2024年江西省吉安市中考數學二模試卷（附答案解析）

2024年江西省吉安市中考數學二模試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個備選項中只有一項是最符合

題目要求的。錯選、多選、未選均不得分。

1.(3分)如圖，數軸上點尸表示的數可能是()

p

i------1------1-----1------------------1------

-2-1012345

A.VioB.V5C.V3D.V2

2.（3分）受益于人工智能和算力市場發(fā)展的推動，中國A/服務器市場規(guī)模實現了逐年增長，中商產業(yè)研

究院發(fā)布的《2024-2029年中國服務器行業(yè)需求預測及發(fā)展趨勢前瞻報告》顯示，2024年中國A/服

務器市場規(guī)模將達560億元.560億用科學記數法可表示為（）

A.5.6X1011B.0.56X1011C.5.6X1O10D.56X1O10

3.（3分）如圖，這是某學校領獎臺的示意圖,其左視圖為（）

_____.//

T

正面

A.I_____1

C.III二

4.（3分）下列運算正確的是（）

A.a2+a2=2a4B.(-2a2)2=4/

C.（a+3）2=7+9D.(a+6)(-a-b)=cr-b2

5.（3分）我們知道光的反射是一種常見的物理現象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個平面鏡A,

12,兩個平面鏡所成的夾角為/I,位于點。處的甲同學在平面鏡/2中看到位于點A處的乙同學的像,

其中光的路徑為入射光線經過平面鏡反射后，又沿BC射向平面鏡/2,在點C處再次反射，反射

光線為CD已知入射光線〃/2,反射光線則/I等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

6.（3分）如圖，在等邊△ABC中，AB=2,動點P從點8出發(fā)，沿B-C-A方向運動，過點P作PHL

AB于點H,設△PHB的面積為y,點尸的運動路程為x,則y與龍之間的函數關系的圖象正確的是（）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

1

7.（3分）已知---有意義，則無.

2-x---------

8.（3分）因式分解：3X2-12x+12=.

9.（3分）已知關于尤的方程2/12=0的一根是-6,則該方程的另一根為.

10.（3分）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經歷代演變而成

七巧板.圖1是用邊長為4的正方形分割制作而成的七巧板，圖2是由該七巧板拼擺成的“葉問蹬”圖，

其中點C,。分別為①②兩個等腰直角三角形斜邊的中點，則圖2中抬起的“腿”的高度（點A到8E

的距離）是.

圖1圖2

11.（3分）三角形三邊上的點數分布如圖所示，可以發(fā)現圖①中有4個點，圖②中有10個點，圖③中有

19個點，……按此規(guī)律可知，圖〃中點的個數是

①②③

12.（3分）如圖，已知正六邊形A8CDE/的邊長為6,連接AE,AD,以點A為原點，AF所在直線為y

軸建立平面直角坐標系，P是射線AD上的點，若AAEP是等腰三角形，則點P的坐標可能

三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）

13.(6分)(1)計算：(V2)2-|V2-2|-(7T-1)°；

（2）如圖，在矩形A8CD中，E是邊CD上的點，連接BE,AE,AE=AB.求證：BE平分NAEC.

14.（6分）下面是數學老師在批改作業(yè)時看到的甲、乙兩位同學對某分式進行的化簡過程，請你認真觀察

并完成相應的填空.

,X%2—4

E+序.—

甲同學：解：原式=［淄連+屋需可…第一步

_x(x—2)+x(x+2)x2—4

…第二步

(x+2)(x—2)x

x(x-2)+%(x+2)_(x+2)Q-2).

??第三步

(x+2)(x—2)%

乙同學：解：原式—+&?-…第一步

X-rZXX-Zx

（1）甲同學的第步是分式的通分，通分的依據是;乙同學用到的運算律

是

（2）請你幫其中一位同學完成化簡.

15.（6分）已知△ABC和△。所是等邊三角形，點A,B,D,E在同一直線上，。是AE的中點，請僅用

無刻度的直尺按下列要求作圖.

F

圖1圖2

（1）在圖1中作線段AE的中垂線；

（2）在圖2中作菱形ADFQ.

16.（6分）某校計劃在5月1日到5月5日期間組織部分同學開展為期兩天的研學旅行活動.

（1）若從這5天中隨機選擇連續(xù)的兩天，其中有一天是5月4日的概率是.

