三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式（九大題型）（講義）（解析版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考試題+回歸教材）

第01講三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：三角函數(shù)基本概念.....................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系.................................................5

知識(shí)點(diǎn)3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.....................................................6

解題方法總結(jié)...................................................................7

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別.........................................7

題型二：等分角的象限問題.......................................................9

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算...............................................11

題型四：割圓術(shù)問題.............................................................15

題型五：三角函數(shù)的定義.........................................................17

題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值........................................20

題型七：弦切互化求值..........................................................23

題型八：誘導(dǎo)求值與變形........................................................25

題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用............................27

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................31

05課本典例高考素材...........................................................34

06易錯(cuò)分析答題模板...........................................................36

易錯(cuò)點(diǎn)：不能理解三角函數(shù)的定義................................................36

1/37

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)此也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考

（1）三角函數(shù)基本概念

2023年甲卷第14題，5分查，將三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)

（2）任意角的三角函數(shù)

2022年浙江卷第13題，5分系式和誘導(dǎo)公式綜合起來考查，且考查得

（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)

2021年甲卷第8題，5分較為靈活，需要深人理解概念、熟練運(yùn)用

系

公式.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.

（2）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式side+COS?,包吧=tana.

cosa

（3）掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

2/37

㈤2

〃皿SM圖?患嶂黑麻…

/'象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)量合，角的始邊

/與X軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在

T第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果

\角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于浮動(dòng)主題:

'、任何一個(gè)象限.

/第,象限角：(al"ir<a<2A-”+^#eZ})

象

限一)第二象限角：WXK+等a<2AF+M*WZ}］

?

￡

集一［第三象限fh(al2tTr+*<a<2AF+爭(zhēng).*W討

合

第四象限角：(E2AF+要<a<2*ir+2P4?函］

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老占空砧-瓢型熔宙、

知識(shí)點(diǎn)1:三角函數(shù)基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖

形；

②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是$={尸|尸=*36(r+a"€z}.

(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

/象

^

[限第二象限角：+

-角

的

m集第三象限角：{al2房+TT<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：{al2Lb+算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度.正角

的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=萬rad,1°=—rad,lrad=幽.

180n

(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：/=?,扇形的面積公式：S=^lr=^\a\-r2.

3、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x,y)時(shí)，貝Usina=y,cosa=x,tana=—(x0).

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)PP(x,y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到原

4/37

點(diǎn)O的距離為，，貝!Jsina=2,cosa=—,tana=—(x0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號(hào)符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sinaR++一一

coscrR+一一+

71

tana{aawATT+萬，左￡Z}+—+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4,三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過P作PMlx軸，垂足為過N(1,0)作單位圓的切線

與a的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.

【診斷自測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于］的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的

角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】因?yàn)殇J角ae(O^),所以小于］的角不一定是銳角，故①不成立;

因?yàn)殁g角6eg,兀)，第二象限角6?e+2祈，兀+2祈)，keZ,所以鈍角一定是第二象限角，故②成立;

若兩個(gè)角的終邊不重合，則這兩個(gè)角一定不相等，故③成立；

例如a=120°,尸=390°,但故④不成立.

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l.

5/37

（2）商數(shù)關(guān)系：S^na=tana（a^—+kji）；

cosa2

【診斷自測(cè)】（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與1軸的非

負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)打3,4）,則sin。+2cosa=（）

cosa-sma

A.11B.-10C.10D.-11

【答案】B

【解析】因?yàn)榻俏斓捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與1軸的非負(fù)半軸重合,

且角的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（3,4）,

443

所以sina=cosa=

V9+1655

4+2*3

“…sina+2cosa

所以-------;—V^=T。

cosa-sma

55

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式--二三四五六

7171

角2k兀+a(kGZ)71+a-a7i-a-----a----F(X

22

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦coscr-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：⑴先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作嗚土a；

（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷〃?工±a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）

2

當(dāng)"為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

【診斷自測(cè)】（2024?河南信陽?模擬預(yù)測(cè)）若sin[a+m[=[,則cos[a+,1=（）

11

AR1C+口后

4444

【答案】B

6/37

【解析】由sin(a+])=；,得cos[tz+g]=cos[a+；]+：=-sin[a+￡1

4

故選：B

解題方法總結(jié)

1、利用siYa+cos2a=1可以實(shí)現(xiàn)角口的正弦、余弦的互化，利用絲巴=tane可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切

cosa

互化.

