhì)高”試比較事件

E發(fā)生的概率P(E)與(2)中事件。發(fā)生的概率P(D)的大小.(結(jié)論不要求證明)

13.新冠病毒在傳播過程中會(huì)發(fā)生變異，現(xiàn)在已有多種變異毒株，傳播能力和重癥率都各不相同.某地衛(wèi)

生部門統(tǒng)計(jì)了本地新冠確診病例中感染每種毒株的患者在總病例中的比例和各自的重癥率，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下

表所示.

病毒類型在確診病例中的比例重癥率

阿爾法(a)10%2.4%

貝爾特(0)15%3.8%

德爾塔3)25%4%

奧密克戎

50%2%

(。)

已知當(dāng)?shù)貙柗?、貝爾塔、德爾塔三種類型病例全部集中收治在甲醫(yī)院，奧密克戎病例全部單獨(dú)收治在

乙醫(yī)院.以頻率估計(jì)概率回答下列問題.

(1)某醫(yī)生從甲醫(yī)院新冠確診病例名單中任取1人，求其為重癥病例的概率；

(2)某醫(yī)生從乙醫(yī)院新冠確診病例名單中任取2人，已知2人中有重癥病例，求2人都是重癥病例的概率(結(jié)

果保留4位小數(shù)).

14.甲、乙兩個(gè)學(xué)校分別有n+1位同學(xué)和“位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)，假定所有同學(xué)成功的概率都是右所有

同學(xué)是否成功互不影響.記事件/="甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次“，事件5="甲成功次數(shù)等于乙成功

次數(shù)

(1)若n=3,求事件N發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率；

(2)證明:PQ4)=P(B).

15.雙淘汰賽制是一種競(jìng)賽形式，比賽一般分兩個(gè)組進(jìn)行，即勝者組與負(fù)者組.在第一輪比賽后，獲勝者編

入勝者組，失敗者編入負(fù)者組繼續(xù)比賽.之后的每一輪，在負(fù)者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類

似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負(fù)者組，只有在負(fù)者組中再次失敗后才會(huì)被淘汰出整個(gè)比賽.A、B、

C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場(chǎng)比賽為決賽.

(1)假設(shè)四人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①隊(duì)伍A和D在決賽中過招的概率；

②D在一共輸了兩場(chǎng)比賽的情況下，成為亞軍的概率；

(2)若A的實(shí)力出類拔萃，即有/參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，求D進(jìn)入決賽且先

前與對(duì)手已有過招的概率.

16.某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽，按比賽規(guī)則，進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊(duì)如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù)，則需

進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn).點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段，雙方各派5名球員輪流罰球，雙方各罰一球?yàn)橐惠?球員每罰進(jìn)一

球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分，當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時(shí)候，比

賽即宣告結(jié)束，剩下的球員無需出場(chǎng)罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣，則進(jìn)入第二階段，雙方每輪各

派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面，則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)入

點(diǎn)球大戰(zhàn)，由甲隊(duì)球員先罰球，甲隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為今乙隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為：.假設(shè)

每輪罰球中，兩隊(duì)進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

(1)求每一輪罰球中，甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率；

(2)若在點(diǎn)球大戰(zhàn)的第一階段，甲隊(duì)前兩名球員均得分而乙隊(duì)前兩名球員均未得分，甲隊(duì)暫時(shí)以2:0領(lǐng)先，求甲

隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球的概率.

17.中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率

問題中.例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場(chǎng)比賽獲勝概率均為5且每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對(duì)稱性

可知，在5場(chǎng)比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場(chǎng)的概率為去現(xiàn)甲乙兩人分別進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人拋擲一

枚質(zhì)地均勻的硬幣.

(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；

(2)若甲拋擲(n+1)次，乙拋擲〃次，nGN*,求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率.

