重慶市某中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)（文）月考試題（含解析）

重慶市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題文(含解析)

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題.(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出

符合題目要求的一項(xiàng))

1.已知集合人=法|」一>0},：6=⑻丫=11102-1)},則APIB=()

X-1

A.(-00-1)B.(-1,1)C.(-00-1)U(1,+oo)D.(1,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

解出集合A和集合B,取交集即可.

【詳解】由/中不等式得：x-1〉0,

解得：x>l,BPA=(1,+8)；

由夕中/=加(f-1),得到即x<-l或x>l

：.B=(-8,-1)U(1,+oo)

則AC\B=(1,+8).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.若a,b,ceR且a>b,則下列不等式中肯定成立的是()

222

A.ac>beB.(a-b)c>0C.a<bD.3c-2av3c-2b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)檢驗(yàn)即可得到答案.

【詳解】A,a>6且cdR,當(dāng)c小于等于0時(shí)不等式不成立，故錯(cuò)誤；

B,a,b,cGR,且a>6,可得a-6>0,當(dāng)c=0時(shí)不等式不成立，故錯(cuò)誤；，

C,舉反例，a=2,b=T滿意a>b,但不滿意a2Vb2,故錯(cuò)誤；

D,將不等式化簡即可得到a〉b,成立，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及解除法的應(yīng)用，屬于簡潔題.用特例代替題設(shè)所給

的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的推斷，這種方法

叫做特殊法.若結(jié)果為定值，則可采納此法.特殊法是“小題小做”的重要策略.常用的特

例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.

3.已知數(shù)列1,曲,&巾，…,j2nT,…，貝的拈是它的（）

A.第62項(xiàng)B.第63項(xiàng)C.第64項(xiàng)D.第68項(xiàng)

【答案】B

【解析】

【分析】

分析可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為標(biāo)刁，解方程揚(yáng)百=5拈即可得答案

【詳解】數(shù)列1,4,布,幣,…，標(biāo)」，…，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為4=后」，

若，2nT=5而,即2〃T=125,

解可得/?=63,

則5拈是這個(gè)數(shù)列的第63項(xiàng)；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的概念及數(shù)列通項(xiàng)的概念，屬基礎(chǔ)題.

4.鞋柜里有4雙不同的鞋，從中隨機(jī)取出一只左腳的，一只右腳的，恰好成雙的概率為（）

1132

A.—B.—C.—D.—

4255

【答案】A

【解析】

【分析】

求出基本領(lǐng)件總數(shù)A,恰好成雙包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)〃，由概率公式即可得到答案.

【詳解】鞋柜里有4雙不同的鞋，從中取出一只左腳的，一只右腳的，

基本領(lǐng)件總數(shù)〃=C：C：=16,

恰好成雙包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)"=C：C；=4,

???恰好成雙的概率為P=~=-=

n164

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力,

是基礎(chǔ)題.

22

5.已知雙曲線C：2-==1（2>0力>0）的離心率為上，則c的漸近線方程為（）

a2b22

111

A.y=±-xB.y=±-xC.y=±-XD.y=±x

432

【答案】C

【解析】

c1+—=—,故2=1,即故漸近線方程為y=±2x=±L.

e=-

aJa22a24a2」a2

【考點(diǎn)定位】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化實(shí)力.

（y>x

6.已知實(shí)數(shù)x,y滿意約束條件|x+y02，貝！Jz=2x+y的最大值為（

（2x>l

53

A.4B.3C.-D.

22

【答案】B

【解析】

【分析】

由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程

組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

（y>x

【詳解】由約束條件x+yW2作出可行域如圖,

（2x>l

聯(lián)立，解得/（1'1）'

化目標(biāo)函數(shù)2=2廣夕為y=-2x+z,

由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過2時(shí)，直線在p軸上的截距最大，z有最大值為3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組與平面區(qū)域問題、

函數(shù)的最值及其幾何意義，線性規(guī)劃中的最值問題主要涉及三個(gè)類型：1.分式形式z=〃°：

x-x。

與斜率有關(guān)的最值問題：表示定點(diǎn)P（Xo，yo）與可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M（x,y）連線的斜率.2.一次形

式z=ax+by:與直線的截距有關(guān)的最值問題，特殊留意斜率范圍及截距符號(hào).