（2）若將5月1日到5月5日分別標記在5張相同的不透明卡片的正面，將其背面朝上放于桌面，再

隨機抽取其中的兩張，并將卡片上的日期作為研學旅行的日期.請用畫樹狀圖或列表的方法求隨機選擇

的兩天恰好是連續(xù)兩天的概率.

17.（6分）無人機作業(yè)已經成為現代農業(yè)生產的重要技術手段之一.為了保證無人機飛行作業(yè)的安全可靠，

需要加強對操作人員的培訓和管理，促進其規(guī)范發(fā)展.某縣勞動就業(yè)培訓機構購進甲、乙兩種無人機用

于職業(yè)培訓，已知用72000元購進的甲種無人機的數量與用90000元購進的乙種無人機的數量相同，乙

種無人機的進貨單價比甲種無人機的進貨單價多600元.

（1）求甲、乙兩種無人機的進貨單價；

（2）該縣勞動就業(yè)培訓機構打算再購進甲、乙兩種無人機共40架，其中乙種無人機的購貨數量不少于

甲種無人機購貨數量的3倍，如何進貨才能花費最少？

四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.（8分）某校為了了解初二年級學生上半學期數學學習情況，對部分學生進行了抽樣調查，先分別從初

二年級男、女生中各隨機抽取20名同學進行了數學知識測試，再對他們的成績（百分制）進行整理、

分析和描述，下面給出了部分信息.

A.女生成績的頻數分布直方圖如圖所示（數據分成6組：40W尤<50,50W尤<60,60?70,700

<80,80Wx<90,90WxW100）.

B.男生成績如下：

40527070717377788081

82828282838383869194

C.男、女生成績的平均數、方差、中位數如下：

平均數方差|中位數

女同學79.636.8478.5

男同學m147.2n

根據以上信息，回答下列問題：

(1)寫出表中MZ,〃的值.

(2)參加測試的初二學生在上半學期數學學習成績較好的是男生還是女生？并說明理由.

(3)若數學知識測試成績在80分及以上的為學習成績優(yōu)秀，己知該校初二年級有1000名學生，請你

估計該校初二年級有多少名學生上半學期數學學習成績?yōu)閮?yōu)秀.

女生成績的頻數分布直方圖

頻數次

19.(8分)如圖，已知A,B,C,。四點都在反比例函數y=^(k>0)的圖象上，且線段AC,8。都過原

點。，連接AB,BC,CD,DA.

(1)四邊形ABC。的形狀是.

(2)已知2(4,2)：

①點C的坐標為；

②若四邊形ABC。是矩形，求四邊形的面積.

20.(8分)某數學小組用五個全等的菱形設計一個左右對稱的無人機模型，如圖所示的是該無人機模型的

兩種設計方案的俯視圖，其中A,D,F,G四點始終在同一條直線上，圖形關于直線AM對稱.

圖1圖2

(1)如圖1,若B,C,D,E四點在同一條直線上，連接ME

?ZAMF=；

②判斷△A/即的形狀，并證明.

(2)如圖2,若菱形的邊長為5c〃z,NCAO=53°,求點N到點G的距離.(結果精確到O.lcwt.參考

數據：sin37°-I，cos37°?tan37°嗎sin26.5°-0.45,cos26.5°七0.90,tan26.5°?0.50)

五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)

21.(9分)如圖，。。的直徑A8與弦C。相交，連接AC,DB,/ABD=2/D,過點C作交

DB的延長線于點E.

(1)求證：CE是。。的切線.

(2)若CE=3,BE=1.

①求(DO的半徑；

②求功的長.(參考數據：sin37°~|,cos37°~1,tan37"?

22.(9分)已知二次函數y=7-4g：+4"z-1.

(1)求證：該二次函數的圖象與無軸始終有交點.

(2)若該二次函數圖象的頂點坐標為P(x,j).

①y與尤的函數關系是；

②已知直線y=-2尤-1分別交x軸，y軸于點C,D,若位于①中的函數圖象上的點A在直線y=-2x

-1的上方，直接寫出點A的橫坐標的取值范圍，并求點A到直線y=-2x-1的最大距離.

IIIIIIII

1-1----r-rT-r--n

六、解答題(本大題共12分)

23.(12分)綜合與實踐

課本再現

(1)如圖1,AABD,AA￡C都是等邊三角形.

①BE與。有什么關系？請用旋轉的性質說明上述關系.