2、usina+cosa，sinacosa，sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a

(sina-cosa)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—sin2a

(sina+cos6z)2+(sina-cosa)2=2

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

【典例1-1】集合/=同［=-2024。+上180。,左€2｝中的最大負(fù)角a為（）v

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

【答案】C

【解析】因?yàn)?2024°=-44。-llxl80。，

所以集合4=｛ala=-2024。+h180。,左eZ｝中的最大負(fù)角a為-44°.

故選：C.

【典例1-2］（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）若角1的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線

>=怎上，則角a的取值集合是（）

A.|a|a=2fat+yezjB.|a|a=2kn+^-,k&zj-

C.=kn+^-,kED.=E+g,左eZ,

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，角

7/37

的終邊在直線y=上，a為第一象限角時(shí)，a=：+2E化eZ）；

47r

。為第三象限角時(shí)，a=y+2hi^eZ）;

綜上，角a的取值集合是jae=；+E,左eZ,.

故選：D.

【方法技巧】

（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決.

（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳

角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角.

【變式1-1］如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角戊的集合是（）

-4-246x

A.|,+2hiWaW（2左+1）兀，左￡zj>B.］,+析WaV（左+1）兀，左EZ）

C.|-^+2^71<a<（2kA：eZ|D.|-^-+2fci<a<2AJI,keZj

【答案】B

5兀

【解析】終邊落在陰影部分的角為9+EWaV（左+1）兀，左eZ,

6

即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a的集合是+析VaW（左+l）7i,左ez）

故選：B.

【變式1-2】用弧度制分別表示每個(gè)圖中頂點(diǎn)在原點(diǎn)、始邊重合于x軸的非負(fù)半軸、終邊落在陰影部分內(nèi)

（包括邊界）的角的集合.

【解析】圖1：易知［cd-5+2EVaV工+2配左ez］；

612

8/37

圖2：[al-包+2左兀<a<—+2kit,kGZ\

[44J

jrjr77r37r

圖3：{a|—+2歷iWaW—■b2E或--1-2kn<a<----F2E,keZ}

6262

兀兀兀7L

={a|一+2左兀<aW—+2左?；蛞?兀+2?<aK-+兀+2左兀，keZ}

6262

={a|—+2E<aW—+2fot或一+(2左+1)兀Wa<—+(2A:+1)TI,A:eZ}

6262

=看+EWa4左兀#ezj-

【變式1-3】已知角a的集合為/={a|a=30o+h9(r#eZ},回答下列問題：

(1)集合M中有幾類終邊不相同的角？

(2)集合M中大于一360。且小于360。的角是哪幾個(gè)？

(3)求集合M中的第二象限角P.

【解析】(1)集合M中的角可以分成四類，即終邊分別與一150。，-60°,30。，120。的終邊相同的角.

1311

(2)令一360°<30°+h90°<360°,得一§〈人<§,

又無eZ,所以終邊不相同的角，所以集合M中大于一360。且小于360。的角共有8個(gè)，

分別是：一330°,-240°,-150°,-60°,30°,120°,210°,300°.

(3)集合用■中的第二象限角與120。角的終邊相同，

所以￡=120。+晨360。,左eZ.

題型二：等分角的象限問題

【典例2-1】已知a是第二象限角，則()

nn

A.三是第一象限角B.sin^>0

22

C.sinla<0D.2a是第三或第四象限角

【答案】C

【解析】是第二象限角，

JI冗a71

—F2k冗<a<乃+2k兀,左eZ,即—Fk/c<—<—Fk7t,k￡Z,

2422

o(

???三是第一象限或第三象限角，故A錯(cuò)誤；

2

由1是第一象限或第三象限角，sin[〉0或sin1<0,故B錯(cuò)誤；

222

???。是第二象限角,

9/37

——F2k兀<a<TC+2k兀,k￡Z,

2

/.7i+4左?<2a<2TT+4k兀,k￡Z,

???2cr是第三象限，第四象限角或終邊在>軸非正半軸，sin2a<0,故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

2k冗jr

【典例2-2】（2024?高三?湖北黃岡?期中）若角a滿足a=W+J（keZ）,則0的終邊一定在（）

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D.第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

