2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷（含詳解）

2023--2024學(xué)年第一學(xué)期北京市東城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬訓(xùn)練試卷

一、選擇題（以下每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)，每小題2分，共16分）

1.垃圾分類功在當(dāng)代利在千秋，下列垃圾分類指引標(biāo)志圖形中，是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

B△X/

Ac-At\D./、

其他垃圾有害垃圾

廚余垃圾可回收物Ofwwaste

HazardousWcw/c

FoodHasteRecyclable

2.拋物線y=2（x+1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.如圖，下列條件不能判定△AOBs△人與。的是

A.ZABD=ZACBB.ZADB=ZABC

ADAB

C.AB2=AD>ACI).-

ABBC

4.如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1,點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，則sinB的值是（)

334

A.1B.-C.一D.

455

5.如圖，在等腰VA3C中，ZA=120°,將VA3C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1（0。<[<90。）得到CDE,當(dāng)點(diǎn)A的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，連接鹿，則ABED的度數(shù)是（

A.30°B.45°C.55°D.75°

6.如圖，在。。中，AB是直徑，CD是弦，ABLCD,垂足為點(diǎn)E,連接CO,AD,則下列說法中不一定成立是

)

B.ZBOC=2ZBADC.弧AC=MADD.AD=2CE

ab

7.已知二次函數(shù)y=-(x-a)2-b的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y二一與一次函數(shù)y=ax+b的圖象可能是

x

8.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、8分別在反比例函數(shù)y=±(x>0)與y

Xx

上，AB,3。分別交y軸于點(diǎn)E、F,則陰影部分的面積等于()

115

A.B.2C.—D.-

363

二、填空題(每小題2分，共16分)

9.已知4a—76=0,則巴的值為

b

10.在一個(gè)不透明袋中裝有2個(gè)黑色小球和若干個(gè)紅色小球，每個(gè)小球除顏色外都相同，每次搖勻后隨機(jī)摸出一

個(gè)小球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.8,則可估計(jì)這個(gè)

袋中紅色小球的個(gè)數(shù)約為.

11.扇形的圓心角為120。，半徑為3,則弧長是.

2

12.如圖，在中，ZC=90，如果cosA=—,AB=6,那么AC的長為—.

3-

B

C

13.如圖，RtZkABC中，ABAC=90°,AD13C于。，BD=1,CD=4,則AD的長為.

14.中國畫門類中，歷代書畫家喜歡在扇面上繪畫或書寫，以抒情達(dá)意或?yàn)樗耸詹?，或?zèng)友人以詩留念，此類畫

作稱之為扇面畫.折扇的扇面，一般是由兩個(gè)半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角裁剪而成，如圖所示，已知

折扇扇面的圓心角是120。，大扇形的半徑為18c",小扇形的半徑為6cm,則這個(gè)扇形的面積是.

15.已知二次函數(shù)丁=奴2+法+。的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線I=—1,經(jīng)過點(diǎn)（0,1）有以下結(jié)論：①

a+b+c>0；?b2-4ac>0;?abc<0；@4a-2b+c>0；⑤c—a>l.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

16.如圖，在矩形紙片ABC。中，AD=10,43=8,將A2沿AE翻折，使點(diǎn)B落在8'處，AE為折痕；再將EC沿

EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段上的點(diǎn)C處，EF為折痕，連接AC'.若CF=3,貝hanNB'AC'=.

三、解答題解答題（本大題共11個(gè)題，總分68分）

17.解下列方程：

(I)》2—2x—4=0

(2)3x(x-4)=5(x-4)

18.已知：如圖，在VA3C中，。為AB邊的中點(diǎn)，連接CD,ZACD=ZB,A3=4,求AC的長.

19.已知關(guān)于x的方程f+2x+左—4=0.

(1)如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求左的取值范圍;

(2)若左=1,求該方程的根.

(2)求該二次函數(shù)圖象與無軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)y=f—2x-3的圖象；

(4)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)—時(shí)，y的取值范圍.

21如圖，已知劣弧A3,如何等分A3?下面給出兩種作圖方法，選擇其中一種方法，利用直尺和圓規(guī)完成作

圖，并補(bǔ)全證明過程.

方法一：①作射線。4、OB；

②作ZAOB的平分線OD,與A3交于點(diǎn)C；

點(diǎn)C即為所求作.

