2023年九年級概率知識點總結及題型

概率知識點總結及題型匯總

一、確定事件：包括必然事件和不也許事件

1、在一定條件下必然要發(fā)生日勺事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能發(fā)生的事件,

或者說發(fā)生日勺也許性是100%；如：從一包紅球中，隨便取出一種球，一定是紅球。

2、在一定條件下不也許發(fā)生日勺事件，叫做不也許事件。不也許事件是指一定不能發(fā)生

日勺事件，或者說發(fā)生日勺也許性是0,如：太陽從西邊出來。這是不也許事件。

3、必然事件日勺概率為1,不也許事件日勺概率為0

二、隨機事件

在一定條件下也許發(fā)生也也許不發(fā)生日勺事件，叫做隨機事件。

一般地，隨機事件發(fā)生日勺也許性是有大小日勺，不一樣的隨機事件發(fā)生的也許性日勺大小有也

許不一樣.

一種隨機事件發(fā)生日勺也許性日勺大小用概率來表達。

三、例題：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是隨機事件，哪些是不也許事件，

哪些是確定事件？

①一種玻璃杯從一座高樓日勺第10層樓落到水泥地面上會摔破；

②明天太陽從西方升起；③擲一枚硬幣，正面朝上；

④某人買彩票，持續(xù)兩次中獎；⑤今每天氣不好，飛機會晚些抵達.

解：必然事件是①；隨機事件是③④⑤；不也許事件是②.確定事件是①②

三、概率

1、一般地，對于一種隨機事件A,把刻畫其發(fā)生也許性大小日勺數值，稱為隨機事件A

發(fā)生日勺概率，記為P(A).

(1)一種事件在多次試驗中發(fā)生的也許性，反應這個也許性大小的數值叫做這個事件

發(fā)生的概率。(2)概率指的是事件發(fā)生時也許性大小的的一種數值。

2、概率的求法：一般地，假如在一次試驗中，有n種也許的成果，并且它們發(fā)生時也

許性都相等，事件A包括其中日勺m種成果，那么事件A發(fā)生日勺概率為P(A)=-.

n

(1)一般地，所有狀況日勺總概率之和為lo(2)在一次試驗中，也許出現日勺成果有限

多種.

(3)在一次試驗中，多種成果發(fā)生日勺也許性相等.

(4)概率從數量上刻畫了一種隨機事件發(fā)生日勺也許性日勺大小，事件發(fā)生日勺也許性越大,

則它的概率越靠近1；反之，事件發(fā)生的也許性越小，則它的概率越靠近0。

(5)一種事件的概率取值：OWP(A)W1

當這個事件為必然事件時，必然事件日勺概率為1,即P(必然事件)=1

不也許事件的概率為0,即P(不也許事件)=0

隨機事件的概率：假如A為隨機事件，則0<P(A)<1

(6)也許性與概率的關系

事件發(fā)生日勺也許性越大，它日勺概率越靠近于1,事件發(fā)生的也許性越小，則它的概率越

靠近0.

C事件發(fā)生的可能性越來越小,

,.一I概率的值

不可能發(fā)生必然發(fā)生

事件發(fā)生的可能性越來越大

3、求概率的環(huán)節(jié):

(1)列舉出一次試驗中的所有成果(n個);

⑵找出其中事件A發(fā)生日勺成果（m個）;

⑶運用公式求事件A的概率：P（A）=-

n

5、在求概率時，一定要是發(fā)生時也許性是相等的，即等也許性事件

等也許性事件的兩種特性:

（1）出現日勺成果有限多種；（2）各成果發(fā)生時也許性相等;

例1：圖1指針在轉動過程中，轉到各區(qū)域的也許性相等，圖3中日勺第一種圖，指針在

轉動過程中，轉到各區(qū)域的也許性不相等,

A盤B盤

圖1

紅（紅，紅）

紅工、藍（紅，藍）

開始藍/紅（藍，紅）

覽、藍（藍，藍）

圖3圖4

由上圖可知，在求概率時，一定是出現日勺也許性相等，反應到圖上來說，一定是等分日勺。

例2、下列事件哪些是等也許性事件？哪些不是?

（1）拋擲一枚圖釘，釘尖朝上或釘帽朝上或橫臥。不是

（2）某運動員射擊一次中靶心或不中靶心。不是

（3）從分別寫有1,3,5,7中的一種數的四張卡片中任抽一張成果是1,或3或5或

7o是

6、求概率的通用措施:

在一次試驗中，假如也許出現日勺成果只有有限個，且多種成果出現的也許性大小相等，

那么我們可以通過列舉試驗成果日勺措施，求出隨機事件發(fā)生日勺概率，這種求概率的措施叫列

舉法.