【答案】D

【解析】當(dāng)左=0時(shí)，a=￡,終邊位于第一象限

6

當(dāng)上=1時(shí)，a=>,終邊位于第二象限

6

萬

當(dāng)左=2時(shí)，a=咚3,終邊位于丁軸的非正半軸上

2

TT

當(dāng)左=3時(shí)，。=2〃+—，終邊位于第一象限

6

綜上可知，則a的終邊一定在第一象限或第二象限或y軸的非正半軸上

故選。

【方法技巧】

先從戊的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）區(qū)的象限分布圖示.

n

（y

【變式2-1］已知sincz>0,cosa<0,則］的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閟ina>0,cosa<0,

TT

所以。為第二象限角，即一+2/CJI<a<兀+2kn,keZ,

2

▼…兀2析a7i2kii)

所以一+——<—<—+——,rksZ

63333

則號(hào)的終邊所在象限為

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即號(hào)的終邊在第一、二、四象限.

故選：D.

【變式2-2】若角a是第二象限角，則角2a的終邊不可能在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限

【答案】A

【解析】,角a是第二象限角，.次x360°+90°<a<發(fā)*360°+180°,k&L.

???2左x360°+180°<2a<2后X3600+360。，k^L.

???2a可能是第三或第四象限角或是終邊在夕軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.

故選A.

aaa

【變式2-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知角C第二象限角，且cosjcos],則角卷是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

JT

【解析】因?yàn)榻莂第二象限角，所以萬+2而<a<?i+2E（左eZ）,

所以[+析<?<[+?（丘Z）,所以角1是第一象限角或第三象限角.

422'，2

又因?yàn)镃OSz=COSz，即cos1>0,所以角三是第一象限角，

2222

故選：A.

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算

【典例3-1】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）用一個(gè)圓心角為120。，面積為3%的扇形OMN（。為圓心）用

成一個(gè)圓錐（點(diǎn)恰好重合），該圓錐頂點(diǎn)為尸，底面圓的直徑為則cos//尸8的值為—.

【答案】t7

【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為『，

???扇形的圓心角為2千兀

11/37

???扇形的弧長(zhǎng)等于它圍成的圓錐的底面周長(zhǎng),

2兀7c1

---/=271r:.r=\,

3

所以圓錐的軸截面△A5P中，PA=PB=3,AB=2,

P#+PB?-AB?18-4_7

由余弦定理可得cos//P5=

2PAPB2x3x3—5

7

故答案為：—

【典例3-2】若扇形的周長(zhǎng)為18,則扇形面積取得最大值時(shí)，扇形圓心角的弧度數(shù)是

【答案】2

【解析】設(shè)扇形的半徑為「，弧長(zhǎng)為/,則/+2-=18,BPZ=18-2r,

所以扇形面積S=|zr=1r(18-2r)=-r2+9r=-(r-1)2+y,

所以當(dāng)r==9時(shí)，S取得最大值為8之1，此時(shí)/=18-2x9；=9,

242

所以圓心角為7一9一(弧度).

2

故答案為：2

【方法技巧】

應(yīng)用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【變式3-1]已知扇形的周長(zhǎng)為20cm,則當(dāng)扇形的圓心角a=扇形面積最大.

【答案】2

【解析】設(shè)扇形的半徑為人弧長(zhǎng)為/,

由題意，2r+/=20^Z=20-2r(0<r<10),

扇形的面積為5=5-=；(20-2廠)廠=10一產(chǎn)

=-(r-5)2+25(0<r<10),所以當(dāng)r=5時(shí)，

扇形面積取最大值25,此時(shí)/=20-10=10,

所以扇形的圓心角a='=當(dāng)=2時(shí)，扇形面積最大.

r5

故答案為：2

【變式3-2](2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè))下圖是第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)

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ABCD.已知筋=2兀，AD=3.且該扇環(huán)48CD的面積為9兀，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，則該圓

臺(tái)的體積為一.

Or=2TI_

2兀

由題意可知，1ln2「，解得r=3,0=—,

一。（3+7，）——“=9/13

、22

—、27r

則。。=丁*6=4兀，將該扇面作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，

則圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為1和2,

所以其高為J?-（2-1）?=20,

故該圓臺(tái)的體積為V=?兀+4兀+4兀*4兀）x2V2=色產(chǎn).

故答案為：電身.

