三角函數(shù)概念與誘導公式（九大題型）（講義）（解析版）-2025高考數(shù)學一輪復習（含2024年高考試題+回歸教材）

第01講三角函數(shù)概念與誘導公式

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖思維引航............................................................3

03考點突破題型探究............................................................4

知識點1：三角函數(shù)基本概念.....................................................4

知識點2：同角三角函數(shù)基本關系.................................................5

知識點3：三角函數(shù)誘導公式.....................................................6

解題方法總結...................................................................7

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別.........................................7

題型二：等分角的象限問題.......................................................9

題型三：弧長與扇形面積公式的計算...............................................11

題型四：割圓術問題.............................................................15

題型五：三角函數(shù)的定義.........................................................17

題型六：象限符號與坐標軸角的三角函數(shù)值........................................20

題型七：弦切互化求值..........................................................23

題型八：誘導求值與變形........................................................25

題型九：同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式的綜合應用............................27

04真題練習?命題洞見...........................................................31

05課本典例高考素材...........................................................34

06易錯分析答題模板...........................................................36

易錯點：不能理解三角函數(shù)的定義................................................36

1/37

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

高考對此也經常以不同的方式進行考

（1）三角函數(shù)基本概念

2023年甲卷第14題，5分查，將三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關

（2）任意角的三角函數(shù)

2022年浙江卷第13題，5分系式和誘導公式綜合起來考查，且考查得

（3）同角三角函數(shù)的基本關

2021年甲卷第8題，5分較為靈活，需要深人理解概念、熟練運用

系

公式.

復習目標：

（1）了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.

（2）理解同角三角函數(shù)的基本關系式side+COS?,包吧=tana.

cosa

（3）掌握誘導公式，并會簡單應用.

2/37

㈤2

〃皿SM圖?患嶂黑麻…

/'象限角：使角的頂點與原點量合，角的始邊

/與X軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在

T第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果

\角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于浮動主題:

'、任何一個象限.

/第,象限角：(al"ir<a<2A-”+^#eZ})

象

限一)第二象限角：WXK+等a<2AF+M*WZ}］

?

￡

集一［第三象限fh(al2tTr+*<a<2AF+爭.*W討

合

第四象限角：(E2AF+要<a<2*ir+2P4?函］

3/37

老占空砧-瓢型熔宙、

知識點1:三角函數(shù)基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖

形；

②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，構成的角的集合是$={尸|尸=*36(r+a"€z}.

(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

/象

^

[限第二象限角：+

-角

的

m集第三象限角：{al2房+TT<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：{al2Lb+算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.正角

的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=萬rad,1°=—rad,lrad=幽.

180n

(3)扇形的弧長公式：/=?,扇形的面積公式：S=^lr=^\a\-r2.

3、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點尸(x,y)時，貝Usina=y,cosa=x,tana=—(x0).

(2)推廣：三角函數(shù)坐標法定義中，若取點PP(x,y)是角a終邊上異于頂點的任一點，設點尸到原

4/37

點O的距離為，，貝!Jsina=2,cosa=—,tana=—(x0)

rrx

三角函數(shù)的性質如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號符號限符號限符號

sinaR++一一

coscrR+一一+

71

tana{aawATT+萬，左￡Z}+—+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4,三角函數(shù)線

如下圖，設角a的終邊與單位圓交于點P,過P作PMlx軸，垂足為過N(1,0)作單位圓的切線

與a的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.

【診斷自測】在平面直角坐標系中，給出下列命題：①小于］的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的

角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】因為銳角ae(O^),所以小于］的角不一定是銳角，故①不成立;

因為鈍角6eg,兀)，第二象限角6?e+2祈，兀+2祈)，keZ,所以鈍角一定是第二象限角，故②成立;

若兩個角的終邊不重合，則這兩個角一定不相等，故③成立；

例如a=120°,尸=390°,但故④不成立.

故選：B.

知識點2：同角三角函數(shù)基本關系

1、同角三角函數(shù)的基本關系

(1)平方關系：sin2a+cos2a=l.

5/37

（2）商數(shù)關系：S^na=tana（a^—+kji）；

cosa2

【診斷自測】（2024?四川成都?模擬預測）在平面直角坐標系中，角。的頂點與原點重合，始邊與1軸的非

負半軸重合，終邊經過點打3,4）,則sin。+2cosa=（）

cosa-sma

A.11B.-10C.10D.-11

【答案】B

【解析】因為角戊的頂點與原點重合，始邊與1軸的非負半軸重合,

且角的終邊經過點尸（3,4）,

443

所以sina=cosa=

V9+1655

4+2*3

“…sina+2cosa

所以-------;—V^=T。

cosa-sma

55

故選：B.