18.為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模

式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且上場(chǎng)順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過

小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員M對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的

勝率均為甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為(注：比賽結(jié)果沒有平局)

⑴求甲隊(duì)明星隊(duì)員M在前四局比賽中不出場(chǎng)的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；

(2)求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；

(3)若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場(chǎng)的概率.

19.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言

處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，X-2,

XtT，Xt,Xt+1,那么Xt+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即p(Xt+il…，Xt_2，X-i，Xt)=

P(Xt+i|X)

現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元，每

一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束

賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的3元，賭徒停止賭博.記賭徒的

本金為力(力eN*,4<B),賭博過程如下圖的數(shù)軸所示.

0.50.5

A-lAA+1

II2

0B

0.50.5

當(dāng)賭徒手中有"元(OWnWB,n￡N)時(shí)，最終輸光的概率為P(n),請(qǐng)回答下列問題：

(1)請(qǐng)直接寫出P(0)與P(B)的數(shù)值.

(2)證明｛P(n)｝是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差乩

(3)當(dāng)4=100時(shí)，分別計(jì)算B=200,B=1000時(shí)，PQ1)的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)8時(shí)，PQ1)的

統(tǒng)計(jì)含義.

20.某校舉行“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)，要求以班級(jí)為單位參賽，最終高三一班(45人)和高三二班

(30人)進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題，乙箱中有

3個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，決賽由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級(jí)每位同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽

取兩題作答，作答后放回原箱.并分別統(tǒng)計(jì)兩班級(jí)學(xué)生測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長(zhǎng)王剛和

二班班長(zhǎng)李明進(jìn)行比賽，并分別統(tǒng)計(jì)兩人的測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得

分，以累計(jì)得分的高低決定班級(jí)的名次.

(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班級(jí)抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)答對(duì)題目的數(shù)量，統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1,方差為1；二班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5,方差為

0.25,求這20人答對(duì)題目的均值與方差；

(2)環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽取題

目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率.

二、正態(tài)分布

21.抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系

成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)

這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為x(單位：mg),

體內(nèi)抗體數(shù)量為了(單位：AU/mL).

10101010

1=11=11=1i=l

29.2121634.4

九

12-

10-

8-

6-

4-

2-

62468101214161820222426*

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇y=c/作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=c/兩邊取對(duì)

數(shù)，得Iny=Inc+如1久，可以看出Inx與Iny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程，

并預(yù)測(cè)抗體藥物攝入量為25mg時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量y的值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布N?(0.48,0.032),那這

種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)%)(i=12…,10),其回歸直線徹+式的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為8=

2著"但一而

a=v—pit；

>九岔一疝2,

4=1

②若隨機(jī)變量Z-NQ,/),則有P(〃—(T<Z<〃+<T)=0.6826,P(〃—2。<Z<〃+2<7)=0.9544,P(ji-

3<J<Z<〃+3<T)X0.9974；

③取e?2.7.

22.法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購買一個(gè)面包.該面包店的面包師

聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g,上下浮動(dòng)不超過50g.這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個(gè)面

包的質(zhì)量服從期望為1000g,標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布.

(1)已知如下結(jié)論：若X?N(U《2),從X的取值中隨機(jī)抽取人(卜6%*#22)個(gè)數(shù)據(jù)，記這4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值

為匕則隨機(jī)變量丫?尺傘,")，利用該結(jié)論解決下面問題.

(i)假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購買25個(gè)面包，記隨機(jī)購買25個(gè)面包的平均值為匕求P(Y<980)；

(ii)龐加萊每天都會(huì)將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在(950,1050)上，并經(jīng)計(jì)算25

個(gè)面包質(zhì)量的平均值為978.72g.龐加萊通過分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報(bào)該面包師的

理由；

(2)假設(shè)有兩箱面包(面包除顏色外，其他都一樣)，已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包有2個(gè)；

第二箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包.求取出

黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：①隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(“,M),貝UP(〃一?！╓〃+0)=0.6827,P(/z-2CT<r]</J.+2(r)=

0.9545,P(/i—3cr<7j<jit+3CT)=0.9973；

②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生.