列舉法包括枚舉法、列表法、樹狀圖法

(1)枚舉法(列舉法)：一般在一次事件中也許發(fā)生日勺成果比較少時，我們可以把所

有也許產生日勺成果所有列舉出來，并且多種成果出現日勺也許性相等時使用。等也許性事件日勺

概率可以用列舉法而求得。不過我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。

(2)列表法：當一次試驗要波及兩個原因(例如擲兩個骰子)，并且也許出現日勺成果

數目較多時，為不重不漏地列出所有也許日勺成果時使用。

(3)列樹形圖法：當一種試驗要波及3個或更多的原因(例如從3個口袋中取球)時,

列表就不以便了，為不重不漏地列出所有也許日勺成果時使用。

四、頻率與概率

1、頻數：在多次試驗中，某個事件出現日勺次數叫頻數

2、頻率：某個事件出現日勺次數與試驗總次數的比，叫做這個事件出現的頻率

3、一般地，在大量反復試驗中，假如事件A發(fā)生日勺頻率-會穩(wěn)定在某個常數p附

n

近，那么，這個常數p就叫作事件A日勺概率，記為P(A)=Po

五、概率公式中m、n之間日勺數量關系，P(A)日勺取值范圍。

在概率公式P(A)=絲中m、n取何值，m、n之間的數量關系，P(A)的取值范圍。

n

0WmWn,m、n為自然數

vn

W—1,/.0<P(A)WL

當m=n時,A為必然事件，概率P（A）=1,

當m=0時,A為不也許事件，概率P（A）=O.

OWP（A）

六、幾何概率

1、假如每個事件發(fā)生日勺概率只與構成該事件區(qū)域日勺長度（面積或體積）成比例，則稱

這樣日勺概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

（1）幾何概型的特點：

1）試驗中所有也許出現的成果（基本領件）有無限多種.2）每個基本領件出現日勺也許性相

等.

（2）在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：

七、例題匯總

（一）確定三事件

p（4）圖］下列事梅威摩制曲封賊隨醒則輸體穆是不確定事件?哪些

一試驗的全部結果所構峻）區(qū)域長度（面積或體積）

是確定事件？，分析其發(fā)生概率日勺大小

（1）拋擲一枚均勻日勺骰子，6點朝上；（2）367人中有2人日勺出生日期相似；

（3）1+3>2；（4）太陽從西邊升起.

解析：根據事件發(fā)生日勺也許性大小判斷對應事件日勺類型即可.（1）拋擲一枚均勻日勺骰

子，1,2,3,4,5,6點均有也許朝上，故6點不一定朝上；（2）一年有365（或366）天,

故367人中必然有2人的出生日期相似；（3）1+3肯定不小于2；（4）太陽不也許從西邊

升起.由以上分析知:

（1）是不確定事件，（2）（3）是必然事件，（4）是不也許事件.

（2）（3）（4）是確定事件

發(fā)生概率日勺大小判斷，首先需要理解必然事件、不也許事件、不確定事件日勺意義.必然

事件是指一定會發(fā)生日勺事件，發(fā)生日勺概率是1;不也許事件是指不也許發(fā)生日勺事件，發(fā)生的

概率是0；不確定事件是指也許發(fā)生也也許不發(fā)生日勺事件，發(fā)生日勺概率介于0和1之間.

例2、下列事件屬于必然事件日勺是（）

A.打開電視，正在播放新聞B.我們班日勺同學將會有人成為航天員

C.實數aVO,則2a<0D.新疆的冬天不下雪

解析：A是隨機事件，由于也許是播新聞也也許是其他電視節(jié)目；B為隨機事件，一種

班有幾十個學生當然有也許成為航天員；D是不也許事件，由于新疆氣溫低，每年都會下

雪.故選C

例3、（福建龍巖）下列事件：①在足球賽中，弱隊戰(zhàn)勝強隊；②拋擲一枚硬幣，落地

后正面朝上；③任取兩個正整數，其和不小于1；④長分別為3、5、9厘米日勺三條線段能圍

成一種三角形.其中確定事件的個數是（）.

A.1B.2C.3D.4

B解析：③④是確定事件

（二）概率意義的理解

例1、某商場舉行購物有獎活動，在商場購滿價值50元的商品可抽獎一次，麗麗在商

場購物共花費120元，按規(guī)定抽了兩張獎券，成果其中一張中了獎，能不能說商場的抽獎活動中

獎率為50%?為何？

解析：由于中獎是不確定事件，而計算中獎率應當是以中獎的獎券數除以獎券的總數，但

這些數據在本題中沒有給出，因此不能計算出這次抽獎活動日勺中獎率，因此不能說商場日勺抽獎活

動中獎率為50%.

點評：概率是在做大量反復試驗時，伴隨試驗次數的增長，一種事件出現日勺頻率，總在一

種固定常數日勺附近擺動，顯示一定的穩(wěn)定性，它是大量試驗日勺結論.隨機事件每次發(fā)生日勺成果是

不可以預見日勺，但每次發(fā)生日勺概率是不變日勺.