知識點3：三角函數(shù)誘導公式

公式--二三四五六

7171

角2k兀+a(kGZ)71+a-a7i-a-----a----F(X

22

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦coscr-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：⑴先將誘導三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作嗚土a；

（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷〃?工±a所處的象限，并判斷題設三角函數(shù)在該象限的正負；（3）

2

當"為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當〃為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

【診斷自測】（2024?河南信陽?模擬預測）若sin[a+m[=[,則cos[a+,1=（）

11

AR1C+口后

4444

【答案】B

6/37

【解析】由sin(a+])=；,得cos[tz+g]=cos[a+；]+：=-sin[a+￡1

4

故選：B

解題方法總結

1、利用siYa+cos2a=1可以實現(xiàn)角口的正弦、余弦的互化，利用絲巴=tane可以實現(xiàn)角a的弦切

cosa

互化.

2、usina+cosa，sinacosa，sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a

(sina-cosa)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—sin2a

(sina+cos6z)2+(sina-cosa)2=2

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

【典例1-1】集合/=同［=-2024。+上180。,左€2｝中的最大負角a為（）v

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

【答案】C

【解析】因為-2024°=-44。-llxl80。，

所以集合4=｛ala=-2024。+h180。,左eZ｝中的最大負角a為-44°.

故選：C.

【典例1-2］（2024?湖北?模擬預測）若角1的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線

>=怎上，則角a的取值集合是（）

A.|a|a=2fat+yezjB.|a|a=2kn+^-,k&zj-

C.=kn+^-,kED.=E+g,左eZ,

【答案】D

【解析】根據題意，角

7/37

的終邊在直線y=上，a為第一象限角時，a=：+2E化eZ）；

47r

。為第三象限角時，a=y+2hi^eZ）;

綜上，角a的取值集合是jae=；+E,左eZ,.

故選：D.

【方法技巧】

（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決.

（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳

角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角.

【變式1-1］如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角戊的集合是（）

-4-246x

A.|,+2hiWaW（2左+1）兀，左￡zj>B.］,+析WaV（左+1）兀，左EZ）

C.|-^+2^71<a<（2kA：eZ|D.|-^-+2fci<a<2AJI,keZj

【答案】B

5兀

【解析】終邊落在陰影部分的角為9+EWaV（左+1）兀，左eZ,

6

即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a的集合是+析VaW（左+l）7i,左ez）

故選：B.

【變式1-2】用弧度制分別表示每個圖中頂點在原點、始邊重合于x軸的非負半軸、終邊落在陰影部分內

（包括邊界）的角的集合.

【解析】圖1：易知［cd-5+2EVaV工+2配左ez］；

612

8/37

圖2：[al-包+2左兀<a<—+2kit,kGZ\

[44J

jrjr77r37r

圖3：{a|—+2歷iWaW—■b2E或--1-2kn<a<----F2E,keZ}

6262

兀兀兀7L

={a|一+2左兀<aW—+2左?；蛞?兀+2?<aK-+兀+2左兀，keZ}

6262

={a|—+2E<aW—+2fot或一+(2左+1)兀Wa<—+(2A:+1)TI,A:eZ}

6262

=看+EWa4左兀#ezj-

【變式1-3】已知角a的集合為/={a|a=30o+h9(r#eZ},回答下列問題：

(1)集合M中有幾類終邊不相同的角？

(2)集合M中大于一360。且小于360。的角是哪幾個？

(3)求集合M中的第二象限角P.

【解析】(1)集合M中的角可以分成四類，即終邊分別與一150。，-60°,30。，120。的終邊相同的角.

1311

(2)令一360°<30°+h90°<360°,得一§〈人<§,

又無eZ,所以終邊不相同的角，所以集合M中大于一360。且小于360。的角共有8個，

分別是：一330°,-240°,-150°,-60°,30°,120°,210°,300°.

(3)集合用■中的第二象限角與120。角的終邊相同，

所以￡=120。+晨360。,左eZ.

題型二：等分角的象限問題

【典例2-1】已知a是第二象限角，則()

nn

A.三是第一象限角B.sin^>0

22

C.sinla<0D.2a是第三或第四象限角

【答案】C

【解析】是第二象限角，

JI冗a71

—F2k冗<a<乃+2k兀,左eZ,即—Fk/c<—<—Fk7t,k￡Z,

2422

o(

???三是第一象限或第三象限角，故A錯誤；

2

由1是第一象限或第三象限角，sin[〉0或sin1<0,故B錯誤；

222

???。是第二象限角,

9/37

——F2k兀<a<TC+2k兀,k￡Z,

2

/.7i+4左?<2a<2TT+4k兀,k￡Z,

???2cr是第三象限，第四象限角或終邊在>軸非正半軸，sin2a<0,故C正確，D錯誤.

