2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：一元二次方程

元二次方程

知識(shí)梳理

1.一元二次方程

方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.

2.一元二次方程的特點(diǎn)

(1)含有一個(gè)未知數(shù).

(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

(3)是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理.如果能

整理為ax2+bx+c=0(a豐0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程.

(4)將方程化為一般形式：a/+6尤+c=0時(shí),應(yīng)滿足a/).

3.一元二次方程的一般形式

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax?+。久+c=0(a/)).其中ax?是二

次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

4.一元二次方程的解法

(1)直接開(kāi)平方法.

(2)配方法.

(3)公式法.

(4)因式分解法.

5.根的判別式

一元二次方程根的判別式為/=b2-4ac.

典型例題

例1

若關(guān)于x的一元二次方程(機(jī)—I)%?+5久+62—36+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則m的值等于().

A.1B.2C.1或2D.0

分析首先為保證((山一1)必+5x+Hi?一3m+2=0是一元二次方程，則m一1力0;；其次，根據(jù)題意，常

數(shù)項(xiàng)為0,則m2—3m+2=0.

解B

例2

已知方程/+b%+a=0有一個(gè)根是-a(a知)，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是().

A.abB.a/bC.a+bD.a-b

分析將根代入方程，得a?-ab+a=0,提取公因式得到a(a-b+l)=0.

解將-a代入原方程，得a(a-b+l)=0

因?yàn)閍/)

所以a-b=-1

選D.

例3

解下列一元二次方程.

①9Q-I)2=(2%+1￥(用因式分解法)

②久2—5%+2=0(用公式法)

③y2-10y-10=0(用配方法)

④(x+2)2-25=0(直接開(kāi)平方法)

解①9Q—1)2=(2%+1)2

9(%-I)2-(2x+I)2=0

[3(x-1)+(2x+1)][3(x-1)-(2x+1)]=0

(5x-2)(x-4)=0

。=沁=4

@x2—5%+2=0

△=25-8=17

Y_5+V17丫_5-V17

x「丁F-丁

@y2-lOy-10=0

(y—5)2=35

y1=J雜+5,y2=-V患+5

用0+2)2—25=0

(x+2)=±5

%i=3,x2=—7

例4

已知x2—x—1=0,求—d+2x2+2014的值.

分析方法一，將一爐+2*2+2014變形為含有(%2一X)的形式；方法二，將=尤+1代入一必+2%2+

2014逐次降得.

解方法一因?yàn)椤?+2%2+2014=—X3+x2+x2+2014

=%(-%2+%)+X2+2014---;

又因?yàn)橐?一1=0,

所以一萬(wàn)2+X=-1,

將②代入①得

原式=xX(-1)+X2+2014=-x+x2+2007=-(-%2+%)+2014…③；

將②代入③得

原式=-(-1)+2014=2015.

方法二-%s+2x2+2014=-X-x2+2x2+2014

又因?yàn)橐?一1=0,

所以比2=X+1

將②代人①得

原式=-%(%+1)+2(%+1)+2014=-%2+%+2+2014=-1+2+2014=2015

雙基訓(xùn)練

1.方程2久2-1=V3r的二次項(xiàng)系數(shù)是,一次項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是

2.把一元二次方程(x+l)(l-x)=2x化成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的一般式是,其中二次項(xiàng)系數(shù)是,一次項(xiàng)系

數(shù)是—，常數(shù)項(xiàng)是.

3.關(guān)于x的方程((m—l)x2+(m+l)x+3m+2=0,當(dāng)m_時(shí)為一元一次方程，當(dāng)m時(shí)為一元二次方程.

4.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)根為x=-l,另一根滿足的一元二次方程.

5.在方程(0)2—4(曰)+1=0中，如果設(shè)y=曰，那么原方程可以化為關(guān)于y的整式方程是

%+3%+3%+3

6.已知6x2+xy—2y2=0,則為y的值為.

7.關(guān)于x的方程

(l)ax2+hx+c=0;

(2)x2—4%=8+/；

(3)l+(x-l)(x+l)=0;

(4)(fc2+l)x2+fcr+)=0)中,一元二次方程的個(gè)數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

8.如果(m+3)%2—Tn%+1=o是一元二次方程，貝(]().

A.mr-3B.n#3C.n#0D.mr-3且m#0

9.已知方程x2—2(m2—l)x+3m=0的兩個(gè)根是互為相反數(shù)，則m的值是().

A.m=±lB.m=-lC.m=lD.m=0

10.關(guān)于x的一元二次方程((a—l)x2+%+a2—1=。的一個(gè)根是0,則a的值().