例2、下列說法對時時是（）

A.某市"明天降雨的概率是75%”,表達明天有75%的時間會降雨

B.隨機拋擲一枚均勻的硬幣，落地后正面一定朝上

1

C.在一次抽獎活動中，"中獎的概率是100"表達抽獎100次就一定會中獎

D.在平面內，平行四邊形日勺兩條對角線一定相交

解析：明天降雨日勺概率是75%是闡明明天有75%日勺也許性會降雨，而不是闡明天有75%日勺

時間在下雨；拋一枚硬幣正面朝上日勺概率是0.5,說日勺是在做大量日勺拋一枚硬幣日勺試驗中，有二

分之一日勺也許性出現正面朝上，而隨機拋一格硬幣落地后正面不一定朝上；抽獎活動中，中獎的

概率為—L,指的是每抽獎一次均有二一時也許性中獎；故A、B、C都錯，因而選D.

100100

（三）運用簡樸枚舉法求概率

例1某小商店開展購物摸獎活動，申明：購物時每消費2元可獲得一次摸獎機會，每次摸

獎時，購物者從標有數字1,2,3,4,5的5個小球（小球之間只有號碼不一樣，其他均相似）

中摸出一球，若號碼是2就中獎，獎品為一張精美圖片.

（1）摸獎一次得到一張精美圖片的概率是多少？

（2）一次，小聰購置了10元錢的物品，前4次摸獎都沒有摸中，他想：“第5次摸獎我一

定能摸中"，你同意他日勺想法嗎？說說你日勺想法.

解析：（1）每次摸獎時，有5種狀況，只有摸到號碼是2日勺球才中獎，于是得到一張精美

圖片的概率是P=1；

（2）不一樣意，由于小聰第5次得到一張精美圖片日勺概率仍是去因此他第5次不一定中獎.

點評：此題考察概率日勺求法：假如一種試驗有n種等也許日勺成果，事件A包括其中日勺m種

成果，那么事件A的概率P（A）=弋，解題時注意對概率意義日勺理解.

例2、隨意地拋一粒豆子，恰好落在圖中日勺方格中（每個方格除顏色外完全同樣），那么這

粒豆子停在黑色方格中的概率是.

解析：1、這粒豆子落在每一種方格中的也許性是同樣的，因此這粒豆子停在方格中的也許

性共有12種，黑色方格的也許性有四種，因此黑色方格中的概率等于汽=工

123

2、黑色方格中日勺概率等于黑色方格日勺面積與所有方格日勺面積比.設每個方格日勺面積是1,

則P（這粒豆子停在黑色方格）=---.

123

點評：概率日勺大小與面積大小有關.事件發(fā)生日勺概率等于此事件所有也許成果所構成日勺圖形

面積除以所有也許成果構成日勺圖形面積.

例3、擲兩枚硬幣，求下列事件的概率

（1）兩枚硬幣正面所有朝上；（2）兩枚硬幣背面所有朝上

（3）一枚硬幣正面朝上，一枚硬幣背面朝上。

解：用枚舉法（列舉法）列出也許日勺成果是：正正、正反、反正、反反。所有成果共有4種。

并且這四個成果出現的也許性相等。

用列表法：解:其中一枚硬幣為A,另一枚硬幣為B,則所有也許成果如表所示：

正反

正（正，正）（正，反）

反（反，正）（反，反）

（1）所有日勺成果中，滿足兩枚硬幣所有正面朝上（記為事件A）的成果只有一種，即“正

正”因此P（A）=1/4

（2）所有日勺成果中，滿足兩枚硬幣所有背面朝上（記為事件B）日勺成果只有一種，即“反

反”因此P（B）=1/4

（3）所有日勺成果中，滿足一枚硬幣正面朝上，一枚硬幣背面朝上（記為事件C）的成果共

有2個，即“正反”“反正”因此P（C）=2/4=1/2

例4、一口袋中裝有四根長度分別為1cm,3cm,4cm和5cm的細木棒，小明手中有一根長

度為3cm的細木棒，現隨機從袋內取出兩根細木棒與小明手中的細木棒放在一起，回答問題：

（1）求這三根細木棒能構成三角形日勺概率；

（2）求這三根細木棒能構成直角三角形日勺概率；

（3）求這三根細木棒能構成等腰三角形日勺概率.

解析：從四根木棒中任選兩根，共有如下六種狀況：（1,3）、（1,4）、（1,5）、（3,

4）、（3,5）、（4,5）,其中與3cm長的線段構成三角形的有（1,3,3）、（3,3,4）、

（3,3,5）、（3,4,5）四種；構成直角三角形的有（3,4,5）一種；構成等腰三角形日勺有

（1,3,3）、（3,3,4）、（3,3,5）三種，因此有：

4_21

（1）P（構成三角形）=6-3；（2）P（構成直角三角形）=6；

3_j_

（3）P（構成等腰三角形）=6-2.

