中考數學復習必考題型專訓：銳角三角函數綜合篇（解析版）

專題09銳角三角函數綜合

知識回顧

1dM^角函數的定義：

在RtAABC中,ZC=90°.

①正弦：我們把銳角A的對邊。與斜邊c的比叫做/A的正弦,記作sinA.

即sinA=NA的對邊除以斜邊=@.

C

②余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊C的比叫做NA的余弦,記作cosA.

即cosA=NA的鄰邊除以斜邊=2h.

c

③正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做NA的正切,記作tanA.

即tanA=NA的對邊除以NA的鄰邊=巴.

b

2.特殊角的銳角三角函數值計算

3.直角三角形的性質

①直角

三角函數

30°45°60°

特殊角三角形的兩

銳角互余.

j_V2V3

sina

222②直角

V3V2￡三角形斜邊

cosa

2

22上的中線等

V3

tana1V3于斜邊的一

V

半.

③含30°的直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

④直角三角形的兩直角邊的成績等于斜邊乘以斜邊上的高線.

⑤直角三角形的勾股定理.

4.解直角三角形：

利用直角三角形角的關系，邊的關系以及邊角關系求解直角三角形.

5.解直角三角形的坡度文問題：

坡角：坡面與水平面的夾角a.

坡度（坡比）：坡面的鉛直高度力和水平寬度/的比.一般用i表示,常寫成i=Lm的形式.等于坡

角的正切值.

在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角

的正切值,水平寬度或鉛直高度都是直角邊,實質也是解直角三角形問題.

應用領域：①測量領域;②航空領域③航海領域：④工程領域等.

6.解直角三角形的仰角俯角問題：

仰角：向上看的視線與水平線的夾角.

俯角：向下看的視線與水平線的夾角.

解決此類問題要了解角之間的關系,找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三

角形口寸,要通過作高或垂線構造直角三角形,另當問題以一個實際問題的形式給出時,要善于讀懂題意，

把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決.

7.解直角三角形的方向角問題：

在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系,有時所給的方向角并不一定

在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角.

一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數.

1.如富穗鐳靈/8C中，/A8C=9Q；AB<BC.點。是月，的中點,過點。作DELAC交勿于點E.延長ED

至點月使得以=應;連結/區(qū)AF、CF.

(1)求證：四邊形/瓦戶是菱形；

⑵若B把F=上1，則tan/ay的值為__________.

EC4

Ec

【分析】(1)先證四邊形力灰尸是平行四邊形，再由瓦工4C即可得出結論;a

⑵設龍=場貝1」0=4a,由菱形的性質得/￡=應=4&/￡〃小貝1]/圖4=二/形漢再由勾股定理得AB=

任a,然后由銳角三角函數定義即可得出結論.

【解答】⑴證明：：點2是熊的中點，

：.AD^CD,

"：DF=DE,

四邊形力反尸是平行四邊形，

又,：DE1AC,

平行四邊形4的是菱形；

:?CE=4BE,

設BE=a,則CE=4a,

由(1)可知，四邊形/aF是菱形，

:?AE=CE=4a,AE//CF,

：.ZBEA=ZBCFf

YN板=90°,

：AB=22

'VAE-BE=V(4a)2-a2=后劣

tantanN.=四=

BEa

故答案為：V15?

2.如圖,在平行四邊形ABCD中，點￡尸分別在AD,BC上,且ED=BF,連接AF,四,陽/且北與第相交于

點0.耳口

(1)求證：四邊形加跡是平行四邊形；/

(2)若47平分/用￡/C=8,tan/%C=3,求四邊形40的面積.1----義一—

4BFC

【分析】(1)根據平行四邊形性質得出AD=BC./￡〃用根據等量減等量差相等，得出/￡=房從而證明

四邊形加還是平行四邊形；

(2)先證明平行四邊形加還是菱形，根據三角函數求出￡0=3,求出宓被產工從而求出四邊形

2

加跡的面積.

