2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)大題：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值和定直線問題（原卷）

專題11圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值和定直線問題

一、橢圓定點(diǎn)問題

1.已知圓E：(%+1)2+y2=16,點(diǎn)F(1,O),G是圓E上任意一點(diǎn)，線段GF的垂直平分線和半徑GE相交于H

(1)求動點(diǎn)H的軌跡「的方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)尸和7(7,0)的圓與直線/：x=4交于P,Q,已知點(diǎn)力(2,0),且力P、4Q分別與「交于M、N.試探究直

線MN是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請求出定點(diǎn)；如果沒有，請說明理由.

2.已知點(diǎn)4(2,0),B(一a―§在橢圓l(a>6>0)上.

(1)求橢圓M的方程；

(2)直線/與橢圓M交于C,D兩個不同的點(diǎn)(異于4B),過C作x軸的垂線分別交直線力于點(diǎn)P,Q,當(dāng)P是CQ

中點(diǎn)時，證明.直線/過定點(diǎn).

3.如圖，橢圓。接+，=1(。>6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,B.左、右焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn)2,離心率為日,

點(diǎn)M(a,1)在橢圓C上.

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知尸，。是橢圓。上兩動點(diǎn)，記直線/尸的斜率為心，直線80的斜率為的，的=2七.過點(diǎn)8作直線

尸。的垂線，垂足為〃.問：在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)7,使得|7川為定值，若存在，求出點(diǎn)7的坐標(biāo)；若不

存在，試說明理由.

22

4.已知橢圓C:%+￡=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,A,B分別是C的右、上頂點(diǎn)，S.\AB\=V7,

。是C上一點(diǎn)，ABF?。周長的最大值為8.

⑴求C的方程；

(2)C的弦DE過直線ZE,AD分別交直線x=-4于N兩點(diǎn)，P是線段MN的中點(diǎn)，證明：以PD為直

徑的圓過定點(diǎn).

5.已知橢圓。捻+，=1(。>6>0)的左頂點(diǎn)為力，過右焦點(diǎn)F且平行于y軸的弦PQ=川=3.

(1)求△力PQ的內(nèi)心坐標(biāo)；

⑵是否存在定點(diǎn)。，使過點(diǎn)。的直線咬C于M,N,交PQ于點(diǎn)R,且滿足版?標(biāo)=而?前？若存在，求出

該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

二、雙曲線定點(diǎn)問題

6.已知點(diǎn)P(4,3)為雙曲線l(a>0,6>0)上一點(diǎn)，E的左焦點(diǎn)％到一條漸近線的距離為舊.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)不過點(diǎn)P的直線y=kx+t與雙曲線E交于4,8兩點(diǎn)，若直線E4,P8的斜率和為1,證明：直線y=kx+t

過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

7.雙曲線。胃一r=l(a>0,6>0)的左頂點(diǎn)為4焦距為4,過右焦點(diǎn)尸作垂直于實(shí)軸的直線交C于B、D

兩點(diǎn)，且△48。是直角三角形.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)已知M,N是C上不同的兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且MN的中垂線為直線I,是否存在半徑為1的定圓E,

使得/被圓E截得的弦長為定值，若存在，求出圓E的方程；若不存在，請說明理由.

8.已知雙曲線。捺一/=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為F,A,B(0,b),|明=1,點(diǎn)M在線段

上，且滿足=b|M*，直線。M的斜率為1,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程.

(2)過點(diǎn)F的直線I與雙曲線C的右支相交于P,Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在與F不同的定點(diǎn)E,使得|EP|-|FQ|=

|EQ|?[/PHI成立？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.已知雙曲線。與雙曲線《一號=1有相同的漸近線，且過點(diǎn)4(2夜,一1).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)D(2,0),E,尸是雙曲線C上不同于。的兩點(diǎn)，且反?而=0,DG1EF于點(diǎn)G,證明:存在定點(diǎn)區(qū)

使|GH|為定值.

10.已知雙曲線c：/—，=1。＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為B，F(xiàn)2,4是C的左頂點(diǎn)，C的離心率為2.設(shè)過尸2

的直線I交C的右支于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線4P、AQ分別交直線x=2于M、N兩點(diǎn)，證明：哂?福為定值;

(3)是否存在常數(shù)4,使得=442力/2恒成立？若存在，求出4的值；否則，說明理由.