（四）列表法求概率

當試驗波及兩個原因（例如兩個轉盤）并且也許出現的成果數目較多時，為不重不漏地列出所

有的成果，一般采用“列表法”。

例1、如圖，袋中裝有兩個完全相似日勺球，分別標有專

游戲者每次從袋中隨機摸出一種球，并自由轉動圖中的轉盤（轉盤被提成相等的三個扇形）.游戲規(guī)

則是:假如所摸球上的數字與轉盤轉出的數字之和為2,那么游戲者獲勝.求游戲者獲勝日勺概率.

解:每次游戲時,所有也許出現的成果如下:

123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

總共有6種成果，每種成果出現時也許性相似，而所摸球上的數字與轉盤轉出的數字之和為2

的成果只有一種因此游戲者獲勝的概率為1/6.

例2、如圖，甲轉盤的三個等分區(qū)域分別寫有數字1、2、3,乙轉盤的四個等分區(qū)域分別寫

有數字4、5、6、7O現分別轉動兩個轉盤，求指針所指數字之和為偶數的概率。

解：列表

4567

1(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)區(qū),十

2(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)

3(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)

共有12種不一樣成果，每種成果出現時也許性相似，其中數字和為偶數的有16］種

/.P（數字和為偶數）=6/12=1/2

例3、例、同步擲兩個質地均勻的骰子，計算下列事件的概率：

⑴兩個骰子的點數相似

⑵兩個骰子點數之和是9

⑶至少有一種骰子的點數為2

分析：當一次試驗要波及兩個原因（例如擲兩個骰子）并且也許出現的成果數目較多時，

為不重不漏地列出所有也許成果，一般采用列表法。

解：兩枚骰子分別記為第1枚和第2枚.列出所有也許的成果:

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

由表可看出，同步投擲兩個骰子，也許出現的成果有36種，它們出現的也許性相等。

（1）滿足兩個骰子點數相似（記為事件A）的成果有6種，P（A）=6/36=l/6

（2）滿足兩個骰子點數和為9（記為事件B）的成果有4種，P（B）=4/36=l/9

（3）滿足至少有一種骰子的點數為2（記為事件C）的成果有11種，P（C）=ll/36

思索題：假如把剛剛這個例題中的“同步擲兩個骰子”改為“把一種骰子擲兩次”，所得

的成果有變化嗎？沒有變化

（五）樹形圖法求概率

當一種試驗要波及3個或更多的原因（例如從3個口袋中取球）時，列表就不以便了，

為不重不漏地列出所有也許日勺成果時使用。

1、既有一項“抖空竹”的演出.已知有塑料、木質兩種空竹，甲、乙、丙三名學生各自

隨機選用其中日勺一種空竹.求甲、乙、丙三名學生恰好選擇同一種空竹的概率.

解：甲、乙、丙三名學生恰好選擇同一種空竹為事件塑料一A木質一B

措施1：措施2：

/\/\

AAA,AAB,ABA,ABB,-

/\/\/\/\

BAA,BAB,BBA,BBB.一_一_

=；P（"）=冷

2、甲、乙、丙三個盒中分別裝有大小、形狀相似日勺卡片若干，甲盒中裝有2張卡片，

分別寫有字母A和B；乙盒中裝有3張卡片，分別寫有字母C、D和E；丙盒中裝有2張卡片,

分別寫有字母H和I；現要從3個盒中各隨機取出一張卡片.求

（1）取出日勺3張卡片中恰好有1個，2個，3個寫有元音字母日勺概率各是多少？

（2）取出日勺3張卡片上全是輔音字母日勺概率是多少？

由樹形圖可以得到，所有也許出現日勺成果有12個，這些成果出現日勺也許性相等.

（1）只有一種元音字母日勺成果有5個，因此P（一個元音）=上；

有兩個元音字母的成果有4個，因此P（/兩個元音\）避4=；1；

所有為元音字母的成果有I個，因此P（三個元音）=2=工

126

（2）全是輔音字母的成果有2個，因此p（三個輔音）=2=工.

