教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題13

教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題13一、單項選擇題1.

設常數(shù)α＞0，β＞0，則級數(shù)的收斂性______A.與α，β的值有關B.僅與α的值有關C.僅與β的值有關D.與α，β的值都無關正確答案：A[解析]，根據(jù)正項級數(shù)的比式判別法可知，當0＜β＜1時，級數(shù)收斂，當β＞1時，級數(shù)發(fā)散，當β=1且α＞1時，級數(shù)收斂，當β=1且α≤1時，級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)的收斂性與α，β的值都有關。

2.

極限

A．0

B．

C．1

D．正確答案：C[解析]當x→0時，ex-1～x，則。

3.

函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則______A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函數(shù)正確答案：D[解析]f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)，

∴函數(shù)f(x)關于點(1，0)及點(-1，0)對稱，函數(shù)f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函數(shù)。

∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3)，即f(x+3)是奇函數(shù)。故選D。

4.

設三階矩陣，若伴隨矩陣的秩為1，則必有______A.a=b或a+2b=0B.a=b或a+2b≠0C.a≠b且a+2b=0D.a≠b且a+2b≠0正確答案：C[解析]根據(jù)矩陣A與其伴隨矩陣A*的關系，知r(A)=2，矩陣A的秩小于它的行數(shù)或列數(shù)，故有，可得a+2b=0或a=b。

當a=b時，，此時r(A)=1≠2，故必有a≠b且a+2b=0。

5.

已知a=i+2j+3k，b=2i+mj+4k，c=ni+2j+k是空間中的三個向量，則“m=0且n=0”是“a，b，c三向量共面”的______A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件正確答案：A[解析]三向量共面的充要條件為(a×b)·c=0，即，行列式展開得m+8n-3mn=0。當m=0且n=0時，等式成立，可推出三向量共面；當三向量共面時，無法推出m=0且n=0。故選A。

6.

對某目標進行100次獨立射擊，假設每次射擊擊中目標的概率是0.2，記X為100次獨立射擊中擊中目標的總次數(shù)，則E(X2)=______A.20B.200C.400D.416正確答案：C[解析]由題意知，X～B(100，0.2)，所以E(X)=100×0.2=20，因為每次射擊都是獨立的，所以X和X相互獨立，E(X2)=E(X·X)=[E(X)]2=400。

7.

在等腰二角形、平行四邊形、橢圓和拋物線四個圖形中，是中心對稱圖形的有______A.1個B.2個C.3個D.4個正確答案：B[解析]四個圖形中，橢圓既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，平行四邊形是中心對稱圖形，等腰三角形和拋物線是軸對稱圖形，所以這四個圖形中有2個是中心對稱圖形。

8.

我國古代關于求解一次同余式組的方法被西方稱作“中國剩余定理”，這一方法的首創(chuàng)者是______A.賈憲B.劉徽C.朱世杰D.秦九韶正確答案：D[解析]秦九韶(約1202-1261)，所著《數(shù)書九章》是一部劃時代的巨著，它完整保存了中國算籌記數(shù)法及其演算式，論述了自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、復數(shù)，還第一次用小數(shù)表示無理根。《數(shù)書九章》還對“大衍求一術”(一次同余組解法)和“正負開方術”(高次方程的數(shù)值解法)等進行了十分深入的研究。

二、簡答題(本大題共5小題，每小題7分，共35分)1.

利用拉格朗日中值定理證明下列不等式：，其中0＜m＜n。正確答案：解：設f(x)=lnx，則，

因為f(x)在[m，n]上滿足拉格朗日中值定理，則在(m，n)內存在一點ξ，使得。

由0＜m＜n得，即，可得，結論得證。

2.

拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩部分，求這兩部分面積之比。正確答案：解：拋物線y2=2x與圓x2+y2=8的交點分別為(2，2)與(2，-2)，如圖所示，拋物線將圓分成兩個部分A1，A2，記它們的面積分別為S1，S2，

則有。

3.

