中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：相似三角形

相似三角形

?課前熱身

1.如圖，已知AB〃CD〃Eb,那么下列結(jié)論正確的是()

ADBCBCDFCD_BCCD_AD

---=----B.---=----

DFCE-------------CEAD~EF~~BE~EF~~AF

2.如圖所示，給出下列條件:

①ZB=ZACD；②ZAOC=ZACB；

_ACAB

③----二-----@AC2=AD,AB.

CDBC

其中單獨(dú)能夠判定AA5cs△A。。的個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

3.已知△ABCs^DEF,且AB：DE=1：2,則4ABC的面積與aDEF的面積之比為()

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1

4.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：

(1)DE=1,(2)ACDE^ACAB,(3)4CDE的面積與4CAB的面積之比為L(zhǎng)4.

其中正確的有：()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【參考答案】

1.A

2.C

3.B

4.D

?考點(diǎn)聚焦

1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì).

2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際

問題.

3.掌握?qǐng)D形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮小.

4.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置

或由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置.

?備考兵法

1.證明三角形相似的方法常用的有三個(gè)，到底用哪個(gè)要根據(jù)具體情況而定，要注意基

本圖形的應(yīng)用，如“A型”“X型”“母子型”等.

2.用相似三角形的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問題，關(guān)鍵是要先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

問題，識(shí)別或作出相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)求解，并回答實(shí)際問題，注意題目

的解一定要符合題意.

3.用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)描述物體的位置，用坐標(biāo)的方法來研究圖形的運(yùn)動(dòng)變換，是較

為常見的考法，要注意訓(xùn)練.

?考點(diǎn)鏈接

一、相似三角形的定義

三邊對(duì)應(yīng)成,三個(gè)角對(duì)應(yīng)_______的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

二、相似三角形的判定方法

1.若DE〃BC（A型和X型）則.

2.射影定理：若CD為Rt/XABC斜邊上的高（雙直角圖形）

則RtAABC^RtAACD^RtACBD且AC?=,CD?=,BC2=

JAXEDXLC

BCBCADB

3.兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形.

4.兩邊對(duì)應(yīng)成______且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

5.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形.

三、相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角.

2.相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做,一般用k表示.

3.相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線，對(duì)應(yīng)邊的線，對(duì)應(yīng)邊上的線的比等于

____比，周長(zhǎng)之比也等于比，面積比等于.

?典例精析

例1（2009山西太原）甲、乙兩盞路燈底部間的距離是30米，一天晚上，當(dāng)小華走到距路

燈乙底部5米處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己的身影頂部正好接觸路燈乙的底部.已知小華的身高為

1.5米，那么路燈甲的高為___米.

甲小華乙

【答案】9.

【解析】本題考查相似的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的應(yīng)用設(shè)路燈高為x米，由相似得

—=解得x=9,所以路燈甲的高為9米，故填9.

x30

例2（2008年浙江麗水）如圖，在已建立直角坐標(biāo)系的4X4正方形方格紙中，△劃格點(diǎn)三

角形（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)）若以格點(diǎn)P,A,B為頂點(diǎn)的三角形與4ABC

相似（全等除外），則格點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

【答案】匕（L4）,P（3）4）.

點(diǎn)撥：這種題常見的錯(cuò)誤是漏解，平時(shí)要多加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性.

拓展變式在RtaABC中，斜邊AC上有一動(dòng)點(diǎn)D（不與點(diǎn)A,C重合），過D點(diǎn)作直線

截△ABC,使截得的三角形與AABC相似，則滿足這樣條件的直線共有條.

【答案】3

例3如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F,AC,DE把平行四

邊形ABCD分成的四部分的面積分別為S/S2,S3,S4.下面結(jié)論：①只有一對(duì)相似三角形；

②EF：ED=1：2；③SjS2：S3：S=l：2：4：5.其中正確的結(jié)論是（）

D.①②

【解析】：AB〃DC,...△AEF^ACDF,但本題還有一對(duì)相似三角形是AABC^ACDA

（全等是相似的特例）.

①是錯(cuò)的.

AEEF1_

--=777^=T'???②EF：ED=1：2是錯(cuò)的.

CDDF2

AS：S=1：4,S：S=1：2.