數學小組發(fā)現在圖1的四邊形A8CE中，8E的長度與AB,8c之間存在一定的關系，可考慮通過旋轉

構造特殊三角形之間的全等或相似求解.

特例感知

②若/A8C=30°,ZBAC=90°,AC=2,貝！］.

請你嘗試解決以下問題：

類比應用

(2)如圖2,在四邊形ABCZ)中，ZABC=75°,ZADC=60a,AD=DC,AB=S,BC=3應，求

BD的長.

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，ZABC=75°,ZADC=60°,CD：AO=2：1,AB=3五,BC=

3,直接寫出BD的長.

圖1圖2圖3

2024年江西省吉安市中考數學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個備選項中只有一項是最符合

題目要求的。錯選、多選、未選均不得分。

1.（3分）如圖，數軸上點尸表示的數可能是（）

I------1------1-----1------1-e-1------1------->

-2-1012345

A.V10B.V5C.V3D.V2

【解答］解：V9<10<16,32<V10<4,故本選項錯誤；

B,V4<5<9,.\2<V5<3,故本選項正確；

C,Vl<3<4,.\1<73<2,故本選項錯誤；

D、Vl<2<4,.,.1<72<2,故本選項錯誤.

故選：B.

2.（3分）受益于人工智能和算力市場發(fā)展的推動，中國4服務器市場規(guī)模實現了逐年增長，中商產業(yè)研

究院發(fā)布的《2024-2029年中國服務器行業(yè)需求預測及發(fā)展趨勢前瞻報告》顯示，2024年中國4服

務器市場規(guī)模將達560億元.560億用科學記數法可表示為（）

A.5.6X1011B.0.56X1011C.5.6X1O10D.56X1O10

【解答】解：560億=56000000000=5.6X1010,

故選：C.

3.（3分）如圖，這是某學校領獎臺的示意圖，其左視圖為（）

_________//

正面

A.I_____?B.

C.IlliD.

【解答】解：從左面看，是一個矩形，矩形內部中間靠上有一條橫向的實線，中間靠下有一條橫向的虛

線.

故選：B.

4.（3分）下列運算正確的是（）

A.(?+c^—2a'B.(-2a2)2=4。4

C.（Q+3）2=/+9D.(〃+/?)(-〃-/?)=a2-b2

【解答】解：A、原式=2/,錯誤；

B、原式=原4,正確；

C、原式=〃2+6〃+9,錯誤；

D、原式=-/_2次?-射，錯誤，

故選：B.

5.（3分）我們知道光的反射是一種常見的物理現象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個平面鏡/1,

12,兩個平面鏡所成的夾角為N1,位于點。處的甲同學在平面鏡/2中看到位于點A處的乙同學的像，

其中光的路徑為入射光線A3經過平面鏡/1反射后，又沿5C射向平面鏡/2,在點C處再次反射，反射

光線為CD.已知入射光線A3〃/2,反射光線CO〃/I,則N1等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：???A8〃/2,CD//h,

.'.Z3=Z1,N5=N1,

VZ2=Z3,N4=N5,

???N2=N4=N1,

VZl+Z2+Z3=180°,

：.Z1=6O°.

6.（3分）如圖，在等邊△ABC中，AB=2,動點尸從點5出發(fā)，沿3-C-A方向運動，過點尸作PH1.

AB于點H,設APHB的面積為y,點P的運動路程為％,則y與x之間的函數關系的圖象正確的是（）

C

/\p

A

HB

【解答】解：當0<xW2時，點尸在5C上，如圖,

VZB=60°,

：.ZBPH=30°，

?；PB=x,

：.BH=手

：.PH=7PB2—BH2=學,

iixV3xV3x2

.\y=3BH?PH=4——

,22228

?,?該圖象為開口向上的拋物線;

當2VxW4時，點P在AC上，如圖,

VAC+BC=4,

：.AP=4-xf

VZA=60°,

AZAPH=30°,

：.AH=號，

:?BH=AB-AH/,

?：HP=7Ap2-AH2=飛-2

iixV3(4-x)4V3%-V3x2

.*.y=^BH?PH=孑----——乙

22228

?,?該圖象為開口向下的拋物線,

故選：A.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

1

7.（3分）已知--有意義，則xW2.

2-x-------

【解答】解：根據題意，得2-%#0,

解得％W2.