設η為AX=b(b≠0)的一個解，ξ1，ξ2，…，ξn-r為對應齊次線性方程組AX=0的基礎解系，證明ξ1，ξ2，…，ξn-r，η線性無關。正確答案：證：用反證法進行證明。由ξ1，ξ2，…，ξn-r為對應齊次線性方程組AX=0的基礎解系，

知ξ1，ξ2，…，ξn-r線性無關。

設ξ1，ξ2，…，ξn-r，η線性相關，

則η可由ξ1，ξ2，…，ξn-r線性表示，即η=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r。

因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組的解，

故η必是AX=0的解，

這與已知條件η為AX=b(b≠0)的一個解相矛盾。

由上可知，ξ1，ξ2，…，ξn-r，η線性無關。

4.

什么是幾何直觀?在教學中如何培養(yǎng)學生的幾何直觀觀念?正確答案：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。在教學中培養(yǎng)學生的幾何直觀觀念可以從以下兩方面考慮：(1)注重直觀，強調學生的動手實驗能力的培養(yǎng)。學生掌握知識一般有一個從感性到理性的認知過程，在教學中，恰當?shù)剡\用直觀手段可以使知識具體化、形象化，為學生感知、理解和記憶知識創(chuàng)造條件；同時還能引起學生的注意，激發(fā)他們的學習興趣，提高課堂教學的有效性。因此．在教學中要注重直觀性教學，重點可以采取以下三步：①運用直觀教具，提供感性認識。②重視實驗，提高學生的動手能力。③利用形象語言，幫助理解和識記。(2)注重思想方法，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想。義務教育階段幾何直觀教學的關鍵點是能夠運用形象的幾何圖形解決復雜的數(shù)學問題，這里就蘊含了一個重要的數(shù)學思想即數(shù)形結合思想。數(shù)形結合能培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間觀念和幾何直觀能力，培養(yǎng)學生形象思維與抽象思維的交叉運用，從而有助于培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力。

5.

數(shù)形結合思想是一種重要的數(shù)學思想，它的實質就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決問題。用數(shù)形結合思想解題能簡化推理和運算，具有直觀、快捷的優(yōu)點。請簡要談談數(shù)形結合思想在解哪些類型的問題時可以發(fā)揮作用，使問題得到更好的解決。正確答案：(1)利用數(shù)軸將代數(shù)問題化為幾何問題；(2)利用函數(shù)圖象和性質將代數(shù)問題化為幾何問題；(3)利用幾何模型將代數(shù)問題化為幾何問題；(4)利用方程或不等式將代數(shù)問題化為幾何問題；(5)利用三角知識解決幾何問題；(6)利用幾何圖形特征將幾何計算化為代數(shù)運算；(7)最值問題。

三、解答題(本大題共1小題，10分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x。1.

求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間及最大值；正確答案：解：令，解得x=0，當x＞0時，f'(x)＜0，故[0，+∞)為函書f(x)的單調減區(qū)間；

當-1＜x＜0時，f'(x)＞0，故(-1，0)為函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間。

當x=0時，函數(shù)f(x)取得最大值0。

2.

設a＞0，b＞0，若b≥a，

①求證：，e為自然對數(shù)底數(shù)。

②若g(x)=xlnx，求證：g(a)+(a+b)ln2≥g((a+b)-g(b)。正確答案：①由上小題知函數(shù)f(x)在x=0處取得最大值，所以f(x)≤0，即ln(1+x)-x≤0，

假設，則有，即。

②g(x)=xlnx，g'(x)=lnx+1，，

當x＞0時，g"(x)＞0，g(x)在(0，+∞)上的圖象是凹的，

又b≥a＞0，于是有，從而，

整理得，

也就是g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)。

四、論述題(本大題共1小題，15分)《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)指出“要讓學生親身經歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”，數(shù)學課程的內容“應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”。1.

