陜西省西安市愛(ài)知初級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

八上第一次學(xué)情測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)學(xué)科試題滿分120分（含2分書(shū)寫(xiě)分）時(shí)長(zhǎng)100分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的一組是（）A.4，5，6 B.，2， C.6，8，10 D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須滿足都是正整數(shù)，同時(shí)還需滿足兩較小的數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，據(jù)此注意判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴4，5，6，不是勾股數(shù)，不符合題意；B、，2，這三個(gè)數(shù)不都是正整數(shù)，故這組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵，∴6，8，10是勾股數(shù)，符合題意；D、這三個(gè)數(shù)都不是正整數(shù)，故這組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：C．2.一個(gè)直角三角形的面積為96，并且兩直角邊的比是，則這個(gè)三角形的斜邊為（）A.10 B.8.5 C.20 D.15【答案】C【解析】【分析】本題考查了勾股定理，設(shè)兩直角邊的長(zhǎng)度分別為，，根據(jù)直角三角形的面積為96得出，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵兩直角邊的比是，∴設(shè)兩直角邊的長(zhǎng)度分別為，，由題意得：，解得：，∴這個(gè)三角形的斜邊為，故選：C．3.在中，的對(duì)邊分別為，下列結(jié)論中不正確的是（）A.如果，那么是直角三角形B.如果，那么是直角三角形，且C.如果，那么是直角三角形D.如果，那么是直角三角形【答案】B【解析】【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.∵∴而∴，∴是直角三角形，A不合題意．B.∵，，∴是直角三角形，且，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．C.∵，設(shè)，則，則，解得，，則，∴是直角三角形，C不符合題意；D.∵，∴設(shè)∴，∴是直角三角形，D不合題意．故選：B．4.在中，，，則點(diǎn)C到斜邊的距離是（）A. B. C.9 D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查勾股定理．勾股定理求出的長(zhǎng)，等積法求出點(diǎn)C到斜邊的距離即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C到斜邊的距離h，∵在中，，∴，∵，∴，∴．故選：A．5.如圖，、、、是四根長(zhǎng)度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)A、C、E共線．若，，則線段的長(zhǎng)度為（）A.6cm B.7cm C. D.8cm【答案】D【解析】【分析】分別過(guò)B、D作AE的垂線，垂足分別為F、G，證明，即可證明，進(jìn)一步計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：分別過(guò)B、D作AE的垂線，垂足分別為F、G，∵，，∴，∴，在和中；，∴，∴BF=CG，∵，∴均為等腰三角形，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確畫(huà)出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．6.如圖，圓柱的底面半徑為，高，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，且，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把圓柱側(cè)面展開(kāi)后，連接．由已知可求得圓柱底面圓的周長(zhǎng)，從而可求得周長(zhǎng)的一半，由勾股定理即可計(jì)算出的長(zhǎng)．【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開(kāi)后，連接，如圖所示：∵圓柱的底面半徑為，∴圓柱的底面周長(zhǎng)為，∴，∵高，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，且，∴，在中，，即從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是把圓柱展開(kāi)，即把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．7.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門(mén)就會(huì)自動(dòng)打開(kāi)．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生正對(duì)門(mén)，緩慢走到離門(mén)1.2米的地方時(shí)（米），感應(yīng)門(mén)自動(dòng)打開(kāi)，則人頭頂離感應(yīng)器的距離等于（）A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段的長(zhǎng)度．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵米，米，米，∴（米）．在中，由勾股定理得到：（米）,故選：B．8.如圖，長(zhǎng)方形紙片，，現(xiàn)將其沿對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則的面積為（）A. B.18 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了矩形的翻折．熟練掌握矩形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，三角形面積公式求三角形面積，是解題關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)和對(duì)折性質(zhì)得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理求得，結(jié)合運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵矩形紙片中，，∴，由對(duì)折知，，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得：，∴，∴．故選：A．9.在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)A，B，C均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A B.C. D.點(diǎn)A到直線的距離是2【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理即可判斷A；利用勾股定理的逆定理即可判斷B；利用割補(bǔ)法求出的面積進(jìn)而求出點(diǎn)A到直線的距離即可判斷C、D．詳解】解：由題意得，，，，∴，∴是直角三角形，即，∵，∴點(diǎn)A到直線的距離是，∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面積，點(diǎn)到直線的距離，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形（如圖所示），若大正方形的面積是29，小正方形的面積是9，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊為b，較短直角邊為a，則的值是（）A.7 B.14 C.21 D.28【答案】C【解析】【分析】此題考查了完全平方公式與幾何圖形．熟練掌握正方形性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式，平方差公式，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)幾何圖形得到，，，利用完全平方公式變形求出，再求出，根據(jù)，求出，的值，根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：∵大正方形的面積是29，小正方形的面積是9，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．二、填空題（每小題4分，共28分）11.有一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)是3和5，要使這個(gè)三角形成為直角三角形，則第三邊邊長(zhǎng)的平方是_______．【答案】16或34##34或16【解析】【分析】根據(jù)題意分第三邊是直角邊與斜邊兩種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，第三邊的長(zhǎng)的平方是：32+52=34；當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方是：52-32=25-9=16；故答案為：16或34．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，根據(jù)題意分第三邊是直角邊與斜邊兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．12.如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為1和9，則b的面積為_(kāi)____________．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)正方形邊長(zhǎng)相等，再根據(jù)同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后證明△ACB≌△CDE（AAS），再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求解即可．【詳解】解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°；

∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，

∴∠BAC=∠DCE，

在△ACB和△CDE中，∴△ACB≌△CDE（AAS），

∴AB=CE，BC=DE；

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，

∴Sb=Sa+Sc=1+9=10，

∴b面積為10，

故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)全等三角形和勾股定理的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是證明△ACB≌△CDE．13.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為_(kāi)_____米．【答案】####【解析】【分析】本題考查勾股定理，將圖形進(jìn)行標(biāo)注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根據(jù)計(jì)算求解，即可解題．【詳解】解：根據(jù)上圖，進(jìn)行如下標(biāo)注：由題知，，，，，，，梯子長(zhǎng)度不變，，，，故答案為：．14.如圖，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為和，分別以三邊為直徑作半圓，則陰影部分的面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】分別求出以為直徑的半圓及的面積，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖所示：∵，∴，∴以為直徑的半圓的面積（）；以為直徑的半圓的面積（）；以為直徑的半圓的面積（）；（）；∴（）；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．15.如圖，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬，中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走_(dá)_____m．【答案】15【解析】【分析】本題主要考查了平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意畫(huà)出平面展開(kāi)圖是解答題的關(guān)鍵．如圖：連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再把中間的墻平面展開(kāi)，使原來(lái)的矩形長(zhǎng)度增加而寬度不變，求出新矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示：將圖展開(kāi)，圖形長(zhǎng)度增加，原圖長(zhǎng)度增加2米，則，如圖：連接，∵四邊形是長(zhǎng)方形，，寬，∴，∴螞蚱從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它至少要走的路程．故答案為15．16.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是_______．【答案】25【解析】【分析】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；，螞蟻爬行的最短距離是25，故答案為：25．17.如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)，且使得的面積為8，點(diǎn)Q為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理求出，由的面積為8即可求出，由對(duì)稱(chēng)得，，則，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取得最小值，即為，再對(duì)運(yùn)用等面積法即可求出．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，∵，∴，則，∴，由對(duì)稱(chēng)得，，∴，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取得最小值，即為，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．三、解答題（本題共6小題，共60分，要求寫(xiě)出必要的解題過(guò)程）18.計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算以及整式的乘除法運(yùn)算和乘法公式的應(yīng)用，正確把握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）原式利用乘方的意義、零指數(shù)冪以及絕對(duì)值法則，計(jì)算即可求出值；

（2）原式利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可求出值；

（3）原式利用完全平方公式及平方差公式計(jì)算即可求解；

（4）原式利用完全平方公式及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：；【小問(wèn)2詳解】；【小問(wèn)3詳解】；【小問(wèn)4詳解】．19.先化簡(jiǎn)，再求值：[（x+2y）（x-2y）-（x-y）2]÷（-2y），其中x=-1，y=2．【答案】y-x，6．【解析】【分析】原式中括號(hào)中利用平方差公式，以及完全平方公式化簡(jiǎn)，再利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式=(x2-4y2-x2-y2+2xy)÷（-2y）=y-x，將x=-1，y=2代入得：原式=6．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20.如圖，在中，．請(qǐng)用尺規(guī)作圖在邊上找一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到直線的距離等于．（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)，作平分線交于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得點(diǎn)到的距離等于．【詳解】解：如圖，作的平分線交于，∵，即，∵平分∴點(diǎn)到的距離等于，∴點(diǎn)即為所作．21.如圖，小穎和她的同學(xué)蕩秋千，秋千在靜止位置時(shí)，下端離地面0.6m，蕩秋千到的位置時(shí)，下端B距靜止位置的水平距離等于2.4m，距地面1.4m，求秋千的長(zhǎng)．【答案】米【解析】【分析】本題主要考查直角三角形的勾股定理，掌握勾股定理的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，設(shè)為米，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，設(shè)為米，∴，∴，∵，∴，在中，∴，∴，∴，∴秋千的長(zhǎng)為米．22.學(xué)校操場(chǎng)邊上一塊空地（陰影部分）需要綠化，測(cè)出，，，，，求需要綠化部分的面積．【答案】96平方米【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，，∴．∵，∴△ABC為直角三角形．∴需要綠化部分的面積＝．所以，需要綠化部分的面積為96平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．23.今年，第十五號(hào)臺(tái)風(fēng)登陸江蘇，A市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心位于A市正南方向的B處，正以的速度沿方向移動(dòng)．（1）已知A市到距離，那么臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？（2）如果在距臺(tái)風(fēng)中心的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)影響，那么A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是多長(zhǎng)？【答案】（1）臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)經(jīng)過(guò)6小時(shí)．（2）A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為3.75小時(shí)．【解析】【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一性質(zhì)，根據(jù)題意熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．（1）在中，根據(jù)勾股定理求出，臺(tái)風(fēng)的速度已知，即可得出臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)所經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間；（2）假設(shè)A市從P點(diǎn)開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響，到Q點(diǎn)結(jié)束，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，可知，A市在臺(tái)風(fēng)從P點(diǎn)到Q點(diǎn)均受影響，即得出兩點(diǎn)的距離，便可求出A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間．【小問(wèn)1詳解】解：由題意得，在中，，∴，∴小時(shí)，即