126

3、小穎為學校聯(lián)歡會設計了一種“配紫色”日勺游戲：圖1是兩個可以自由轉動日勺轉盤,

每個轉盤被提成面積相等日勺幾種扇形。游戲者同步轉動兩個轉盤，假如轉盤A轉出了紅色,

轉盤B轉出了藍色，那么他就贏了，由于紅色和藍色在一起配成了紫色。

（1）運用樹狀圖或列表日勺措施表達游戲所有也許出現日勺成果。

（2）游戲者獲勝日勺概率是多少？

A盤

解析：（1）所有也許出現的成果可用表1或圖2表達。

紅（紅,黃）（紅,藍）（紅,綠）

白（白，黃）（白，藍）（白，綠）

（紅，黃）

（紅，藍）

（紅，綠）

（白，黃）

（白，藍）

（白，綠）

圖2

（2）所有也許出現的成果共有6種，配成紫色的成果只有1種，故游戲獲勝的概率為工。

6

這道題為兩步試驗日勺隨機事件發(fā)生日勺概率計算，采用日勺措施是樹狀圖法和列表法。接下

來仍然以“配紫色”為重要情景進行游戲：，讓同學們深入經歷用樹狀圖法和列表法處理概

率問題的過程。

用圖3所示日勺轉盤進行“配紫色”游戲。

小穎制作了圖4,并據此求出游戲者獲勝日勺概率*。

（紅，紅）

（紅，藍）

（藍，紅）

（藍，藍）

圖4

小亮則先把左邊轉盤的紅色區(qū)域等提成2份，分別記作“紅色1”“紅色2”，然后制

作了表2,據此求出游戲者獲勝日勺概率也是：

紅色藍色

紅色1（紅1,紅）（紅1,藍）

紅色2（紅2,紅）（紅2,藍）

藍色（藍，紅）（藍，藍）

你認為誰做得對？說說你的理由。

解析：由于左邊的轉盤中紅色部分和藍色部分的面積不一樣，因而指針落在這兩個區(qū)域

日勺也許性不一樣，故小穎的做法不對時，而小亮日勺措施則是處理這一類問題日勺一種常用措施。

4、小明與父母從廣州乘火車回北京，他們買到日勺火車票是同一排相鄰日勺三

個座位，那么小明恰好坐在父母中間日勺概率是多少？

解：為了以便起見，我們不妨設三個坐位號為1,2,3o可以看出坐在2

號位上，則為中間位置。畫出樹狀圖如圖4或圖5或圖6。

從圖中可以看出，不管小明第

幾種坐，所有日勺也許能是6種，而

小明坐2號位置日勺狀況有2種（記

為事件A）,因此小明恰好坐在父

母中間日勺概率是

/、21

P（A）=-=-

o3

（六）概率與方程

1、（2023廣西防城港23,8分）一種不透明的紙盒中裝有大小相似日勺黑、白兩種顏

色日勺圍棋，其中白色棋子3個（分別用白4白3、白C表達），若從中任意摸出一種棋子,

是白色棋子的概率為亡.（1）求紙盒中黑色棋子日勺個數；

4

（2）第一次任意摸出一種棋子（不放回），第二次再摸出一種棋子，請用樹狀圖或列表

日勺措施，求兩次摸到相似顏色棋子日勺概率.

3

解答：（1）/一3=1???黑色棋子有1個.

4

一、結果白A白B白c黑

摸\

白A(A,B)(A,C)（A,黑）

白8(B,A)(B,C)（B,黑）

白C(C,A)(GB)（C,黑）

（黑，）

黑（黑，A）B（黑，C）

(2)

???共12種狀況，有6種狀況兩次摸到相似顏色棋子，因此概率為

2

此外，本題還可以用樹狀圖解答如下:

開始

第一摸：白A白3白C黑

白小/K/K/K

第二摸：白B白c黑白A白C黑白A白B黑白A白B白C

姑臬（白A，白8）（白A,白C）（白A,黑）（白白A）

（白8,白C）（白8,黑）（白C,白A）（白C,白8）

（白C,黑）（黑，白A）（黑，白B）（黑，白C）

由于由上面樹狀圖可知：共12種狀況，有6種狀況兩次摸到相似顏色棋子，因此概率為

2

2、湘潭是我家，愛惜靠大家”.自本市開展整改"六亂"行動以來，本市學生愈加自

覺遵守交通規(guī)則.某校學生小明每天騎自行車上課時都要通過一種十字路口，該十字路口有

11

紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口碰到紅燈日勺概率為；，碰到黃燈日勺概率為§，那么他

12士5

碰至收錄燈日勺概率為（）A.3B.3C.9D.9

解：碰到綠燈的概率為11/3-1/9=5/9

【點評】所有狀況日勺概率之和為1,用1減去其他狀況日勺概率就是碰到綠燈日勺概率。

3、（2023?武威模擬）袋子里有10個紅球和若干個藍球，小明從袋子里有放回地任意摸

球，共摸100次，其中摸到紅球次數是25次，則袋子里藍球大概有（）

A.20B.30C.40D.50

251

【解析】???共摸100次，其中摸到紅球次數是25次，.?.摸到紅球日勺概率為訕=4

10_1

?袋子里有10個紅球和若干個藍球，，設籃球有X個，則麗=4解得：x=30,故選B.