證明：平分NAO3,

:.ZAOC=ZBOC

/.—()(填推理的依據(jù)).

方法二：①連接AB；

②作線段AB的垂直平分線所，直線E尸與A3交于點(diǎn)C；

點(diǎn)C即為所求作.

證明：；Eb垂直平分弦AB，

，直線所經(jīng)過圓心。，

—(一)(填推理的依據(jù)).

22.一種竹制躺椅如圖①所示，其側(cè)面示意圖如圖②③所示，這種躺椅可以通過改變支撐桿。的位置來調(diào)節(jié)躺椅

舒適度，假設(shè)所在的直線為地面，已知AE=120cm,當(dāng)把圖②中的支撐桿CD調(diào)節(jié)至圖③中的CD'的位置

時(shí)，NE4B由20。變?yōu)?5°.

①②

(1)你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎？(參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,

sin25°?0.42)

(2)已知點(diǎn)。為AE一個(gè)三等分點(diǎn)，根據(jù)人體工程學(xué)，當(dāng)點(diǎn)。到地面的距離為26cm時(shí)，人體感覺最舒適.請(qǐng)

你求出此時(shí)枕部E到地面的高度.

23.已知一次函數(shù)丁=丘+匕的圖象與反比例函數(shù)丁='的圖象交于點(diǎn)4(-4,附)，8(2,-4)兩點(diǎn)，連接

X

OA,OB,直線與x軸相交于點(diǎn)C

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和△OAB的面積.

(3)直接寫出不等式6+b〉一的解集.

x

24.如圖，為。。的直徑，。。過AC的中點(diǎn)。，DELBC,垂足為點(diǎn)E.

(1)求證：DE與。。相切;

3

(2)若tanA=—,BC=5.求的長.

4

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=?%2+/?x(aw0),設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為％=/.

(1)當(dāng)拋物線過點(diǎn)(—2,0)時(shí)，求f的值;

⑵若點(diǎn)(―2,租)和(1,可在拋物線上，若相>〃，且劭7">0,求r取值范圍.

26.在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=10cm,O8=5cm,點(diǎn)P從點(diǎn)。開始沿0A邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)

。從點(diǎn)8開始沿2。邊向點(diǎn)。以lcm/s的速度移動(dòng).如果尸、。同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0W/W5),

cm；OQ=cm.

(2)當(dāng)/為何值時(shí)△POQ的面積為6cm2?

(3)當(dāng)△P。。與△A08相似時(shí)，求出f的值.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f-以經(jīng)過點(diǎn)(5,5),頂點(diǎn)為A,連結(jié)Q4.

(2)求A的坐標(biāo).

(3)尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tanNOPA=!時(shí)，請(qǐng)直接寫出OP的長.

2

2023--2024學(xué)年第一學(xué)期北京市東城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬訓(xùn)練試卷

一、選擇題(以下每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)，每小題2分，共16分)

1.垃圾分類功在當(dāng)代利在千秋，下列垃圾分類指引標(biāo)志圖形中，是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()

X/

△0D/、

-TLhUrMn其他垃圾有害垃圾

可回收物Otwa

廚余垃圾Hazardousllaslr

FoodHasteRecyclable

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

B、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

D、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可

重合.中心對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是確定對(duì)稱中心，繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180。能與自身重合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.拋物線y=2(x+1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后再判斷其所在象限即可.

【詳解】解：由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),

其頂點(diǎn)坐標(biāo)在第二象限，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k).

3.如圖，下列條件不能判定△的是()

A.ZABD=ZACBB.ZADB=ZABC

ADAB

C.AB2=AD?ACD.-----=------

ABBC

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，分別判

斷得出即可.

【詳解】解：A、ZABD=ZACB,ZA=ZA,

：.AABC^AADB,故此選項(xiàng)不合題意;

B、ZADB=ZABC,ZA=ZA,

：.AABC^^ADB,故此選項(xiàng)不合題意;

C、"：AB2=AD'AC,

AT4R

:.——=——，ZA=ZA,AABCsAADB,故此選項(xiàng)不合題意;

ABAD

ADAB

D、---=不能判定AADB△ABC,故此選項(xiàng)符合題意.