23.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，

并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績(jī)（卷面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示.

（1）用樣本估計(jì)總體，求此次知識(shí)競(jìng)賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

（2）可以認(rèn)為這次競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N（〃,標(biāo)）（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為M、b的

近似值），已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差5^7.36,如有84%的學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的

平均分約為多少？（結(jié)果取整數(shù)）

⑶從得分區(qū)間［80,90）和［90,100］的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機(jī)

抽測(cè)3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間［80,90）的概率.

參考數(shù)據(jù)：若X-N{/J,cr）,則P（JU-（T<X</z+cr）?0.68,P（/J-2<7<X<JU+2CT）~0.95,尸（〃一3cr<

XW〃+3b）a0.99.

24.隨著《2023年中國詩詞大會(huì)》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩詞與新時(shí)代精神相結(jié)合，使古詩詞綻放

出新時(shí)代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學(xué)習(xí)古詩詞的熱情，掀起了學(xué)習(xí)古詩詞的熱潮.某省某校為了

了解高二年級(jí)全部1000名學(xué)生學(xué)習(xí)古詩詞的情況，舉行了“古詩詞”測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對(duì)其測(cè)

試成績(jī)（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)(單位：分)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值為代表)

(2)若該校高二學(xué)生“古詩詞”的測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布NQ,169),其中〃近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古

詩詞”的測(cè)試成績(jī)不低于87分的為“優(yōu)秀”，據(jù)此估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；(取整數(shù))

(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國詩詞大會(huì)”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場(chǎng)校內(nèi)“詩詞大會(huì)”.

該“詩詞大會(huì)”共有三個(gè)環(huán)節(jié)，依次為“詩詞對(duì)抗賽”“畫中有詩”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與,

在前兩個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學(xué)生甲在三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率依

次為也I，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次“詩詞大會(huì)”中的累計(jì)得分為隨

機(jī)變量求f的分布列和數(shù)學(xué)期E(f).

(參考數(shù)據(jù)：若X?N("),則P?—CTVXWN+CT)=0.6826,PQt—2。<XW4+2。)=0.9544,PQt-

3cr<X</z+3(r)=0,9974.

25.隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機(jī)抽

查了100個(gè)購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：

鳳梨數(shù)量(盒)[100,200：[200,3001[300,400：[400,500'[500,600

購物群數(shù)量(個(gè))12m2032m

(1)求實(shí)數(shù)爪的值，并用組中值估計(jì)這100個(gè)購物群銷售風(fēng)梨總量的平均數(shù)(盒)；

(2)假設(shè)所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量X服從正態(tài)分布NO，。?)，其中〃為(1)中的平均數(shù)，02=12100.若該

鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個(gè)，銷售風(fēng)梨的數(shù)量在［266,596)(單位：盒)內(nèi)的群為“一級(jí)群”，銷

售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級(jí)群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”.該鳳梨基地對(duì)每個(gè)

“優(yōu)質(zhì)群”獎(jiǎng)勵(lì)1000元，每個(gè)“一級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)200元，“二級(jí)群”不獎(jiǎng)勵(lì)，則該風(fēng)梨基地大約需要準(zhǔn)備多少資金？

(群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整數(shù))

附：若X服從正態(tài)分布X?N(〃,O2),則p(〃+0.683,P(〃-2CT<X<g+2<T)?0.954,

P(〃-3crVXV〃+3a)a0.997.

26.為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).第

一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間(滿時(shí)

長(zhǎng)15小時(shí))，將其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖

(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

⑴求。的值；

(2)以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間f近似服從正態(tài)分布N(“,02),其中A近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)

算知。x2.39.若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在(7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù)；

(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3

人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù).(四舍五入取整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(〃《2),貝!]「(〃—。<+=0.6827,—2。<f<〃+

2。)?0.9545,P(/z-3cr<f</z+3<r)?0.9973.

27.某商場(chǎng)在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)

定：上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗,

且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).