故答案為：W2.

8.（3分）因式分解：3/-12X+12=3（X-2）2.

【解答】解：原式=3（f-4x+4）=3（x-2）2,

故答案為：3（x-2）2

9.（3分）已知關于x的方程2/-如-12=0的一根是-6,則該方程的另一根為1.

【解答】解：???關于x的方程2/一如-12=0的一根是-6,另一根設為

12

-6t=2~=—6,

解得：f=l.

故答案為：1.

10.（3分）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經歷代演變而成

七巧板.圖1是用邊長為4的正方形分割制作而成的七巧板，圖2是由該七巧板拼擺成的“葉問蹬”圖，

其中點C,。分別為①②兩個等腰直角三角形斜邊的中點，則圖2中抬起的“腿”的高度（點A到8E

的距離）是4V2.

【解答】解：連結A8,延長交8C于G.

圖2

△AGB是等腰直角三角形,

：.AG^GB,ZAGB=90°.

VAD=1,DF=2,FG=1,

；.AG=4,

?：AB2=AG2+GB2,

.\AB2=16+16=32,

：.AB=+4^2（負數不合題意舍去），

：.AB=4^2.

11.（3分）三角形三邊上的點數分布如圖所示，可以發(fā)現圖①中有4個點，圖②中有10個點，圖③中有

19個點，……按此規(guī)律可知，圖〃中點的個數是」+嗎士口_.

【解答】解：：圖①中點的個數為：4=1+3=1+3X1；

圖②中點的個數為：10=1+3+6=1+3X1+3X2；

圖③中點的個數為：19=1+3+6+9=1+3X1+3X2+3X3；

，圖”中點的個數為：1+3X1+3X2+3X3+…+3w=l+3（1+2+3++?）=1+之竽口.

故答案為：1+嗎+1）.

12.（3分）如圖，已知正六邊形A8CDEF的邊長為6,連接AE,AD,以點A為原點，AF所在直線為y

軸建立平面直角坐標系，P是射線AD上的點，若AAEP是等腰三角形，則點尸的坐標可能是（3V3,

3）或（9,3V3）或（9V3,9）.

【解答】解：如圖，在正六邊形ABC。所中，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6,

：.AC=AE=2x亭x6=6V3,

-1

當PiA=PiE時，在RtAAPiei中，AQi=}4。=3百，

."10=梟38=3,

；.點Pi的坐標為(3V3,3)；

當P2A=AE時，在RtZvlPiQ中，AQ2=AE=643,

尸2。2=2x6v5=3遮，AQi—V3x3再—9,

二點尸2的坐標為(9,3V3)；

當P3E=AE時，即P3E=AE=643,

.,.AQ3=AQI+EP3=9值，

在RtZ\AP3Q3中，403=9日，

F5

.-^30=^x973=9,

.?.點尸3的坐標為(9V3,9)；

綜上所述，符合條件的點P的坐標為(3V3,3)或(9,3V3)或(9V3,9).

三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）

2

13.（6分）（1）計算：（V2）-|V2-2|-（7T-1）°;

（2）如圖，在矩形ABCD中，E是邊CQ上的點，連接BE,AE,AE=AB.求證：8E平分NAEC.

E

【解答】(1)解：(V2)2-|V2-2|-(TT-1)°

—2—(2—V2)—1

=2-2+72-1

=V2-1；

(2)證明：'：AE=AB,

：.ZAEB=ZABE,

:四邊形A8CO是矩形，

J.AB//CD,

:./CEB=/ABE,

：.ZCEB=ZAEB,

即BE平分/AEC.

14.(6分)下面是數學老師在批改作業(yè)時看到的甲、乙兩位同學對某分式進行的化簡過程，請你認真觀察

并完成相應的填空.

2

rx%、X—4

甲同學.解.序式=「一%("—④__L_%(*+2)_].“2-4…第一步

甲IJ子.腫.原人一[(工+2)(%_2)十(％_2)(%+2)」%弟之

2

_x(x—2)+x(x+2)x—4…第二步

(x+2)(x—2)x

xQ—2)+%(x+2)-Q+2)Q-2).

??第三步

(x+2)(x—2)%

乙同學：解：原式=盜.=+隗-F…第一步

(1)甲同學的第一步是分式的通分,通分的依據是分式的基本性質；乙同學用到的運算律

是乘法分配律.