故選：C.

2k冗jr

【典例2-2】（2024?高三?湖北黃岡?期中）若角a滿足a=W+J（keZ）,則0的終邊一定在（）

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D.第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

【答案】D

【解析】當左=0時，a=￡,終邊位于第一象限

6

當上=1時，a=>,終邊位于第二象限

6

萬

當左=2時，a=咚3,終邊位于丁軸的非正半軸上

2

TT

當左=3時，。=2〃+—，終邊位于第一象限

6

綜上可知，則a的終邊一定在第一象限或第二象限或y軸的非正半軸上

故選。

【方法技巧】

先從戊的范圍出發(fā)，利用不等式性質，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）區(qū)的象限分布圖示.

n

（y

【變式2-1］已知sincz>0,cosa<0,則］的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因為sina>0,cosa<0,

TT

所以。為第二象限角，即一+2/CJI<a<兀+2kn,keZ,

2

▼…兀2析a7i2kii)

所以一+——<—<—+——,rksZ

63333

則號的終邊所在象限為

10/37

即號的終邊在第一、二、四象限.

故選：D.

【變式2-2】若角a是第二象限角，則角2a的終邊不可能在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第一、四象限

【答案】A

【解析】,角a是第二象限角，.次x360°+90°<a<發(fā)*360°+180°,k&L.

???2左x360°+180°<2a<2后X3600+360。，k^L.

???2a可能是第三或第四象限角或是終邊在夕軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.

故選A.

aaa

【變式2-3]（2024?全國?模擬預測）已知角C第二象限角，且cosjcos],則角卷是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

JT

【解析】因為角a第二象限角，所以萬+2而<a<?i+2E（左eZ）,

所以[+析<?<[+?（丘Z）,所以角1是第一象限角或第三象限角.

422'，2

又因為COSz=COSz，即cos1>0,所以角三是第一象限角，

2222

故選：A.

題型三：弧長與扇形面積公式的計算

【典例3-1】（2024?內蒙古呼和浩特?一模）用一個圓心角為120。，面積為3%的扇形OMN（。為圓心）用

成一個圓錐（點恰好重合），該圓錐頂點為尸，底面圓的直徑為則cos//尸8的值為—.

【答案】t7

【解析】設圓錐的母線長為/,底面半徑為『，

???扇形的圓心角為2千兀

11/37

???扇形的弧長等于它圍成的圓錐的底面周長,

2兀7c1

---/=271r:.r=\,

3

所以圓錐的軸截面△A5P中，PA=PB=3,AB=2,

P#+PB?-AB?18-4_7

由余弦定理可得cos//P5=

2PAPB2x3x3—5

7

故答案為：—

【典例3-2】若扇形的周長為18,則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數(shù)是

【答案】2

【解析】設扇形的半徑為「，弧長為/,則/+2-=18,BPZ=18-2r,

所以扇形面積S=|zr=1r(18-2r)=-r2+9r=-(r-1)2+y,

所以當r==9時，S取得最大值為8之1，此時/=18-2x9；=9,

242

所以圓心角為7一9一(弧度).

2

故答案為：2

【方法技巧】

應用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【變式3-1]已知扇形的周長為20cm,則當扇形的圓心角a=扇形面積最大.

【答案】2

【解析】設扇形的半徑為人弧長為/,

由題意，2r+/=20^Z=20-2r(0<r<10),

扇形的面積為5=5-=；(20-2廠)廠=10一產

=-(r-5)2+25(0<r<10),所以當r=5時，

扇形面積取最大值25,此時/=20-10=10,

所以扇形的圓心角a='=當=2時，扇形面積最大.

r5

故答案為：2

【變式3-2](2024?黑龍江雙鴨山?模擬預測)下圖是第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)

12/37

ABCD.已知筋=2兀，AD=3.且該扇環(huán)48CD的面積為9兀，若將該扇環(huán)作為側面圍成一圓臺，則該圓

臺的體積為一.

Or=2TI_

2兀

由題意可知，1ln2「，解得r=3,0=—,

一。（3+7，）——“=9/13

、22

—、27r

則。。=丁*6=4兀，將該扇面作為側面圍成一圓臺，

則圓臺上、下底面的半徑分別為1和2,

所以其高為J?-（2-1）?=20,

故該圓臺的體積為V=?兀+4兀+4兀*4兀）x2V2=色產.

故答案為：電身.