7.下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.先把高二年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)為1到2000,再從編號(hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽

取1名學(xué)生，其編號(hào)為m,然后抽取編號(hào)為m+50,m+100,m+150……的學(xué)生，這樣的抽樣

方法是系統(tǒng)抽樣法；

B.獨(dú)立性檢驗(yàn)中，/越大，則越有把握說兩個(gè)變量有關(guān)；

C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1；

2

D.若一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2,則該組數(shù)據(jù)的方差是-.

3

【答案】C

【解析】

【分析】

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行分析，解除即可得到答案.

【詳解】對(duì)于4依據(jù)個(gè)體數(shù)目較多，且沒有明顯的差異，抽取樣本間隔相等，知這種抽樣方

法是系統(tǒng)抽樣法，.?/正確；

對(duì)應(yīng)B,獨(dú)立性檢驗(yàn)中，/越大，應(yīng)當(dāng)是說明兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性大，即有足夠的把握

說明兩個(gè)變量有關(guān)，方正確；

對(duì)于G兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)舊的值越接近于1,C錯(cuò)誤；

對(duì)于2,一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2,；.a=2；

12

???該組數(shù)據(jù)的方差是s2=-X[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=-,〃正確.

33

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題利用命題真假的推斷考查了概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

8.已知不共線的兩個(gè)向量a6滿足|a-b|=2且a1(a-2?),則的=

A.也B.2C.2加D.4

【答案】B

【解析】

向量a$滿足|a-=2，兩邊平方得到/-ZaE+b?=4,S1(0-20)=>S(S-20)=0,化簡得到

S2=2萩，聯(lián)立兩式得到向=2.o

故答案為：Bo

9.已知一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，則此幾何體的表面積為()

A.47ta2B.3%a2C.(3+&)溷？D.(5+物兀a?

【答案】D

【解析】

【分析】

由三視圖可知該幾何體下部為圓柱，上部為圓錐，由面積公式即可得到答案.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體下部為圓柱，上部為圓錐，圓柱底面圓的半徑為a,高為2a,

圓錐的高為a,圓錐的母線長為他a,

2

所以表面積為S=Ka+27tax2a+-x27cxax垃a=(5+物Tta)，

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原，考查圓錐，圓柱的表面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

/x+3

10.從區(qū)間(0,5)中任取一個(gè)值a,則函數(shù)f(x)=,:，x\T是增函數(shù)的概率為()

((3-a)x-a+7,x>-1

5555

【答案】A

【解析】

【分析】

由函數(shù)為增函數(shù)得到a的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式計(jì)算干脆得到答案.

【詳解】?函數(shù)f(x)=|，為遞增函數(shù)，

''((3-a)x-a+7,x>-1

(3-a>0,a<3

a>l叫a>1

(a1+3<-(3-a)-a+7\_2<a<2

解得l<a<2,

2-11

又a從區(qū)間(0,5)中任取一個(gè)值，由概率公式可得p=《

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查長度型幾何概型，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，以及分段函數(shù)的單調(diào)性,

同時(shí)考查了計(jì)算實(shí)力.

H.函數(shù)f(x)=lnx2+x2-bx+a(bN2,aeR)的圖像在點(diǎn)(b,f(b))處的切線斜率的最小值是()

A.2B.2企C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=6時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，利用基本不等式求最值得答案.

2

【詳解】由f(x)=Inx?+x?-bx+a，得/'(x)—-+2x-b,

x

2

：.f")=-+b(622)

b

2

：.f(6)=-+6在622時(shí)單調(diào)遞增，

b

2

f(6)=-+b>1+2=3

b一

當(dāng)且僅當(dāng)6=2時(shí)上式取“="，切線斜率的最小值是3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用基本不等式求

最值，是基礎(chǔ)題.

12.已知橢圓J+l(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,F為其右焦點(diǎn)，若AF-LBF,

a2b2

設(shè)NABF=a,且aC--,則該橢圓離心率e的取值范圍為()

[43]

A.咨同]B.[&/)C.[磐]。?專專

【答案】A

【解析】

【分析】

由題設(shè)條件結(jié)合橢圓的對(duì)稱性推導(dǎo)出I明+1即=2a,\AB\=2c,設(shè)/ABF=a,則能推導(dǎo)出

2csina+2ccosa=2a,由此能求出結(jié)果.