ABBC

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1,點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，則sinB的值是（）

334

A.1B.-C.一D.-

455

【答案】C

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作AO13C于點(diǎn)。，根據(jù)勾股定理求出A3的長度，再根據(jù)正弦的定義即可求解.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作AO13C于點(diǎn)

在RtZVLB。中，AB=yjAD1+BDr=732+42=5'

sinT=3

AB5

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和正切的定義，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理求出的長

度.

5.如圖，在等腰VABC中，ZA=120°,將VABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<1<90。)得到.CDE,當(dāng)點(diǎn)A的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，連接BE，則ZBED的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.55°D.75°

【答案】B

【解析】

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,得ZABC=ZACB=30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得BC=CE,

ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,再由等腰三角形和三角形內(nèi)角和定理得

ZCBE=ZCEB=1(180°-30°)=75°,即可求得ZBED=ZBEC-ACED.

【詳解】解：，AB=AC,ZA=120°,

ZABCZACB^30°,

由旋轉(zhuǎn)得，BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,

ZCBE=ZCEB=1(180°-30°)=75°,

ZBED=ZBEC-ZCED=75°-30°=45°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在。。中，42是直徑，CD是弦,AB±CD,垂足為點(diǎn)E,連接CO,AD,則下列說法中不一定成立的是

()

A.CE=DEB.ZBOC=2ZBADC.弧AC=MADD.AD=2CE

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理即可判斷.

【詳解】解：：在。。中，AB是直徑，是弦，AB1CD,

：.CE=DE,故A成立；

.,.弧BC=MBD,

...弧AC=MAD,故C成立；

：.ZCAB^ZBAD,

：.ZBOC=2ZCAB=2ZBAD,故8成立；

故選。.

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理的運(yùn)用.

ab

7.已知二次函數(shù)y=-（x-a）2-b的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y=一與一次函數(shù)y=ax+b的圖象可能是

【解析】

【詳解】解：觀察二次函數(shù)圖象可知，圖象與y軸交于負(fù)半軸，-b<0,b>0;拋物線的對(duì)稱軸a>0.

nh

在反比例函數(shù)y二一中可得ab>0,所以反比例函數(shù)圖象在第一、三象限；

x

在一次函數(shù)y=ax+b中，a>0,b>0,所以一次函數(shù)y=ax+b的圖象過第一、二、三象限.

故答案選B.

考點(diǎn)：函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系.

49

8.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、2分別在反比例函數(shù)丁=二（尤>0）與丁=一一（尤<。）的圖像上，點(diǎn)C、D在x軸

xX

上，AB,分別交y軸于點(diǎn)E、F,則陰影部分的面積等于（）

10115

A.—B.2D.

3~63

【答案】D

【解析】

4

【分析】設(shè)A（”,一）、?！?,根據(jù)題意：利用函數(shù)關(guān)系式表示出線段。。、OE、OC、OF、EF,然后利用三角

a

形的面積公式計(jì)算即可.

44

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（a,—）,aX）.則8=a,OE=-.

aa

—4

??.點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為一.

a

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為—-.

2

?：AB//CD,

ABEF_DOF,

.EFBE_1

??而一而一3,

1A28

EF=-OE=—,OF=-OE=—.

33a33a

1……14a1

,,QADPP=—EFxBE二—x——x—二

lADtLr223a2-3

118_4

S^ODF~-xODOF=—XQX-

223a3,

14_5

?*,s陰影二■-uVBEF_TLuVODF——I—

33-3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、矩形的性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，靈活利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.已知4a—7b=0,則巴的值為

b

7

【答案】-

4

【解析】

【分析】根據(jù)等式性質(zhì)，可得答案.

【詳解】解：：4a—7人=0,

4a=7Z?,

...等式兩邊都除以4萬，得巴=2,

b4

7

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.在一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)黑色小球和若干個(gè)紅色小球，每個(gè)小球除顏色外都相同，每次搖勻后隨機(jī)摸出一

個(gè)小球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.8,則可估計(jì)這個(gè)

袋中紅色小球的個(gè)數(shù)約為.

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)頻率估計(jì)摸到紅球的概率，可以得到摸到黑球概率，從而可以求得總的球數(shù)，可以得到紅球的個(gè)

數(shù).