AAEFACDFAAEFAADF

AS：S：S：S=l：2：4：5,③正確.

1234

點(diǎn)撥①利用相似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比；（共底三角形的

面積之比等于高之比）

②和全等三角形一樣，中考試題往往把需要證明的兩個(gè)相似三角形置于其他圖形（如等

邊三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解題時(shí)要充

分挖掘其中隱含的相等角、成比例的線段和平行線，注意從復(fù)雜的圖形中分離出基本的相似

三角形.

拓展變式點(diǎn)E是［IABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE

與CD相交于點(diǎn)G,則圖中相似三角形共有（）

A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)

【答案】C

?迎考精練

一、選擇題

1.（2009年江蘇?。┤鐖D，在5x5方格紙中，將圖①中的三角形甲平移到圖②

中所示的位置，與三角形乙拼成一個(gè)矩形，那么，下面的平移方法中，正確的是（）

A.先向下平移3格，再向右平移1格

B.先向下平移2格，再向右平移1格

C.先向下平移2格，再向右平移2格

D.先向下平移3格,再向右平移2格

圖①圖②

2.（2009年浙江杭州）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8,另一個(gè)與它相似的直

角三角形邊長(zhǎng)分別是3和4及x,那么x的值（）

A.只有1個(gè)B.可以有2個(gè)

C.有2個(gè)以上但有限D(zhuǎn).有無數(shù)個(gè)

3.（2009年浙江寧波）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,M、N分別是邊AB、

AD的中點(diǎn)，連接0M、ON、MN,則下列敘述正確的是（）

A.ZXAOM和AAON都是等邊三角形

B.四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形—P

C.四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形

C

D.四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形

4.（2009年浙江義烏）在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長(zhǎng)之比為

黃金比。已知這本書的長(zhǎng)為20cm,則它的寬約為（）

A.12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm

5.（2009年湖南婁底）小明在一次軍事夏令營(yíng)活動(dòng)中，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，在用槍瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)B

時(shí)，要使眼睛0、準(zhǔn)星A、目標(biāo)B在同一條直線上，如圖所示，在射擊時(shí)，小明有輕微的抖

動(dòng)，致使準(zhǔn)星A偏離到A",若0A=0.2米，0B=40米,AA'=0.0015米,則小明射擊到的點(diǎn)

B'偏離目標(biāo)點(diǎn)B的長(zhǎng)度BB'為（）

A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米

R'

uAR

6.（2009年甘肅白銀）如圖，小東用長(zhǎng)為3.2m的竹竿做測(cè)量工具測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，移

動(dòng)竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn).此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距8m、

與旗桿相距22m,則旗桿的高為（）

A.12mB.10mC.8mD.7m

7.（2009年天津市）在△ABC和尸中，AB=IDE,AC=2DF,ZA=ZD,如

果△ABC的周長(zhǎng)是16,面積是12,那么的周長(zhǎng)、面積依次為（）

A.8,3B?8,6C.4,3D.4,6

二、填空題

1.（2009年山東濱州）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,3）,若以原點(diǎn)0

為位似中心，畫△ABC的位似圖形△A'5'C',使△ABC與△AB'C的相似比等于;，

則點(diǎn)4的坐標(biāo)為.

2.（2009年黑龍江牡丹江）如圖,RtAABC中，ZACB=90°,直線EF//BD,交A5于點(diǎn)

1CF

￡1,交AC于點(diǎn)G,交于點(diǎn)尸，若S=-S，則:不二________.

△AEG3四邊形EBCGAD---------

3.（2009年湖北孝感）如圖，點(diǎn)M是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作直線平行于aABC的各邊,

所形成的三個(gè)小三角形△「△§（圖中陰影部分）的面積分別是4,9和49.則4ABC

的面積是.