這里的“過程”大體上要包括哪些方面?正確答案：這里的“過程”大體上要包括兩個方面：①發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對這些成分做符號化處理，把一個實際問題轉化為數(shù)學問題。②在數(shù)學范疇之內對已經符號化了的問題做進一步抽象化處理，從符號一直到嘗試建立和使用不同的數(shù)學模型，發(fā)展成為完善、合理的數(shù)學概念框架為止。

2.

結合具體的數(shù)學內容，談談數(shù)學新課程的教學應采用什么樣的模式展開?正確答案：數(shù)學新課程的教學，應結合具體的數(shù)學內容采用“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式展開，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解數(shù)學知識的意義，掌握必要的基礎知識與基本技能，發(fā)展應用數(shù)學知識的意識與能力，增強學好數(shù)學的愿望和信心。

3.

課程標準的這一理念從內容上強調了過程，這對教師提出了新的要求，談談你對此方面的理解。正確答案：課程標準的這一理念從內容上強調了過程，不僅與創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)緊密結合，而且使學生的探索經歷和得出新發(fā)現(xiàn)的體驗成為數(shù)學學習的重要途徑。在教學中，教師首先應考慮的是要充分調動學生的主動性與積極性，引導學生開展觀察、操作、比較、概括、猜想、推理、交流等多種形式的活動，使學生通過各種數(shù)學活動，掌握基本的數(shù)學知識和技能，初步學會從數(shù)學的角度去觀察事物和思考問題，產生學習數(shù)學的愿望和興趣。例如，抽象數(shù)學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。

五、案例分析題(本大題共1小題，20分)某教師關于“實際問題與二元一次方程組”的教學過程各環(huán)節(jié)設計的習題如下：

(1)提出問題，導入新課

問題1：母親26歲結婚，第二年生個兒子，若干年后母親的年齡是兒子年齡的3倍，此時母親的年齡為幾多?

解法一：設經過x年后，母親的年齡是兒子年齡的3倍。

由題意得26+x=3x。

解法二：設母親的年齡為x歲。

由題意得x=3(x-26)。

(2)精選講例，探求新知

問題2：某班有45位學生，共有班費2400元，現(xiàn)準備給每位學生訂一份報紙。已知《作文報》的訂費為60元/年，《科學報》的訂費為50元/年，則訂閱兩種報紙各多少份?

鞏固練習：小明和小李兩人進行投籃比賽，規(guī)則：小明投3分球，小李投2分球，兩人共投中20次，經計算兩人得分相等，問小李和小明各投中幾個球?

(3)變式訓練，激活學生思維

問題3：小明和小李兩人進行投籃比賽，小明投3分球，小李投2分球，兩人共投中100次，小明投中率為40%，小李投中率為40%，經計算兩人得分相等，問小李和小明各投中幾個球?

問題4：已知某電腦公司有A型、B型、C型3種型號的電腦，其價格分別為A型6000元/臺、B型4000元/臺、C型2500元/臺，我校計劃將100500元錢全部用于從該公司購進其中兩種不同型號電腦共36臺，請你設計出幾種不同的購買方案供學校采用。小紅的方案：她認為可以購進A型和B型電腦。請你判斷小紅提出的方案是否合理，并通過計算說明。

(4)課堂練習，鞏固新知

練習1：A，B兩地相距36千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)步行到A地，兩人同時出發(fā)，4小時后相遇。若6小時后，甲所余路程為乙所余路程的2倍，求甲、乙兩人的速度。

練習2：某班借來一批圖書，分借給同學閱覽，如果每人借6本，那么會有一個同學沒書可借，如果每人借5本，那么還剩5本書沒人借，問該班有多少人?有多少書?

(5)拓展

練習3：變式訓練問題4中，若學校要購買A，B，C三種型號的電腦，又如何安排?

練習4：某中學新建一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同。安全檢查中，對4道門進行測試，當同時開啟一道正門和兩道側門時，2分鐘內可以通過560名學生，當同時開啟一道正門和一道側門時，4分鐘內可以通過800名學生。

①問平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生?

②檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內通過這4道門安全撤離。假設這棟大樓每間教室最多有45名學生，問建造的這4道門是否符合安全規(guī)定?