【詳解】解：由題意可得摸到紅球的概率為0.8

摸到黑球的概率為1-0.8=0.2

，總的球數(shù)為2+0.2=10（個(gè)）

.?.紅球有：10-2=8（個(gè)）

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率.關(guān)鍵是根

據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系.

11.扇形的圓心角為120。，半徑為3,則弧長是.

【答案】2兀

【解析】

【分析】本題考查了弧長公式，利用弧長公式直接計(jì)算即可求解，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

1207rx3

【詳解】解：弧長=-------=271,

180

故答案為：2兀.

2

12.如圖，在中，ZC=90，如果cosA=—,AB=6,那么AC的長為—.

3-

【答案】4

【解析】

Ar2

【分析】根據(jù)cosA=——二—,再代入數(shù)據(jù)解答即可.

AB3

【詳解】解：在Rt^ABC中

VZC=90°,cosA=-

3

,AC2

cosA=----=—,

AB3

又AB=6,

--J2

，9~6~~3

AC=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用銳角三角函數(shù)求解直角三角形的邊長，熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)

鍵.

13.如圖，RtZiABC中，ZBAC=9Q°,AD/BC于。，BD=1,CD=4,則AD的長為—.

【答案】2

【解析】

【分析】證明VBEMSVADC,得到殷=42,代入已知數(shù)據(jù)，即可求解.

ADCD

【詳解】解：：Na4C=90°,

：.ZB+ZC=90°,

?：ADIBC,

ZDAC+ZC=90°,

：.ZB=ZDAC,

J.NBDA^NADC,

BDAD1AD

----=----,即m----=----

ADCDAD4

AAD=2（負(fù)值舍去）,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

14.中國畫門類中，歷代書畫家喜歡在扇面上繪畫或書寫，以抒情達(dá)意或?yàn)樗耸詹?，或?zèng)友人以詩留念，此類畫

作稱之為扇面畫.折扇的扇面，一般是由兩個(gè)半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角裁剪而成，如圖所示，已知

折扇扇面的圓心角是120。，大扇形的半徑為18cm，小扇形的半徑為6cm,則這個(gè)扇形的面積是

【答案】96mm2.

【解析】

【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解1扇面的面積=S大扇形-5小扇形=_120乃6=96加層.

360360

故答案為：967icm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式s=竺二是解題的關(guān)鍵.

360

15.已知二次函數(shù)丁=取2+"+。的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線％=—1,經(jīng)過點(diǎn)（0,1）有以下結(jié)論：①

a+b+c>0；?b2-4ac>0;?abc<0；?4a-2b+c>0；⑤c—a>l.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

【答案】②④⑤

【解析】

【分析】①根據(jù)x=l對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可判斷①的正誤；②根據(jù)拋物線與X軸交點(diǎn)情況可判斷②的正誤；③由對(duì)稱軸

的位置可判斷的正負(fù)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷。的正負(fù)，從而可判斷③的正誤；④根據(jù)無=-2對(duì)應(yīng)的函數(shù)

值即可判斷④的正誤；⑤根據(jù)c的值及a的正負(fù)即可判斷⑤的正誤.

【詳解】解：①x=l時(shí)，y=a+b+c<0,①錯(cuò)誤，不符合題意；

②拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，故廿-4ac>0,②正確，符合題意；

③對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則而>0,而拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，1）,所以c>0,故aZ?c>0,③錯(cuò)誤，不符合題意；

④由函數(shù)的對(duì)稱性知，*=-2和％=0對(duì)稱，故％=-2時(shí)，y=4a-2b+c=l>0,④正確，符合題意；

⑤拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，1）,所以c=l,拋物線開口向下，所以a<0,故c—。>1,⑤正確，符合題意.

故答案：②④⑤.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在矩形紙片ABC。中，AD^IO,AB=8,將A3沿AE翻折，使點(diǎn)8落在8'處，AE為折痕；再將EC沿

EP翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段上的點(diǎn)C處，EF為折痕，連接AC'.若CF=3,貝hanZB'AC'=.

【答案】J

4

【解析】

【分析】連接AE,設(shè)CE=x,用x表示AE、EF,再證明/AEP=90。，由勾股定理得通過A尸進(jìn)行等量代換列出

方程便可求得無，再進(jìn)一步求出8'C,便可求得結(jié)果.