4、（2023鐵嶺）將紅、黃、藍三種除顏色不一樣外，其他都相似的球，放在不透明的

紙箱里，其中紅球4個，藍球3個，黃球若干個.若每次只摸一球（摸出后放回），摸出紅球的

概率是2,則黃球有I_______個.

5

解析：設黃球有x個，則摸出紅球的概率為一--=2,解得》=3

4+3+x5

5、（2023湖南衡陽）在不透明日勺箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色日勺卡片，這些卡片除

顏色外都相似，其中紅色卡片2張，黃色卡片1張，現從中任意抽出一張是紅色卡片日勺概率

為;，

⑴試求箱子里藍色卡片的張數.

⑵第一次隨機抽取一張卡片（不放回），第二次再隨機抽取一張，請用畫樹狀圖或列表格

日勺措施，求兩次抽到日勺都是紅色卡片日勺概率.

112

分析：（1）設箱子里藍色卡片的張數為x張，由￡紅色）=—，則一=-------,解有關x的方程即可求出

（3222+i+x

箱子里藍色卡片的張數.（2）要注意題目中的條件，第一次抽取后不放回.

21

解：（1）設箱子里有x張藍色卡片，則有--------=—,解得：x=l.

2+1+x2

(2)

第一次抽卡片：紅?紅2黃藍

小小小小

第二次抽卡片：紅2黃藍紅］黃藍紅］紅2藍紅1紅2黃

從樹狀圖圖可知，一共有12種成果，兩次抽到的都是紅色的有兩種.

21

P（兩次抽到都是紅色卡片）

126

6、（2023湖北隨州）甲、乙兩同學投擲一枚骰子，用字母p、q分別表達兩人各投擲一

次日勺點數.（1）求滿足有關x日勺方程/+/+q=0有實數解日勺概率.

（2）求（1）中方程有兩個相似實數解的I概率.

分析:通過列表或畫樹狀圖，可以求出p、q日勺多種也許日勺取值；方程/+川+4=0有實數解

日勺條件是鑒別式°?-曲川；方程/+px+q=0有兩個相似實數解的條件是鑒別式p2_4q=

0.

解:通過列表或畫樹狀圖可得，兩人投擲骰子后p、q日勺取值共有36種等也許狀況，其中滿

□24>n牝若JP=2J°=3Jp=4jp=5jp=6jp=3［p=4jp=5jp=6

足。-4狂0的有，=］、［=］、1=］、L=rL=r1=2'1=2'［=2、［=2、

P=4、卜=5、[P=6/P=4"P=5、,=6/P=5、卜=6、p=5"p=6以上]9種狀

q=31q=31q=31q=4[q=4[q=41q=51g=51q=61q=6

況，..?方程/+/+q=0有實數解的概率為《；其中滿足p2-4q=0日勺有以上2種

71

狀況，???方程/+px+4=0有兩個相似實數解的概率為/=-5-.

7、（2023茂名）已知一只紙箱中裝有除顏色外完全相似的紅色、黃色、藍色乒乓球共100個.從紙

箱中任意摸出一球，摸到紅色球、黃色球的概率分別是0.2、0.3.

（1）試求出紙箱中藍色球的個數；

（2）假設向紙箱中再放進紅色球％個，這時從紙箱中任意取出一種球是紅色球的概率為0.5,試求X日勺

值.

解：（1）由已知得紙箱中藍色球的個數為：100x（1—0.2—0.3）=50（個）

（2）措施一：根據題意得:

=0.5,解得：x=6Q（個）.

100+x

措施二：由已知得紅色球20個、黃色球30個，藍色球50個，為使任意取出一種球是紅色球的概率為

0.5,因此紙箱中紅色球的個數等于黃色球與藍色球個數之和，得：

x+20=30+50,解得：x=60（個）.

（七）幾何概率

1、在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設置了一種可以自由轉動日勺轉盤（如圖所示,

轉盤被平均提成16份），并規(guī)定：顧客每購置100元日勺商品，就能獲得一次轉動轉盤日勺機

會，假如轉盤停止后，指針恰好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得50

元、30元、20元日勺購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物，假如顧客不樂意轉轉盤，那

么可以直接獲得購物券10元。

（1）求每轉動一次轉盤所獲50元購物券日勺概率（2）求每轉動一次轉盤所獲30元購物券日勺

概率

（3）求每轉動一次轉盤所獲20元購物券日勺概率（4）求每轉動一次轉盤所獲購物券日勺概率

（5）求每轉動一次轉盤不獲購物券的概率（6）求每轉動一次轉盤所獲購物券金額日勺平均

數；

（7）假如你在該商場消費125元，你會選擇轉轉盤還是直接獲得購物券？闡明理由。

解：（1）每轉動一次轉盤所獲50元購物券日勺概率為：1/16

(2)每轉動一次轉盤所獲30元購物券的概率為：2/16=1/8

(3)每轉動一次轉盤所獲20元購物券日勺概率為：4/16=1/4

(4)每轉動一次轉盤所獲購物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16

(5)每轉動一次轉盤不獲購物券日勺概率：1-7/16=9/16(或者是空白區(qū)域除以16)