4.（2009年山東日照）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC

上，記為點(diǎn)夕，折痕為EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點(diǎn)口，F(xiàn),C為頂點(diǎn)的三角形

與AABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是

（第4題圖）

5.（2009年福建莆田）如圖，A、5兩處被池塘隔開，為了測(cè)量A、3兩處的距離，在A3

外選一適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)C,連接AC、3C,并分別取線段AC、5c的中點(diǎn)E、/，測(cè)得匹=20m,

1.（2009年湖南郴州）如圖，在DABC中,

AD

（1）求f的值，（2）求BC的長(zhǎng)

AB

2.（2009年湖南常德）如圖，AABC內(nèi)接于00,AD是aABC的邊BC上的高，AE是。。的

直徑，連接BE,AABE與4ADC相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

3.（2009年湖北武漢）如圖1,在Rt△ABC中，ZBAC=90°,ADL3C于點(diǎn)。，點(diǎn)。

是AC邊上一點(diǎn)，連接3。交AD于尸，OE_LOB交BC邊于點(diǎn)E.

（1）求證：AABFs△COE；

⑵當(dāng)。為AC邊中點(diǎn)，條2時(shí),如圖2,求黑的值;

⑶當(dāng)。為AC邊中點(diǎn)，〃時(shí)，請(qǐng)直接寫出案的值.

4.（2009年安徽）如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C,ZDME=ZA=ZB=a,

且DM交AC于F,ME交BC于G.

（1）寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；

（2）連結(jié)FG,如果a=45°,AB=4",AF=3,求FG的長(zhǎng).

第4題圖E

5.（2009年吉林省）如圖，。。中，弦A3、CD相交于A3的中點(diǎn)E,連接AO并延長(zhǎng)至

點(diǎn)、F,使。尸=A。，連接BC、BF.

B

第5題圖

(1)求證：△CBEs△AFB；

BE5CB

(2)當(dāng)亍詔=5時(shí)，求F的值

rBOAD

6.（2009年廣東梅州）如圖，梯形ABCD中，AB〃CD,點(diǎn)尸在3c上，連。廠與的延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.

(1)求證：ACDFsABGF；

（2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過F作班〃CD交于點(diǎn)E,若期=6m,斤4m

求的長(zhǎng).

6題

【參考答案】

選擇題

1.D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.A

7.A

填空題

1.(4,6)

1

2，2

3.144

4.—或2；

5.40

解答題

1.解：⑴t."AD=4,DB=8

：.AB=AD+DB=4+8=12

.AD_4_1

AB123

(2)DE//BC,所以△ADESAABC

DE_AD

''~BC~'AB

?/DE=3

.3_1

??_~

BC3

BC=9

2.AABE與AADC相似.理由如下：

在AABE與AADC中

；AE是。0的直徑，ZABE=90Q

TAD是AABC的邊BC上的高,

，ZADO90Q,NAB及ZADC.

又：同弧所對(duì)的圓周角相等，

ZBEA=ZDCA.

AABE?AADC

3,解：（1）ADLBC,:.ZDAC+ZC=90°.

ABAC=如,NBAF=ZC.

OE±OB,:.ZBOA+ZCOE=90°,

ZBOA+ZABF=90°,:.ZABF=ZCOE.

V.AABF^ACOE；

q

（2）解法一：作。GLAC,交A。的延長(zhǎng)線于G.

AC=2AB,。是AC邊的中點(diǎn)，.、A3=0C=O4.

國(guó)（1）有AABFsACOE,.?.△ABF/△COE,

BF=OE.

ABAD+ZDAC=90°,ZDAB+ZABD=90°,ADAC=ZABD,

XZBAC=ZAOG=90°,AB=OA.

.-.△ABC^AOAG,OG=AC=2AB.

OGLOA,AB//OG,:.AABFsAGOF,

?；OF_OGOFOF_OG_2

…防一布’~OE~~BF~~AB~'

解法二：ABAC=90°,AC=2AB,A。，3c于。,

4nAT

RtABAZ)RtABCA./.一=，=2.

BDAB

設(shè)AB-1,則AC=2,BC=下,BO=>/2,

2i]

AD=-y]5,BD=-AD=-y/5.

525

ZBDF=/BOE=90°,.△BDFs叢BOE,

?；BD_BO

,~DF~~OE'

—73

由(1)知BF=OE,設(shè)OE=BF=x,-.......=,x=x/lQDF.

DFx

]1J2

在△DFB中X2=-+—X2,x=—.

5103

/?

L2L4LOF

:.OF=OB-BF=^--y/2=-j2.：.—=4—=2.

33OE乙五