(1)若甲第一關(guān)通過的概率為|,第二關(guān)通過的概率為,，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；

(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前

400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).

①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì),

請(qǐng)說明理由；

②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)

結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附：若隨機(jī)變量Z?則—a<X<(J.+a)0.6827；P(〃—2a<X<fj.+2a)~0.9545；P(ji—

3a<X<{j.+3<T)~0.9973.

28.2022年，隨著最低工資標(biāo)準(zhǔn)提高，商品價(jià)格上漲，每個(gè)家庭的日常消費(fèi)也隨著提高，某社會(huì)機(jī)構(gòu)隨機(jī)

調(diào)查了200個(gè)家庭的日常消費(fèi)金額并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：

[3,4：[4,5：[5,6：[6,7：

消費(fèi)金額(千元)[2,3：[7,8

人數(shù)406040302010

以頻率估計(jì)概率，如果家庭消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布N(〃,O2),出小分別為這200個(gè)家庭消費(fèi)金額的平

均數(shù)萬及方差s2(同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代).

(1)求元和s2的值；

⑵試估計(jì)這200個(gè)家庭消費(fèi)金額為［2.86,7.18］的概率(保留一位小數(shù))；

(3)依據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，現(xiàn)要在10個(gè)家庭中隨機(jī)抽取4個(gè)家庭進(jìn)行更細(xì)致的消費(fèi)調(diào)查，記消費(fèi)金額為

［2.86,7.18］的家庭個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及期望.

參考數(shù)據(jù)：V2^06=1.44；

若隨機(jī)變量f?NRM),貝ijp缶-0.6827,P(〃-2。<fW〃+2。)=0.9545,PQi-3(r<

f</z+3(r)=0,9973.

29.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日

為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人

每天的閱讀時(shí)間(單位：分鐘)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)元(單位：分鐘)；(同一組數(shù)據(jù)用該組

數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)

(2)若年輕人每天閱讀時(shí)間X近似地服從正態(tài)分布N(出100),其中〃近似為樣本平均數(shù)總求P(64<XW94)；

(3)為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組[50,60),

[60,70),[80,90)的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時(shí)間位于[80,90)的人

數(shù)f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附參考數(shù)據(jù)：若，則①P(〃-8<X</i+8)=0.6827；②P(〃-28<X<n+28)=0.9545；③P(〃-38<

X<fi+36)=0.9973.

30.為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)情況，某中學(xué)對(duì)高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了分層抽樣調(diào)查.調(diào)查的樣本中

高一年級(jí)有70%的學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，高二年級(jí)有65%的學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，

高三年級(jí)有56%的學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，且三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為9:6:5,用樣本的頻率

估計(jì)總體的概率.

(1)從該校三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的概率；

(2)假設(shè)該校每名學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X(單位：小時(shí))，且X?N(5.542).現(xiàn)從這三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)

抽取5名學(xué)生，設(shè)這5名學(xué)生中每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的人數(shù)為匕求隨機(jī)變量丫的期望.

31.2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比

賽啟用了新的排球用球M/K4S4J200lV已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)f(單位：g)服從正態(tài)分布X?其

中“=270,行=5.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分

規(guī)則如下(比賽采取5局3勝制)：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以

3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，I班

排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概

率為p(0<p<1).

(1)令貝的?N(0,l),且①(a)=Pg<a),求中(一2),并證明：①(一2)+①⑵=1；

⑵第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為f(p),求出f(p)的最大值點(diǎn)po,并以Po作為P的值，解

決下列問題.

(i)在第10輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為X,求X的分布列；

(ii)已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后，無論最后

一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多)？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說明理由.

參考數(shù)據(jù)：X?則PQ—。<X<n+a)-0.6827,P(〃-2。<XW4+2。)=0.9545,PQ-3。<

XW〃+3。)=0.9973.