2A

(6)50x16+30x16+20x16=11.875(元)；(7).11.875元>10元，，選擇轉轉盤。

2、某商場為了吸引顧客，設置了一種可以自由轉動的轉盤(如圖9所示)，并規(guī)定：顧客每購置100元

的商品，可轉動兩次轉盤，當轉盤停止后，看指針指向時數.獲獎措施是：①指針兩次都指向8時，顧客可

以獲得100元購物券；②指針兩次中有一次指向8時，顧客可以獲得50元購物券；③指針兩次都不指向8,

且所指兩數之和又不小于8時，顧客可以獲得所指兩數之和與8時差的10倍的購物券(如，獲40元購物券)；

④其他狀況無獎.

(1)試用樹狀圖或列表的措施，給出兩次轉動轉盤指針所有也許指向的成果;

(2)試求顧客可獲得100元購物券的概率；(3)試求顧客無獎的概率.

解：(1)列表得:

2468

2

(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)

4

(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)

6

(6,2)(6,4)(6,6)(6,8)

8

(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)

(2)由于兩次轉動轉盤指針所有也許日勺成果共有16種，其中兩次指針指向8的狀況有一種,

因此所求概率為1/16

(3)由于兩次轉動轉盤指針所有也許日勺成果共有16種，其中無獎的I狀況有6種，因此所求

概率為6/16=3/8

3、公共汽車在0?5分鐘內隨機地抵達車站，求汽車在1?3分鐘之間抵達日勺概率。

分析：將0?5分鐘這段時間看作是一段長度為5個單位長度日勺線段，則1?3分鐘是這一線

段中的12個單位長度。

解：設“汽車在1?3分鐘之間抵達”為事件A,則P(A)=(3-l)/5=2/5

因此“汽車在1~3分鐘之間抵達”日勺概率為2/5

4、取一根長為3米日勺繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段日勺長都不少于1米日勺概率有

多大？

解：記“剪得兩段繩子長都不不不小于1m”為事件A,把繩子三等分，于是當剪斷位置處

在中間一段上時，事件A發(fā)生。由于中間一段日勺長度等于繩子長日勺三分之一，因此事件A發(fā)生

的概率P(A)=1/30

5、在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M,求AM不不小于AC的概率。

分析：點M隨機地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D。當點M位于圖中日勺線段AC'

上時，AMVAC,故線段AC'即為區(qū)域d。

解：在AB上截取AC'=AC,于是

P(AM<AC)=P(AM<AC,)=AC'/AB=AC/AB=^2/2

則AM不不小于AC的概率為々2/2

6、取一種邊長為2a的正方形及其內切圓（如圖），隨機地向正方形內丟一粒豆子,求豆子落入圓

內的I概率.

解:記“豆子落入圓內”為事件A,則

P（A）=圓的（面積/正方形面積=na2/4a2=口/4

7、在邊長為a的正方形ABCD內隨機取一點P,求：（1）ZAPB>90°的概率.（2）

ZAPB<90°的概率

解：如圖，以正方形的邊AB為直徑作圓，根據直徑所對的圓周角為直角，則有當點P在圓

周上時，NAPB=90°,而點P在圓內時，NAPB>90°,當點P在圓外時，NAPB<90°

設AB=a,則正方形日勺面積為a?

因此,zAPB>90。曰勺概率p=(n*(a/2)2/2)4-a2=Ji/8

ZAPB<90°日勺概率為1-n/8

8、一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m,寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸不不

小于2m的概率.

解：設事件A“海豚嘴尖離岸邊不不小于2m”（見陰影部分）

P(A)=(30X20-26X16)4-30X20=0.31

9、射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)，從外向內為白紅色，靶心為金

色.金色靶心叫“黃心”。奧運會日勺比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm,運動員在70m

外射.假設射箭都能中靶，且射中靶面內任意一點都是等也許日勺，那么射中靶心日勺概率有多大？

P(A)=(1/4JIX12.22)4-(1/4JiX1222)=0.01

10、某人午覺醒來,發(fā)現表停了，他打開收音機,想聽電臺整點報時,求他等待日勺時間不多于

10分鐘的概率.