【詳解】橢圓)+==l(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8,6為其

a2b2

右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為￡,連接/將AF?BF,明，，四邊形加班為長方形.

依據(jù)橢圓的定義：\AF\+\AFi\=2a,/ABF=a,貝！J：NAFiF=Q,.\2a=2ccosa+2csina

2c11

--------------[TUTV

橢圓的離心率e=%sina+cosa「兀，aE——

J2sin(a+-)[43.

.兀兀7兀

??—WaH—W—，

2412

+兀

則?n(za+IX0

1\一

44Z

??——W廠.兀W布-1,

2屈sin(a+-)

4

，橢圓離心率e的取值范圍：[號(hào)而一1],

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,

利用定義域求三角函數(shù)的值域，離心率公式的應(yīng)用，屬于中檔題型.

第II卷(非選擇題共90分)

二、填空題.(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

13.已知ae(無)且sinS+g)=則tan(a+兀)=

【答案】-2梃

【解析】

【分析】

依據(jù)誘導(dǎo)公式得到cosa,結(jié)合角的范圍得到sma,再利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算

即可得到答案.

■'-V'kjj，?兀1?2218

【詳用?！縮in(a+—)=cosa=--,sina=1-cosa=1一一=一，

2399

又a€(九>得sina=

2亞

sina3

tan(a+兀)=tana=---=----=-2[2r

cosa1

3

故答案為：-2屈

【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.等比數(shù)列｛aj各項(xiàng)均為正數(shù)，a3ag+a4a7=18,則logj^+log庠2+…+bg杼10=

【答案】20

【解析】

由a3a&+a4a7=18,得a4a7=9

所以log砰1+bg產(chǎn)2+…+嚏護(hù)io=

aa,a*5*910

log^(i2"ia)=3息aiaj=]og,(a4a7)s=log^(9)=21og33=20

2

15.在區(qū)間01]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記P為事務(wù)“x+yW」’的概率，貝偉=_____

-3

2

【答案】-

9

【解析】

【分析】

由題意可得總的基本領(lǐng)件為｛(x,y)|0W出1,0WJ<1｝，事務(wù)?包含的基本領(lǐng)件為｛("

2

y)|0WxWl,0WZ1，AZ-｝，數(shù)形結(jié)合利用面積比可得概率.

3

【詳解】由題意可得總的基本領(lǐng)件為｛(X,y)|OWxWl,OWJ<1｝，

2

事務(wù)戶包含的基本領(lǐng)件為｛(x,y)|0WxWl,0WZ1，x+y^-｝,

3

它們所對(duì)應(yīng)的區(qū)域分別為圖中的正方形和陰影三角形,

122

—*—x-

故所求概率々233_2,

1x19

2

故答案為：--

9

【點(diǎn)睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，解決幾何概型

問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵

是計(jì)算事務(wù)的總面積以及所求事務(wù)的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)簡潔造成失分，(1)

不能正確推斷事務(wù)是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；(2)基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握

不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；(3)利用幾何概型的概率公式時(shí)，忽視驗(yàn)證事務(wù)是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤.

16.已知定義在7?的函數(shù)y=f(x)對(duì)隨意的x滿意f(x+1)=-f(x),當(dāng)-1vx<1,f(x)=x，函數(shù)

Jlogax|,x>0

g(x)=1c,若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在J6,o)u(o,+oo)上有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

I——，x<0

\X

取值范圍是

【答案】(，ju(7,9]

【解析】

【分析】

函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[-6,+8)上有6個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)與g(x)的圖像

有6個(gè)交點(diǎn)，分別做出y=F(x)與尸g(x)的圖象，由此求得3的取值范圍.

【詳解】??,對(duì)隨意的x滿意f(x+1)=-f(x),.,?/1(x+2)=-f(x+1)=f(x),函數(shù)f

(x)是以2為最小正周期的函數(shù)，畫函數(shù)廣(x)、g(x)在「6,0)U(0,+oo)圖象,

由圖象可知：在y軸的左側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，只要在右側(cè)有4個(gè)交點(diǎn)即可.