3

【變式3-3］（2024?廣東?二模）如圖，在平面直角坐標系x/中放置著一個邊長為1的等邊三角形尸

且滿足尸3與無軸平行，點A在無軸上.現(xiàn)將三角形尸48沿x軸在平面直角坐標系xQy內滾動，設頂點

尸（Xj）的軌跡方程是〉=/■（",則”X）的最小正周期為—；＞=y（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸

13/37

【解析】設尸(P,苧),

如圖，當三角形尸N3沿x軸在平面直角坐標系x/內滾動時,

開始時，尸先繞A旋轉，當B旋轉到用時，P旋轉到此時4(p+l,[),

然后再以4為圓心旋轉，旋轉后P旋轉到此時￡5+g,0),

當三角形再旋轉時，P不旋轉,此時A旋轉到4，

當三角形再旋轉后，必以4為圓心旋轉，旋轉后尸旋轉到月，

點尸從開始到當時是一個周期，故了=/(x)的周期為〃N=3,

如圖,初，初為y=/(x)相鄰兩個零點,

y=/(x)在上的圖像與x軸圍成的圖形的面積為：

、12兀V32nV3

2x—x——x12+——x12=-----1.

23434

【變式3-4】建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內有很多精美的磚雕，磚雕是我

國古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統(tǒng)磚墻精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形成

雕，可視為扇形。CA截去同心扇形所得部分，已知/D=lm，弧=弧CO=竽m,則此扇

環(huán)形磚雕的面積為—m2.

【答案】5

【解析】設圓心角為口，則&=竺=理

OD0A

14/37

2兀兀

所以3=3，解得。4=lm,所以OZ）=2m,

OA+1~OA

1—、1

所以此扇環(huán)形磚雕的面積為一CD。。--4瓦CM

22

1271cl兀171°

=—x——x2——X—xl=-m.

23232

故答案為：三

題型四：割圓術問題

【典例4-1】（2024?貴州銅仁?模擬預測）魏晉南北朝時期，祖沖之利用割圓術以正24576邊形，求出圓周

355

率兀約等于和兀相比，其誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才被打破.若已知兀的近似值

兀J16一兀2

還可以表示成4sin52。，則一二°?八°3的值約為（）

cos3.5+sin3.5——

4

11

A.-32B.——C.32D.—

3232

【答案】C

71A/16-71*2*

【解析】將…代入duE?！?，

4

7iJ16一兀2

可得T

cos43.5°+sin43.5°——

4

4sin52°-4cos52°

2

l+cos7°I+l-cos7°

22

8sin104。

-cos270--

24

8sinl04。

-(l+cosl4°)--

44

8cosl40__

1---------=32

—cosl4°

4

故選：C.

【典例4-2】我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術”，劉徽認為圓的內接正〃邊形隨著邊數(shù)〃

15/37

的無限增大，圓的內接正"邊形的周長就無限接近圓的周長，并由此求得圓周率兀的近似值.如圖當〃=6

時，圓內接正六邊形的周長為6.，故--即行3.運用，，割圓術，，的思想,下列估算正確的是（）

B.〃=12時，n?6sinl50

C.”=12時，71212cos15”D.”=12時，7i?s24cosl5°

【答案】A

【解析】設圓的內接正十二邊形被分成12個如圖所示的等腰三角形，其頂角為30。，即乙408=30。,

作?！庇邳c則H為的中點，且//OH=15°,

4HAH

因為04=03=/，在中，sinZAOH=——,即sinl5°=—

OAr

所以，N”=rsinl5°，則=2rsinl5°，

,,,-J?4rsin15°

所以，正十二邊形的周長為￡=12x2rxsinl5°=24rsinl5°,所以，TI?—=----------------=12sin150.

2r2r

故選：A.

v

【方法技巧】

割圓術是魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)的方法，用于計算圓周率。其核心思想是通過不斷倍增圓內接正多

邊形的邊數(shù)，使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進而求得較為精確的圓周率。這一方法體現(xiàn)了極限思

想，為中國古代數(shù)學發(fā)展做出了重要貢獻。具體操作為：從圓內接正六邊形開始，逐步分割成正十二邊形、

正二十四邊形等，直至邊數(shù)無法再增，此時正多邊形的周長即接近圓周率與直徑的乘積。

【變式4-1］（2024?四川成都?模擬預測）我國古代魏晉時期數(shù)學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，“割之彌細,

所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內接正六邊形逐次分割，一直

分割到圓內接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內接正"邊形與圓內接正

2〃邊形分別計算出的圓周率的比值為（）

16/37

【答案】B

【解析】對于正〃邊形，其圓心角為,面積為（言］=|r2sin^^|，對于正2〃

邊形，其圓心角為［罷）,

故選：B.