解：設人=｛等待日勺時間不多于10分鐘｝.我們所關懷日勺事件A恰好是打開收音機日勺時刻位于

[50,60]時間段內，因此由幾何概型的求概率的公式得

P(A)=10/60=1/6

(八)設計公平的游戲規(guī)則

例1有一種小正方體，正方體的每個面分別標有1,2,3,4,5,6這六個數字.目前有甲、

乙兩位同學做游戲，游戲規(guī)則是：任意擲出正方體后，假如朝上日勺數字是6,甲是勝利者；假如

朝上日勺數字不是6,乙是勝利者.你認為這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎？為何？假如不公平,

你打算怎樣修改才能使游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平？

解析：看游戲與否公平，重要看雙方與否具有均等日勺獲勝機會，假如機會是均等日勺，那就

公平，否則，則不公平；可以變化已知條件，使游戲對雙方獲得日勺機會是均等日勺就可以了.

(1)這個游戲不公平.由于正方體日勺每個面分別標有1,2,3,4,5,6這六個數字，其中

數字6只有1個，也就是甲勝利日勺概率是1不是6日勺數字有5個，也就是說乙勝利日勺概率是京,

OO

雙方日勺勝利的機會不是均等日勺，因此說這個游戲不公平.

(2)可以把游戲規(guī)則改為：任意擲出正方體后，假如朝上的數字是奇數(1,3,5),甲是

勝利者；假如朝上的數字是偶數(2,4,6),乙是勝利者，按這樣的游戲規(guī)則就公平了.

點評：本題考察游戲公平性日勺判斷，判斷游戲規(guī)則與否公平，就栗計算每個參與者取勝日勺

概率日勺大小，概率相等就公平，否則就不公平.

（九）概率的實際應用

例1某同學午覺醒來發(fā)現鐘表停了，他打開收音機想聽電臺整點報時，則他等待的時間不

超過15分鐘日勺概率是（）

A.-B.-C.-D.-

2345

解析：電臺每小時報時一次時間，此人打開收音機時處在兩次報時之間.例如在13：00至

14：00之間，并且取各點日勺也許性同樣.要等待日勺時間不超過15分鐘，只有當他打開收音機的

時間處在13：45至14：00之間才有也許，因此對應的概率應是本題選C.

4

點評：對于一種隨機事件來說，它發(fā)生也許性大小日勺度量是由它們自身決定日勺，并且是客

觀存在日勺，就如同一塊土地有面積同樣.概率是隨機事件發(fā)生也許性大小日勺度量，是隨機事件自

身日勺一種屬性.

誤區(qū)點撥

一、基本概念的理解有誤

例1有下列說法：①隨機事件A發(fā)生日勺概率是頻率日勺穩(wěn)定值；②任意事件A發(fā)生日勺概率P

（A）滿足0<P（A）<1；③若事件A發(fā)生的概率為0.000001,則事件A是不也許事件.其

中對的的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

錯解：選D.

剖析：本題致錯原因是不理解某些基本概念.頻率是較少數據記錄的成果，是一種詳細的趨

勢和規(guī)律.在大量反復試驗時，頻率具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數附近擺動，且伴隨試驗次

數的不停增長，這種擺動幅度越來越小，這個常數叫做這個事件日勺概率.隨機事件A發(fā)生日勺概

率是頻率日勺穩(wěn)定值，①對日勺；由于必然事件發(fā)生的)概率為1,不也許事件發(fā)生日勺概率為0,隨機

事件發(fā)生日勺概率不小于0不不小于1,因此任意事件A發(fā)生日勺概率P(A)滿足OWP(A)W1,

②錯誤；若事件A發(fā)生日勺概率為0.000001,則事件A發(fā)生日勺也許性很小，但也有也許發(fā)生，③

錯誤.

正解：選B.

二、錯誤理解概率

例2某同學擲一枚硬幣，成果是一連9次都擲出正面朝上，請問他第10次擲出硬幣時出

現正面朝上的概率為()

A.不不小于1B.不小于|C.1D.不能確定

錯解：選B.

剖析：無論哪一次拋擲硬幣，均有2種狀況，即正面、背面，與第幾次拋擲硬幣無關，故

第io次擲出硬幣時出現正面朝上日勺概率為;.

正解：選C.

三、求概率時沒有注意等也許性

例3如圖，把一種圓形轉盤按1：2：3：4的比例提成A,B,C,D四個扇形區(qū)域，自由

轉動轉盤，求轉盤停止后落在B區(qū)域的概率.

錯解：I

剖析：錯解中沒有注意各部分所占日勺比例，也就是說落到每一部分不是等也許性日勺，解題

時首先確定在圖中B區(qū)域的面積在整個面積中占的比例，根據這個比例即可求出指針指向B區(qū)

域日勺概率.

正解：由于該圓形轉盤按1：2：3：4日勺比例提成A,B,C,D四個扇形區(qū)域，于是圓被等

21

提成10份，其中B區(qū)域占2份，因此落在B區(qū)域日勺概率=言=".

跟蹤訓練

1.下列事件中，屬于不確定事件日勺是（）

A.一般水加熱到100℃時沸騰

B.測量聊城某天日勺最低氣溫，成果為-150℃