(2)請你幫其中一位同學完成化簡.

【解答】解：(1)甲同學的第一步是分式的通分，通分的依據是分式的基本性質；乙同學用到的運算律

是乘法分配律,

故答案為：一；分式的基本性質；乘法分配律;

(2)若幫助甲同學：

,xx.%2—4

_1%(%—2)%(%+2)]%2—4

—1(%+2)(%—2)(%—2)(%+2)」x

_x(x-2)+%(%+2)%2—4

一(x+2)(x—2)x

_2x2(%+2)(x-2)

=(x+2)(%-2)x

=2x；

若幫助已同學：

/x%、%2—4

xX2-4,xX2—4

------------------------?-------

%+2xx—2x

x(%+2)(%—2)X(%+2)(%—2)

-------?----------------+------?-----------------

%+2xx-2x

—X-2+x+2

=2x.

15.(6分)已知△ABC和△OEF是等邊三角形，點A,B,D,E在同一直線上，。是AE的中點，請僅用

無刻度的直尺按下列要求作圖.

圖1圖2

(1)在圖1中作線段AE的中垂線；

(2)在圖2中作菱形AOPQ.

【解答】解：(1)如圖，直線QG即為所求;

圖1

（2）如圖，四邊形尸。即為所求.

16.（6分）某校計劃在5月1日到5月5日期間組織部分同學開展為期兩天的研學旅行活動.

1

（1）若從這5天中隨機選擇連續(xù)的兩天，其中有一天是5月4日的概率是一.

—2~

（2）若將5月1日到5月5日分別標記在5張相同的不透明卡片的正面，將其背面朝上放于桌面，再

隨機抽取其中的兩張，并將卡片上的日期作為研學旅行的日期.請用畫樹狀圖或列表的方法求隨機選擇

的兩天恰好是連續(xù)兩天的概率.

【解答】解：（1）從這5天中隨機選擇連續(xù)的兩天，所有等可能的結果有：（1日，2日），（2日，3日）,

（3日，4日），（4日，5日），共4種，

其中有一天是5月4日的結果有2種，

，其中有一天是5月4日的概率是：=

42

,,-,1

故答案為：

（2）列表如下：

1日2日3日4日5日

1日（1日，2（1日，3（1日，4（1日，5

日）日）日）日）

2日（2日，1（2日，3（2日，4（2日，5

日）H）日）日）

3日（3日，1（3日，2（3日，4（3日，5

日）日）日）日）

4日（4日，1（4日，2（4日，3（4日，5

日）日）日）日）

5日（5日，1（5日，2（5日，3（5日，4

日）日）日）日）

共有20種等可能的結果，其中隨機選擇的兩天恰好是連續(xù)兩天的結果有：（1日，2日），（2日，1日）,

（2日，3日），（3日，2日），（3日，4日），（4日，3日），（4日，50）,（5日，4日），共8種，

82

，隨機選擇的兩天恰好是連續(xù)兩天的概率為一=--

205

17.（6分）無人機作業(yè)已經成為現代農業(yè)生產的重要技術手段之一.為了保證無人機飛行作業(yè)的安全可靠，

需要加強對操作人員的培訓和管理，促進其規(guī)范發(fā)展.某縣勞動就業(yè)培訓機構購進甲、乙兩種無人機用

于職業(yè)培訓，已知用72000元購進的甲種無人機的數量與用90000元購進的乙種無人機的數量相同，乙

種無人機的進貨單價比甲種無人機的進貨單價多600元.

（1）求甲、乙兩種無人機的進貨單價；

（2）該縣勞動就業(yè)培訓機構打算再購進甲、乙兩種無人機共40架，其中乙種無人機的購貨數量不少于

甲種無人機購貨數量的3倍，如何進貨才能花費最少？

【解答】解：（1）設甲種無人機的進貨單價為x元，則乙種無人機的進貨單價為（x+600）元,

7200090000

根據題意得:

X久+600’

解得x=2400,

經檢驗，x=2400是原方程的解,

x+600=2400+600=3000,

甲種無人機的進貨單價為2400元，乙種無人機的進貨單價為3000元；

（2）設購進甲種無人機購機架，總費用為w元，則乙種無人機購（40rw）架,

:乙種無人機的購貨數量不少于甲種無人機購貨數量的3倍，

40-m^3m,

解得mW10,

根據題意得w=2400/77+3000（40-機）=-600加+120000,

：-600<0,

.'.w隨m的增大而減小,

當m=10時，w取最大值為-600X10+120000=114000,

此時40-m=40-10=30,

購進甲種無人機購10架，乙種無人機購30架，花費最少，最少花費114000元.