【變式4-2】在3世紀中期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌

少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術可以

視為將一個圓內接正〃邊形等分成〃個等腰三角形（如圖所示），當〃越大，等腰三角形的面積之和越近似

等于圓的面積.運用割圓術的思想，可得到sin5。的近似值為（

71一兀

D.—

7248C宗18

【答案】C

27r

【解析】在單位圓中作內接正三十六邊形,則每個等腰三角形的頂角為10°,底邊約為9,

36

TC

由題意得初5。。皿=工'

136

故選：C

題型五：三角函數(shù)的定義

【典例5-1】（2024?江西?二模）已知角a的終邊經過點M（后,1）,貝!|cosa=（）

17/37

c.V2

【答案】A

【解析】根據題意r=|。必=/可+F=6，

由三角函數(shù)的定義得cosc='=*=".

rV33

故選：A.

【典例5-2](2024?北京房山?一模)已知角a的終邊經過點(3,4),把角a的終邊繞原點。逆時針旋轉]得

到角，的終邊，貝!|sin"=()

4433

A.—B.—C.一一D.—

5555

【答案】D

【解析】因為角0的終邊經過點(3,4),

33

所以cosa=/=嚏,

V32+425

因為把角a的終邊繞原點。逆時針旋轉]得到角尸的終邊，

TT

所以￡=a+],

.C.\兀)3

所以sin〃=sin|a+—=cosa=—.

故選：D.

【方法技巧】

(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角a終邊上一點P的坐標可求a的三角函數(shù)值；已知角a的三角函數(shù)值,

也可以求出角a終邊的位置.

(2)判斷三角函數(shù)值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數(shù)值在各象限的符

號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況.

【變式5-1](2024?北京通州?二模)在平面直角坐標系xQy中，角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非

4_3

負半軸重合，終邊與單位圓交于點尸,貝I」cos(it_2a)=

5，-5

【答案】B

18/37

34

【解析】由三角函數(shù)的定義可得sina=-w，cosa=w

7

所以cos（兀-2a）=-cosla=

25

故選：B.

【變式5-2】已知角。的終邊經過點尸(l,2sina),則sine的值不可能是()

A.3B.0C.--D.；

222

【答案】D

2sina

【解析】由定義，sma=/一2，

A/1+4sma

當sina=0,合題意；

當sma"化簡得="由于橫坐標1>°,角的終邊在一、四象限,

所以sina=±.

2

故選：D.

【變式5-3】如圖所示，在平面直角坐標系xQy中，動點尸、。從點/(1,0)出發(fā)在單位圓上運動，點尸按

IT117T

逆時針方向每秒鐘轉3弧度，點。按順時針方向每秒鐘轉號弧度，則?、。兩點在第1804次相遇時，點

19/37

(2,712,71i

故對應坐標為[cosy-,siny-J,

故選：C

【變式5-4］（2024?山東濟南?二模）質點尸和。在以坐標原點。為圓心，半徑為1的圓。上逆時針作勻速

圓周運動，同時出發(fā).尸的角速度大小為2rad/s,起點為圓。與x軸正半軸的交點；0的角速度大小為

5rad/s,起點為圓O與射線y=-岳（xNO）的交點.則當。與P第2024次重合時，尸的坐標為（）

（2兀.2兀、（5兀.5兀、/兀.兀）「兀.兀

A.^Cos-,smTJB.^-cos-,-sm-jC.^cos-,-sin-jD.^-cos-,sin-

【答案】B

【解析】設兩質點重合時，所用時間為f,則重合點坐標為（cos2t,sin2。,

TT

由題意可知，兩質點起始點相差角度為§，

則夕一2%=2左兀+1?（左￡N）,解得/=今三+已（左￡Z）,

若左=0,則/=￡,則重合點坐標為，OS笥,sin吾），

若左=1,則/=子，則重合點坐標為［cos等,$也與］,BP^-COSy,-silly

若左=2,則/=一，則重合點坐標為（cos等,sin咨］，即1-COS三,si吟］

當。與P第2024次重合時，4=2023,貝心=上1213黃9兀，

制壬么2427871.24278兀，5兀.5兀

則重合點坐標為［cos---,sm---I,即［-cos-p-sm］-

故選：B.

題型六：象限符號與坐標軸角的三角函數(shù)值

【典例6-1](2024?北京海淀?一模)在平面直角坐標系xOy中，角1以。x為始邊，終邊在第三象限.則

()

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

【答案】C

【解析】由題意可得sina<0、cos