【詳解】解：連接AF,設(shè)CE=x,則C'E=CE=x,BE=B'E=10-x,

:四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=8,AD=BC=10,ZB=ZC=ZD=90°,

：.AE2=AB2+BE2^S2+(10-x)2=164-20x+x2,

EF1=C￡2+C7?2=x2+32=x2+9,

由折疊知，ZAEB=ZAEB',ZCEF^ZC'EF,

?：ZAEB+ZAEB'+ZCEF+ZC'EF=180°,

，ZAEF=ZAEB'+ZC'EF=90°,

.\AF2=A￡2+Ef<2=164-201+尤2+/+9=2/-20x+173,

*.?AF2=AD2+DF2=102+(8-3)2=125,

：.2x2-20x+173=125,

解得，x=4或6,

當(dāng)x=6時(shí)，EC=EC=6,BE=B'E=8-6=2,EOB'E,不合題意，應(yīng)舍去,

：.CE=CE=4,

；.B'C'=B'E-C'E=(10-4)-4=2,

?：ZB'=ZB=90°,AB'=AB=8,

B'C'21

tanZB'AC-----.

A'B'84

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

三、解答題解答題（本大題共U個(gè)題，總分68分）

17.解下列方程：

（1）%2一2%—4=0

（2）3x（x-4）=5（x-4）

【答案】（1）%=1+6，々=1—石

45

（2）勺=4,x2=—

【解析】

【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解；

（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解.

小問1詳解】

解：7―2x—4=0

方程兩邊同時(shí)加上5,即％2_2%+1=5

即（if=5,

x—1—土■'后

解得：%=1+豆，9=1—6

【小問2詳解】

解：3x（x-4）=5（x-4）

/.（x-4）（3x-5）=0,

x—4=0,3x—5—0,

解得：玉=4,x2=—.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

18.已知：如圖，在VA5c中，。為AB邊的中點(diǎn)，連接CO,ZACD=ZB,AB=4,求AC的長.

A

RN-----------------------4c

【答案】2日

【解析】

【分析】先證明，ABC^,ACD,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.

【詳解】解：為AB邊的中點(diǎn)，AB=4,

AD=^AB=2,

VZACD^ZB,ZBAC=ZCAD,

/._ABC^ACD

.ACAD,

??——=—,B即nAC~=AB-AD=8>

ABAC

解得：AC=272（負(fù)值舍去），

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似，相似三

角形對(duì)應(yīng)邊成比例.

19.己知關(guān)于x的方程f+2%+左一4=0.

（1）如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求左的取值范圍；

（2）若左=1,求該方程的根.

【答案】（1）k<5；（2）x,=-3,%2=1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)根的判別式△>（）,即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；

（2）將k=l代入方程x2+2x+k-4=0,解方程即可求出方程的解；

【詳解】（1）A=2?—4x1x（左一4）=20—4左.

?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

/.A>0.

解得上<5；

（2）當(dāng)左=1時(shí)，原方程化為無2+2%—3=0.

解得司=-3,x2=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a/））的根的判別式△=b?-4ac：當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）,方程沒有實(shí)數(shù)根.

20.已知二次函數(shù)y=/—2x—3.

(2)求該二次函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)丁=必—2%-3的圖象；

(4)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)—1WXW2時(shí)，y的取值范圍.

【答案】(1)該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)

(2)該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或(-1,0),該二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)

(3)見解析(4)當(dāng)—時(shí)，-44y?0

【解析】

【分析】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確記憶函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表

的意義及函數(shù)特征是解題關(guān)鍵.

(1)用配方法即可求解；

(2)當(dāng)y=0時(shí)，即—了2一2%-3=0,解得占=3,x2=-l,當(dāng)％=0時(shí)求得y=-3即可求解；

(3)列表，畫二次函數(shù)圖象即可；

(4)觀察函數(shù)圖象即可求解.

【小問1詳解】

y=%2-2x-3=(x-l)2-4,

該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)；

【小問2詳解】

把y=o代入y=——2x—3得：0=X2-2X-3,

解得：占=3,x2=-1,

???該二次函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或(TO),

把x=0代入y=x2—2%一3得：y=-3,

二該二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)；

【小問3詳解】

列表：

X......-10123......

y.…...…..0-33--44-3-30......

21.如圖，己知劣弧A3,如何等分A3?下面給出兩種作圖方法，選擇其中一種方法，利用直尺和圓規(guī)完成作

圖，并補(bǔ)全證明過程.