三、拋物線定點(diǎn)問題

II.已知動圓M恒過定點(diǎn)F(0[),圓心M到直線y=—[的距離為d,d=|MF|+'

⑴求M點(diǎn)的軌跡C的方程；

(2)過直線y=K-1上的動點(diǎn)Q作C的兩條切線匕/2,切點(diǎn)分別為48,證明：直線4B恒過定點(diǎn).

12.已知拋物線的:/=2py(p>0)和圓。2：(%++產(chǎn)=2,傾斜角為45。的直線匕過J焦點(diǎn)，且匕與

相切.

(1)求拋物線Ci的方程；

(2)動點(diǎn)M在Q的準(zhǔn)線上，動點(diǎn)4在的上，若的在點(diǎn)A處的切線G交V軸于點(diǎn)8,設(shè)麗=拓？+而，證明點(diǎn)N

在定直線上，并求該定直線的方程.

13.已知直線乙：久一y+1=0過橢圓C:―+巳=>0)的左焦點(diǎn)，且與拋物線My2=2p尤(p〉0)相

4b

切.

(1)求橢圓C及拋物線M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線過拋物線M的焦點(diǎn)且與拋物線M交于4,3兩點(diǎn)，直線OA,OB與橢圓的過右頂點(diǎn)的切線交于M,

N兩點(diǎn).判斷以為直徑的圓與橢圓C是否恒交于定點(diǎn)P,若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為點(diǎn)Q的動圓恒過點(diǎn)F(0,l),且與直線y=-1相切，設(shè)動圓的圓心Q

的軌跡為曲線匚

(1)求曲線r的方程；

(2)P為直線I：y=yo(M)<。)上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線「的切線，切點(diǎn)分別為4B,過點(diǎn)P作A8的垂線，

垂足為兒是否存在實(shí)數(shù)為，使點(diǎn)P在直線I上移動時，垂足H恒為定點(diǎn)？若不存在，說明理由；若存在，求

出見的值，并求定點(diǎn)”的坐標(biāo).

15.已知拋物線C：y2=2p%(p>0),直線x+y+1=0與拋物線。只有1個公共點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線y=左卜一與與曲線。交于4,8兩點(diǎn)，直線CM,08與直線x=1分別交于M,N兩點(diǎn)，試判斷

以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

四、橢圓定值問題

16.已知橢圓C：N+]=1(。>b>。)的離心率e=短■軸長為2V3.

(1)求橢圓C的方程；

⑵己知經(jīng)過定點(diǎn)P(l,l)的直線/與橢圓相交于3兩點(diǎn)，且與直線y=-"相交于點(diǎn)0,如果而=%點(diǎn),

QB^liPB,那么4+4是否為定值？若是，請求出具體數(shù)值；若不是，請說明理由.

17.在橢圓C：^2+p-=1(a>>0)中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個定圓「：/+y2=/+°2上，稱

此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓C過P(l,當(dāng)，

⑴求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C的蒙日圓上一點(diǎn)M,作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點(diǎn)N,若koM，岫N存在，證明：k0M-k0N

為定值.

18.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)尸式―1,0),F2(l,0),圓0:乂2+y=2,M是圓內(nèi)或圓上一動點(diǎn)，圓。與以線段

尸2M為直徑的圓。1內(nèi)切.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)設(shè)M的軌跡為曲線E,若直線2與曲線E相切，過點(diǎn)出作直線，的垂線，垂足為N,證明：|0N|為定值.

19.設(shè)橢圓E：攝+《=19>6>0)過點(diǎn)叭魚,1),且左焦點(diǎn)為F式-夜,0).

⑴求橢圓E的方程；

(224BC內(nèi)接于橢圓E,過點(diǎn)P(4,l)和點(diǎn)力的直線2與橢圓E的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)0,與BC交于點(diǎn)Q,滿足

|布||而|=|而||而證明：APBC面積為定值，并求出該定值.

20.橢圓嗒+[=1的右焦點(diǎn)為尸(1,0),離心率為:

(1)求橢圓C的方程；

⑵過廣且斜率為1的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，P是直線x=4上任意一點(diǎn).求證：直線PM,PF,PN的斜率

成等差數(shù)列.

