2023年初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系。

其中，水平時(shí)數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，

取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)0(即公共的原點(diǎn))叫做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐

標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，

分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限。

2、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

點(diǎn)的坐標(biāo)用(a,b)表達(dá)，其次序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開(kāi)，

橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)〃時(shí)，(a,b)和

(b,a)是兩個(gè)不一樣點(diǎn)的坐標(biāo)。

知識(shí)點(diǎn)二、不一樣位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特性

1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特性

點(diǎn)P(x,y)在第一象限Ox>0,y>0

點(diǎn)P(x,y)在第二象限Ox<0,y>0

點(diǎn)P(x,y)在第三象限Ox<0,y<0

點(diǎn)P(x,y)在第四象限Ox>0,y<0

2、坐標(biāo)軸上時(shí)點(diǎn)的特性

點(diǎn)P(x,y)在x軸上Oy=0,x為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)在y軸上ox=0,y為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上。x,y同步為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)

3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特性

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上Ox與y相等

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上Ox與y互為相反數(shù)

4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特性

位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相似。

位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相似。5、有關(guān)x軸、y軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)

的特性

點(diǎn)P與點(diǎn)P'有關(guān)x軸對(duì)稱O橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

點(diǎn)P與點(diǎn)P'有關(guān)y軸對(duì)稱O縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)

點(diǎn)P與點(diǎn)P'有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱。橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)

6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于N

(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于N

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)時(shí)距離等于

知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)及其有關(guān)概念

1、變量與常量

在某一變化過(guò)程中，可以取不一樣數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量X與y,假如對(duì)于x的每一種值，y均有唯一

確定日勺值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式

用來(lái)表達(dá)函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)故意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表達(dá)法及其優(yōu)缺陷

(1)解析法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一種具有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表

達(dá)，這種表達(dá)法叫做解析法。

(2)列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一種表來(lái)表達(dá)函數(shù)關(guān)系，這種表達(dá)法叫

做列表法。

(3)圖像法

用圖像表達(dá)函數(shù)關(guān)系的措施叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般環(huán)節(jié)

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的某些對(duì)應(yīng)值

(2)描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出對(duì)應(yīng)的I點(diǎn)

(3)連線：按照自變量由小到大的次序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。

知識(shí)點(diǎn)四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，假如y=(k,b是常數(shù)，kwO),那么y叫做x的一次函數(shù)。

尤其地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的Ib為0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，kwO）。這時(shí),

y叫做x時(shí)正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的重要特性:

一次函數(shù)y=kx+b的圖像是通過(guò)點(diǎn)（0,b）的I直線；正比例函數(shù)y=左》的I圖像是通

過(guò)原點(diǎn)（0,0）日勺直線。

k的b的

函數(shù)圖像圖像特性

符號(hào)符號(hào)

T

一圖像通過(guò)一、二、三象限，

b>0

y隨x的）增大而增大。

k>0

圖像通過(guò)一、三、四象限，

b<0

二一y隨x時(shí)增大而增大。

k<0圖像通過(guò)一、二、四象限，

b>0

y隨x%I增大而減小

一般地，正比例函數(shù)y=-有下列性質(zhì):

(1)當(dāng)k〉0時(shí)，圖像通過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大，圖像從左之右上升;

(2)當(dāng)k〈0時(shí)，圖像通過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小，圖像從左之右下降。

5、一次函數(shù)的I性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時(shí)，y隨xB^I增大而增大

(2)當(dāng)k〈0時(shí)，y隨x的增大而減小

(3)當(dāng)b〉0時(shí)，直線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸上

(4)當(dāng)b〈0時(shí)，直線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式確實(shí)定

確定一種正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=(kWO)中時(shí)常數(shù)k。確

定一種一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(kwo)中的常數(shù)k和bo解此類

問(wèn)題的一般措施是待定系數(shù)法

知識(shí)點(diǎn)五、反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)丁=人（k是常數(shù)，kwO）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可

X

以寫成丁=依1或xy=k的形式。自變量x的取值范圍是xwo的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范

圍也是一切非零實(shí)數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或

第二、四象限，它們有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量XW0,函數(shù)y/0,因此，

它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限靠近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到

坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比k

例函y=—（左。0）

數(shù)X

k的符

k>0k<0

號(hào)

k

y,k

0

圖像------------------------------?r

①x0tl取值范圍是xWO,①x的取值范圍是xWO,

y的取值范圍是yWO；y的取值范圍是yW0；

②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別

別在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y

性質(zhì)在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨X的增大而增大。

隨XaI增大而減小。

4、反比例函數(shù)解析式確實(shí)定

k

確定解析式的措施仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=＞中，只有一種待定系

x

數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一種點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析