【解答】⑴證明：??,在平行四邊形"口中，

AD=BaAE//FQ

,:ED=BF,

：.AD-ED=BC-BF,

:?AE=FC,

???四邊形加還是平行四邊形;

(2)解：u：AE//FC,

:?/EAC=/ACF,

：.ZEAC=ZFACf

：./ACF=/FAC,

:.AF=FC,

???四邊形4尺后是平行四邊形,

???平行四邊形加還是菱形，

：.AO=^AC=^AC工EF,

2

在RtA4必中，4。=4,tan/〃4C=旦，

4

:,E0=3,

**?S^AEO=—A0*EO=6,

2

S菱形=4SX〃￡0=24?

3.如圖，湖邊A,6兩點由兩段筆直的觀景棧道4c和龍相連.為了計算46兩點之間的距離,經測量

得：/歷10=37°,/48c=58°,47=80米，求/、8兩點之間的距離.（參考數據：sin37°弋

0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75,sin58°^0.85,cos58°^0.53,tan58°

【分析】通過作高，構造直角三角形,利用直角三角形的邊角關系，列方程求

解即可.

【解答】解：如圖,過點。作CDLAB,垂足為點D,

在RtZX/5中,

:/物（7=37°,47=80米，

；.sin/%C=%,cos/物。=幽，

ACAC

：.CD=AC'sin?,lQ心80X0.60=48（米）,

47=4?cos37°弋80X0.80=64（米），

在Rt△及/中，

；/皈=58°,切=48米，

：.tanZCBD=^-,

BD

BD=―迎一七工L=30（米），

tan581.60

AAB=AD^BD=64+30=94（?K）.

答：A,6兩點之間的距離約為94米.

4.勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴,凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔垂

直于橋面8c于點B,其中兩條斜拉索AD,/C與橋面8。的夾角分別為60°和45°,兩固定點D、。之間

的距離約為33加,求主塔4?的高度（結果保留整數，參考數據：V2?1.41,73^1.73）

【分析】根據銳角三角函數的定義可求出力2的長度，然后即可求出AC的長度，再根據銳角三角函數的

定義即可求出答案.

【解答】解：在Rt△救中，//龍=60°,tan/4!5=坐,

BD

BD=—=典，

tan60v3

在中，ZC=45°,tan/C=膽，

BC

：.BC=一蛆

tan45

■:BC-BD=CD=A3m,

：.AB--^-=33,

V3

...AB=99+33五-78?.

2

答：主塔力6的高約為78%

5.苗澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30。，已知原

電梯坡面48的長為8米，更換后的電梯坡面為/〃點6延伸至點〃求劭的長.（結果精確到0.1米.參

考數據：sin37°?0.60,cos37°^0.80,tan37°20.75,百p1.73）

【分析】在△/a'中求出比'以及〃1的長度,再求出辦最后將切-%即可求解.

【解答】解：由題意得，在△四。中，

■:NABC=31°,48=8米，

，/C=/Osin37°=4.8（米），

BC=AB'cos310=6.4（米）,

在RtZX/5中，CD=—A：°-弋8.304（米），

tan30

貝ijBD=CD-BC=8.304-6.4-1.9（米）.

答：改動后電梯水平寬度增加部分劭的長為1.9米.

6.旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，爪切為水平線，旗桿切于點氏某一時刻，旗桿的一部分影子

即落在切上,另一部分影子座落在坡面DN上,已知初=1.2典DE=\.4m.同一時刻,測得豎直立在坡面

冊上的高的標桿影長為0.250（標桿影子在坡面外上），此時光線/￡與水平線的夾角為80.5°,求旗

桿的高度.

（參考數據：sin80.5°心0.98,cos80.5°20.17,tan80.5°-6）

【分析】設國為豎直立在坡面帆上的1m高的標桿,也為標桿影子,長為0.25m,作DFLCD交/￡于點F,

作FHLAB于點H,利用相似和銳角三角函數可以求出旗桿的高度.