3

【變式3-3］（2024?廣東?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x/中放置著一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形尸

且滿足尸3與無軸平行，點(diǎn)A在無軸上.現(xiàn)將三角形尸48沿x軸在平面直角坐標(biāo)系xQy內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)

尸（Xj）的軌跡方程是〉=/■（",則”X）的最小正周期為—；＞=y（x）在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸

13/37

【解析】設(shè)尸(P,苧),

如圖，當(dāng)三角形尸N3沿x軸在平面直角坐標(biāo)系x/內(nèi)滾動(dòng)時(shí),

開始時(shí)，尸先繞A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B旋轉(zhuǎn)到用時(shí)，P旋轉(zhuǎn)到此時(shí)4(p+l,[),

然后再以4為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后P旋轉(zhuǎn)到此時(shí)￡5+g,0),

當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)時(shí)，P不旋轉(zhuǎn),此時(shí)A旋轉(zhuǎn)到4，

當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)后，必以4為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后尸旋轉(zhuǎn)到月，

點(diǎn)尸從開始到當(dāng)時(shí)是一個(gè)周期，故了=/(x)的周期為〃N=3,

如圖,初，初為y=/(x)相鄰兩個(gè)零點(diǎn),

y=/(x)在上的圖像與x軸圍成的圖形的面積為：

、12兀V32nV3

2x—x——x12+——x12=-----1.

23434

【變式3-4】建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我

國(guó)古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形成

雕，可視為扇形。CA截去同心扇形所得部分，已知/D=lm，弧=弧CO=竽m,則此扇

環(huán)形磚雕的面積為—m2.

【答案】5

【解析】設(shè)圓心角為口，則&=竺=理

OD0A

14/37

2兀兀

所以3=3，解得。4=lm,所以O(shè)Z）=2m,

OA+1~OA

1—、1

所以此扇環(huán)形磚雕的面積為一CD。。--4瓦CM

22

1271cl兀171°

=—x——x2——X—xl=-m.

23232

故答案為：三

題型四：割圓術(shù)問題

【典例4-1】（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測(cè)）魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周

355

率兀約等于和兀相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破.若已知兀的近似值

兀J16一兀2

還可以表示成4sin52。，則一二°?八°3的值約為（）

cos3.5+sin3.5——

4

11

A.-32B.——C.32D.—

3232

【答案】C

71A/16-71*2*

【解析】將…代入duE。》，

4

7iJ16一兀2

可得T

cos43.5°+sin43.5°——

4

4sin52°-4cos52°

2

l+cos7°I+l-cos7°

22

8sin104。

-cos270--

24

8sinl04。

-(l+cosl4°)--

44

8cosl40__

1---------=32

—cosl4°

4

故選：C.

【典例4-2】我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正〃邊形隨著邊數(shù)〃

15/37

的無限增大，圓的內(nèi)接正"邊形的周長(zhǎng)就無限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率兀的近似值.如圖當(dāng)〃=6

時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為6.，故--即行3.運(yùn)用，，割圓術(shù)，，的思想,下列估算正確的是（）

B.〃=12時(shí)，n?6sinl50

C.”=12時(shí)，71212cos15”D.”=12時(shí)，7i?s24cosl5°

【答案】A

【解析】設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成12個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為30。，即乙408=30。,

作。”于點(diǎn)則H為的中點(diǎn)，且//OH=15°,

4HAH

因?yàn)?4=03=/，在中，sinZAOH=——,即sinl5°=—

OAr

所以，N”=rsinl5°，則=2rsinl5°，

,,,-J?4rsin15°

所以，正十二邊形的周長(zhǎng)為￡=12x2rxsinl5°=24rsinl5°,所以，TI?—=----------------=12sin150.

2r2r

故選：A.

v

【方法技巧】

割圓術(shù)是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的方法，用于計(jì)算圓周率。其核心思想是通過不斷倍增圓內(nèi)接正多

邊形的邊數(shù)，使正多邊形的周長(zhǎng)無限接近圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而求得較為精確的圓周率。這一方法體現(xiàn)了極限思

想，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。具體操作為：從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐步分割成正十二邊形、

正二十四邊形等，直至邊數(shù)無法再增，此時(shí)正多邊形的周長(zhǎng)即接近圓周率與直徑的乘積。

【變式4-1］（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，“割之彌細(xì),

所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直

分割到圓內(nèi)接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內(nèi)接正"邊形與圓內(nèi)接正

2〃邊形分別計(jì)算出的圓周率的比值為（）

16/37

【答案】B

【解析】對(duì)于正〃邊形，其圓心角為,面積為（言］=|r2sin^^|，對(duì)于正2〃

邊形，其圓心角為［罷）,

故選：B.