式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

k

若過(guò)反比例函數(shù)y=—（女。0）圖像上任一點(diǎn)P作X軸、y軸的垂線PM,PN,則所得時(shí)

x

矩形PMONaI面積S=PM,PN=H?W=|xy|o,/y=xy=k,S=\k\

xo

知識(shí)點(diǎn)六、二次函數(shù)的概念和圖像

1、二次函數(shù)的概念

一般地，假如丁=④^+匕%+4凡人人是常數(shù)，。，0）,尤其注意a不為零，那么y

叫做x的二次函數(shù)。

y=ax2+/?%+°（。,仇。是常數(shù)，aw0）叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條有關(guān)x=-土b對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

2a

拋物線的重要特性（也叫拋物線的三要素）：

①有開(kāi)口方向；②有對(duì)稱軸；③有頂點(diǎn)。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點(diǎn)法：

（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M,并用虛線

畫出對(duì)稱軸

（2）求拋物線y=ax?+6x+c與坐標(biāo)軸日勺交點(diǎn):

當(dāng)拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C,再找

到點(diǎn)C時(shí)對(duì)稱點(diǎn)Do將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的次序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到

二次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線與x軸只有一種交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)Do

由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。假如需要畫出比較精確的圖像，可再描出

一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B,然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖像。

知識(shí)點(diǎn)七、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：>=依2的性質(zhì)：

a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

x>0時(shí)，y隨工的增大而增大；x<0時(shí)，y

〃>0向上(0,0)y軸

隨x時(shí)增大而減?。粁=0時(shí)，y有最小值0.

x>0時(shí)，y隨xffU增大而減??；x<0時(shí)，y

Q<0向下(0,0)y軸

隨x日勺增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值0.

a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。

2.>=62+<?的性質(zhì):

二次函數(shù)了=依2+。的圖像可由丁=辦2的圖像上下平移得到（平移規(guī)律：上加下減）。

a日勺符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

尤>0時(shí)，y隨x的l增大而增大；無(wú)<0時(shí)，y

a>0向上（0,C）y軸

隨x時(shí)增大而減?。粁=0時(shí)，y有最小值c.

尤>0時(shí)，y隨尤的增大而減??；》<0時(shí)，y

a<Q向下(0,c)y軸

隨工的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值c.

3.y=°(尤-/7)~取|性質(zhì):

二次函數(shù)y=a（x-〃y的圖像可由y=ad的圖像左右平移得到（平移規(guī)律：左加右

減）。

。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

尤〉/z時(shí)，y隨X的增大而增大；尤</?時(shí)，

a>0向上(/?,0)X二hy隨x的增大而減??；x=/z時(shí)，y有最小

值。.

x>/z時(shí)，y隨工的增大而減小；x</z時(shí)，

a<0向下（力，0）X二hy隨x的增大而增大；x=/z時(shí)，y有最大

值0.

4.y=a(x-/?y+%的?性質(zhì):

。日勺符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

尤>//時(shí)，y隨xa1增大而增大；尤</z時(shí)，

4>0向上（九，k）X二hy隨x的增大而減??；x=/z時(shí)，y有最小

值人.

x>/z時(shí)，y隨x?。菰龃蠖鴾p小；x</z時(shí)，

a<0向下(h,k)X二hy隨x日勺增大而增大；x=〃時(shí)，y有最大

值上.

知識(shí)點(diǎn)八、二次函數(shù)解析式的表達(dá)措施

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，。片0）；

2.頂點(diǎn)式：y=a（x-/?）2+k（a,h,左為常數(shù)，。片0）；

3.兩點(diǎn)式：y=。（尤-占）（尤-%）（。x0,%，馬是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以

寫成兩點(diǎn)式，只有拋物線與無(wú)軸有交點(diǎn)，即62—4“CN0時(shí)，拋物線的解析式才可以

用兩點(diǎn)式表達(dá).二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。

知識(shí)點(diǎn)九、二次函數(shù)解析式確實(shí)定

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般運(yùn)用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)

的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇合適的形式，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾

種狀況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式;

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；

3.已知拋物線與無(wú)軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩點(diǎn)式；

4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相似的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

知識(shí)點(diǎn)十、二次函數(shù)的最值

假如自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處獲得最大值（或最小值），即

b

假如自變量的取值范圍是玉九2,那么，首先要看-2與否在自變量取值范圍

2a

b4CLC—

項(xiàng)＜九《九2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x二———時(shí)，y最值二一--；若不在此范圍內(nèi)，