【解答】解：如圖,設閭為豎直立在坡面ZW上的戴高的標桿,加為標桿影子，長為0.250，

作DFLCD交四于點F,作FHLAB于點H,

'：DF//PQ,

.PQ=PE

"DFDE'

.10.25

"DF1.4'

:.DF=3.6,

:.BH=DF=3.6,

在Rt△/物'中，ZAFH=8Q.5°,

tan//加=里

HF

.\tan80.5°=-^L?6,

1.2

C.AH^l.2,

...旗桿AB的高度為5.6+7.2=12.8（血.

7.為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數.某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改

造.如圖,46表示該小區(qū)一段長為20〃的斜坡，坡角/力。=30°,劭，血?于點〃為方便通行，在不改變

斜坡高度的情況下，把坡角降為15°.

(1)求該斜坡的高度劭；

(2)求斜坡新起點C與原起點/之間的距離.(假設圖中C4〃三點共線)

【分析】(1)根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解；

⑵在中，根據/的=30°,NG45=15°,求出47=型從而得出/C的長.

【解答】解：（1）在Rt△力劭中，力=90°，/掰0=30°,掰=20典

:.BQ工BA=IQ（而,

2

答：該斜坡的高度初為10勿；

⑵在中，/"12=30°,/宛4=15°,

：.ZCBA=15°,

：.AB=AC=20?,

答：斜坡新起點C與原起點A之間的距離為20m.

8.在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量.如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端6的仰

角為60。，沿山坡向上走20〃到達〃處，測得建筑物頂端6的仰角為30。.已知山坡坡度/=3：4,即

3

tan9=-,請你幫助該小組計算建筑物的高度AB.

4

（結果精確到0.1卬,參考數據：73^1.732）

【分析】過點〃作DELAC,垂足為E,過點。作DFLAB,垂足為F,則DE=AF,DF=AE,在Rt△龍C中，根據

已知可設DE=3x米,則CE=4x米,然后利用勾股定理進行計算可求出DE,CE的長,再設BF=y米,從而

可得/6=（12+力米,最后在Rt△呼中，利用銳角三角函數的定義求出加的長,從而求出4C的長,再在

雙△/反;中,利用銳角三角函數的定義列出關于y的方程,進行計算即可解答.

【解答】解：過點。作DELAC,垂足為E,過點〃作DFLAB,垂足為F,

B

在Rt△龍C中,tan6=DE=2

EC4

設DE=3x米,則G?=4x米，

"：D^+C^=Dd,

（3x）2+（4x）2=400,

；.x=4或x=-4（舍去），

:.DE=AF=\2米，CE=\<o米，

設BF=y米,

：.AB^BF+AF=（12+0米，

在Rt△弼中，/初F=30°,

?"尸=—"k=方=我/（米）.

tan30寸3

~3~

AE=DF=5/3y米，

J.AC^AE-CE=（V3y-16）米，

在中，NACB=6Q

tan60°_AB_12-fy_

AC而聲”3,

解得：7=6+85/3,

經檢驗：y=6+8百是原方程的根，

A5=6F%尸=18+8?心31.9（米）,

建筑物的高度AB約為31.9米.

9.如圖，希望中學的教學樓四和綜合樓切之間生長著一棵高度為12.88米的白楊樹出且其底端B,D,F

在同一直線上，"'=加=40米.在綜合實踐活動課上，小明打算借助這棵樹的高度測算出綜合樓的高度,

他在教學樓頂/處測得點。的仰角為9°,點￡的俯角為16°.

問小明能否運用以上數據,得到綜合樓的高度?若能,請求出其高度（結果精確到0.01米）；若不能,說明

理由.

解答過程中可直接選用表格中的數據喲!

科學計算器按鍵順序計算結果（已取近似值）

0.156

0.158

0.276

0.287

【分析】作EGLAB,垂足為G,作AHLCD,垂足為H,由題意知,EG=BF=40米,EF=BG=\2.88米，ZHAE

=16°=//￡6=16。，,在Rt△/￡G中，有0.287=3色,/gll.48（米），即得加=46=24.36

40

米,在打中，有0.158=&旦,得C次\2.64（米），故CD=Ofi-HD=37.00（米）.