四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.（8分）某校為了了解初二年級學生上半學期數學學習情況，對部分學生進行了抽樣調查，先分別從初

二年級男、女生中各隨機抽取20名同學進行了數學知識測試，再對他們的成績（百分制）進行整理、

分析和描述，下面給出了部分信息.

A.女生成績的頻數分布直方圖如圖所示（數據分成6組：40Wx<50,50?60,60<x<70,704

<80,80Wx<90,90WxW100）.

B.男生成績如下：

40527070717377788081

82828282838383869194

C.男、女生成績的平均數、方差、中位數如下：

平均數方差中位數

女同學79.636.8478.5

男同學m147.2n

根據以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中〃,7〃的值.

（2）參加測試的初二學生在上半學期數學學習成績較好的是男生還是女生？并說明理由.

（3）若數學知識測試成績在80分及以上的為學習成績優(yōu)秀，已知該校初二年級有1000名學生，請你

估計該校初二年級有多少名學生上半學期數學學習成績?yōu)閮?yōu)秀.

女生成績的頻數分布直方圖

12頻數次

1

n1

10

1

0

0

7

.

TL

i'

4

.

0

3

3

^

1

1

o

1

【解答】解：(1)冽=余*(40+52+70+70+71+73+77+78+80+81+82+82+82+82+83+83+83+86+91+94)

=77,

把20名男生的成績按大到小的順序排列，中位數是第10和11個數的平均數,

(2)從平均數和方差來看，女生的成績較好，

理由：女生成績的平均數大于男生成績的平均數，女生成績的方差小于男生成績的方差；

從中位數來看，男生的成績較好，

理由：男生成績的中位數大于女生成績的中位數；

(3)1000X11=500(名)，

720b

答：估計該校初二年級有500名學生上半學期數學學習成績?yōu)閮?yōu)秀.

19.(8分)如圖，已知A,B,C,。四點都在反比例函數y=[(k>0)的圖象上，且線段AC,8。都過原

點。，連接AB,BC,CD,DA.

(1)四邊形A3。的形狀是平行四邊形.

(2)已知A(4,2)：

①點C的坐標為(-4,-2)；

②若四邊形A8C。是矩形，求四邊形ABCD的面積.

【解答】解：(1)..?線段AC,都過原點0,

：.OA=OC,OB=OD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形；

(2)①：反比例函數圖象關于原點成中心對稱圖形,且A(4,2),

：.C(-4,-2),

故答案為：C(-4,-2)；

②；A(4,2),

???反比例函數解析式為

8

設點5(m,—)(0<x<4),

m

88

：.AB2^(4-m)2+-2)2,BC2=(〃?+4)2+(—+2)2,AC2=[4-(-4)]2+[2-(-2)]2

mm

=80,

gg

由勾股定理得：(4-加)2+(--2)2+(777+4)2+(—+2)2=80,

mm

解得m=2,

：.AB=2y/2,BC=642,

：.矩形ABCD面積為AB*BC=2?x6A/2=24.

20.(8分)某數學小組用五個全等的菱形設計一個左右對稱的無人機模型，如圖所示的是該無人機模型的

兩種設計方案的俯視圖，其中4D,F,G四點始終在同一條直線上，圖形關于直線AM對稱.

圖1圖2

(1)如圖1,若3,C,D,E四點在同一條直線上，連接M尸.

?ZAMF^90°；

②判斷△M/切的形狀，并證明.

(2)如圖2,若菱形的邊長為5c7"，ZCAD=53°,求點N到點G的距離.(結果精確到O.law.參考

4

-

數據：sin37°q引cos37°5心方sin26.5°-0.45,cos26.5°-0.90,tan26.5°-0.50)

【解答】解：(1)①??,五個菱形兩兩全等，

：.AD=MD=FDf

：.ZDMA=ZDAMfZDMF=ZDFM

VZDMA+ZDAM+ZDMF+ZDFM=l80°,

ZAMF=ZDMA+ZDMF=90°；

故答案諛：90°.