2a4a

則需要考慮函數(shù)在王〈九《々范圍內(nèi)的增減性，假如在此范圍內(nèi)，y隨x的I增大而增大，

則當(dāng)犬=九2時(shí)，y最大=〃君+力%2+。，當(dāng)%=再時(shí)，y最小=ax；+。；假如在此范

圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)％=王時(shí)，y最大=ax；+力玉+c,當(dāng)％=%時(shí)，

y最小=ax；+bx2+ca

知識(shí)點(diǎn)十一、二次函數(shù)的性質(zhì)

(1)拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；(1)拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；

bb

(2)對(duì)稱軸是x二----，(2)對(duì)稱軸是x二----，

2a2a

h一b2b一/

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-二，)；頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-二，)；

2a4a2a4a

bb

(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<----時(shí)，(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x〈----時(shí)，y隨

2a2a

性質(zhì)y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，X改1增大而增大；在對(duì)稱軸的1右側(cè)，

bb

即當(dāng)x>----時(shí)，y隨x的1增大而增大，即當(dāng)x>——時(shí)，y隨X時(shí)增大而

2a2a

簡(jiǎn)記左減右增；減小，簡(jiǎn)記左增右減；

bb

(4)拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)*=——時(shí)，y有最小(4)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x二-二時(shí)，

2a2a

①4ac-b~

值''最小值—4ay有取大值，y最大值一4a

2、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)狀況)：

一元二次方程ax?+6x+c=0是二次函數(shù)〉=辦2+bx+c當(dāng)函數(shù)值y=0時(shí)的I特殊狀況.

圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):

①當(dāng)△=/??一4ac>0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)4(占，0),2(尤2，。)(占力龍2)，其中的I

%是一元二次方程ax2+bx+c=0(a^Q)的I兩根.這兩點(diǎn)間的距離

推導(dǎo)過(guò)程：若拋物線y=a/+"+c與1軸兩交點(diǎn)為人(%0)B(X2,0),由于

X1>0是方程+Z?%+C=0的兩個(gè)根，故

bc

%]+%2=----，再.X?——

aa

21+%2)2_4/2=

AB=\XI-X2\=，(再一々)='(尤九

②當(dāng)△=()時(shí)，圖象與X軸只有一種交點(diǎn)；

③當(dāng)A<0時(shí)，圖象與X軸沒(méi)有交點(diǎn).

r當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在X軸的上方，無(wú)論X為任何實(shí)數(shù)，均有y>0；

2,當(dāng)°<0時(shí)，圖象落在x軸時(shí)下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，均有><().

記憶規(guī)律：一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

因此一元二次方程中的A=b2-4ac,在二次函數(shù)中表達(dá)圖像與x軸與否有交點(diǎn)。

當(dāng)A〉0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)A=0時(shí)，圖像與x軸有一種交點(diǎn)；

當(dāng)A〈0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)十二中考二次函數(shù)壓軸題?？脊?必記必會(huì)，理解記憶)

1、兩點(diǎn)間距離公式(當(dāng)碰到?jīng)]有思緒的題時(shí)，可用此措施拓展思緒，以尋求解題措施)

▲

y

如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為(xi,yi)點(diǎn)B坐標(biāo)為y2).

則AB間時(shí)距離，即線段AB的長(zhǎng)度為J+E-HP----------；一-----

C

B

2、二次函數(shù)圖象的平移

①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-/7『+左，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)小，左)；

②保持拋物線>=依2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(/?,%)處，詳細(xì)平移措施如下:

y=a(x-h)2產(chǎn)〃(%-人)2+左

向上6>0)【或下(4<0)】平移閡個(gè)單位

③平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“〃值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移”.概括

成八個(gè)字”左加右減，上加下減”.函數(shù)平移圖像大體位置規(guī)律（中考試題中，只占3

分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提高答題速度有很大協(xié)助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間）

7+為一%

3、直線斜率：k=tana=^----

x2一苞

4、設(shè)兩條直線分別為，4：y=kix+bil2：y=k2x+b2若。//2?，則有

4〃，2O左1=左2且么H2。若/]_LI?=*k1-k2=-1

知識(shí)點(diǎn)十三、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

拋物線產(chǎn)汗+法+,中，2人，的作用

（1）。決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y=a/中時(shí)完全同樣.

?！?時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；。〈0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；。的絕對(duì)值越大，開(kāi)口越小

（2）匕和。共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=a/+6x+c時(shí)對(duì)稱軸是直線

1}6

%=----，故：①/?=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②一〉0（即。、Z?同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱

laa

b

軸在y軸左側(cè)；③