80

【解答】解：小明能運用以上數據，得到綜合樓的高度，理由如下：

作EGLAB,垂足為G,作AHVCD,垂足為〃如圖:

-c

□

□

□

□

□

□

BFD

由題意知,￡6=冊=40米，廝=86=12.88米，/的￡=16°=ZAEG=16°,ZG4//=9°,

在RtA4旗中，

tan//￡G=越,

EG

.\tanl60=螞，即0.287-近，

4040

."G=40X0.287=11.48（米），

.?./6=/份8。=11.48+12.88=24.36（米），

:.HAAB=2A.36米，

在Rt△/5中,AH=BD=BF+FD=8Q米，

tan/Q〃=qi,

AH

；.tan9°=&且，即0.158-2旦，

8080

：.CH=80-X0.158=12.64（米），

CD=C小HD=12.64+24.36=37.00（米），

答：綜合樓的高度約是37.00米.

10.如圖，小文在數學綜合實踐活動中,利用所學的數學知識測量居民樓的高度AB,在居民樓前方有一斜坡,

4

坡長切=15〃,斜坡的傾斜角為a,cosa=..小文在。點處測得樓頂端A的仰角為60°,在。點處測

得樓頂端力的仰角為30°（點4在同一平面內）.

（1）求6；2兩點的高度差；

（2）求居民樓的高度/A

（結果精確到10,參考數據：73^1.7）

人

BC

【分析】⑴過點。作DE上BC,交寬的延長線于點￡在Rt△屋中，可得

CE=CD-cosd=15X9=12?，再利用勾股定理可求出應，即可得出答案.

5

⑵過點，作隴1/8于々設AF=xm,在中，tan30°解得母'=?%在RtA

DFDF3

ABC^,AB=（jr+9）m,BC=（＞/3-12）m,tan60°=^L=j+9_=，求出x的值，即可得出答案.

BCV3x-12

【解答】解：⑴過點〃作DE1BC,交戊7的延長線于點￡

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

???CE=CD-cosa=15xA=12(ffl).

5

DE=VCD2-CE2=7152-122=9??

答：C〃兩點的高度差為9〃.

⑵過點，作見于，

由題意可得BF=DE,DF=BE,

設AF=xm,

在雙△/如中，tanZ^=tan30°_AF=x夾

DF'DF

解得DF=V,x,

在比'中，AB=AF+FB=AF^-DE—(x+9)以,BC=BE-CE=DF-CE—12)@

tan60°=AB=x+9=?,

BCV3x-12

解得x=6V3號，

經檢驗，x=S6卷是原方程的解且符合題意,

：.AB=67^+9+9~24?.

2

答：居民樓的高度/方約為24加

11.如圖,一艘貨輪在海面上航行,準備要停靠到碼頭C,貨輪航行到A處時,測得碼頭。在北偏東600方向

上.為了躲避A,C之間的暗礁,這艘貨輪調整航向,沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行,當它航行到B處后,

又沿著南偏東70。方向航行20海里到達碼頭C.求貨輪從A到6航行的距離（結果精確到0.1海里.參

考數據：sin50°?0.766,cos50°-0.643,tan50°^1.192).

北

【分析】過6作劭，/C于D,在RSBCD中，利用正弦函數求得初=15.32海里,再在Rt△/初中，利用

含30度角的直角三角形的性質即可求解.

【解答】解：過6作瓦'于〃

北

由題意可知//應'=30°,N&C=30°,則NC=180°-30°-30°-70°=50°,

在RtZ\65中，/C=50°,8c=20（海里）,

...勿=6氏in50。-20X0.766=15.32（海里），

在Rt△/劭中，/期〃=30。，應-15.32（海里）,

:.AB=2BD=30.64-30.6（海里），

答：貨輪從4到8航行的距離約為30.6海里.

12.隨著我國科學技術的不斷發(fā)展,56移動通信技術日趨完善，某市政府為了實現5G網絡全覆蓋,2021?