五、雙曲線定值問題

21.在平面直角坐標(biāo)系中，圓片：(久+2)2+產(chǎn)=4,F2(2,0),尸是圓％上的一個動點(diǎn)，線段的垂

直平分線/與直線PF1交于點(diǎn)記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)B作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于4,8兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)X,求證：

黑為定值.

尸2小

22.已知雙曲線/一步=1的左、右頂點(diǎn)分別為出，A2,動直線/：y=kx+m與圓/+產(chǎn)=1相切，且

與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為Pi(xi，%)，P2(x2>y2).

(1)求后的取值范圍；

(2)記直線尸/出的斜率為股，直線上出的斜率為石，那么心電是定值嗎？證明你的結(jié)論.

23.已知P是圓C:(久+2)2+產(chǎn)=12上一動點(diǎn)，定點(diǎn)M(2,0),線段PM的垂直平分線"與直線PC交于點(diǎn)T,記

點(diǎn)T的軌跡為C'.

⑴求C’的方程；

⑵若直線，與曲線C‘恰有一個共點(diǎn)，且2與直線=苧居L：y=-亨x分別交于力、B兩點(diǎn),△。48的面積是

否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

24.已知雙曲線C：5一，=1(a〉0,b>0)的漸近線方程為丫=±焦距為10,&,42為其左右頂

點(diǎn).

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線心久=2上的任意一點(diǎn)，直線P&、P42分別交雙曲線C于點(diǎn)M、N,A2Q1MN,垂足為Q,

求證：存在定點(diǎn)R,使得|QR|是定值.

25.已知％，尸2分別為雙曲線。捻一，=l(a>0,b〉0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(2,2佝在C上，且雙曲線C的漸

近線與圓刀2+y2_6y+8=0相切.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若過點(diǎn)外且斜率為人的直線咬雙曲線C的右支于48兩點(diǎn)，Q為乂軸上一點(diǎn)，滿足|QA|=|QB|,試問

所十|普|一4是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

六、拋物線定值問題

26.已知拋物線C:/=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為Z,過點(diǎn)F且傾斜角為方的直線交拋物線于點(diǎn)M在

第一象限)，MN1I,垂足為N,直線NF交x軸于點(diǎn)D,\MD\=4V3.

⑴求p的值.

(2)若斜率不為0的直線人與拋物線C相切，切點(diǎn)為G,平行于。的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，且NPGQ=],

點(diǎn)F到直線PQ與到直線匕的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

27.已知拋物線的:y=2Px(p>0)上一點(diǎn)Q(l,a)到焦點(diǎn)的距離為3.

⑴求a,p的值；

(2)設(shè)P為直線x=—1上除(—1,—百)，(—1,舊)兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過P作圓。2：(無一2/+y2=3的兩條切

線，分別與曲線的相交于點(diǎn)4B和C,D,試判斷4B,C,。四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定

值；若不是，請說明理由.

28.已知點(diǎn)F是拋物線C：產(chǎn)=2px(p>0)的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)N在C上，以F為圓心、NF為半徑的圓交

y軸于。，E,\DE\=2V3.

(1)求拋物線C的方程；

⑵過(一1,0)作直線［與拋物線C交于4B,求際A+MB的值.

29.貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線.法國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對貝塞爾曲線進(jìn)行

了圖形化應(yīng)用的測試，提出了"。金招私0算法：已知三個定點(diǎn)，根據(jù)對應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫

出地物線.反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論.如圖所示，拋物線「:/=2py,其中

p>0為一給定的實(shí)數(shù).

(i)寫出拋物線r的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

(2)若直線/:y=kx-2pk+2P與拋物線只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值;

(3)如圖，A,B,C是〃上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)。，E,尸，證明：喘=黑=黑.

30.已知點(diǎn)a為直線/：x+i=o上的動點(diǎn)，過點(diǎn)a作射線AP(點(diǎn)P位于直線2的右側(cè))使得力PLo),設(shè)

線段2F的中點(diǎn)為B,設(shè)直線PB與久軸的交點(diǎn)為T,PF=TF.

⑴求動點(diǎn)P的軌跡C的方程.

⑵設(shè)過點(diǎn)Q(0,2)的兩條射線分別與曲線C交于點(diǎn)M,N,設(shè)直線QMQN的斜率分別為自也，若2+*=2,請

左1K-2

判斷直線MN的斜率是否為定值以及其是否過定點(diǎn)，若斜率為定值，請計(jì)算出定值；若過定點(diǎn)，請計(jì)算出定

點(diǎn).