A.1B.-lC.l或-1DJ

2

11.方程（（x-1）2-3（X-1）-4=0的較適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ牵ǎ?

A.開(kāi)平方B.因式分解C.配方法D.公式法

12.用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）.

4/—2X—99=0化為（x-I）2=100B.X2+8X+9=0化為（x+4）2=25

C.2產(chǎn)一7t—4=。化為（t一與2=siD.3y2-4y-2=0化為（y—9,=坨

41639

13.下面是李剛同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中解答的填空題，其中答對(duì)的是（）.

A.若%2=4,則x=2

B.方程x（2x-l）=2x-l的解為x=l

C.若x2+2x+k=0的一個(gè)根為1,貝Uk=-3;

D.若分式源-3%+z的值為零，則x=l,2

x-l

14.若（x+y）（x+y+2）-8=0,則x+y的值是（）.

A.-4或2B.-2或4C.一二或3D.3或-2

2

15.關(guān)于x的方程22%2+（2上一1）%+1=（有實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.當(dāng)k=工時(shí)方程的兩根互為相反數(shù)B.當(dāng)k=0時(shí)方程的根是x=--l

*2

C.當(dāng)k=±l時(shí)方程的兩根互為倒數(shù)D.當(dāng)攵工工時(shí)方程有實(shí)數(shù)根

4

16.等腰三角形的兩邊的長(zhǎng)是方程3一20%+91=0的兩個(gè)根，則此三角形的周長(zhǎng)為（）.

A.27B.33C.27和33D.以上都不對(duì)

17.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?/p>

①25--36=0②2（%-I）2=%2-1

③2,-7%+3=0circle4x2+2(V2—l)x+3—2V2=0

18.關(guān)于x的方程（m-遍）%血2_1一％+3=0是一元二次方程，則m=_.

19.如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為%i=3,%2=L那么這個(gè)一元二次方程是（）.

4%2+3%+4=0B.%2—4%+3=0

C.%2+4%—3=0D.好+3%—4=0

20.已知x2+3xy-4y2=0(y20),求0的值.

x+y

能力提升

21.方程（0—2）2=9的解是（）.

A.x±=5,x2=-1B.%i=—5,%2=1

C.%1=11,%2=-7D.=-H,x2=7

22.如果關(guān)于x的方程mx2—2（m+2）%+m4-5=0沒(méi)有實(shí)根，那么關(guān)于x的方程（m—5）x2—2（m+2）%+

TH=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）.

A.2個(gè)B.l個(gè)C.O個(gè)D.不確定

23.關(guān)于x的方程（（m-2）x^2-2一%+4=0是一元二次方程，則m=

24.用配方法解一元二次方程：.%2—2%-2=0.

25若分式無(wú)2-3%-4的值為零,求x的值.

|x-3|-l

26.若3十一%一1=0,求6%3+7x2-5%+2014的值.

27.試證明：不論m為何值，方程2產(chǎn)—(4m—l)x—m2—m=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

28.已知方程2%2一3%-血=0的一個(gè)根是"求它的另一個(gè)根和m的值.

2

29.已知關(guān)于x的方程kx2-2(k+l)x+k-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求k的取值范圍.

⑵是否存在實(shí)數(shù)k,使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.

30.當(dāng)k取何值時(shí)，一元二次方程%2—(2k—3)x+2k—4=0

(1)有兩個(gè)正根.

⑵有兩個(gè)異號(hào)根，且正根的絕對(duì)值較大.

拓展資源

31.簡(jiǎn)單高次方程的解法(換元法、因式分解法).

(l)x1-x2-20=0

(2)(x2-x)2-7x2+7%+10=0

(3)(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)=24

(4)x3—x2—x+l=0

(5)5(%2+i)_|_6(1+%)=17

x+l%2+l

32.用配方法求代數(shù)式的最大值或最小值.

(l)2x2+40x-88(2)1(t+10)(30-t)

2

33.已知關(guān)于x的方程(租—2)x2—2(m—l)x4-m+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的非負(fù)整數(shù)值.

34.若關(guān)于x的方程ax2—2ax—3=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

35.已知關(guān)于x的方程％2—2mx—3m2+8m—4=0.

⑴求證：當(dāng)m>2時(shí)，原方程總有兩實(shí)數(shù)根.

(2)若原方程的兩根一個(gè)小于5,另一個(gè)大于2,求m的取值范圍.

1.2,-V3,-l2.x2+2x-1=0,1,2,-13=1#14.x2+x=05.2一”+1=。6.」或一27.B8.A9.B10,B

23

11.B12.B13.C14.A15.D16.C17.①x=土號(hào)②x1=l,x2=3;③%=工足=3;④x=l-y/2