2025年擬建設5G基站3000個,如圖,在斜坡沖上有一建成的5G基站塔AB,小明在坡腳。處測得塔頂A

的仰角為45°,然后他沿坡面/行走了50米到達，處,2處離地平面的距離為30米且在〃處測得塔頂

4

4的仰角53°.（點/、B、aD、￡均在同一平面內，龍為地平線）（參考數據：sin53°cos53°弋

3c。4、A

一,tan532—）ZZ1

5§//L

⑴求坡面）的坡度；

（2）求基站塔47的高./%'"

X450

CE

【分析】(1)過點，作力夕的垂線，交4?的延長線于點打過點。作值垂足為肱由勾股定理可求出

答案；

⑵設DF=4a米,則ME=4a米,即=3a米，由于△力GV是等腰直角三角形,可表示BE,在△出圻中由銳角

三角函數可列方程求出DF,進而求出AB.

【解答】解：⑴如圖，過點，作4?的垂線，交股的延長線于點打過點，作，a絲垂足為〃.

由題意可知：切=50米，刃占30米.

在RtzXCW中，由勾股定理得：就=前-D而,

：.酸=40米，

斜坡。的坡度=掰CM=3：4;

(2)設DF=4a米,則MN=4a米,BF=3a米，

；//GV=45°,

陰45°,

；./eC^M40+4a）米，

：.AF=AN-NF=AN-加=40+4a-30=（10+4a）米.

在Rt△/0'中，

丁如=4a米,"'=（10+4a）米,NADF—

.?.tan/孫二絲

DF

,.,—4_―1-0--+-4-a-,

34a

.?.解得@=①，

2

：.AF=10+4a=10+30=40（米）,

，"=3a=至米，

2

:.AB=AF-郎=40-至=越（米）.

22

答：基站塔四的高為至米.

2

13.小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道47進行實地測量.如圖所示，他在地面上

點C處測得隧道一端點/在他的北偏東15。方向上，他沿西北方向前進100百米后到達點〃此時測得

點/在他的東北方向上，端點6在他的北偏西60°方向上，（點4B、a，在同一平面內）

⑴求點。與點力的距離；

（2）求隧道的長度.（結果保留根號）

【分析】⑴根據方位角圖，易知//。=60°,N4?C=90°,

解RtZU%即可求解；

⑵過點，作龐、_L/6于點E.分別解Rt△力度Rt△〃應求出

力￡和班;即可求出隧道48的長.

【解答】解；（1）由題意可知：N〃V=15°+45°=60°,Z

AZ）C=180°-45°-45°=90°,

在RtAJ%中，

???AD=DCXtanZACD=10073Xtan60°=100^3X遂=300（米）,

答：點，與點/的距離為300米.

⑵過點。作血"于點6

北

是東西走向,

龐=45°，/叱=60°,

在RtZ\4龐中,

A/n廠

-'-DE=AE=ADXsinZADE=300Xsin45°=300/抗=150爽（米），

在Rt△糜'中,

???BE=DEXtanZBDE=150/2Xtan60°=15的X?=150五（米）,

AB=AE+BE=（15072+150V6）（米），

答：隧道四的長為(150^+150%)米.

14.湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援.位于湖面8點處的快艇和湖岸/處的救援船接到

通知后立刻同時出發(fā)前往救援.計劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿。方向行駛，與救援船相遇后將

該游客轉運到救援船上.已知。在A的北偏東30°方向上,8在/的北偏東60°方向上，且在C的正南

方向900米處.

(1)求湖岸/與碼頭C的距離(結果精確到1米，參考數據：近-L732);

(2)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內

將該游客送上救援船?請說明理由.(接送游客上下船的時間忽略不計)

【分析】⑴延長。到D,則CDUD于點、D,根據題意可得/及

=30°,60=900米，及7〃力人所以=/掰〃然后根據

含30度角的直角三角形即可解決問題；

(2)設快艇在x分鐘內將該游客送上救援船，根據救援船的平均速度為

150米/分，快艇的平均速度為400米/分，列出方程150x+(400x-900)=

1559,進而可以解決問題.

【解答】解：⑴如圖,延長⑶到D,則〃于點D,

根據題意可知：/胡。=/。5=30°,歐=9