【變式4-2】在3世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌

少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以

視為將一個(gè)圓內(nèi)接正〃邊形等分成〃個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)〃越大，等腰三角形的面積之和越近似

等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin5。的近似值為（

71一兀

D.—

7248C宗18

【答案】C

27r

【解析】在單位圓中作內(nèi)接正三十六邊形,則每個(gè)等腰三角形的頂角為10°,底邊約為9,

36

TC

由題意得初5。。皿=工'

136

故選：C

題型五：三角函數(shù)的定義

【典例5-1】（2024?江西?二模）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)M（后,1）,貝!|cosa=（）

17/37

c.V2

【答案】A

【解析】根據(jù)題意r=|。必=/可+F=6，

由三角函數(shù)的定義得cosc='=*=".

rV33

故選：A.

【典例5-2](2024?北京房山?一模)已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),把角a的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)]得

到角，的終邊，貝!|sin"=()

4433

A.—B.—C.一一D.—

5555

【答案】D

【解析】因?yàn)榻?的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),

33

所以cosa=/=嚏,

V32+425

因?yàn)榘呀莂的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)]得到角尸的終邊，

TT

所以￡=a+],

.C.\兀)3

所以sin〃=sin|a+—=cosa=—.

故選：D.

【方法技巧】

(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求a的三角函數(shù)值；已知角a的三角函數(shù)值,

也可以求出角a終邊的位置.

(2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符

號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

【變式5-1](2024?北京通州?二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非

4_3

負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)尸,貝I」cos(it_2a)=

5，-5

【答案】B

18/37

34

【解析】由三角函數(shù)的定義可得sina=-w，cosa=w

7

所以cos（兀-2a）=-cosla=

25

故選：B.

【變式5-2】已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(l,2sina),則sine的值不可能是()

A.3B.0C.--D.；

222

【答案】D

2sina

【解析】由定義，sma=/一2，

A/1+4sma

當(dāng)sina=0,合題意；

當(dāng)sma"化簡(jiǎn)得="由于橫坐標(biāo)1>°,角的終邊在一、四象限,

所以sina=±.

2

故選：D.

【變式5-3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，動(dòng)點(diǎn)尸、。從點(diǎn)/(1,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸按

IT117T

逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)3弧度，點(diǎn)。按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)號(hào)弧度，則?、。兩點(diǎn)在第1804次相遇時(shí)，點(diǎn)

19/37

(2,712,71i

故對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為[cosy-,siny-J,

故選：C

【變式5-4］（2024?山東濟(jì)南?二模）質(zhì)點(diǎn)尸和。在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓。上逆時(shí)針作勻速

圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).尸的角速度大小為2rad/s,起點(diǎn)為圓。與x軸正半軸的交點(diǎn)；0的角速度大小為

5rad/s,起點(diǎn)為圓O與射線y=-岳（xNO）的交點(diǎn).則當(dāng)。與P第2024次重合時(shí)，尸的坐標(biāo)為（）

（2兀.2兀、（5兀.5兀、/兀.兀）「兀.兀

A.^Cos-,smTJB.^-cos-,-sm-jC.^cos-,-sin-jD.^-cos-,sin-

【答案】B

【解析】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為f,則重合點(diǎn)坐標(biāo)為（cos2t,sin2。,

TT

由題意可知，兩質(zhì)點(diǎn)起始點(diǎn)相差角度為§，

則夕一2%=2左兀+1?（左￡N）,解得/=今三+已（左￡Z）,

若左=0,則/=￡,則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，OS笥,sin吾），

若左=1,則/=子，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為［cos等,$也與］,BP^-COSy,-silly

若左=2,則/=一，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為（cos等,sin咨］，即1-COS三,si吟］

當(dāng)。與P第2024次重合時(shí)，4=2023,貝心=上1213黃9兀，

制壬么2427871.24278兀，5兀.5兀

則重合點(diǎn)坐標(biāo)為［cos---,sm---I,即［-cos-p-sm］-

故選：B.

題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

【典例6-1](2024?北京海淀?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角1以。x為始邊，終邊在第三象限.則

()

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

【答案】C

【解析】由題意可得sina<0、cos