②即是等邊三角形，理由如下：

■:CM〃DF,CM=DF,

???四邊形MCDF是平行四邊形,

J.MF//CD,

VB,C,D,E四點在同一條直線上，DE//FN,

：?MF〃DE,

??,四邊形MCAD是菱形，

???設ZAMD=x,

則NCMQ=2x,

9

：CM//ADf

：.ZMDF=ZCMD=2xf

/FDE=NCMD=2x,

U：MF//DE,

：.ZMFD=ZFDE=2x,

：.ZDMF=ZMFD=2x,

：.ZDMF=NMFD=ZMDF=2x,

???△”尸。是等邊三角形.

(2)如圖所示，連接NG交AM于點尸

,?,菱形的邊長為5cm,

.u.AD=FD=FG=5cm,

VA,D,F,G四點始終在同一條直線上，

：.AG=AD+FD+FG=15cm,

??,圖形關于直線AM對稱，

???點N和點G關于直線AM對稱，

：.NG±AM,NP=GP,ZPAG=^ZCAD=26.5°,

pr

.?.在Rt/XAPG中,sinZB4G=sin26.5°=足，

PG=6.75cm,

：.NG=2PG=13.5cm.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.（9分）如圖，。。的直徑4B與弦CD相交，連接AC,DB,NABD=2ND,過點C作CE_LOB交

DB的延長線于點E.

（1）求證：CE是。。的切線.

（2）若CE=3,BE=L

①求O。的半徑；

②求萬&的長.（參考數據：sin37°?|,cos37°~1,tan37°?

【解答】(1)證明：：。4=OC,

ZA=ZOCA,

：.NBOC=ZA+ZOCA=2ZA,

VZABD=2ZD,而

:./BOC=/ABD,

：.OC//DE,

:DE_LCE,

J.OCLCE,

：。。是。。半徑，

是O。的切線；

(2)①如圖，連接BC,

在Rt/XBCE中，CE=3,BE=1,

：.BC=<BE2+CE2=V10,

是。。的直徑，

；.NACB=90°,

ZA+ZABC=90°,

?：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

???CE是OO的切線，

OCE=90°,即NOC3+N3CE=90°,

NA=NBCE,

RCRF??V101

VsinA=-Tp=sin/BCE=即---=-j=,

ABBCABV10

.\AB=10,

即。。的半徑為5；

②如圖，連接?！?，過點。作。于點/,則/BOM=NDOM=^NBOZ),

在Rtz\BOM中，0M=CE=3,02=5,

cosXBOM=|=sinXOBM,

：.Z0BM^31°,

：.ZBOD^18Q°-37°-37°=106°,

22.(9分)已知二次函數y=7-4?tx+47”-1.

(1)求證：該二次函數的圖象與無軸始終有交點.

(2)若該二次函數圖象的頂點坐標為P(x,y).

①y與x的函數關系是y=-(x-1)2；

②已知直線y=-2x-1分別交x軸，y軸于點C,D,若位于①中的函數圖象上的點A在直線y=-2x

-1的上方，直接寫出點A的橫坐標的取值范圍，并求點A到直線y=-2x-1的最大距離.

yjk

A

X

【解答】(1)證明：由題意，:拋物線為y=/-4mx+4m-1,

A=(-4m)2-4(4m-1)

=16m2-16m+4

=(4m-1)2+3.

???對于任意的機都有(4徵-1)220,

???△=(4m-1)2+3^3>0.

???該二次函數的圖象與％軸始終有交點.

(2)解：①由題意，,拋物線為y=7-4znx+4機-1=(x-2m)2-4m2+4m-1=(x-2m)2-(2m

-1)2,

???頂點為(2m,-(2m-1)2).

.*.x=2m,y=-(2m-1)2.

.?.y=-(x-1)2.

故答案為：y=-(x-1)2

②由題意，如圖，

聯列方程組

(y=-(x-

??1y=-1或|y=-9,

???直線y=-2x-1與拋物線y=-(%-1)2的交點為(0,-1),(4,-9).

又點A在直線y=-2x-1的上方，

/.0<XA<4.

當A到直線y=-2尤-1的最大時，過A的直線平行于CD且與拋物線y=-(尤-1)2相切,

可設此時過A的直線為>=-2x+m.

方程-(x-1)2=-2x+m的A=16-4(m+1)=0.

???根=3.

...過A的直線為了=-2x+3.

3

此時，該直線交x軸于尸(3，0),