32.2020年受疫情影響，我國企業(yè)曾一度停工停產(chǎn)，中央和地方政府紛紛出臺(tái)各項(xiàng)政策支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn),

以減輕企業(yè)負(fù)擔(dān).為了深入研究疫情對(duì)我國企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營的影響，幫扶困難職工，在甲、乙兩行業(yè)里隨機(jī)抽

取了200名工人進(jìn)行月薪情況的問卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的月薪在2000元到8000元之間，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)

據(jù)見下表.

月薪/

[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000)[5000,6000)[6000,7000)[7000,8000)

元

人數(shù)203644504010

將月薪不低于6000元的工人視為“I類收入群體”，低于6000元的工人視為“n類收入群體”，并將頻率視為

概率.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表：

I類收入群體II類收入群體總計(jì)

甲行業(yè)60

乙行業(yè)20

總計(jì)

根據(jù)上述列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“n類收入群體”與行業(yè)有關(guān).

附彳牛./-----n(ad_be}-----中九=Q+b+c+d

叫十?X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)丹十,

k3.8416.63510.828

PN

0.0500.0100.001

Nk)

（2）經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該地區(qū)工人的月薪X（單位：元）近似地服從正態(tài)分布N0,14002）,其中4近似為樣本的平均

數(shù)元（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）.若X落在區(qū)間（〃-+2。）外的左側(cè)，則可認(rèn)為該工人“生活困難”，政

府將聯(lián)系本人，咨詢?cè)滦竭^低的原因，并提供幫助.

①已知工人王強(qiáng)參與了本次調(diào)查，其月薪為2500元，試判斷王強(qiáng)是否屬于“生活困難”的工人；

②某超市對(duì)調(diào)查的工人舉行了購物券贈(zèng)送活動(dòng)，贈(zèng)送方式為：月薪低于〃的獲得兩次贈(zèng)送，月薪不低于〃的

獲得一次贈(zèng)送.每次贈(zèng)送金額及對(duì)應(yīng)的概率如下：

贈(zèng)送金額/元100200300

111

概率

236

求王強(qiáng)獲得的贈(zèng)送總金額的數(shù)學(xué)期望.

33.某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成

績(jī)排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽.已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽

取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：

02040608010。學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)(百分制)

(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求

至少有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N(〃R2),其中〃可近似為樣

本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)，且/=362,已知小明的預(yù)

賽成績(jī)?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽？

(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量打，每一

題都需要“花”掉(即減去)一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.2k(k=l,2,

Q；③每答對(duì)一題加2分，答錯(cuò)既不加分也不減分；④答完〃題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī)，己

知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.8,且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立.若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)

賽成績(jī)，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？

附：若Z?N(〃42),貝一。<Z<"+<T)=0.6827,P(〃―217Vz<〃+2。)=0.9545,P(〃-3。<Z<

〃+3。)=0.9973；V362?19.

34.為了讓學(xué)生了解毒品的危害，加強(qiáng)禁毒教育，某校組織了全體學(xué)生參加禁毒知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50

名學(xué)生的成績(jī)(滿分100分)進(jìn)行分析，把他們的成績(jī)分成以下6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

(1)求圖中。的值并估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)〃.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)在(1)的條件下，若此次知識(shí)競(jìng)賽得分X?N(〃,122),為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)禁毒知識(shí)的興趣，對(duì)參賽學(xué)生

制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分不超過57分的不予獎(jiǎng)勵(lì)，得分超過57分但不超過81分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券

5元，得分超過81分但不超過93分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券10元，超過93分可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券15

元.試估計(jì)全校1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽共可獲得食堂消費(fèi)券多少元.(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：P(fi-(T<X<ft+a)^0.6827,P(M-2<T<X</Z+2<T)?0.9545,P(〃-3。<XW〃+

3a)?0.9973.

35.一水果連鎖店的店長(zhǎng)為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量(單位：kg),

得到如下頻率分布直方圖.