(a>7或0<a<-

|1嗚7|<17故7VaW9或IwavL

則即有1

M>111<a<9^-<a<197

故答案為：:；)U(7,9].

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的運(yùn)用，涉及函數(shù)的周期性，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象等學(xué)問點(diǎn)，關(guān)鍵

是作出函數(shù)的圖象，由此分析兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

三、解答題.(共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

17.已知函數(shù)f(x)=3sin2x+2cos2x-l,xER-

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵在△48C中，A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=后,f(C)=l,sinB=2sinA,求△46。面

積S.

【答案】⑴最小正周期為兀，遞減區(qū)間為「+團(tuán)3t+k7i|(kez)；(2)￡

[63J2

【解析】

【分析】

⑴利用二倍角公式和協(xié)助角公式將函數(shù)f(x)進(jìn)行化簡，然后利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得周

期和單調(diào)區(qū)間；(2)由f(C)=l,得角C,由正弦定理得b=2a,然后利用余弦定理可得a和b的

值，代入面積公式即可得到答案.

兀

【詳解】f(x)=招sin2x+cos2x-2sin(2x+-)

(1)最小正周期為T=7l,

兀713兀

因?yàn)橐?2k7T<2x+-<--F2k%,keZ

2—6-2

I兀2冗

所以一+k%<X<---FkTT,

63

jr2冗

所以函數(shù)的單遞減區(qū)間為[-+kTT,--Fk7r],k€Z

63

(2)因?yàn)閒(C)=2sin(2C+3=1,所以C=—

所以(我2=a)+b?-2abeosg,a2+b2-ab=3①

又因?yàn)閟inB=2sinA,所以b=2a②

由①，②可得a=l,b=2

1而

S=-absinC=——?

22

【點(diǎn)睛】本題考查二倍角和協(xié)助角公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查正余弦定理

及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于常考題型.

18.如圖，也為圓。的直徑，點(diǎn)區(qū)戶在圓。上，AB//EF,矩形/灰/所在平面和圓。所在的平

面相互垂直，已知AB=3,EF=1.

(1)求證：平面DAFJ?平面CBF；

(2)設(shè)幾何體F-ABCD、F-BCE的體積分別為V2,求V^V2.

【答案】⑴詳見解析;(2)6.

【解析】

【分析】

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理得到CB，平面ABEF,再利用線面垂直的判定定理得到AF1平面

CBF,由面面垂直的判定定理即可得到證明；(2)利用棱錐體積公式計(jì)算求比值即可.

【詳解】(1)如圖，矩形ABCD中，CB_LAB,:平面ABCD1平面ABEF,平面ABCDA平面

ABEF=AB,

，CB1平面ABEF,

：AFu平面ABEF,/.AF1CB.

又：AB為圓O的直徑，，AF_LBF,

VCBnBF=B,CB、BFu平面CBF,

AFI平面CBF,

AFu平面ADF,平面DAF1平面CBF.

另解：也可證明BF1平面ADF.

(2)幾何體F-ABCD是四棱錐、F-BCE是三棱錐，過點(diǎn)F作FH_LAB,交AB于H.：平面ABCD1

平面ABEF,，F(xiàn)HJ■平面ABCD.

皿11/1\vi2AB

貝(IVi=-ABxBCXFH,V,=-x-EFxHFxBC-'.—=——=6

12

33\2)V2EF

【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查棱錐體積公式的應(yīng)用，屬基

礎(chǔ)題.

19.某網(wǎng)購平臺(tái)為了解某市居民在該平臺(tái)的消費(fèi)狀況，從該市運(yùn)用其平臺(tái)且每周平均消費(fèi)額超

過100元的人員中隨機(jī)抽取了100名，并繪制右圖所示頻率分布直方圖，已知中間三組的人

數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求m,n的值；

(2)分析人員對(duì)抽取對(duì)象每周的消費(fèi)金額y與年齡x進(jìn)一步分析，發(fā)覺他們線性相關(guān)，得到

回來方程;=_5x+:已知100名運(yùn)用者的平均年齡為38歲，試推斷一名年齡為22歲的年輕

人每周的平均消費(fèi)金額為多少.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替)

【答案】(1)m=0.0035,n=0.0025；(2)410.