七、橢圓定直線問題

31.橢圓￡的方程為。+==1,左、右頂點(diǎn)分別為力(—2,0),B(2,0),點(diǎn)P為橢圓￡上的點(diǎn)，且在第一象

4o

限，直線/過點(diǎn)P

⑴若直線/分別交X,y軸于C,。兩點(diǎn)，若PD=2,求PC的長；

⑵若直線/過點(diǎn)(一1,0),力交橢圓￡于另一點(diǎn)。(異于點(diǎn)/,B),記直線4P與直線BQ交于點(diǎn)試問點(diǎn)M

是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說明理由.

32.已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mGR).

(1)若曲線C是橢圓，求加的取值范圍.

(2)設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為/,3(點(diǎn)/位于點(diǎn)8的上方)，直線2:y=kx+4與曲線C交于不同

的兩點(diǎn)M,N.設(shè)直線/N與直線3M相交于點(diǎn)G.試問點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若

不是，說明理由.

33.已知橢圓C:%+(=l(a>0,b>0)過點(diǎn)M(2半,g),且離心率為當(dāng).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l:y=x+ni與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)/,B,試問：△的內(nèi)心是否在一條定直線上?

若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由.

34.已知橢圓0,+]=1(￡1>b>0)過點(diǎn)(2(11),且離心率為去

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點(diǎn)P(l,2)的直線I交C于4、B兩點(diǎn)時，在線段上取點(diǎn)M,滿足|4P|?|MB|=MM|?|PB|,證明：點(diǎn)M

總在某定直線上.

35.橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為4(-2,0),8(2,0),點(diǎn)(1,連)在橢圓￡

上.

⑴求橢圓￡的方程.

⑵過點(diǎn)(一1,0)的直線/與橢圓E交于尸，0兩點(diǎn)(異于點(diǎn)4B),記直線4P與直線30交于點(diǎn)試問點(diǎn)

M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由.

八、雙曲線定直線問題

36.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的

反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線E:。—5=l(b〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為％、F2,從&發(fā)出的

40

光線經(jīng)過圖2中的48兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，且tanNC4B=—IAB1BD.

4

⑴求雙曲線E的方程；

(2)設(shè)4、42為雙曲線E實(shí)軸的左、右頂點(diǎn)，若過P(4,0)的直線/與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，試探究直線

與直線4的交點(diǎn)Q是否在某條定直線上？若存在，請求出該定直線方程；如不存在，請說明理由.

37.已知曲線C上的動點(diǎn)P滿足|P%|-|PF2l=2,且尸1(一2,0),F2(2,0).

(1)求C的方程；

(2)若直線4B與C交于4、B兩點(diǎn)，過4B分別做C的切線，兩切線交于點(diǎn)P’.在以下兩個條件①②中選擇一個

條件，證明另外一個條件成立.

①直線2B經(jīng)過定點(diǎn)”(4,0)；

②點(diǎn)P'在定直線x=；上.

4

38.已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C。—懸=1上.

(1)雙曲線上動點(diǎn)。處的切線交C的兩條漸近線于48兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：△力。B的面積S是定

值；

⑵已知點(diǎn)P6,l),過點(diǎn)P作動直線I與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H,

滿足黑=黑，證明：點(diǎn)H恒在一條定直線上?

39.已知雙曲線C。—，=1(”。，人＞。)經(jīng)過點(diǎn)。(4,3),直線小A分別是雙曲線。的漸近線，過。分別作。

和辦的平行線。和1'2,直線八交%軸于點(diǎn)M,直線1'2交y軸于點(diǎn)N,且|OM|-|ON|=2次(。是坐標(biāo)原點(diǎn))

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)41、4分別是雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)尸的直線交雙曲線C于P、Q兩個不同點(diǎn)，直線&P與4Q

相交于點(diǎn)G,證明：點(diǎn)G在定直線上.

40.已知雙曲線Cr9=1((1>0/>0)的離心率為魚，過點(diǎn)E(l,0)的直線/與。左右兩支分別交于

N兩個不同的點(diǎn)(異于頂點(diǎn)).

(1)若點(diǎn)P為