?O

方法一：①作射線。4、OB；

②作NAOB的平分線OD,與A3交于點(diǎn)C；

點(diǎn)C即為所求作.

證明：平分NAO5,

ZAOC=ZBOC

?，._（）（填推理的依據(jù)）.

方法二：①連接AB；

②作線段AB的垂直平分線所，直線斯與A3交于點(diǎn)C；

點(diǎn)C即為所求作.

證明：尸垂直平分弦AB，

，直線所經(jīng)過圓心。，

—（一）（填推理的依據(jù)）.

【答案】方法一：畫圖見解析，AC，BC，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；方法二：畫圖見解析,

AC，BC，垂徑定理?

【解析】

【分析】方法一：按照作圖語句提示作圖，再根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系進(jìn)行證明即可；

方法二：按照作圖語句提示作圖，再根據(jù)垂徑定理進(jìn)行證明即可；

【詳解】解：方法一：如圖，點(diǎn)C即為所求作.

ZAOC^ZBOC

AC=BC（在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等）.

方法二：如圖，點(diǎn)C即為所求作.

證明：尸垂直平分弦AB，

，直線所經(jīng)過圓心。，

AC=BC(垂徑定理).

【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜的作圖，平分弧的作圖，熟練的利用基本作圖解決復(fù)雜的作圖是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)

考查了角平分線的定義，線段的垂直平分線的性質(zhì).

22.一種竹制躺椅如圖①所示，其側(cè)面示意圖如圖②③所示，這種躺椅可以通過改變支撐桿。的位置來調(diào)節(jié)躺椅

舒適度，假設(shè)所在的直線為地面，已知AE=120cm,當(dāng)把圖②中的支撐桿調(diào)節(jié)至圖③中的CD'的位置

時(shí)，NE4B由20。變?yōu)?5°.

①②③

(1)你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎？(參考數(shù)據(jù)：sin200-0.34,

sin25°?0.42)

(2)已知點(diǎn)。為AE的一個(gè)三等分點(diǎn)，根據(jù)人體工程學(xué)，當(dāng)點(diǎn)。到地面的距離為26cm時(shí)，人體感覺最舒適.請(qǐng)

你求出此時(shí)枕部￡到地面的高度.

【答案】(1)調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了約9.6cm；

(2)枕部E到地面的高度為78cm

【解析】

【分析】(1)過點(diǎn)E作石尸，A5,交A8的延長線于點(diǎn)E利用銳角三角函數(shù)，即可求解；

(2)通過解直角三角形可得結(jié)論.

【小問1詳解】

如圖，過點(diǎn)E作石戶，A5,交A8的延長線于點(diǎn)凡

FFFF

sin20。=——二——a0.34

AE120

止匕時(shí)EFx40.8(cm).

當(dāng)NE4B=25°時(shí),

EF次。，2

sin25°=~AE

此時(shí)EFx50.4(cm).

所以調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了約50.4-40.8u9.6cm.

【小問2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)。為AE的一個(gè)三等分點(diǎn)，

所以AO=40cm.

如圖，過點(diǎn)。作垂足為P.

設(shè)當(dāng)人體感覺最舒適時(shí)，ZEAB=a,

則sina="26_EF

AO40-AE)

所以跖=霽衛(wèi)=78(而).

所以當(dāng)人體感覺最舒適時(shí)，枕部后到地面的高度為78cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的過程，正確構(gòu)造直角三角形.

23.已知一次函數(shù)丁=依+匕的圖象與反比例函數(shù)y='的圖象交于點(diǎn)4(-4,〃)，8(2,-4)兩點(diǎn)，連接

X

OA,OB,直線與x軸相交于點(diǎn)C.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和△OAB的面積.

rn

(3)直接寫出不等式6+6〉一的解集.

Q

【答案】(1)反比例函數(shù)解析式：y=一次函數(shù)解析式：y=-x—2

x

(2)C(-2,0),6

(3)1<-4或0<%<2

【解析】

【分析】(1)將點(diǎn)8(2,—4)代入y='求出機(jī)的值，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)代入一次

函數(shù)y=丘+匕利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)令一次函數(shù)＞=0即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用SAOAB=S^OAC+S^OBC代入數(shù)據(jù)求解即可；

rn

(3)根據(jù)題意得到不等式6+人〉一的解集即為一次函數(shù)在反比例函數(shù)圖象上方部分x的取值范圍，根據(jù)A,B

x

兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)求解即可.

