人教版九年級數(shù)學(xué)下冊相似《相似三角形（第1課時）》示范教學(xué)設(shè)計

相似三角形（第1課時）教學(xué)目標(biāo)1．理解相似三角形的概念，知道用相似符號“∽”表示的相似三角形之間的邊、角對應(yīng)關(guān)系．2．掌握平行線分線段成比例的基本事實及推論，并能用其進(jìn)行簡單的證明和計算．3．掌握利用平行線判定兩個三角形相似的定理，并能利用其判定三角形相似．教學(xué)重點掌握平行線分線段成比例的基本事實及推論，能利用平行線判定三角形相似．教學(xué)難點平行線分線段成比例的基本事實及推論的應(yīng)用．教學(xué)準(zhǔn)備準(zhǔn)備帶刻度的直尺．教學(xué)過程知識回顧1．相似多邊形的概念是什么？【答案】兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形．2．相似多邊形的性質(zhì)有哪些？【答案】相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．3．什么是相似比？【答案】相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)相似多邊形的相關(guān)知識，鞏固基礎(chǔ)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】在相似多邊形中，最簡單的是____________．【師生活動】學(xué)生獨立思考，得出答案：相似三角形．【追問】你能說出相似三角形的定義嗎？【新知】如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，即三個角分別相等，三條邊成比例，我們就說△ABC與△A′B′C′相似，相似比為k．相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”．△ABC與△A′B′C′相似記作“△ABC∽△A′B′C′”．【思考】△A′B′C′與△ABC的相似比是什么？【師生活動】學(xué)生小組討論，得出答案：△A′B′C′與△ABC的相似比為．教師讓學(xué)生回顧：相似比具有順序性．【歸納】特別提醒：用符號“∽”表示兩個三角形相似時，要把表示對應(yīng)頂點的大寫字母寫在對應(yīng)的位置上．△ABC∽△A′B′C′表示頂點A與A′，B與B′，C與C′分別對應(yīng)；如果僅說“△ABC與△A′B′C′相似”，沒有用“∽”連接，則需要分類討論它們之間的對應(yīng)關(guān)系．【思考】如果k＝1，這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？【師生活動】學(xué)生小組討論，得出答案：當(dāng)＝＝＝k＝1時，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，故△ABC≌△A′B′C′（SSS），即當(dāng)k＝1時，這兩個三角形全等．教師講解、總結(jié)．【歸納】全等三角形是相似比為1的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形．【思考】根據(jù)相似三角形的定義你能得到相似三角形的性質(zhì)嗎？【師生活動】學(xué)生自由發(fā)言，教師總結(jié)．【新知】相似三角形的定義可以看作是性質(zhì)，即相似三角形的三個角分別相等，三條邊成比例．符號表示：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝．【思考】如何判定兩個三角形相似？【師生活動】學(xué)生自由發(fā)言，教師總結(jié)．【新知】相似三角形的定義也可以看作是判定，即三個角分別相等，三條邊成比例的兩個三角形相似．符號表示：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，∴△ABC∽△A′B′C′．【設(shè)計意圖】分析相似三角形的定義，讓學(xué)生知道全等三角形是特殊的相似三角形，掌握相似三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的性質(zhì)，并能根據(jù)定義判定兩個三角形相似．【問題】判定兩個三角形全等時，除了可以驗證它們所有的角和邊分別相等外，還可以使用簡便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．類似地，判定兩個三角形相似時，是不是也存在簡便的判定方法呢？我們先來探究下面的問題．如圖，任意畫兩條直線l1，l2，再畫三條與l1，l2都相交的平行線l3，l4，l5．分別度量l3，l4，l5在l1上截得的兩條線段AB，BC和在l2上截得的兩條線段DE，EF的長度，與相等嗎？【師生活動】學(xué)生通過測量、計算，得出答案：＝．【追問】任意平移l5，與還相等嗎？直線l3，l4，l5在直線l1，l2上截得的線段有什么關(guān)系？【師生活動】學(xué)生通過測量、計算，得出答案：＝；小組討論，發(fā)現(xiàn)：＝，＝，＝，＝等．教師總結(jié)．【新知】平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．注意：（1）截線是一組平行線，被截直線不一定平行；（2）所有的成比例線段是指被截直線上的線段，與這組平行線上的線段無關(guān)；（3）對應(yīng)線段的比相等是指同一直線上的兩條線段的比等于另一條直線上與它們對應(yīng)的線段的比．把平行線分線段成比例的基本事實應(yīng)用到三角形中，會出現(xiàn)兩種情況，如圖所示．在圖①中，把l4看成是平行于△ABC的邊BC的直線；在圖②中，把l3看成是平行于△ABC的邊BC的直線，那么我們可以得到結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．【設(shè)計意圖】在讓學(xué)生通過畫圖、測量、猜想感知結(jié)論的基礎(chǔ)上，給出平行線分線段成比例的基本事實；并將基本事實應(yīng)用到三角形中，直接得出推論，為學(xué)習(xí)“利用平行線判定兩個三角形相似的定理”作準(zhǔn)備．【問題】如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？【師生活動】學(xué)生自由發(fā)言，給出猜想：△ADE∽△ABC．教師追問：你能證明你的猜想嗎？教師給出提示：利用相似的定義證明，即證明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝＝．學(xué)生根據(jù)提示，小組討論，發(fā)現(xiàn)：由前面的結(jié)論可得，＝．而中的DE不在△ABC的邊BC上，不能直接利用前面的結(jié)論．教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)分析：從要證的＝可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的邊上，因此只需將DE平移到BC邊上去，使得BF＝DE，再證明＝就可以了．如圖，只要過點E作EF∥AB，交BC于點F，BF就是平移DE所得的線段．學(xué)生根據(jù)分析，完成證明．【答案】證明：如圖，過點E作EF∥AB，交BC于點F．在△ADE與△ABC中，∠A＝∠A．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE為平行四邊形，＝，＝．∴DE＝BF．∴＝．∴＝＝．∴△ADE∽△ABC．【新知】因此，我們有如下判定三角形相似的定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．符號表示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．二、典例精講【例1】如圖，DE∥BC，AB＝5，AC＝6，AD＝2，求AE的長．【師生活動】學(xué)生獨立完成，請一名學(xué)生代表板演，教師指導(dǎo)、講解．【答案】解：∵DE∥BC，∴＝．∵AB＝5，AC＝6，AD＝2，∴＝．∴AE＝．【設(shè)計意圖】通過例1，考查學(xué)生是否會用平行線分線段成比例的基本事實解決問題．【例2】如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，BC＝12，求DE的長．【師生活動】學(xué)生獨立完成，請一名學(xué)生代表板演，教師指導(dǎo)、講解．【答案】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴＝＝．∵＝，BC＝12，∴DE＝BC＝4．【提醒】（1）當(dāng)三角形中出現(xiàn)平行線時，可利用相似三角形建立比例式求線段的長；（2）在利用平行線判定兩個三角形相似時，只需