【解析】

【分析】

⑴利用頻率和為1得到m和n的等量關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列即可得到m和n的值；(2)利用

頻率分布直方圖的平均數(shù)公式計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：(1)由頻率分布直方圖可知，m+n=0.01-0.0015x2-0.001=0,006,

由中間三組的人數(shù)成等差數(shù)列可知m+0,0015=2n,

可解得m=0.0035,n=0.0025

(2)調(diào)查對(duì)象的周平均消費(fèi)為

0.15x150+0.25x250+0.35x350+0.15x450+0.10x550=330,

由題意330=-5x38+3a=520y=-5x22+520=410.

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，主要考查頻率和為1和平均數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

20.已知拋物線c：y2=2px(p>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(2,t)到焦點(diǎn)廠的距離為：

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線1與拋物線C相交于46兩點(diǎn)，與圓乂依飛)2+丫2=1相交于〃￡兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，OA_LOB,試問：是否存在實(shí)數(shù)a,使得|施|的長為定值？若存在，求出a的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴y2=2x；(2)2=2時(shí)，w|為定長2.

【解析】

【分析】

(1)利用拋物線的定義，到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離即可求得結(jié)果；(2)設(shè)直線47的方程,

代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得m的值，利用圓的弦長公式，求得

IDE即可得到答案.

【詳解】⑴1/點(diǎn)P(2,t),2+B=3解得p=1,

22

故拋物線C的方程為：y2=2x.

(2)設(shè)直線巧的方程為*=0+111,代入拋物線方程可得丫2-2勺-2111=()，

設(shè)AMM)Bgy/,則yi+y2=2t,yjy2=-2m,①

由OAJLOB得：(tyi+m)(ty2+m)+y/2=0,

整理得(t?+Dy/?+tm(y]+yj+Hi2=0,②

將①代入②解得m=2,，直線l:x=ty+2

:圓心到直線1的距離d=^^,；.|DE|=2L一0

Jl+t2J1+t2

明顯當(dāng)a=2時(shí)，|DE|=2,|DE|的長為定值.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量的坐

標(biāo)運(yùn)算，考查圓的弦長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.

21.已知函數(shù)h(x)=mx---ex-lnx,p(x)=ex-31nx+2-

x

(1)求函數(shù)p(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值；

(2)設(shè)f(x)=h(x)+p(x)在(0,2)內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

【答案】(1)e2-31n2+2；(2)&2).

【解析】

【分析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，推斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到函數(shù)的最值；(2)先求出r(x),

4x

由題意知：m"o4x+m=0在(0,2)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即111=——；在(0,2)有兩個(gè)變號(hào)零

1+x2

點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.

3

x

【詳解】(1)p(x)=e-31nx+**P'(*)-，

x

3

：.p,f(x)=e'+G>°恒成立

x

所以"(x)=/-3在［1,2］單調(diào)遞增，

X

,3

,：3(1)=e-3<0,p(2)=e2-->0,.*.3Xo^(1,2),使夕'(荀)=0,

當(dāng)x￡［l,照］時(shí)，p(x)<0,p(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)［荀，2］時(shí)，p(x)>0,p(x)單調(diào)遞增.

又P(l)=e+2,P(2)=eZ-31n2+2>e+2

：.p(x)在［1,2］上的最大值為0(2)=e2-37/72+2.

2

/、m,m4mx-4x+m

(2)f(x)=h(x)+p(x)=mx---41nx+2,f(x)=m+----=-----------

XX2xx2

由題意知：mx2-4x+m=0在(0,2)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

4x

即01=——；在(0,2)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)

1+x2

4x-4X2+4

令g(x)=，g'(x)=

1+x2(i+x￥

令g'(x)=O則x=l，且x￡(0,1)時(shí)，g'(x)>0,，g(x)單調(diào)遞增；x￡(1,2)時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

8

又g(0)=0,g(l)=2,g(2)=-,

5

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性極值與最值，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于難

題.

留意：請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做第一題計(jì)分.

22.已知曲線，在平面直角坐標(biāo)系xOy下的參數(shù)方程為戶=1+求c7。(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原

點(diǎn)。為極點(diǎn)，以X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線。的一般方程及極坐標(biāo)方程；

(2)直線/的極坐標(biāo)方程是pcos(0-||=3g.射線。T：e=：(p>0)與曲線C交于點(diǎn)4