(1)求過去30天內(nèi)蘋果的日平均銷售量元和方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表)；

(2)若該店蘋果的日銷售量X近似服從正態(tài)分布N(4,M),其中4近似為樣本平均數(shù)禮接近似為樣本方差s2,

試估計(jì)360天中日銷售量超過79.9kg的天數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(3)該水果店在店慶期間舉行“贏積分，送獎(jiǎng)品”活動(dòng)，規(guī)定：每位會(huì)員可以投擲〃次骰子，若第一次擲骰子

點(diǎn)數(shù)大于2,可以獲得100個(gè)積分，否則獲得50個(gè)積分，從第二次起若擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2,則獲得上一次

積分的兩倍，否則獲得50個(gè)積分，直到投擲骰子結(jié)束.記會(huì)員甲第〃次獲得的積分為Yn,求數(shù)學(xué)期望E(〃).

參考數(shù)據(jù)：若X?貝I]P(4-(T<XWA(+G=0.6827,P(〃-2。<XW〃+2(T)=0.9545,V119?

10.9.

36.據(jù)相關(guān)機(jī)構(gòu)調(diào)查表明我國中小學(xué)生身體健康狀況不容忽視，多項(xiàng)身體指標(biāo)(如肺活量、柔韌度、力量、速

度、耐力等)自2000年起呈下降趨勢(shì)，并且下降趨勢(shì)明顯，在國家的積極干預(yù)下，這種狀況得到遏制，并

向好的方向發(fā)展，到2019年中小學(xué)生在肺活量、柔初度、力量、速度、而力等多項(xiàng)指標(biāo)出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖、近

視等問題依然嚴(yán)重，體育事業(yè)任重道遠(yuǎn).某初中學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，日常組織學(xué)生參加中短跑鍛煉，

學(xué)校在一次百米短跑測(cè)試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計(jì)她們的成績(jī)(單位：秒)，整理得到如圖所示

的頻率分布直方圖(每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)).

(1)估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)；(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)

(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績(jī)X?N(〃,O2),其中“近似為女生短跑平均成績(jī)無02近

似為樣本方差s2,經(jīng)計(jì)算得$2=5.79,若從該校女生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績(jī)?cè)?11.34,20.98］內(nèi)

的人數(shù)為匕求P(YW8)(結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字).

附參考數(shù)據(jù)：V579?2.41,隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,O2),貝Up(〃—cr<XW〃+0)=0.6827,P(〃—

2a<X<［i+2a)=0.9545,P(〃-3。<XW〃+3。)=0.9974,O.682710~0.0220,0.954510-

0.6277,0.997410?0.9743,0,68279?0.0322,0,95459?0.6576.

37.為調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的總體水平，某地區(qū)組織10000名學(xué)生(其中男生4000名，女生6000名)

參加數(shù)學(xué)建模能力競(jìng)賽活動(dòng).

(1)若將成績(jī)?cè)冢?0,85］的學(xué)生定義為“有潛力的學(xué)生”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，男生中有潛力的學(xué)生有2500名，女生中有潛

力的學(xué)生有3500名，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否有潛力與性別有

關(guān)？

性別

是否有潛力合計(jì)

男生女生

有潛力

沒有潛力

合計(jì)

(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，男生成績(jī)的均值為80,方差為49,女生成績(jī)的均值為75,方差為64.

(i)求全體參賽學(xué)生成績(jī)的均值〃及方差。2；

(ii)若參賽學(xué)生的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(〃,板),試估計(jì)成績(jī)?cè)冢?1,93］的學(xué)生人數(shù).

參考數(shù)據(jù)：

P(K2

0.10.050.010.0050.001

Nk)

k2.7063.8416.6357.87910.828

②若X?則P(〃—=0.6827,P(〃一2(rWXW〃+2。)=0.9545,P(ji-3a<X<

〃+3。)=0.9973.

n(ad—bc')2

參考公式：K27i=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

38.某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),

通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

組別[30,40][40,50][50,60][60,70][70,80][80,90[90,100]

頻數(shù)