問題：1.

請對上述該老師習題內容的配置進行評析；正確答案：①本課的習題配置注重從學生親身經歷的活動、學生熟悉的事入手，有開放型題、變式題，有數(shù)學思想的滲透，從易到難，由淺入深，應該說習題的設置具有一定的挑戰(zhàn)性，能夠起到激活學生思維的作用。

②本課的教學容量太大且選題具有一定的難度，對于基礎好的學生來說，也很難能在有限的時間內從容地、完整地完成所有的學習任務；對于基礎差的學生來說，由于太多的題不會做的情況，課堂的時間等于白白浪費了。

③由于時間緊，不能給學生留有充分的思考空間和時間，學生對于習題所傳達的知識、方法很難理解透徹。所以常常出現(xiàn)習題做了很多，但是再遇見題還是不會做，習題的功能沒有發(fā)揮。

2.

結合新課程理念，針對上述內容給出教學時習題配置的建議。正確答案：建議：①可以結合學生的實際情況，分層次配題。對于基礎差的學生，習題的難度再降低一些，使他們會用二元一次方程組解決最基本的實際問題。對于基礎好的學生，可以刪除部分低難度的題，使他們能有更多的時間去探究問題，去迎接挑戰(zhàn)。

②將學生分成不同的學習小組，能力強、弱搭配。在上述習題中選出部分更容易激起學生對數(shù)學的興趣，更適合學生探究的習題，充分發(fā)揮習題的功能，使學生在主動學習、探究學習的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力。

對于“實際問題與二元一次方程組”的教學，不等同于一般例題內容的教學，應該以探究學習的方式完成。教材設置的“數(shù)學活動”及“拓廣探索”欄目下的習題等都帶有一定的探究性，對于這些內容的教學，應注意鼓勵學生積極探究，當學生在探究過程中遇到困難時，教師應啟發(fā)誘導，沒計必要的鋪墊，適時地追問，讓學生在經過自己的努力克服困難的過程中體驗如何探究，而不要替代他們思考，不要過早給出答案。應鼓勵探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，使探究過程活躍起來，在這樣的氛圍中可以更好地激發(fā)學生積極思維，得到更大收獲。所以教學中不能盲目地擴大習題量，而是要充分發(fā)揮習題的功能，給學生留有充分的思考時間與空間，引導學生更多的參與數(shù)學活動和相互交流，在主動學習、探究學習的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力，使每一位學生都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。

六、教學設計題(本大題共1小題，30分)下面是人教版義務教育數(shù)學教科書七年級上冊的內容，據(jù)此回答下列問題。

兩輛汽車從同一處O出發(fā)，分別向東、西方向行駛10km，到達A、B兩處(如下圖)。

它們的行駛路線相同嗎?它們的行駛路程相等嗎?

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫作數(shù)a的絕對值(absolutevalue)，記作|a|。例如，上圖中A，B兩點分別表示10和-10，它們與原點的距離都是10個單位長度，所以10和-10的絕對值都是10，即|10|=10，|-10|=10。

顯然|0|=0。

由絕對值的定義可知：

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。即：

(1)如果a＞0，那么|a|=a；

(2)如果a=0，那么|a|=a；

(3)如果a＜0，那么|a|=-a。

問題：1.

分析學生學習絕對值這一節(jié)內容的知識背景；正確答案：學生在學習了有理數(shù)、數(shù)軸，相反數(shù)等概念后，能夠用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，知道數(shù)軸上的點到原點的距離，并能比較這些距離的大小，已經具備了一定的數(shù)形結合的能力。

2.

寫出這節(jié)課的教學重難點；正確答案：教學重點：①初步理解絕對值的意義；②會求一個有理數(shù)的絕對值。

教學難點：①有理數(shù)絕對值概念的形成及運用：

②用數(shù)形結合的思想理解絕對值的意義。

3.

設計教學過程。正確答案：教學過程：

一、創(chuàng)設情境，導入新課

出示PPT，讓學生觀察圖片中的