【小問1詳解】

將6(2,-4)代入y=生，得到初=—8,

Q

???反比例函數(shù)解析式為y=

x

Q

將4,代入y=----,得〃=2,

x

A（M,2）

將A（T,2）,6（2,-4）代入丁=區(qū)+匕

^lk+b=2

得《，

2k+b=Y

解得L.k=-10,

b=-2

y=一x-2；

【小問2詳解】

在y=—x—2,令y=0,即0=—x—2,

解得x=—2,

???點(diǎn)c（—2,0）,

,?丁。八OBC

=^xOCxyA+^xOCx\yB\

1cc1」

=—X2X2H——x2x4

22

=6；

【小問3詳解】

VH

由圖象可得，依+匕＞—的解集為一次函數(shù)在反比例函數(shù)圖象上方部分兀的取值范圍,

X

XVY或0<x<2；

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中求三角形面積問題，圖象法解不等式

問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

24.如圖，為。。的直徑，。。過AC的中點(diǎn)。，DELBC,垂足為點(diǎn)E.

（1）求證：與。。相切；

3

（2）若tanA=—,BC=5.求DE的長.

4

【答案】（1）見解析；（2）DE=y

【解析】

【分析】（1）連接由題目已知條件可證明0D是△ABC的中位線，進(jìn)而可得到根據(jù)

DELBC,可以推出NODE=90°,即可得到結(jié)論.

（2）連接班），圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半可知NADfi=90。,又因?yàn)?。是AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形

三線合一定理可得AB=BC,ZA=ZC，再根據(jù)三角函數(shù)正切值求出DE的長.

【詳解】（1）如圖，連接OD,

:。為AB中點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，

/.OD是△ABC的中位線，

，OD//BC,

：.NODE=NDEC,

?/DE-LBC,

；.NDEC=90°,

：.ZODE=90°,

：.ODLDE，

???。。過4。的中點(diǎn)。，

???DE與。。相切.

(2)如圖，連接BD,

：AB是。。直徑，

BD±AC,

是AC的中點(diǎn)，

AB=BC,

：.ZA=ZC,

tanA=tanC,

在RtZ\B￡)C中，

3

'/tanC=tanA=—,BC=5,

4

DB=3,CD=4,

?：-BCxDE=-BDxDC,

22

/.DE=—.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形三線合一定理，三角

函數(shù)等，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

25.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，拋物線丁=以2+法(。/0),設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為％=/.

(1)當(dāng)拋物線過點(diǎn)(—2,0)時(shí)，求f的值；

⑵若點(diǎn)(一2,和(1,n)在拋物線上，若能>",且劭加>0,求r的取值范圍.

【答案】(1)t=~[

(2)當(dāng)a>0時(shí)，—<f<—；當(dāng)a<0時(shí)，t<—1

22

【解析】

【分析】(1)把點(diǎn)(―2,0)代入y=得出。和b的數(shù)量關(guān)系，即可求解；

(2)根據(jù)題意進(jìn)行分類討論即可，當(dāng)。>0時(shí)，當(dāng)。<0時(shí).

【小問1詳解】

解：把點(diǎn)（—2,0）代入〉=以2+汝得：0=4?！?6,

4a=2b,整理得：2a-b,

b

???拋物線的對(duì)稱軸為1=-=—1,

2a

t=—1.

【小問2詳解】

當(dāng)％=0時(shí)，y=0,

...該函數(shù)經(jīng)過（0,0）,

設(shè)該函數(shù)與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,。），

t=-0+-a=—a

22

①當(dāng)〃>。時(shí)，

:點(diǎn)（一2,加）和（1,八）在拋物線上，m>n,amn〉0,

m>n>0,

即點(diǎn)（-2,加）到對(duì)稱軸距離大于點(diǎn)（1,小到對(duì)稱軸距離,

2）>1T,解得：t>――>

?.?該函數(shù)經(jīng)過（0,0）、（1,ri）,且〃>0

???該函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)a<1,

a1

一〈一,

22

?0?1<—1,

2

?'?當(dāng)〃>